2025屆浙江省安吉縣上墅私立高級中學高三第七次考試數(shù)學試題注意事項1．考生要認真填寫考場號和座位序號。2．試題所有答案必須填涂或書寫在答題卡上，在試卷上作答無效。第一部分必須用2B鉛筆作答；第二部分必須用黑色字跡的簽字筆作答。3．考試結束后，考生須將試卷和答題卡放在桌面上，待監(jiān)考員收回。一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的。1．已知正四面體的棱長為，是該正四面體外接球球心，且，，則（）A． B．C． D．2．已知展開式的二項式系數(shù)和與展開式中常數(shù)項相等，則項系數(shù)為（）A．10 B．32 C．40 D．803．若是定義域為的奇函數(shù)，且，則A．的值域為 B．為周期函數(shù)，且6為其一個周期C．的圖像關于對稱 D．函數(shù)的零點有無窮多個4．《九章算術》是我國古代數(shù)學名著，書中有如下問題：“今有勾六步，股八步，問勾中容圓，徑幾何？”其意思為：“已知直角三角形兩直角邊長分別為6步和8步，問其內(nèi)切圓的直徑為多少步？”現(xiàn)從該三角形內(nèi)隨機取一點，則此點取自內(nèi)切圓的概率是（）A． B． C． D．5．已知，橢圓的方程，雙曲線的方程為，和的離心率之積為，則的漸近線方程為（）A． B． C． D．6．設拋物線的焦點為F,拋物線C與圓交于M,N兩點,若,則的面積為()A． B． C． D．7．已知函數(shù)，若，則等于（）A．-3 B．-1 C．3 D．08．下列函數(shù)中，值域為的偶函數(shù)是（）A． B． C． D．9．若，則下列關系式正確的個數(shù)是（）①②③④A．1 B．2 C．3 D．410．已知函數(shù)．若存在實數(shù)，且，使得，則實數(shù)a的取值范圍為（）A． B． C． D．11．執(zhí)行如下的程序框圖，則輸出的是（）A． B．C． D．12．已知復數(shù)，則（）A． B． C． D．二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13．設全集，，，則______.14．已知內(nèi)角，，的對邊分別為，，．，，則_________．15．已知一個四面體的每個頂點都在表面積為的球的表面上，且，，則__________．16．如圖梯形為直角梯形，，圖中陰影部分為曲線與直線圍成的平面圖形，向直角梯形內(nèi)投入一質點，質點落入陰影部分的概率是_____________三、解答題：共70分。解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17．（12分）已知，且的解集為.（1）求實數(shù)，的值；（2）若的圖像與直線及圍成的四邊形的面積不小于14，求實數(shù)取值范圍.18．（12分）第十四屆全國冬季運動會召開期間，某校舉行了“冰上運動知識競賽”，為了解本次競賽成績情況，從中隨機抽取部分學生的成績(得分均為整數(shù)，滿分100分)進行統(tǒng)計，請根據(jù)頻率分布表中所提供的數(shù)據(jù)，解答下列問題：（1）求、、的值及隨機抽取一考生其成績不低于70分的概率；（2）若從成績較好的3、4、5組中按分層抽樣的方法抽取5人參加“普及冰雪知識”志愿活動，并指定2名負責人，求從第4組抽取的學生中至少有一名是負責人的概率.組號分組頻數(shù)頻率第1組150.15第2組350.35第3組b0.20第4組20第5組100.1合計1.0019．（12分）在平面直角坐標系中，曲線C的參數(shù)方程為（為參數(shù)）.以原點為極點，x軸的非負半軸為極軸，建立極坐標系.（1）求曲線C的極坐標方程；（2）直線（t為參數(shù)）與曲線C交于A，B兩點，求最大時，直線l的直角坐標方程.20．（12分）△ABC的內(nèi)角的對邊分別為,已知△ABC的面積為(1)求;(2)若求△ABC的周長.21．（12分）已知等差數(shù)列{an}的前n項和為Sn，且(1)求數(shù)列{a(2)求數(shù)列{1Sn}的前22．（10分）在平面四邊形(圖①)中，與均為直角三角形且有公共斜邊，設，∠，∠，將沿折起，構成如圖②所示的三棱錐，且使=.（1）求證：平面⊥平面；（2）求二面角的余弦值.

參考答案一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的。1、A【解析】

如圖設平面，球心在上，根據(jù)正四面體的性質可得，根據(jù)平面向量的加法的幾何意義，重心的性質，結合已知求出的值.【詳解】如圖設平面，球心在上，由正四面體的性質可得：三角形是正三角形，，，在直角三角形中，，，，，，因為為重心，因此，則，因此，因此，則，故選A.【點睛】本題考查了正四面體的性質，考查了平面向量加法的幾何意義，考查了重心的性質，屬于中檔題.2、D【解析】

根據(jù)二項式定理通項公式可得常數(shù)項，然后二項式系數(shù)和，可得，最后依據(jù)，可得結果.【詳解】由題可知：當時，常數(shù)項為又展開式的二項式系數(shù)和為由所以當時，所以項系數(shù)為故選：D【點睛】本題考查二項式定理通項公式，熟悉公式，細心計算，屬基礎題.3、D【解析】

運用函數(shù)的奇偶性定義，周期性定義，根據(jù)表達式判斷即可.【詳解】是定義域為的奇函數(shù)，則，，又，，即是以4為周期的函數(shù)，，所以函數(shù)的零點有無窮多個；因為，，令，則，即，所以的圖象關于對稱，由題意無法求出的值域，所以本題答案為D.【點睛】本題綜合考查了函數(shù)的性質，主要是抽象函數(shù)的性質，運用數(shù)學式子判斷得出結論是關鍵.4、C【解析】

利用直角三角形三邊與內(nèi)切圓半徑的關系求出半徑，再分別求出三角形和內(nèi)切圓的面積，根據(jù)幾何概型的概率計算公式，即可求解.【詳解】由題意，直角三角形的斜邊長為，利用等面積法，可得其內(nèi)切圓的半徑為，所以向次三角形內(nèi)投擲豆子，則落在其內(nèi)切圓內(nèi)的概率為.故選：C.【點睛】本題主要考查了面積比的幾何概型的概率的計算問題，其中解答中熟練應用直角三角形的性質，求得其內(nèi)切圓的半徑是解答的關鍵，著重考查了推理與運算能力.5、A【解析】

根據(jù)橢圓與雙曲線離心率的表示形式，結合和的離心率之積為，即可得的關系，進而得雙曲線的離心率方程.【詳解】橢圓的方程，雙曲線的方程為，則橢圓離心率，雙曲線的離心率，由和的離心率之積為，即，解得，所以漸近線方程為，化簡可得，故選：A.【點睛】本題考查了橢圓與雙曲線簡單幾何性質應用，橢圓與雙曲線離心率表示形式，雙曲線漸近線方程求法，屬于基礎題.6、B【解析】

由圓過原點，知中有一點與原點重合，作出圖形，由，，得，從而直線傾斜角為，寫出點坐標，代入拋物線方程求出參數(shù)，可得點坐標，從而得三角形面積．【詳解】由題意圓過原點，所以原點是圓與拋物線的一個交點，不妨設為，如圖，由于，，∴，∴，，∴點坐標為，代入拋物線方程得，，∴，．故選：B.【點睛】本題考查拋物線與圓相交問題，解題關鍵是發(fā)現(xiàn)原點是其中一個交點，從而是等腰直角三角形，于是可得點坐標，問題可解，如果僅從方程組角度研究兩曲線交點，恐怕難度會大大增加，甚至沒法求解．7、D【解析】分析：因為題設中給出了的值，要求的值，故應考慮兩者之間滿足的關系.詳解：由題設有，故有，所以，從而，故選D.點睛：本題考查函數(shù)的表示方法，解題時注意根據(jù)問題的條件和求解的結論之間的關系去尋找函數(shù)的解析式要滿足的關系.8、C【解析】試題分析：A中，函數(shù)為偶函數(shù)，但，不滿足條件；B中，函數(shù)為奇函數(shù)，不滿足條件；C中，函數(shù)為偶函數(shù)且，滿足條件；D中，函數(shù)為偶函數(shù)，但，不滿足條件，故選C．考點：1、函數(shù)的奇偶性；2、函數(shù)的值域．9、D【解析】

a，b可看成是與和交點的橫坐標，畫出圖象，數(shù)形結合處理.【詳解】令，，作出圖象如圖，由，的圖象可知，，，②正確；，，有，①正確；，，有，③正確；，，有，④正確.故選：D.【點睛】本題考查利用函數(shù)圖象比較大小，考查學生數(shù)形結合的思想，是一道中檔題.10、D【解析】

首先對函數(shù)求導，利用導數(shù)的符號分析函數(shù)的單調性和函數(shù)的極值，根據(jù)題意，列出參數(shù)所滿足的不等關系，求得結果.【詳解】，令，得，．其單調性及極值情況如下：x0+0_0+極大值極小值若存在，使得，則（如圖1）或（如圖2）．（圖1）（圖2）于是可得，故選：D.【點睛】該題考查的是有關根據(jù)函數(shù)值的關系求參數(shù)的取值范圍的問題，涉及到的知識點有利用導數(shù)研究函數(shù)的單調性與極值，畫出圖象數(shù)形結合，屬于較難題目.11、A【解析】

列出每一步算法循環(huán)，可得出輸出結果的值.【詳解】滿足，執(zhí)行第一次循環(huán)，，；成立，執(zhí)行第二次循環(huán)，，；成立，執(zhí)行第三次循環(huán)，，；成立，執(zhí)行第四次循環(huán)，，；成立，執(zhí)行第五次循環(huán)，，；成立，執(zhí)行第六次循環(huán)，，；成立，執(zhí)行第七次循環(huán)，，；成立，執(zhí)行第八次循環(huán)，，；不成立，跳出循環(huán)體，輸出的值為，故選：A.【點睛】本題考查算法與程序框圖的計算，解題時要根據(jù)算法框圖計算出算法的每一步，考查分析問題和計算能力，屬于中等題.12、B【解析】

利用復數(shù)除法、加法運算，化簡求得，再求得【詳解】，故.故選：B【點睛】本小題主要考查復數(shù)的除法運算、加法運算，考查復數(shù)的模，屬于基礎題.二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13、【解析】

先求出集合，，然后根據(jù)交集、補集的定義求解即可．【詳解】解：，或；∴；∴．故答案為：．【點睛】本題主要考查集合的交集、補集運算，屬于基礎題．14、【解析】

利用正弦定理求得角B，再利用二倍角的余弦公式，即可求解.【詳解】由正弦定理得，，．故答案為：.【點睛】本題考查了正弦定理求角，三角恒等變換，屬于基礎題.15、【解析】由題意可得，該四面體的四個頂點位于一個長方體的四個頂點上，設長方體的長寬高為，由題意可得：，據(jù)此可得：，則球的表面積：，結合解得：.點睛：與球有關的組合體問題，一種是內(nèi)切，一種是外接．解題時要認真分析圖形，明確切點和接點的位置，確定有關元素間的數(shù)量關系，并作出合適的截面圖，如球內(nèi)切于正方體，切點為正方體各個面的中心，正方體的棱長等于球的直徑；球外接于正方體，正方體的頂點均在球面上，正方體的體對角線長等于球的直徑.16、【解析】

聯(lián)立直線與拋物線方程求出交點坐標，再利用定積分求出陰影部分的面積，利用梯形的面積公式求出，最后根據(jù)幾何概型的概率公式計算可得；【詳解】解：聯(lián)立解得或，即，，，，，故答案為：【點睛】本題考查幾何概型的概率公式的應用以及利用微積分基本定理求曲邊形的面積，屬于中檔題.三、解答題：共70分。解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17、（1），；（2）【解析】

（1）解絕對值不等式得，根據(jù)不等式的解集為列出方程組，解出即可；（2）求出的圖像與直線及交點的坐標，通過分割法將四邊形的面積分為兩個三角形，列出不等式，解不等式即可.【詳解】（1）由得：，，即，解得，.（2）的圖像與直線及圍成的四邊形，，，，.過點向引垂線，垂足為，則.化簡得：，（舍）或.故的取值范圍為.【點睛】本題主要考查了絕對值不等式的求法，以及絕對值不等式在幾何中的應用，屬于中檔題.18、（1），，，；（2）【解析】

（1）根據(jù)第1組的頻數(shù)和頻率求出，根據(jù)頻數(shù)、頻率、的關系分別求出，進而求出不低于70分的概率；（2）由（1）得，根據(jù)分層抽樣原則，分別從抽出2人，2人，1人，并按照所在組對抽出的5人編號，列出所有2名負責人的抽取方法，得出第4組抽取的學生中至少有一名是負責人的抽法數(shù)，由古典概型概率公式，即可求解.【詳解】（1），，，由頻率分布表可得成績不低于70分的概率約為：（2）因為第3、4、5組共有50名學生，所以利用分層抽樣在50名學生中抽取5名學生，每組分別為：第3組：人，第4組：人，第5組：人，所以第3、4、5組分別抽取2人，2人，1人設第3組的3位同學為、，第4組的2位同學為、，第5組的1位同學為，則從五位同學中抽兩位同學有10種可能抽法如下：，，，，，，，，，，其中第4組的2位同學、至少有一位同學是負責人有7種抽法，故所求的概率為.【點睛】本題考查補全頻率分布表、古典概型的概率，屬于基礎題.19、（1）；（2）.【解析】

（1）利用消去參數(shù)，得到曲線的普通方程，再將，代入普通方程，即可求出結論；（2）由（1）得曲線表示圓，直線曲線C交于A，B兩點，最大值為圓的直徑，直線過圓心，即可求出直線的方程.【詳解】（1）由曲線C的參數(shù)方程（為參數(shù)），可得曲線C的普通方程為，因為，所以曲線C的極坐標方程為，即.（2）因為直線（t為參數(shù)）表示的是過點的直線，曲線C的普通方程為，所以當最大時，直線l經(jīng)過圓心.直線l的斜率為，方程為，所以直線l的直角坐標方程為.【點睛】本題考查參數(shù)方程與普通方程互化、直角坐標方程與極坐標方程互化、直線與曲線的位置關系，考查化歸和轉化思想，屬于中檔題.20、(1)(2).【解析】試題分析：（1）由三角形面積公式建立等式，再利用正弦定理將邊化成角，從而得出的值；（2）由和計算出，從而求出角，根據(jù)題設和余弦定理可以求出和的值，從而求出的周長為.試題解析：（1）由題設得，即.由正弦定理得.故.（2）由題設及（1）得，即.所以，故.由題設得，即.由余弦定理得，即，得.故的周長為.點睛:在處理解三角形問題時，要注意抓住題目所給的條件，當題設中給定三角形的面積，可以使用面積公式建立等式，再將所有邊的關系轉化為角的關系，有時需將角的關系轉化為邊的關系；解三角形問題常見的一種考題是“已知一條邊的長度和它所對的角，求面積或周長的取值范圍”或者“已知一條邊的長度和它所對的角，再有另外一個條件，求面積或周長的值”，這類問題的通法思路是：全部轉化為角的關系，建立函數(shù)關系式，如，從而求出范圍，或利用余弦定理以及基本不等式求范圍；求具體的值直接利用余弦定理和給定條件即可.21、（1）an=2n【解析】

(1)先設出數(shù)列的公差為d，結合題中條件，求出首項和公差，即可得出結果．(2)利用裂項相消法求出數(shù)列的和．【詳解】解：(1)設公差為d的等差數(shù)列{an}且a1+a則有：a1解得：a1=3，所以：a(2)由于：an所以：Sn則：