第32講銳角三角函數(shù)及其應(yīng)用目錄TOC\o"1-3"\n\h\z\u一、考情分析二、知識建構(gòu)考點(diǎn)一銳角三角函數(shù)題型01理解正弦、余弦、正切的概念題型02求角的正弦值題型03求角的余弦值題型04求角的正切值題型05已知正弦值求邊長題型06已知余弦值求邊長題型07已知正切值求邊長題型08含特殊角的三角函數(shù)值的混合運(yùn)算題型09求特殊角的三角函數(shù)值題型10由特殊角的三角函數(shù)值判斷三角形形狀題型11用計算器求銳角三角函數(shù)值題型12已知角度比較三角函數(shù)值大小題型13根據(jù)三角函數(shù)值判斷銳角的取值范圍題型14利用同角三角函數(shù)關(guān)系求解題型15求證同角三角函數(shù)關(guān)系式題型16互余兩角三角函數(shù)關(guān)系考點(diǎn)二解直角三角形題型01構(gòu)造直角三角形解直角三角形題型02網(wǎng)格中解直角三角形題型03在坐標(biāo)系中解直角三角形題型04解直角三角形的相關(guān)計算題型05構(gòu)造直角三角形求不規(guī)則圖形的邊長或面積考點(diǎn)三解直角三角形的應(yīng)用題型01仰角、俯角問題類型一利用水平距離測量物體高度類型二測量底部可以到達(dá)的物體高度類型三測量底部不可到達(dá)的物體的高度題型02方位角問題題型03坡度坡比問題題型04坡度坡比與仰角俯角問題綜合考點(diǎn)要求新課標(biāo)要求命題預(yù)測銳角三角函數(shù)利用相似的直角三角形，探索并認(rèn)識銳角三角函數(shù)(sinA，cosA，tanA).知道30°，45°，60°角的三角函數(shù)值.會使用計算器由已知銳角求它的三角函數(shù)值，由已知三角函數(shù)值求它的對應(yīng)銳角.銳角三角函數(shù)及其應(yīng)用是數(shù)學(xué)中考中比較重要的考點(diǎn),其考察內(nèi)容主要包括①考查正弦、余弦、正切的定義，②特殊角的三角函數(shù)值，③解直角三角形與其應(yīng)用等.出題時除了會單獨(dú)出題以外，還常和四邊形、圓、網(wǎng)格圖形等結(jié)合考察，是近幾年中考填空壓軸題常考題型.預(yù)計2024年各地中考還將以選題和綜合題的形式出現(xiàn)，在牢固掌握定義的同時，一定要理解基本的方法，利用輔助線構(gòu)造直角三角形，是得分的關(guān)鍵.解直角三角形能用銳角三角函數(shù)解直角三角形，能用相關(guān)知識解決一些簡單的實際問題.解直角三角形的應(yīng)用考點(diǎn)一銳角三角函數(shù)1.銳角三角函數(shù)的概念：銳角A的正弦、余弦、正切都叫做∠A的銳角三角函數(shù)．（其中：0＜∠A＜90°）2.正弦、余弦、正切的概念定義表達(dá)式圖形正弦sinsin余弦coscos正切tantan3.銳角三角函數(shù)的關(guān)系：在Rt△ABC中，若∠C為直角，則∠A與∠B互余時，有以下兩種關(guān)系：1）同角三角函數(shù)的關(guān)系：tanA=sin2)互余兩角的三角函數(shù)關(guān)系：sinA=cosB,sinB=cosA,tan4.特殊角的三角函數(shù)值三角函數(shù)30°45°60°2332313【補(bǔ)充】表中是特殊角的三角函數(shù)值.反過來，若已知一個特殊角的三角函數(shù)值，則可求出相應(yīng)的銳角.5.銳角三角函數(shù)的性質(zhì)性質(zhì)前提：0°＜∠A＜90°sinA隨∠A的增大而增大cosA隨∠A的增大而減小tanA隨∠A的增大而增大11.若銳角是用一個大寫英文字母或一個小寫希臘字母表示的，則表示它的正弦、余弦及正切時習(xí)慣省略角的符號“∠”,如tanA、sina、cosA.若銳角是用三個大寫英文字母或一個數(shù)字表示的,則表示它的正弦、余弦及正切時,不能省略角的符號“∠”,如sin∠ABC，cos∠2，tan∠1.2.tanA乘方時,一般寫成tannA,它與3.銳角三角函數(shù)是針對直角三角形中的銳角而言的.而且由銳角三角函數(shù)的定義可知,其本質(zhì)特征是兩條線段長的比.因此,銳角三角函數(shù)只有數(shù)值,沒有單位，它的大小只與角的大小有關(guān)，而與它所在的三角形的邊長無關(guān).4.根據(jù)定義求三角函數(shù)值時，一定根據(jù)題目圖形來理解，嚴(yán)格按照三角函數(shù)的定義求解，有時需要通過輔助線來構(gòu)造直角三角形.題型01理解正弦、余弦、正切的概念【例1】（2022·湖北·統(tǒng)考模擬預(yù)測）如圖，在Rt△ABC中，BD是斜邊AC上的高，AB≠BC，則下列比值中等于sinA的是（A．ADAB B．BDAD C．BDBC【變式1-1】（2021·浙江杭州·統(tǒng)考一模）在△ABC中，∠C＝90°，BCABA．cosA＝35 B．sinB＝35 C．tanA＝43 D．【變式1-2】（2023·福建泉州·統(tǒng)考一模）在Rt△ABC中，∠C=90°，sinA=35，則A．35 B．34 C．45【變式1-3】（2022·河北唐山·統(tǒng)考二模）如圖，梯子（長度不變）跟地面所成的銳角為∠α，敘述正確的是（）

A．sinαB．cosαC．tanαD．陡緩程度與∠α的函數(shù)值無關(guān)【變式1-4】（2021·浙江杭州·統(tǒng)考三模）在△ABC中，∠C＝90°，∠A、∠B、∠C的對邊分別是a、b、c，下列結(jié)論正確的是（）A．b＝a?sinA B．b＝a?tanA C．c＝a?sinA D．a(chǎn)＝c?cosB【變式1-5】（2019·湖南邵陽·校聯(lián)考一模）在Rt△ABC中，∠C＝90°，各邊都擴(kuò)大5倍，則tanA的值（

）A．不變 B．?dāng)U大5倍 C．縮小5倍 D．不能確定【變式1-6】（2021·遼寧撫順·統(tǒng)考一模）如圖，在△ABC中，∠C＝90°，設(shè)∠A，∠B，∠C所對的邊分別為a，b，c，則（）A．c＝bsinB B．b＝csinB C．a(chǎn)＝btanB D．b＝ctanB題型02求角的正弦值【例2】（2022·江西·模擬預(yù)測）如圖，PA、PB分別與⊙O相切于點(diǎn)A、B，連接PO并延長與⊙O交于點(diǎn)C、D，若CD=12，PA=8，則sin∠ADB的值為（

A．45 B．35 C．34【變式2-1】（2020·江蘇揚(yáng)州·統(tǒng)考模擬預(yù)測）如圖，由邊長為1的小正方形構(gòu)成的網(wǎng)格中，點(diǎn)A，B，C都在格點(diǎn)上，以AB為直徑的圓經(jīng)過點(diǎn)C、D，則sin∠ADC的值為（

A．21313 B．31313 C．【變式2-2】（2020·山東聊城·統(tǒng)考模擬預(yù)測）如圖，在4×5的正方形網(wǎng)格中，每個小正方形的邊長都是1，△ABC的頂點(diǎn)都在這些小正方形的頂點(diǎn)上，那么sin∠ACB的值為（

A．355 B．175 C．3題型03求角的余弦值【例3】（2023·湖北省直轄縣級單位·統(tǒng)考模擬預(yù)測）如圖，在4×4網(wǎng)格正方形中，每個小正方形的邊長為1，頂點(diǎn)為格點(diǎn)，若△ABC的頂點(diǎn)均是格點(diǎn)，則cos∠BAC的值是（

A．55 B．105 C．25【變式3-1】（2022·吉林長春·校考模擬預(yù)測）如圖，⊙O是△ABC的外接圓，CD是⊙O的直徑．若CD=10，弦AC=6，則cos∠ABC的值為（

A．45 B．35 C．43【變式3-2】（2023·內(nèi)蒙古烏蘭察布·?？寄M預(yù)測）如圖，△ABC的三個頂點(diǎn)分別在邊長為1的正方形網(wǎng)格上，則cos∠BAC的值為【變式3-3】（2022·廣東中山·統(tǒng)考一模）如圖，AB為⊙O的直徑，點(diǎn)C在直徑AB上（點(diǎn)C與A，B兩點(diǎn)不重合），OC＝3，點(diǎn)D在⊙O上且滿足AC＝AD，連接DC并延長到E點(diǎn)，使BE＝BD．(1)求證：BE是⊙O的切線；(2)若BE＝6，試求cos∠CDA的值．題型04求角的正切值【例4】（2023·江蘇揚(yáng)州·統(tǒng)考二模）北京冬奧會開幕式的巨型雪花狀主火炬塔的設(shè)計，體現(xiàn)了環(huán)保低碳理念．如圖所示，它的主體形狀呈正六邊形．若點(diǎn)A，F(xiàn)，B，D，C，E是正六邊形的六個頂點(diǎn)，則tan∠ABE＝．【變式4-1】（2023·江蘇蘇州·?？级＃┤鐖D，AB為⊙O的直徑，點(diǎn)C是⊙O上一點(diǎn)，點(diǎn)D是⊙O外一點(diǎn)，∠BCD=∠BAC，連接OD交BC于點(diǎn)E．(1)求證：CD是⊙O的切線．(2)若CE=OA,sin∠BAC=4【變式4-2】（2022·浙江紹興·一模）如圖，正方形ABCD和正方形CEFG中，點(diǎn)D在CG上，BC=1，CE=3，連接AF交CG于點(diǎn)K，H是AF的中點(diǎn)，連接CH．(1)求tan∠GFK的值；(2)求CH的長．題型05已知正弦值求邊長【例5】（2022·云南昆明·官渡六中?？家荒＃┰凇鰽BC中，∠ABC=90°，若AC=100,sinA=35，則A．5003 B．5035 C．60【變式5-1】（2023·廣東佛山·校聯(lián)考模擬預(yù)測）如圖，一輛自行車豎直擺放在水平地面上，右邊是它的部分示意圖，現(xiàn)測得∠A=88°，∠C=42°，AB=60，則點(diǎn)A到BC的距離為（

）A．60sin50° B．60sin50° C．【變式5-2】（2020·河北·模擬預(yù)測）如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，菱形OABC的邊OA在x軸上，點(diǎn)A(10,0)，sin∠COA=45．若反比例函數(shù)y=kx(k>0,x>0)經(jīng)過點(diǎn)A．10 B．24 C．48 D．50題型06已知余弦值求邊長【例6】（2022·廣西南寧·南寧二中?？既＃┤鐖D，在△ABC中，∠C=90°,cosA=32,AC=4A．4 B．8 C．83 【變式6-1】（2016·內(nèi)蒙古鄂爾多斯·統(tǒng)考二模）如圖，在△ABC中，AB＝AC＝10，點(diǎn)D是邊BC上一動點(diǎn)（不與B、C重合），∠ADE＝∠B＝α，DE交AC于點(diǎn)E，且cosα＝45，則線段CE的最大值為【變式6-2】（2020·廣東廣州·統(tǒng)考一模）如圖所示，ABCD為平行四邊形，AD=13，AB=25，∠DAB=α，且cosα=513，點(diǎn)E為直線CD上一動點(diǎn)，將線段EA繞點(diǎn)E逆時針旋轉(zhuǎn)α得到線段EF（1）求平行四邊形ABCD的面積；（2）當(dāng)點(diǎn)C，B，F(xiàn)三點(diǎn)共線時，設(shè)EF與AB相交于點(diǎn)G，求線段BG的長；（3）求線段CF的長度的最小值．題型07已知正切值求邊長【例7】（2021·江蘇無錫·統(tǒng)考一模）如圖，在△ABC中，∠ABC＝90°，tan∠BAC＝12，AD＝2，BD＝4，連接CD，則CD長的最大值是（

A．25+34 B．25+1 【變式7-1】（2023·山東日照·校考三模）如圖，點(diǎn)A，C，D，B在⊙O上，AC＝BC，∠ACB＝90°．若CD＝a，tan∠CBD＝13，則AD的長是【變式7-2】（2023·江西萍鄉(xiāng)·統(tǒng)考二模）如圖，點(diǎn)A在第一象限，AC⊥x軸，垂足為C，OA=25，tanA=12，反比例函數(shù)y=kx的圖像經(jīng)過OA的中點(diǎn)(1)求k值；(2)求△OBD的面積．【變式7-3】（2021·遼寧葫蘆島·統(tǒng)考二模）如圖，已知，在△ABC中，O為AB上一點(diǎn)，CO平分∠ACB，以O(shè)為圓心，OB長為半徑作⊙O，⊙O與BC相切于點(diǎn)B，交CO于點(diǎn)D，延長CO交⊙O于點(diǎn)E，連接BD，BE．（1）求證：AC是⊙O的切線．（2）若tan∠BDE=2，BC=6，求⊙O的半徑．題型08含特殊角的三角函數(shù)值的混合運(yùn)算【例8】（2022·貴州·模擬預(yù)測）計算8+|?2|×cos45°A．2 B．32 C．22+【變式8-1】（2023·湖南株洲·?？家荒＃┯嬎悖?2?1+【變式8-2】（2023·山東濟(jì)南·模擬預(yù)測）計算：12+【變式8-3】（2023·山東聊城·統(tǒng)考一模）先化簡，再求值：a+1?3a?1題型09求特殊角的三角函數(shù)值【例9】（2023·山東淄博·統(tǒng)考一模）在實數(shù)2，x0（x≠0），cos30°，38中，有理數(shù)的個數(shù)是（

A．1個 B．2個 C．3個 D．4個【變式9-1】（2023·廣東潮州·二模）計算|1?tan60°|的值為（A．1?3 B．0 C．3?1 題型10由特殊角的三角函數(shù)值判斷三角形形狀【例10】（2022·湖南衡陽·校考模擬預(yù)測）在△ABC中，∠A、∠B均為銳角，且tanB?3+2cosA．等腰三角形 B．等邊三角形 C．直角三角形 D．等腰直角三角形【變式10-1】（2021·廣東廣州·廣州大學(xué)附屬中學(xué)?？级＃┰凇鰽BC中，sinA=cos90°?C=2A．銳角三角形 B．直角三角形 C．鈍角三角形 D．不確定【變式10-2】（2020·四川自貢·?？家荒＃┰凇鰽BC中，若sinA?32+12?cosB題型11用計算器求銳角三角函數(shù)值【例11】（2022·山東煙臺·統(tǒng)考一模）若用我們數(shù)學(xué)課本上采用的科學(xué)計算器計算sin36°18＇，按鍵順序正確的是（

）A．B．C．D．【變式11-1】（2023·山東淄博·統(tǒng)考一模）如圖，某超市計劃將門前的部分樓梯改造成無障礙通道．已知樓梯共有五級均勻分布的臺階，高AB＝0.75m，斜坡AC的坡比為1：2，將要鋪設(shè)的通道前方有一井蓋，井蓋邊緣離樓梯底部的最短距離ED＝2.55m．為防止通道遮蓋井蓋，所鋪設(shè)通道的坡角不得小于多少度？（結(jié)果精確到1）（參考數(shù)據(jù)表）計算器按鍵順序計算結(jié)果（已精確到0.001）11.3100.00314.7440.005題型12已知角度比較三角函數(shù)值大小【例12】（2022·上海·?？寄M預(yù)測）如果銳角A的度數(shù)是25°，那么下列結(jié)論中正確的是（

）A．0<sinA<1C．33<tan【變式12-1】（2020·江蘇揚(yáng)州·統(tǒng)考一模）比較大?。簊in81°tan47°(填“<”“【變式12-2】（2020·內(nèi)蒙古·統(tǒng)考二模）在直角三角形ABC中，角C為直角，銳角A的余弦函數(shù)定義為，寫出sin70o、cos40o、cos50o的大小關(guān)系．題型13根據(jù)三角函數(shù)值判斷銳角的取值范圍【例13】（2023·陜西西安·?？既＃┤魌anA=2，則∠A的度數(shù)估計在（

）A．在0°和30°之間 B．在30°和45°之間C．在45°和60°之間 D．在60°和90°之間【變式13-1】（2022·浙江金華·校聯(lián)考一模）若∠A是銳角，且sinA＝13，則（

A．0°＜∠A＜30° B．30°＜∠A＜45° C．45°＜∠A＜60° D．60°＜∠A＜90°【變式13-2】（2023·陜西西安·?？寄M預(yù)測）若cos∠1=0.8，則∠1的度數(shù)在（

）范圍內(nèi)．A．0°＜∠1＜30° B．30°＜∠1＜45° C．45°＜∠1＜60° D．60°＜∠1＜90°【變式13-3】（2021·安徽安慶·統(tǒng)考一模）若銳角α滿足cosα＜22且tanα＜3，則αA．30°＜α＜45° B．45°＜α＜60°C．60°＜α＜90° D．30°＜α＜60°題型14利用同角三角函數(shù)關(guān)系求解【例14】（2021·江蘇揚(yáng)州·統(tǒng)考一模）已知∠α為銳角，且sinα=513，則【變式14-1】（2023·廣東東莞·統(tǒng)考三模）如圖，沿AE折疊矩形紙片ABCD，使點(diǎn)D落在BC邊的點(diǎn)F處．已知CF=4，sin∠EFC=35，則

題型15求證同角三角函數(shù)關(guān)系式【例15】（2021·北京·統(tǒng)考一模）如圖，在?ABCD中，AC，BD交于點(diǎn)O，且AO=BO．（1）求證：四邊形ABCD是矩形；（2）∠BDC的平分線DM交BC于點(diǎn)M，當(dāng)AB=3，tan∠DBC=34【變式15-1】（2022·福建福州·福建省福州屏東中學(xué)?？寄M預(yù)測）求證：若α為銳角，則sin2(1)如圖，銳角α和線段m，用尺規(guī)作出一個以線段m為直角邊，α為內(nèi)角，∠ACB為90°的Rt△ABC(2)根據(jù)（1）中所畫圖形證明該命題．【變式15-2】（2023·河北保定·統(tǒng)考二模）嘉嘉在某次作業(yè)中得到如下結(jié)果：sin2sin2sin29°+sin37°+sin2據(jù)此，嘉嘉猜想：對于任意銳角α，β，若α+β=90°，均有sin2(1)當(dāng)α=30°，β=60°時，驗證sin2(2)嘉嘉的猜想是否成立？若成立，請結(jié)合如圖所示Rt△ABC給予證明，其中∠A所對的邊為a，∠B所對的邊為b，斜邊為c(3)利用上面的證明方法，直接寫出tanα與sinα，題型16互余兩角三角函數(shù)關(guān)系【例16】（2023·江蘇蘇州·蘇州中學(xué)?？家荒＃┗唖in28°?cos28°A．sin28°?cosC．cos28°?sin【變式16-1】（2023·四川成都·成都實外?？家荒＃┮阎猻in42°≈23，則cosA．53 B．13 C．32【變式16-2】（2023·云南昆明·?？既＃┰赗t△ABC中，∠C=90°，sinA=67【變式16-3】（2019·浙江杭州·模擬預(yù)測）如圖，在Rt△ABC中，∠A=90°，AD⊥BC，垂足為D．給出下列四個結(jié)論：①sinα=sinB；②sinβ=sinC；③sinB=cosC；④sinα=cosβ.其中正確的結(jié)論有.考點(diǎn)二解直角三角形解直角三角形的概念：一般地，直角三角形中，除直角外，共有五個元素，即三條邊和兩個銳角．由直角三角形中的已知元素，求出其余未知元素的過程，叫做解直角三角形．在解直角三角形的過程中，一般要用到下面一些關(guān)系：1）直角三角形的五個元素：邊：a、b、c，角：∠A、∠B2）三邊之間的關(guān)系：a2+3）兩銳角之間的關(guān)系：∠A＋∠B＝90°4）邊角之間的關(guān)系：sinA=∠A所對的邊斜邊=ac，sinB=∠BcosA=∠A所鄰的邊斜邊tanA=∠A所對的邊鄰邊解直角三角形常見類型及方法：已知類型已知條件解法步驟兩邊斜邊和一直角邊(如c,a)①②③∠B=90°－∠A兩直角邊(如a,b)①②③∠B=90°－∠A一邊和一銳角斜邊和一銳角（如c，∠A）①∠B=90°－∠A②③一直角邊和一銳角（如a，∠A）①∠B=90°－∠A②③另一直角邊和一銳角（如b，∠A）①∠B=90°－∠A②③1.1.在直角三角形中，除直角外的五個元素中，已知其中的兩個元素(至少有一條邊)，可求出其余的三個未知元素(知二求三).2.已知兩個角不能解直角三角形，因為有兩個角對應(yīng)相等的兩個三角形相似，但不一定全等，因此其邊的大小不確定.題型01構(gòu)造直角三角形解直角三角形【例1】（2023·陜西渭南·統(tǒng)考一模）如圖，AD是△ABC的高，若BD=2CD=6，tan∠C=2，則邊AB的長為（

A．32 B．35 C．37【變式1-1】（2021·山東聊城·統(tǒng)考一模）如圖，在△ABC中，sinB=13，tanC=2，AB=3，則AC的長為（

A．2 B．52 C．5 【變式1-2】（2022·陜西西安·西安市中鐵中學(xué)?？既＃┤鐖D，在ΔABC中，∠ACB=60°，∠B=45°，AB=6，CE平分∠ACBA．3+1 B．2 C．2 D．6-2【變式1-3】（2022·浙江杭州·?？家荒＃┰凇鰽BC中，AC=42，BC=6，(1)求△ABC(2)求AB的值；(3)求cos∠ABC【變式1-4】（2022·河南安陽·模擬預(yù)測）公交總站(點(diǎn)A)與B、C兩個站點(diǎn)的位置如圖所示，已知AC=6km，∠B=30°，∠C=15°，求B站點(diǎn)離公交總站的距離即AB的長(結(jié)果保留根號)．題型02網(wǎng)格中解直角三角形【例2】（2022·江蘇常州·校考二模）已知在由10個完全相同的正三角形構(gòu)成的網(wǎng)格圖中，∠α、∠β如圖所示，則tanα+β=【變式2-1】（2022·江蘇揚(yáng)州·統(tǒng)考一模）如圖，在4×4的網(wǎng)格中，每個小正方形的邊長為1，點(diǎn)A，B，C均在格點(diǎn)上，D是AB與網(wǎng)格線的交點(diǎn)，則sin∠ADC2的值是【變式2-2】（2022·四川廣元·校考一模）如圖，A，B，C，D均為網(wǎng)格圖中的格點(diǎn)，線段AB與CD相交于點(diǎn)P，則∠APD的正切值為．【變式2-3】（2021·北京延慶·統(tǒng)考一模）如圖所示，∠MON是放置在正方形網(wǎng)格中的一個角，則tan∠MON的值是題型03在坐標(biāo)系中解直角三角形【例3】（2023·上?！ひ荒＃┢矫嬷苯亲鴺?biāo)系內(nèi)有一點(diǎn)P1,2，那么OP與x軸正半軸的夾角為α，tanα=【變式3-1】（2022·山東淄博·統(tǒng)考一模）如圖，在平面直角坐標(biāo)系xOy中，AB=5，連結(jié)AB并延長至C，連結(jié)OC，若滿足OC2=BC?AC，tanα=A．?2,4 B．?43,23 【變式3-2】（2021·山東棗莊·校聯(lián)考一模）如圖，⊙A經(jīng)過平面直角坐標(biāo)系的原點(diǎn)O，交x軸于點(diǎn)B(-4，0)，交y軸于點(diǎn)C(0，3)，點(diǎn)D為第二象限內(nèi)圓上一點(diǎn)．則∠CDO的正弦值是（

）A．35 B．25 C．34【變式3-3】（2022·山東菏澤·統(tǒng)考二模）如圖，在平面直角坐標(biāo)系xOy中，矩形ABCD的頂點(diǎn)A在x軸的正半軸上，矩形的另一個頂點(diǎn)D在y軸的正半軸上，矩形的邊AB=a,BC=b,∠DAO=x．則點(diǎn)C到x軸的距離等于（

）A．a(chǎn)cosx+bsinx B．a(chǎn)cosx+b題型04解直角三角形的相關(guān)計算【例4】（2023·上海奉賢·統(tǒng)考一模）如圖，在△ABC中，∠ABC＝90°，∠A＝60°，直尺的一邊與BC重合，另一邊分別交AB，AC于點(diǎn)D，E．點(diǎn)B，C，D，E處的讀數(shù)分別為15，12，0，1，則直尺寬BD的長為．【變式4-1】（2020·浙江麗水·統(tǒng)考模擬預(yù)測）圖1是一個閉合時的夾子，圖2是該夾子的主視示意圖，夾子兩邊為AC，BD（點(diǎn)A與點(diǎn)B重合），點(diǎn)O是夾子轉(zhuǎn)軸位置，OE⊥AC于點(diǎn)E，OF⊥BD于點(diǎn)F，OE=OF=1cm，AC=BD=6cm，CE=DF，CE:AE=2:3.按圖示方式用手指按夾子，夾子兩邊繞點(diǎn)O轉(zhuǎn)動．(1)當(dāng)E，F(xiàn)兩點(diǎn)的距離最大值時，以點(diǎn)A，B，C，D為頂點(diǎn)的四邊形的周長是

cm．(2)當(dāng)夾子的開口最大（點(diǎn)C與點(diǎn)D重合）時，A，B兩點(diǎn)的距離為cm．【變式4-2】（2022·上海金山·?？家荒＃┤鐖D，在矩形ABCD中，BD是對角線，AE⊥BD，垂足為E，連接CE，若tan∠ADB=12，則tan∠DEC【變式4-3】（2022·浙江紹興·模擬預(yù)測）如圖，在擰開一個邊長為a的正六角形螺帽時，扳手張開的開口b=20mm，則邊長a為mm．題型05構(gòu)造直角三角形求不規(guī)則圖形的邊長或面積【例5】（2022·四川綿陽·統(tǒng)考三模）如圖，四邊形ABCD的對角線AC、BD相交于O，∠AOD＝60°，AC＝BD＝2，則這個四邊形的面積是（

）A．34 B．32 C．3 【變式5-1】（2020·山西·統(tǒng)考模擬預(yù)測）如圖，在?ABCD中，AB=BC=2,?∠ABC=60°，過點(diǎn)D作DE//AC，DE=12AC【變式5-2】（2021·江西贛州·統(tǒng)考一模）圖1是一種可折疊臺燈，它放置在水平桌面上，將其抽象成圖2，其中點(diǎn)B，E，D均為可轉(zhuǎn)動點(diǎn)．現(xiàn)測得AB=BE=ED=CD=14cm，經(jīng)多次調(diào)試發(fā)現(xiàn)當(dāng)點(diǎn)B，E所在直線垂直徑過CD的中點(diǎn)F（1）求平穩(wěn)放置時燈座DC與燈桿DE的夾角的大小；（2）為保護(hù)視力，寫字時眼睛離桌面的距離應(yīng)保持在30cm，為防止臺燈刺眼，點(diǎn)A離桌面的距離應(yīng)不超過30cm，求臺燈平穩(wěn)放置時∠ABE的最大值．（結(jié)果精確到0.01°，參考數(shù)據(jù)：3≈1.732，sin16.07°≈0.2768，cos73.93°≈0.2768【變式5-3】（2022·山東煙臺·統(tǒng)考二模）一酒精消毒瓶如圖1，AB為噴嘴，ΔBCD為按壓柄，CE為伸縮連桿，BE和EF為導(dǎo)管，其示意圖如圖2，∠DBE=∠BEF=108°，BD=6cm，BE=4cm．當(dāng)按壓柄ΔBCD按壓到底時，BD轉(zhuǎn)動到BD'，此時（1）求點(diǎn)D轉(zhuǎn)動到點(diǎn)D'的路徑長；（2）求點(diǎn)D到直線EF的距離（結(jié)果精確到0.1cm（參考數(shù)據(jù)：sin36°≈0.59，cos36°≈0.81，tan36°≈0.73，sin72°≈0.95，【變式5-4】（2022·山西呂梁·統(tǒng)考一模）如圖，是放在水平桌面上的臺燈的幾何圖，已知臺燈底座高度為2cm，固定支點(diǎn)O到水平桌面的距離為7.5cm，當(dāng)支架OA、AB拉直時所形成的線段與點(diǎn)M共線且與底座垂直，此時測得B到底座的距離為31.64cm（線段AB，AO，OM的和），經(jīng)調(diào)試發(fā)現(xiàn)，當(dāng)∠OAB=115°，∠AOM=160°時，臺燈所投射的光線最適合寫作業(yè)，測量得A到B的水平距離為10cm，求此時點(diǎn)B到桌面的距離．（參考數(shù)據(jù)：sin20°≈0.34，cos20°≈0.94，tan20°≈0.36，2≈考點(diǎn)三解直角三角形的應(yīng)用解直角三角形的相關(guān)的名詞、術(shù)語：1）視角：視線與水平線的夾角叫做視角．仰角：在視線與水平線所成的角中，視線在水平線上方的角叫做仰角．俯角：在視線與水平線所成的角中，視線在水平線下方的角叫做俯角．2）方位角：指北或指南方向線與目標(biāo)方向線所成的小于90°的水平角叫做方向角．3）坡度：坡面的鉛直高度h和水平寬度l的比叫做坡面的坡度（或坡比），記作i=h坡角：坡面與水平面的夾角叫做坡角，記作α，i=tanα．坡度越大，α角越大，坡面越陡．解直角三角形實際應(yīng)用的一般步驟：1）弄清題中名詞、術(shù)語，根據(jù)題意畫出圖形，建立數(shù)學(xué)模型；2）將條件轉(zhuǎn)化為幾何圖形中的邊、角或它們之間的關(guān)系，把實際問題轉(zhuǎn)化為解直角三角形問題；3）選擇合適的邊角關(guān)系式，使運(yùn)算簡便、準(zhǔn)確；4）得出數(shù)學(xué)問題的答案并檢驗答案是否符合實際意義，從而得到問題的解．測量物體的高度的常見模型：1）利用水平距離測量物體高度（雙直角三角形）解題方法：這兩種模型種都有一條公共的直角邊，解題時，往往通過這條邊為中介在兩個三角形中依次求邊，或通過公共邊相等，列方程求解.2）測量底部可以到達(dá)的物體高度模型需測量數(shù)據(jù)數(shù)量關(guān)系原理測量儀高m，水平距離n，傾斜角αtanh=m+n?矩形的性質(zhì)與直角三角形的邊角關(guān)系水平距離n，仰角α，俯角βtana=h=h1+h3）測量底部不可到達(dá)的物體的高度題型01仰角、俯角問題類型一利用水平距離測量物體高度【例1】（2023·陜西·模擬預(yù)測）如圖，某數(shù)學(xué)興趣小組測量一棵樹CD的高度，在點(diǎn)A處測得樹頂C的仰角為45°，在點(diǎn)B處測得樹頂C的仰角為60°，且A，B，D三點(diǎn)在同一直線上，若AB=16m，則這棵樹CD的高度是（

A．8(3?3)m B．8(3+3)m【變式1-1】（2022·江蘇蘇州·統(tǒng)考一模）如圖，在點(diǎn)F處，看建筑物頂端D的仰角為32°，向前走了15米到達(dá)點(diǎn)E即EF=15米，在點(diǎn)E處看點(diǎn)D的仰角為64°，則CD的長用三角函數(shù)表示為（

）A．15sin32° B．15tan64° C．【變式1-2】（2022·云南昆明·云南師范大學(xué)實驗中學(xué)?？既＃┠郴﹫鲇脽o人機(jī)測量雪道長度．如圖，通過無人機(jī)的鏡頭C測一段水平雪道一端A處的俯角為50°，另一端B處的俯角為45°，若無人機(jī)鏡頭C處的高度CD為238米，點(diǎn)A，D，B在同一直線上，則通道AB的長度為米．(結(jié)果保留整數(shù)，參考數(shù)據(jù)sin50°≈0.77，cos50°≈0.64，【變式1-3】（2023·山東濰坊·統(tǒng)考模擬預(yù)測）勝利黃河大橋猶如一架巨大的豎琴，凌駕于滔滔黃河之上，使黃河南北“天塹變通途”.已知主塔AB垂直于橋面BC于點(diǎn)B，其中兩條斜拉索AD、AC與橋面BC的夾角分別為60°和45°，兩固定點(diǎn)D、C之間的距離約為33m，求主塔AB的高度（結(jié)果保留整數(shù)，參考數(shù)據(jù)：2【變式1-4】（2023·湖北省直轄縣級單位·統(tǒng)考模擬預(yù)測）某班同學(xué)在一次綜合實踐課上，測量校園內(nèi)一棵樹的高度．如圖，測量儀在A處測得樹頂D的仰角為45°，C處測得樹頂D的仰角為37°（點(diǎn)A，B，C在一條水平直線上），已知測量儀高度AE＝CF＝1.6米，AC＝28米，求樹BD的高度（結(jié)果保留小數(shù)點(diǎn)后一位．參考數(shù)據(jù)：sin37°≈0.60，cos37°≈0.80，tan37°≈0.75）．

類型二測量底部可以到達(dá)的物體高度【例2】（2023·浙江杭州·模擬預(yù)測）如圖，B為地面上一點(diǎn)，測得B到樹底部C的距離為10m，在B處放置1m高的測角儀BD，測得樹頂A的仰角為60°，則樹高AC為m（結(jié)果保留根號）．【變式2-1】（2020·廣東梅州·統(tǒng)考模擬預(yù)測）如圖，某校教學(xué)樓AC與實驗樓BD的水平間距CD=153米，在實驗樓頂部B點(diǎn)測得教學(xué)樓頂部A點(diǎn)的仰角是30°，底部C點(diǎn)的俯角是45°，則教學(xué)樓AC的高度是【變式2-2】（2023·廣東中山·中山市華僑中學(xué)校考一模）周末，王老師布置了一項綜合實踐作業(yè)，要求利用所學(xué)知識測量一棟樓的高度．小希站在自家陽臺上，看對面一棟樓頂部的仰角為45°，看這棟樓底部的俯角為37°，已知兩樓之間的水平距離為30m，求這棟樓的高度．（參考數(shù)據(jù)：sin37°≈0.60,【變式2-3】（2021·河北石家莊·校聯(lián)考一模）如圖，小明利用學(xué)到的數(shù)學(xué)知識測量大橋主架在水面以上的高度AB，在觀測點(diǎn)C處測得大橋主架頂端A的仰角為30°，測得大橋主架與水面交匯點(diǎn)B的俯角為14°，觀測點(diǎn)與大橋主架的水平距離CM為60米，且AB垂直于橋面．（點(diǎn)A,B,C,M在同一平面內(nèi)）（1）求大橋主架在橋面以上的高度AM；（結(jié)果保留根號）（2）求大橋主架在水面以上的高度AB．（結(jié)果精確到1米）（參考數(shù)據(jù)sin14【變式2-4】（2023·浙江金華·統(tǒng)考二模）我們經(jīng)常會采用不同方法對某物體進(jìn)行測量，請測量下列燈桿AB的長．(1)如圖1所示，將一個測角儀放置在距離燈桿AB底部a米的點(diǎn)D處，測角儀高為b米，從C點(diǎn)測得A點(diǎn)的仰角為α，求燈桿AB的高度．（用含a，b，ａ的代數(shù)式表示）(2)我國古代數(shù)學(xué)家趙爽利用影子對物體進(jìn)行測量的方法，在至今仍有借鑒意義圖2所示，現(xiàn)將一高度為2米的木桿CG放在燈桿AB前，測得其影長CH為1米，再將木桿沿著BC方向移動1.8米至DE的位置，此時測得其影長DF為3米，求燈桿AB的高度類型三測量底部不可到達(dá)的物體的高度【例3】（2023·湖北武漢·統(tǒng)考一模）如圖，有甲乙兩座建筑物，從甲建筑物A點(diǎn)處測得乙建筑物D點(diǎn)的俯角α為45°，C點(diǎn)的俯角β為58°，BC為兩座建筑物的水平距離．已知乙建筑物的高度CD為6m，則甲建筑物的高度AB為m．（sin58°≈0.85，cos58°≈0.53，

【變式3-1】（2023·山東東營·校聯(lián)考一模）某數(shù)學(xué)興趣小組準(zhǔn)備測量校園內(nèi)旗桿頂端到地面的高度（旗桿底端有臺階）．該小組在C處安置測角儀CD，測得旗桿頂端A的仰角為30°，前進(jìn)8m到達(dá)E處，安置測角儀EF，測得旗桿頂端A的仰角為45°（點(diǎn)B，E，C在同一直線上），測角儀支架高CD＝EF＝1.2m，求旗桿頂端A到地面的距離即AB的長度．（結(jié)果精確到1m．參考數(shù)據(jù)：3≈1.7）【變式3-2】（2023·天津·模擬預(yù)測）如圖，某座山AB的項部有一座通訊塔BC，且點(diǎn)A，B，C在同一條直線上，從地面P處測得塔頂C的仰角為42°，測得塔底B的仰角為35°．已知通訊塔BC的高度為32m，求這座山AB的高度（結(jié)果取整數(shù)）．參考數(shù)據(jù)：tan【變式3-3】（2022·浙江紹興·?？家荒＃┰絹碓蕉嗵柲苈窡舻氖褂茫赛c(diǎn)亮了城市的風(fēng)景，也是我市積極落實節(jié)能環(huán)保的舉措．某校學(xué)生開展綜合實踐活動，測量太陽能路燈電池板離地面的高度．如圖，已知測傾器的高度為1.6米，在測點(diǎn)A處安置測傾器，測得點(diǎn)M的仰角∠MBC=33°，在與點(diǎn)A相距3.5米的測點(diǎn)D處安置測傾器，測得點(diǎn)M的仰角∠MEC=45°（點(diǎn)A，D與N在一條直線上），求電池板離地面的高度MN的長．（結(jié)果精確到1米；參考數(shù)據(jù)：sin33°≈0.54,【變式3-4】（2023·四川宜賓·?？家荒＃┠硵?shù)學(xué)興趣小組自制測角儀到公園進(jìn)行實地測量，活動過程如下：(1)探究原理：制作測角儀時，將細(xì)線一段固定在量角器圓心O處，另一端系小重物G．測量時，使支桿OM、量角器90°刻度線ON與鉛垂線OG相互重合（如圖①），繞點(diǎn)O轉(zhuǎn)動量角器，使觀測目標(biāo)P與直徑兩端點(diǎn)A,B共線（如圖②），此目標(biāo)P的仰角∠POC=∠GON．請說明兩個角相等的理由．(2)實地測量：如圖③，公園廣場上有一棵樹，為了測量樹高，同學(xué)們在觀測點(diǎn)K處測得頂端P的仰角∠POQ=60°，觀測點(diǎn)與樹的距離KH為5米，點(diǎn)O到地面的距離OK為1.5米；求樹高PH．（(3)拓展探究：公園高臺上有一涼亭，為測量涼亭頂端P距離地面高度PH（如圖④），同學(xué)們討論，決定先在水平地面上選取觀測點(diǎn)E,F（E,F,H在同一直線上），分別測得點(diǎn)P的仰角α,β，再測得E,F間的距離m，點(diǎn)O1,O2到地面的距離O1【變式3-5】（2022·湖南湘潭·?？寄M預(yù)測）開鑿于北魏孝文帝年間的龍門石窟是中國石刻藝術(shù)瑰寶，盧舍那佛像是石窟中最大的佛像．某數(shù)學(xué)活動小組到龍門石窟景區(qū)測量這尊佛像的高度．如圖，他們選取的測量點(diǎn)A與佛像BD的底部D在同一水平線上．已知佛像頭部BC為4m，在A處測得佛像頭頂部B的仰角為45°，頭底部C的仰角為37.5°，求佛像BD的高度（結(jié)果精確到0.1m．參考數(shù)據(jù)：sin37.5°≈0.61，cos題型02方位角問題【例4】（2023·山東泰安·統(tǒng)考一模）一艘輪船位于燈塔P的南偏東60°方向，距離燈塔30海里的A處，它沿北偏東30°方向航行一段時間后，到達(dá)位于燈塔P的北偏東67°方向上的B處，此時與燈塔P的距離約為海里．（參考數(shù)據(jù)：sin37°≈35，cos【變式4-1】（2023·河南洛陽·統(tǒng)考一模）如圖，三角形花園ABC緊鄰湖泊，四邊形ABDE是沿湖泊修建的人行步道．經(jīng)測量，點(diǎn)C在點(diǎn)A的正東方向，AC=200米．點(diǎn)E在點(diǎn)A的正北方向．點(diǎn)B，D在點(diǎn)C的正北方向，BD=100米．點(diǎn)B在點(diǎn)A的北偏東30°，點(diǎn)D在點(diǎn)E的北偏東45°．(1)求步道DE的長度（精確到個位）；(2)點(diǎn)D處有直飲水，小紅從A出發(fā)沿人行步道去取水，可以經(jīng)過點(diǎn)B到達(dá)點(diǎn)D，也可以經(jīng)過點(diǎn)E到達(dá)點(diǎn)D．請計算說明他走哪一條路較近？（參考數(shù)據(jù)：2≈1.414，3【變式4-2】（2023·湖南岳陽·校聯(lián)考一模）如圖，為了測量河對岸A，B兩點(diǎn)間的距離，數(shù)學(xué)興趣小組在河岸南側(cè)選定觀測點(diǎn)C，測得A，B均在C的北偏東37°方向上，沿正東方向行走90米至觀測點(diǎn)D，測得A在D的正北方向，B在D的北偏西53°方向上．求A，B兩點(diǎn)間的距離．參考數(shù)據(jù)：sin37°≈0.60，cos37°≈0.80，tan37°≈0.75【變式4-3】（2022·重慶·重慶一中校考一模）3月份，長江重慶段開始進(jìn)入枯水期，有些航道狹窄的水域通航壓力開始慢慢增加．為及時掌握轄區(qū)通航環(huán)境實時情況，嚴(yán)防船舶擱淺、觸礁等險情事故發(fā)生，沿江海事執(zhí)法人員持續(xù)開展巡航檢查，確保近七百公里的長江干線通航安全．如圖，巡航船在一段自西向東的航道上的A處發(fā)現(xiàn)，航標(biāo)B在A處的北偏東45°方向200米處，以航標(biāo)B為圓心，150米長為半徑的圓形區(qū)域內(nèi)有淺灘，會使過往船舶有危險．(1)由于水位下降，巡航船還發(fā)現(xiàn)在A處北偏西15°方向300米的C處，露出一片礁石，求B、C兩地的距離；（精確到1米）(2)為保證航道暢通，航道維護(hù)項目部會組織挖泥船對該條航道被淺灘影響的航段進(jìn)行保航施工．請判斷該條航道是否被這片淺灘區(qū)域影響？如果有被影響，請求出被影響的航道長度為多少米？如果沒有被影響，請說明理由．（參考數(shù)據(jù)：2≈1.414，7【變式4-4】（2023·重慶江北·校考一模）如圖所示，在一次海上救援演習(xí)中，游艇A按計劃停泊在搜救艇B的南偏東30°方向上，同時，在搜救艇B的正南方向，與搜救艇B相距40海里處還設(shè)置了另一支搜救艇C，此時游艇A在搜救艇C的東北方向上，隨著演習(xí)正式開始，游艇A按計劃向搜救艇B與C同時發(fā)出求救信號，并在原地等待救援．（參考數(shù)據(jù)：2≈1.41，3≈1.73，(1)在演習(xí)正式開始前，搜救艇B與游艇A相距多少海里？（結(jié)果保留根號）(2)若搜救艇B與C同時收到游艇A的求救信號，它們同時出發(fā)實施救援行動，搜救艇B沿BA行駛，搜救艇C西東沿CA行駛，其中搜救艇B的速度為每小時25海里，搜救艇C的速度為每小時16海里，請通過計算判斷哪支搜救艇先到達(dá)游艇A的所在地？【變式4-5】（2023·重慶沙坪壩·重慶一中校考一模）如圖，一條自西向東的道路上有兩個公交站點(diǎn)，分別是B和C，在B的北偏東60°方向上有另一公交站點(diǎn)A．經(jīng)測量，A在C的北偏西30°方向上，一輛公交車從B出發(fā)，沿BC行駛15003?1500米到達(dá)D處，此時D在A的西南方向．（參考數(shù)據(jù)：2≈1.414(1)求CD的距離；（結(jié)果保留根號）(2)該公交車原計劃由D→C行駛，其平均速度為400米/分，但當(dāng)行駛到D點(diǎn)時，接到通知，DC段道路正在維修，需要沿D→A→C繞道行駛，為了盡快到達(dá)C站點(diǎn)，繞道時其平均速度提升到500米/分．那么原計劃所用時間和實際所用時間相比，哪個更少？請說明理由．（結(jié)果保留1位小數(shù)）題型03坡度坡比問題【例5】（2022·江蘇南通·?？家荒＃┤鐖D，我市在建高鐵的某段路基橫斷面為梯形ABCD，DC∥AB,BC長為6米，坡角β為45°，AD的坡角α為30°，則AD的長為

米（結(jié)果保留根號）【變式5-1】（2023·江蘇常州·常州市第二十四中學(xué)?？寄M預(yù)測）攔水壩的橫斷面如圖所示，迎水坡AB的坡比是1:3，壩高BC=8m，則坡面AB的長度是【變式5-2】（2023·上海靜安·統(tǒng)考一模）一水庫的大壩橫斷面是梯形，壩頂、壩底分別記作BC、AD，且迎水坡AB的坡度為1∶2.5，背水坡CD的坡度為1∶3，則迎水坡AB的坡角【變式5-3】（2020·河南周口·統(tǒng)考一模）自開展“全民健身運(yùn)動”以來，喜歡戶外步行健身的人越來越多，為方便群眾步行健身，某地政府決定對一段如圖1所示的坡路進(jìn)行改造．如圖2所示，改造前的斜坡AB=200米，坡度為1:3；將斜坡AB的高度AE降低AC=20米后，斜坡AB改造為斜坡CD，其坡度為1:4．求斜坡CD題型04坡度坡比與仰角俯角問題綜合【例6】（2022·山東濟(jì)南·?？家荒＃┤鐖D，在建筑物AB左側(cè)距樓底B點(diǎn)水平距離150米的C處有一山坡，斜坡CD的坡度（或坡比）為i=1:2.4，坡頂D到BC的垂直距離DE=50米（點(diǎn)A，B，C，D，E在同一平面內(nèi)），在點(diǎn)D處測得建筑物頂A點(diǎn)的仰角為50°，則建筑物AB的高度約為（參考數(shù)據(jù)：sin50°≈0.77；cos50°≈0.64；A．69.2米 B．73.1米 C．80.0米 D．85.7米【變式6-1】（2023·內(nèi)蒙古包頭·模擬預(yù)測）如圖，小文在數(shù)學(xué)綜合實踐活動中，利用所學(xué)的數(shù)學(xué)知識測量居民樓的高度AB，在居民樓前方有一斜坡，坡長CD=15m，斜坡的傾斜角為α，cosα=45．小文在C點(diǎn)處測得樓頂端A的仰角為60°，在D點(diǎn)處測得樓頂端A的仰角為30°（點(diǎn)A，B，(1)求C，D兩點(diǎn)的高度差；(2)求居民樓的高度AB．（結(jié)果精確到1m，參考數(shù)據(jù)：3【變式6-2】（2023·重慶渝中·重慶巴蜀中學(xué)校考一模）如圖，在小晴家所住的高樓AD的正西方有一座小山坡，坡面BC與水平面的夾角為30°，在B點(diǎn)處測得樓頂D的仰角為45°，在山頂C處測得樓頂D的仰角為15°，B和C的水平距離為300米．（A，B，C，D在同一平面內(nèi)，參考數(shù)據(jù)：2≈1.41，3

(1)求坡面BC的長度？（結(jié)果保留根號）(2)一天傍晚，小晴從A出發(fā)去山頂C散步，已知小晴從A到B的速度為每分鐘50米，從B沿著BC上山的速度為每分鐘25米，若她6:00出發(fā)，請通過計算說明她在6:20前能否到達(dá)山頂C處？（結(jié)果精確到0.1）第32講銳角三角函數(shù)及其應(yīng)用目錄TOC\o"1-3"\n\h\z\u一、考情分析二、知識建構(gòu)考點(diǎn)一銳角三角函數(shù)題型01理解正弦、余弦、正切的概念題型02求角的正弦值題型03求角的余弦值題型04求角的正切值題型05已知正弦值求邊長題型06已知余弦值求邊長題型07已知正切值求邊長題型08含特殊角的三角函數(shù)值的混合運(yùn)算題型09求特殊角的三角函數(shù)值題型10由特殊角的三角函數(shù)值判斷三角形形狀題型11用計算器求銳角三角函數(shù)值題型12已知角度比較三角函數(shù)值大小題型13根據(jù)三角函數(shù)值判斷銳角的取值范圍題型14利用同角三角函數(shù)關(guān)系求解題型15求證同角三角函數(shù)關(guān)系式題型16互余兩角三角函數(shù)關(guān)系考點(diǎn)二解直角三角形題型01構(gòu)造直角三角形解直角三角形題型02網(wǎng)格中解直角三角形題型03在坐標(biāo)系中解直角三角形題型04解直角三角形的相關(guān)計算題型05構(gòu)造直角三角形求不規(guī)則圖形的邊長或面積考點(diǎn)三解直角三角形的應(yīng)用題型01仰角、俯角問題類型一利用水平距離測量物體高度類型二測量底部可以到達(dá)的物體高度類型三測量底部不可到達(dá)的物體的高度題型02方位角問題題型03坡度坡比問題題型04坡度坡比與仰角俯角問題綜合考點(diǎn)要求新課標(biāo)要求命題預(yù)測銳角三角函數(shù)利用相似的直角三角形，探索并認(rèn)識銳角三角函數(shù)(sinA，cosA，tanA).知道30°，45°，60°角的三角函數(shù)值.會使用計算器由已知銳角求它的三角函數(shù)值，由已知三角函數(shù)值求它的對應(yīng)銳角.銳角三角函數(shù)及其應(yīng)用是數(shù)學(xué)中考中比較重要的考點(diǎn),其考察內(nèi)容主要包括①考查正弦、余弦、正切的定義，②特殊角的三角函數(shù)值，③解直角三角形與其應(yīng)用等.出題時除了會單獨(dú)出題以外，還常和四邊形、圓、網(wǎng)格圖形等結(jié)合考察，是近幾年中考填空壓軸題?？碱}型.預(yù)計2024年各地中考還將以選題和綜合題的形式出現(xiàn)，在牢固掌握定義的同時，一定要理解基本的方法，利用輔助線構(gòu)造直角三角形，是得分的關(guān)鍵.解直角三角形能用銳角三角函數(shù)解直角三角形，能用相關(guān)知識解決一些簡單的實際問題.解直角三角形的應(yīng)用考點(diǎn)一銳角三角函數(shù)1.銳角三角函數(shù)的概念：銳角A的正弦、余弦、正切都叫做∠A的銳角三角函數(shù)．（其中：0＜∠A＜90°）2.正弦、余弦、正切的概念定義表達(dá)式圖形正弦sinsin余弦coscos正切tantan3.銳角三角函數(shù)的關(guān)系：在Rt△ABC中，若∠C為直角，則∠A與∠B互余時，有以下兩種關(guān)系：1）同角三角函數(shù)的關(guān)系：tanA=sin2)互余兩角的三角函數(shù)關(guān)系：sinA=cosB,sinB=cosA,tan4.特殊角的三角函數(shù)值三角函數(shù)30°45°60°2332313【補(bǔ)充】表中是特殊角的三角函數(shù)值.反過來，若已知一個特殊角的三角函數(shù)值，則可求出相應(yīng)的銳角.5.銳角三角函數(shù)的性質(zhì)性質(zhì)前提：0°＜∠A＜90°sinA隨∠A的增大而增大cosA隨∠A的增大而減小tanA隨∠A的增大而增大11.若銳角是用一個大寫英文字母或一個小寫希臘字母表示的，則表示它的正弦、余弦及正切時習(xí)慣省略角的符號“∠”,如tanA、sina、cosA.若銳角是用三個大寫英文字母或一個數(shù)字表示的,則表示它的正弦、余弦及正切時,不能省略角的符號“∠”,如sin∠ABC，cos∠2，tan∠1.2.tanA乘方時,一般寫成tannA,它與3.銳角三角函數(shù)是針對直角三角形中的銳角而言的.而且由銳角三角函數(shù)的定義可知,其本質(zhì)特征是兩條線段長的比.因此,銳角三角函數(shù)只有數(shù)值,沒有單位，它的大小只與角的大小有關(guān)，而與它所在的三角形的邊長無關(guān).4.根據(jù)定義求三角函數(shù)值時，一定根據(jù)題目圖形來理解，嚴(yán)格按照三角函數(shù)的定義求解，有時需要通過輔助線來構(gòu)造直角三角形.題型01理解正弦、余弦、正切的概念【例1】（2022·湖北·統(tǒng)考模擬預(yù)測）如圖，在Rt△ABC中，BD是斜邊AC上的高，AB≠BC，則下列比值中等于sinA的是（A．ADAB B．BDAD C．BDBC【答案】D【分析】由同角的余角相等求得∠A=∠DBC，根據(jù)正弦三角函數(shù)的定義判斷即可；【詳解】解：∵∠ABD+∠A=90°，∠ABD+∠DBC=90°，∴∠A=∠DBC，A．ADAB=cosAB．BDAD=tanAC．BDBC=cos∠DBC=cosAD．DCBC=sin∠DBC=sinA故選：D．【點(diǎn)睛】本題考查了三角函數(shù)的概念，掌握直角三角形中銳角的正弦為對邊比斜邊是解題關(guān)鍵．【變式1-1】（2021·浙江杭州·統(tǒng)考一模）在△ABC中，∠C＝90°，BCABA．cosA＝35 B．sinB＝35 C．tanA＝43 D．【答案】D【分析】設(shè)AB=5a，BC=3a，則AC=4a，然后根據(jù)三角函數(shù)的定義逐項排查即可．【詳解】解：設(shè)AB=5a，BC=3a，則AC=4a，則cosA＝ACAB＝4a5a=sinB＝BCAB＝4a5a=tanA＝BCAC=3atanB＝ACBC=4k3k＝故選：D．【點(diǎn)睛】本題主要考查了三角函數(shù)的定義和勾股定理，掌握并靈活運(yùn)用三角函數(shù)的定義成為解答本題的關(guān)鍵．【變式1-2】（2023·福建泉州·統(tǒng)考一模）在Rt△ABC中，∠C=90°，sinA=35，則A．35 B．34 C．45【答案】C【分析】根據(jù)三角函數(shù)的定義得到BCAB=35，設(shè)BC=3k，AB=5k，利用勾股定理得到【詳解】解：如圖，Rt△ABC中，∠C=90°，sin∴BC設(shè)BC=3k，AB=5k，由勾股定理得：AC=A∴cos故選：C．【點(diǎn)睛】本題考查了銳角三角函數(shù)，勾股定理，熟練掌握銳角三角函數(shù)的定義是解題關(guān)鍵．【變式1-3】（2022·河北唐山·統(tǒng)考二模）如圖，梯子（長度不變）跟地面所成的銳角為∠α，敘述正確的是（）

A．sinαB．cosαC．tanαD．陡緩程度與∠α的函數(shù)值無關(guān)【答案】A【分析】根據(jù)銳角三角函數(shù)值的變化規(guī)律，正弦值和正切值隨著角的增大而增大，余弦值隨著角增大而減小，逐一判斷即可．【詳解】解：根據(jù)銳角三角函數(shù)的變化規(guī)律，知sinαcosαtanα陡緩程度與∠α的函數(shù)值有關(guān)，故D不符合題意；故選：A．【點(diǎn)睛】本題考查解直角三角形的應(yīng)用，熟練掌握銳角三角函數(shù)值的變化規(guī)律是解題的關(guān)鍵．【變式1-4】（2021·浙江杭州·統(tǒng)考三模）在△ABC中，∠C＝90°，∠A、∠B、∠C的對邊分別是a、b、c，下列結(jié)論正確的是（）A．b＝a?sinA B．b＝a?tanA C．c＝a?sinA D．a(chǎn)＝c?cosB【答案】D【分析】根據(jù)三角函數(shù)定義：（1）正弦：我們把銳角A的對邊a與斜邊c的比叫做∠A的正弦，記作sinA．（2）余弦：銳角A的鄰邊b與斜邊c的比叫做∠A的余弦，記作cosA．（3）正切：銳角A的對邊a與鄰邊b的比叫做∠A的正切，記作tanA．分別進(jìn)行分析即可．【詳解】解：在直角△ABC中，∠C＝90°，則sinA＝ac，則a=c·tanA＝ab，則b＝acosB＝ac，則a＝ccosB故選：D．【點(diǎn)睛】本題主要考查了銳角三角函數(shù)的定義，關(guān)鍵是熟練掌握銳角三角函數(shù)的定義．【變式1-5】（2019·湖南邵陽·校聯(lián)考一模）在Rt△ABC中，∠C＝90°，各邊都擴(kuò)大5倍，則tanA的值（

）A．不變 B．?dāng)U大5倍 C．縮小5倍 D．不能確定【答案】A【分析】利用∠A的大小沒有變進(jìn)行判斷．【詳解】解：∵∠C＝90°，各邊都擴(kuò)大5倍所得的三角形與原三角形相似，∴∠A的大小沒有變，∴tanA的值不變．故選：A．【點(diǎn)睛】本題考查了銳角三角函數(shù)的定義：在Rt△ABC中，∠C＝90°．把銳角A的對邊a與斜邊c的比叫做∠A的正弦，記作sinA．【變式1-6】（2021·遼寧撫順·統(tǒng)考一模）如圖，在△ABC中，∠C＝90°，設(shè)∠A，∠B，∠C所對的邊分別為a，b，c，則（）A．c＝bsinB B．b＝csinB C．a(chǎn)＝btanB D．b＝ctanB【答案】B【分析】根據(jù)三角函數(shù)的定義進(jìn)行判斷，即可解決問題．【詳解】∵Rt△ABC中，∠C=90°，∠A、∠B、∠C所對的邊分別為a、b、c∴sinB=bctanB=ba故選：B．【點(diǎn)睛】本題考查了三角函數(shù)的定義，熟記定義是解題關(guān)鍵．題型02求角的正弦值【例2】（2022·江西·模擬預(yù)測）如圖，PA、PB分別與⊙O相切于點(diǎn)A、B，連接PO并延長與⊙O交于點(diǎn)C、D，若CD=12，PA=8，則sin∠ADB的值為（

A．45 B．35 C．34【答案】A【分析】連接OA，根據(jù)切線長的性質(zhì)得出PA=PB，OP平分∠APB，OA⊥AP，再證△APD≌△BPD（SAS），然后證明∠AOP=∠ADP+∠OAD=∠ADP+∠BDP=∠ADB，利用勾股定理求出OP=OA【詳解】解：連接OA∵PA、PB分別與⊙O相切于點(diǎn)A、B，∴PA=PB，OP平分∠APB，OA⊥AP，∴∠APD=∠BPD，在△APD和△BPD中，AP=BP∠APD=∠BPD∴△APD≌△BPD（SAS）∴∠ADP=∠BDP，∵OA=OD=6，∴∠OAD=∠ADP=∠BDP，∴∠AOP=∠ADP+∠OAD=∠ADP+∠BDP=∠ADB，在Rt△AOP中，OP=OA∴sin∠ADB=APOP故選A．【點(diǎn)睛】本題考查圓的切線性質(zhì)，三角形全等判斷與性質(zhì)，勾股定理，銳角三角函數(shù)，掌握圓的切線性質(zhì)，三角形全等判斷與性質(zhì)，勾股定理，銳角三角函數(shù)是解題關(guān)鍵．【變式2-1】（2020·江蘇揚(yáng)州·統(tǒng)考模擬預(yù)測）如圖，由邊長為1的小正方形構(gòu)成的網(wǎng)格中，點(diǎn)A，B，C都在格點(diǎn)上，以AB為直徑的圓經(jīng)過點(diǎn)C、D，則sin∠ADC的值為（

A．21313 B．31313 C．【答案】A【分析】首先根據(jù)圓周角定理可知，∠ABC＝∠ADC，在Rt△ACB中，根據(jù)銳角三角函數(shù)的定義求出∠ABC的正弦值．【詳解】∵∠ADC和∠ABC所對的弧長都是AC，∴根據(jù)圓周角定理知，∠ABC＝∠ADC，∴在Rt△ACB中，AB=A根據(jù)銳角三角函數(shù)的定義知，sin∠ABC＝ACAB∴sin∠ADC=2故選A．【點(diǎn)睛】本題主要考查銳角三角函數(shù)的定義和圓周角的知識點(diǎn)，解答本題的關(guān)鍵是利用圓周角定理把求∠ADC的正弦值轉(zhuǎn)化成求∠ABC的正弦值，本題是一道比較不錯的習(xí)題．【變式2-2】（2020·山東聊城·統(tǒng)考模擬預(yù)測）如圖，在4×5的正方形網(wǎng)格中，每個小正方形的邊長都是1，△ABC的頂點(diǎn)都在這些小正方形的頂點(diǎn)上，那么sin∠ACB的值為（

A．355 B．175 C．3【答案】D【分析】過點(diǎn)A作AD⊥BC于點(diǎn)D，在Rt△ACD中，利用勾股定理求得線段AC【詳解】解：如圖，過點(diǎn)A作AD⊥BC于點(diǎn)D，則∠ADC=90°，∴AC=A∴sin∠ACB=故選：D．【點(diǎn)睛】本題考查了勾股定理的運(yùn)用以及銳角三角函數(shù)，正確作出輔助線是解題的關(guān)鍵．題型03求角的余弦值【例3】（2023·湖北省直轄縣級單位·統(tǒng)考模擬預(yù)測）如圖，在4×4網(wǎng)格正方形中，每個小正方形的邊長為1，頂點(diǎn)為格點(diǎn)，若△ABC的頂點(diǎn)均是格點(diǎn)，則cos∠BAC的值是（

A．55 B．105 C．25【答案】C【分析】過點(diǎn)C作AB的垂線，構(gòu)造直角三角形，利用勾股定理求解即可．【詳解】解：過點(diǎn)C作AB的垂線交AB于一點(diǎn)D，如圖所示，∵每個小正方形的邊長為1，∴AC=5設(shè)AD=x，則BD=5?x，在Rt△ACD中，DC在Rt△BCD中，DC∴10?(5?x)解得x=2，∴cos∠BAC=故選：C．【點(diǎn)睛】本題考查了解直角三角形，勾股定理等知識，解題的關(guān)鍵是能構(gòu)造出直角三角形．【變式3-1】（2022·吉林長春·校考模擬預(yù)測）如圖，⊙O是△ABC的外接圓，CD是⊙O的直徑．若CD=10，弦AC=6，則cos∠ABC的值為（

A．45 B．35 C．43【答案】A【分析】連接AD，根據(jù)直徑所對的圓周角等于90°和勾股定理，可以求得AD的長，然后即可求得∠ADC的余弦值，再根據(jù)同弧所對的圓周角相等，可以得到∠ABC=∠ADC，從而可以得到cos∠ABC的值．【詳解】解：連接AD，如右圖所示，∵CD是⊙O的直徑，CD=10，弦AC=6，∴∠DAC=90°，∴AD=CD∴cos∠ADC=ADCD=8∵∠ABC=∠ADC，∴cos∠ABC的值為45故選：A．【點(diǎn)睛】本題考查三角形的外接圓與外心、圓周角、銳角三角函數(shù)、勾股定理，解答本題的關(guān)鍵是求出cos∠ADC的值，利用數(shù)形結(jié)合的思想解答．【變式3-2】（2023·內(nèi)蒙古烏蘭察布·校考模擬預(yù)測）如圖，△ABC的三個頂點(diǎn)分別在邊長為1的正方形網(wǎng)格上，則cos∠BAC的值為【答案】2【分析】根據(jù)AC2=12+32=10，BC2【詳解】如圖，∵AC2=12∴AC∴△ABC是直角三角形，∠∴cos∠故答案為：2【點(diǎn)睛】本題主要考查了勾股定理，勾股定理的逆定理，三角函數(shù)等．解決問題的關(guān)鍵是熟練掌握勾股定理解直角三角形，勾股定理的逆定理判斷直角三角形，銳角三角函數(shù)定義．【變式3-3】（2022·廣東中山·統(tǒng)考一模）如圖，AB為⊙O的直徑，點(diǎn)C在直徑AB上（點(diǎn)C與A，B兩點(diǎn)不重合），OC＝3，點(diǎn)D在⊙O上且滿足AC＝AD，連接DC并延長到E點(diǎn)，使BE＝BD．(1)求證：BE是⊙O的切線；(2)若BE＝6，試求cos∠CDA的值．【答案】(1)證明見解析(2)10【分析】（1）根據(jù)直徑所對的圓周角是直角可得∠ADB＝90°，從而可得∠BDE+∠ADC＝90°，根據(jù)等腰三角形的性質(zhì)以及對頂角相等可得∠ECB＝∠ADC，然后根據(jù)等腰三角形的性質(zhì)可得∠E＝∠BDE，從而可得∠E+∠BCE＝90°，最后利用三角形內(nèi)角和定理可得∠EBC＝90°，即可解答；（2）設(shè)⊙O的半徑為r，則AC＝AD＝3+r，在Rt△ABD中，利用勾股定理可求出r＝5，從而求出BC＝2，然后在Rt△EBC中，根據(jù)勾股定理可求出EC的長，從而利用銳角三角函數(shù)的定義進(jìn)行計算即可解答．【詳解】（1）證明：∵AB為⊙O的直徑，∴∠ADB＝90°，∴∠BDE+∠ADC＝90°，∵AC＝AD，∴∠ACD＝∠ADC，∵∠ACD＝∠ECB，∴∠ECB＝∠ADC，∵EB＝DB，∴∠E＝∠BDE，∴∠E+∠BCE＝90°，∴∠EBC＝180°﹣（∠E+∠ECB）＝90°，∵OB是⊙O的半徑，∴BE是⊙O的切線；（2）解：設(shè)⊙O的半徑為r，∵OC＝3，∴AC＝AD＝AO+OC＝3+r，∵BE＝6，∴BD＝BE＝6，在Rt△ABD中，BD2+AD2＝AB2，∴36+（r+3）2＝（2r）2，∴r1＝5，r2＝﹣3（舍去），∴BC＝OB﹣OC＝5﹣3＝2，在Rt△EBC中，EC＝EB2+BC2＝∴cos∠ECB＝BCEC＝2210∴cos∠CDA＝cos∠ECB＝1010∴cos∠CDA的值為1010【點(diǎn)睛】本題考查了切線的判定與性質(zhì)，解直角三角形，熟練掌握切線的判定與性質(zhì)，以及銳角三角函數(shù)的定義是解題的關(guān)鍵．題型04求角的正切值【例4】（2023·江蘇揚(yáng)州·統(tǒng)考二模）北京冬奧會開幕式的巨型雪花狀主火炬塔的設(shè)計，體現(xiàn)了環(huán)保低碳理念．如圖所示，它的主體形狀呈正六邊形．若點(diǎn)A，F(xiàn)，B，D，C，E是正六邊形的六個頂點(diǎn)，則tan∠ABE＝．【答案】3【分析】由正六邊形的性質(zhì)得AB＝BC＝AC，BE垂直平分AC，再由等邊三角形的性質(zhì)得∠ABC＝60°，則∠ABE＝12∠ABC【詳解】連接BC、AC，∵點(diǎn)A，F(xiàn)，B，D，C，E是正六邊形的六個頂點(diǎn)，∴AB＝BC＝AC，BE垂直平分AC，∴△ABC是等邊三角形，∴∠ABC＝60°，∵BE⊥AC，∴∠ABE＝12∠ABC∴tan∠ABE＝tan30°＝33故答案為：33【點(diǎn)睛】本題考查了正六邊形的性質(zhì)、等邊三角形的判定與性質(zhì)以及特殊角的銳角三角函數(shù)，熟練掌握正六邊形的性質(zhì)、等邊三角形的判定與性質(zhì)是本題的關(guān)鍵．【變式4-1】（2023·江蘇蘇州·?？级＃┤鐖D，AB為⊙O的直徑，點(diǎn)C是⊙O上一點(diǎn)，點(diǎn)D是⊙O外一點(diǎn)，∠BCD=∠BAC，連接OD交BC于點(diǎn)E．(1)求證：CD是⊙O的切線．(2)若CE=OA,sin∠BAC=4【答案】(1)見解析；(2)3【分析】（1）連接OC，根據(jù)圓周角定理得到∠ACB=90°，根據(jù)OA=OC推出∠BCD=∠ACO，即可得到∠BCD+∠OCB=90°，由此得到結(jié)論；（2）過點(diǎn)O作OF⊥BC于F，設(shè)BC=4x，則AB=5x，OA=CE=2.5x，BE=1.5x，勾股定理求出AC，根據(jù)OF∥AC，得到BFCF=OBOA=1，證得OF為△ABC的中位線，求出OF【詳解】（1）證明：連接OC，∵AB為⊙O的直徑，∴∠ACB=90°，∴∠ACO+∠OCB=90°，∵OA=OC，∴∠A=∠ACO,∵∠BCD=∠BAC，∴∠BCD=∠ACO，∴∠BCD+∠OCB=90°，∴OC⊥CD，∴CD是⊙O的切線．（2）解：過點(diǎn)O作OF⊥BC于F，∵CE=OA,sin∴設(shè)BC=4x，則AB=5x，OA=CE=2.5x，∴BE=BC-CE=1.5x，∵∠C=90°，∴AC=AB∵OA=OB，OF∥AC，∴BFCF∴CF=BF=2x，EF=CE-CF=0.5x，∴OF為△ABC的中位線，∴OF=12∴tan∠CEO=OF【點(diǎn)睛】此題考查了圓周角定理，證明直線是圓的切線，銳角三角函數(shù)，三角形中位線的判定與性質(zhì)，平行線分線段成比例，正確引出輔助線是解題的關(guān)鍵．【變式4-2】（2022·浙江紹興·一模）如圖，正方形ABCD和正方形CEFG中，點(diǎn)D在CG上，BC=1，CE=3，連接AF交CG于點(diǎn)K，H是AF的中點(diǎn)，連接CH．(1)求tan∠GFK的值；(2)求CH的長．【答案】(1)1(2)CH【分析】（1）由正方形的性質(zhì)得出AD=CD=BC=1，CG=FG=CE=3，AD∥BC,GF∥BE，∠（2）由正方形的性質(zhì)求出AB=BC=1，CE=EF=3，∠E=90°，延長AD交EF于M，連接AC、CF，求出AM=4，F(xiàn)M=2，∠AMF=90°，根據(jù)正方形性質(zhì)求出∠ACF=90°，根據(jù)直角三角形斜邊上的中線性質(zhì)求出CH=12【詳解】（1）解：∵四邊形ABCD和四邊形CEFG是正方形，∴AD=CD=BC=1，CG=FG=CE=3，AD∥BC,∴DG=CG-CD=2，AD∥∴△ADK∴DK：GK=AD：GF=1：3，∴GK=∴tan∠GFK（2）解：∵正方形ABCD和正方形CEFG中，點(diǎn)D在CG上，BC=1，CE=3，∴AB=BC=1，CE=EF=3，∠E=90°，延長AD交EF于M，連接AC、CF，如圖所示：則AM=BC+CE=1+3=4，F(xiàn)M=EF?AB=3?1=2，∠AMF=90°，∵四邊形ABCD和四邊形GCEF是正方形，∴∠ACD=∠GCF=45°，∴∠ACF=90°，∵H為AF的中點(diǎn)，∴CH=在Rt△AMF中，由勾股定理得：AF=∴CH=【點(diǎn)睛】本題考查了相似三角形的判定與性質(zhì)、三角函數(shù)、勾股定理，正方形的性質(zhì)，直角三角形斜邊上的中線性質(zhì)；本題有一定難度，特別是（2）中，需要通過作出輔助線運(yùn)用直角三角形斜邊上的中線性質(zhì)才能得出結(jié)果．題型05已知正弦值求邊長【例5】（2022·云南昆明·官渡六中?？家荒＃┰凇鰽BC中，∠ABC=90°，若AC=100,sinA=35，則A．5003 B．5035 C．60【答案】D【分析】根據(jù)三角函數(shù)的定義得到BC和AC的比值，求出BC，然后利用勾股定理即可求解．【詳解】解：∵∠ABC=90°，sin∠A=BCAC=35，∴BC=100×3÷5=60，∴AB=AC故選D．【點(diǎn)睛】本題主要考查的是解直角三角形，掌握勾股定理和正弦函數(shù)的定義是解題的關(guān)鍵．【變式5-1】（2023·廣東佛山·校聯(lián)考模擬預(yù)測）如圖，一輛自行車豎直擺放在水平地面上，右邊是它的部分示意圖，現(xiàn)測得∠A=88°，∠C=42°，AB=60，則點(diǎn)A到BC的距離為（

）A．60sin50° B．60sin50° C．【答案】A【分析】先求出∠B=180°?88°?42°=50°，再用三角函數(shù)定義，求出AD=AB×sin【詳解】解：過點(diǎn)A作AD⊥BC于點(diǎn)D，如圖所示：∵∠A=88°，∠C=42°，∴∠B=180°?88°?42°=50°，在Rt△ABD中，AD=AB×∴點(diǎn)A到BC的距離為60sin故選：A．【點(diǎn)睛】本題主要考查了三角形內(nèi)角和定理的應(yīng)用，三角函數(shù)的應(yīng)用，點(diǎn)到直線的距離，解題的關(guān)鍵是熟練掌握三角函數(shù)的定義．【變式5-2】（2020·河北·模擬預(yù)測）如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，菱形OABC的邊OA在x軸上，點(diǎn)A(10,0)，sin∠COA=45．若反比例函數(shù)y=kx(k>0,x>0)經(jīng)過點(diǎn)A．10 B．24 C．48 D．50【答案】C【分析】由菱形的性質(zhì)和銳角三角函數(shù)可求點(diǎn)C(6,8)，將點(diǎn)C坐標(biāo)代入解析式可求k的值．【詳解】解：如圖，過點(diǎn)C作CE⊥OA于點(diǎn)E，∵菱形OABC的邊OA在x軸上，點(diǎn)A(10,0)，∴OC=OA=10，∵sin∠COA=∴CE=8，∴OE=∴點(diǎn)C坐標(biāo)(6,8)∵若反比例函數(shù)y=kx(k>0,x>0)∴k=6×8=48故選C．【點(diǎn)睛】本題考查了反比例函數(shù)性質(zhì)，反比例函數(shù)圖象上點(diǎn)的坐標(biāo)特征，菱形的性質(zhì)，銳角三角函數(shù)，關(guān)鍵是求出點(diǎn)C坐標(biāo)．題型06已知余弦值求邊長【例6】（2022·廣西南寧·南寧二中?？既＃┤鐖D，在△ABC中，∠C=90°,cosA=32,AC=4A．4 B．8 C．83 【答案】B【分析】根據(jù)余弦的定義即可求解．【詳解】解：∵∠C=90°,cos∴AB=AC故選B．【點(diǎn)睛】本題考查了已知余弦求邊長，掌握余弦的定義是解題的關(guān)鍵．【變式6-1】（2016·內(nèi)蒙古鄂爾多斯·統(tǒng)考二模）如圖，在△ABC中，AB＝AC＝10，點(diǎn)D是邊BC上一動點(diǎn)（不與B、C重合），∠ADE＝∠B＝α，DE交AC于點(diǎn)E，且cosα＝45，則線段CE的最大值為【答案】6.4【分析】作AG⊥BC于G，如圖，根據(jù)等腰三角形的性質(zhì)得BG＝CG，再利用余弦的定義計算出BG＝8，則BC＝2BG＝16，設(shè)BD＝x，則CD＝16﹣x，證明△ABD∽△DCE，利用相似比可表示出CE＝﹣110x2+85x，然后利用二次函數(shù)的性質(zhì)求【詳解】解：作AG⊥BC于G，如圖，∵AB＝AC，∴BG＝CG，∵∠ADE＝∠B＝α，∴cosB＝cosα＝BGAB＝4∴BG＝45∴BC＝2BG＝16，設(shè)BD＝x，則CD＝16﹣x，∵∠ADC＝∠B+∠BAD，即α+∠CDE＝∠B+∠BAD，∴∠CDE＝∠BAD，而∠B＝∠C，∴△ABD∽△DCE，∴ABCD=BD∴CE＝﹣110x2+8＝﹣110（x﹣8）2當(dāng)x＝8時，CE最大，最大值為6.4.故答案為：6.4.

【點(diǎn)睛】此題考查了等腰三角形的三線合一的性質(zhì)，銳角三角函數(shù)，相似三角形的判定及性質(zhì)，利用二次函數(shù)的性質(zhì)求最值問題，正確掌握各知識并綜合運(yùn)用解題是關(guān)鍵.【變式6-2】（2020·廣東廣州·統(tǒng)考一模）如圖所示，ABCD為平行四邊形，AD=13，AB=25，∠DAB=α，且cosα=513，點(diǎn)E為直線CD上一動點(diǎn)，將線段EA繞點(diǎn)E逆時針旋轉(zhuǎn)α得到線段EF（1）求平行四邊形ABCD的面積；（2）當(dāng)點(diǎn)C，B，F(xiàn)三點(diǎn)共線時，設(shè)EF與AB相交于點(diǎn)G，求線段BG的長；（3）求線段CF的長度的最小值．【答案】（1）300；（2）11722；（3）【分析】（1）如圖所示，過點(diǎn)A作AK⊥CD交CD的延長線于點(diǎn)K，先根據(jù)現(xiàn)有條件求出AK，然后即可求出平行四邊形ABCD的面積；（2）如圖所示，延長CD到P使得AP=AD，先證明ΔPEA?ΔCFE得出CE=AP=13，PE=CF，DE=12，再證明ΔGBF~ΔECF，得出BFCF（3）如圖所示，作點(diǎn)A關(guān)于直線CD的對稱點(diǎn)A'，連接EA'、AA'、A'F，以E為圓心，EA為半徑作圓，根據(jù)已知推出點(diǎn)F在與直線AA'夾角為α2且經(jīng)過點(diǎn)A'的直線上運(yùn)動，設(shè)直線A'F與CD交于點(diǎn)Q，直線AA'與直線CD交于點(diǎn)M，直線A'F與直線CB交于點(diǎn)R，過點(diǎn)C作CQ=22，CM=30，MQ=8，A'Q=413，根據(jù)RtΔ【詳解】（1）如圖所示，過點(diǎn)A作AK⊥CD交CD的延長線于點(diǎn)K，∵AB//CD，∴∠ADK=∠DAB，∵cos∠DAB=5∴DK=AD?cos∴AK=A∴平行四邊形ABCD的面積為AB×AK=25×12=300；（2）如圖所示，延長CD到P使得AP=AD，∴∠ADP=∠P，∵∠DAB=α，DC//AB，∴∠ADP=∠DAB=α，∴∠P=α，又∠AEF=∠C=α，EA=EF，由∠PEA+∠CEF=180°?α，∠EFC+∠CEF=180°?α，∴∠PEA=∠EFC，∴ΔPEA?ΔCFE，∴CE=AP=13，PE=CF，∴DE=CD?CE=25?13=12，由（1）得AK=12，∴在RtΔAKD中，KD=5，∴PD=10，∴PE=PD+DE=10+12=22=CF，∴BF=CF?CB=22?13=9，∵BG//CE，∴ΔGBF~ΔECF，∴BF∴9∴BG=117（3）如圖所示，作點(diǎn)A關(guān)于直線CD的對稱點(diǎn)A'，連接EA'、AA'、A∵EA=EA∴點(diǎn)A'、F在⊙E∵∠AEF=α，∴∠AA∴點(diǎn)F在與直線AA'夾角為α2設(shè)直線A'F與CD交于點(diǎn)Q，直線AA'與直線CD交于點(diǎn)M，直線A'F與直線CB交于點(diǎn)R，過點(diǎn)當(dāng)點(diǎn)F與H重合時，CF取得最小值，易得RtΔA∴∠QCH=∠MA又∠DCB=α，∴∠BCH=α∴ΔQCR為等腰三角形，∴CQ=CR，由（2）得CR=22，MD=5，∴CQ=22，又CM=CD+DM=25+5=30，∴MQ=CM?CQ=30?22=8，∴在RtΔA'MQ由RtΔA∴A∴4∴CH=66即CF的長度的最小值是6613【點(diǎn)睛】本題是四邊形綜合題，考查了平行四邊形的性質(zhì)，旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)，全等三角形的判定與性質(zhì)，相似三角形的判定與性質(zhì)，銳角三角函數(shù)，勾股定理等知識，正確作出輔助線，熟練運(yùn)用幾何圖形的性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．題型07已知正切值求邊長【例7】（2021·江蘇無錫·統(tǒng)考一模）如圖，在△ABC中，∠ABC＝90°，tan∠BAC＝12，AD＝2，BD＝