重難題型?解題技巧攻略

韋達化和非對稱韋達的處理（2大題型）

*>-----------題型歸納?定方向-----------*>

目錄

題型01韋達化處理.............................................................................1

題型02非對稱韋達.............................................................................4

?-----------題型探析?明規(guī)律-----------<>

題型01韋達化處理

【解題規(guī)律?提分快招】

二「儲見至甌祖理-一一—―…

倘若定點尸（0,。，在橢圓上的動點幺（西,%）,802，%），那么：

（1）%?%==%%—（%+%）+廠,此時已經(jīng)湊出韋達定理的形式，就無需再解點，可直

國x2石12

接代入韋達定理求解.

（2）kPA+kPB="二+及二L=%），這里對交叉項西外+x2yx的處理可進一步代入直線

再x2再入2

方程：AB:y=kx+m,化簡可得：

后+后=匹％+'%一+/）=2/+（加一伏再+￡）（*）,再代入韋達定理.注意，這一步代入很重要，

rArD

x{x2XxX2

（*）式是一個非常簡潔的結(jié)構(gòu)，易于操作.

（3）111_而?-2」%+了2%-/（弘+%）.

kPAkPB（%一）（必一）（/一）（必一）

（4）面積計算

①一般方法：S=^AB\d（其中為弦長，d為頂點到直線AB的距離）

=2J1+4個（X]+/）4X]X]-kx^-y^+m

（直線為斜截式y(tǒng)=kx+m）

71+F

=gj（Xl+X2>—4%內(nèi)日o—二

功+7〃

②特殊方法：拆分法，可以將三三角形沿著X軸或者y軸拆分成兩個三角形，不過在拆分的時候給定的頂點一

般在x軸或者y軸上，此時，便于找到兩，r三角形的底邊長.

'2|J（必+%）2-4%為

S/\PAB=S"。/+S^PQB=—|I：力1="

S"AB=^APQA+S.QB=尸。|口>。|4>1+工2）2-4中2

注：注意直線代換中直線反設(shè)法的應(yīng)用，E相設(shè)/：x=ty+m

【典例訓練】

一、解答題

1.（2024?江西上饒?一模）已知雙曲線C:展1r=1（。>0,6>0）的焦點廠與拋物線V=8了的焦點重合，且

雙曲線C的離心率為近.

（1）求雙曲線c的方程；

（2）若過點0（2,0）的直線/與雙曲線C交于42兩點，AO/B的面積為2行，求直線/的方程.

2.(2024?河北石家莊?二模)已知M為平面上一個動點，刊到定直線x=l的距離與到定點尸(2,0)距離的比

等于色，記動點M的軌跡為曲線C.

2

⑴求曲線C的方程；

(2)過點尸的直線/與曲線C交于A,B兩點,在x軸上是否存在點P,使得福?麗為定值？若存在，求出

該定值；若不存在，請說明理由.

22

3.(2024?黑龍江齊齊哈爾?三模)己知雙曲線C:三-胃=1(“>0,6>0)的實軸長為2,設(shè)尸為C的右焦點,

ab

T為C的左頂點，過尸的直線交。于45兩點，當直線45斜率不存在時，的面積為9.

(1)求C的方程；

(2)當直線斜率存在且不為。時，連接以，9分別交直線x于尸，。兩點，設(shè)M為線段的中點,

記直線W的斜率分別為左,《，證明：發(fā)用為定值.

4.(2025?河北邯鄲?二模)已知P為圓片：(x+l)2+V=4a2(a>i)上一點，F(xiàn)2(1,0),線段陰的垂直平分線

22

交半徑尸周于點。，記動點。的軌跡為曲線C,雙曲線「:三-尢=1的一條漸近線被圓片所截得的弦長為

V61.

(1)求曲線C的標準方程；

⑵過C上一點M作斜率為。的直線/,交雙曲線「于A、8兩點，且M恰好為線段N5的中點，求出點M

的坐標；

⑶若直線/'：歹=區(qū)+4與曲線。交于。、E兩點，求△OQ￡面積的取值范圍.

5.（2025?江西新余?一模）平面直角坐標系中，點”與定點尸（6,（））的距離和它到定直線x=孚的距離之

比是常數(shù)反.

2

⑴求點M的軌跡方程；

⑵若不過點42,0）的直線/交曲線”于P,。兩點；

①若以尸，。為直徑的圓過點A,證明：直線/過定點；

②在①條件下，作為垂足.是否存在定點T,使得|。門為定值？若存在，求點7的坐標；若不

存在，說明理由.

22

6.（2024?全國?模擬預測）在平面直角坐標系中，點（3,0）在雙曲線C:》-方=1（。>0,6>0）上，漸近線

方程為x-=0.

（1）求雙曲線C的方程；

（2）過點尸（道,1）作直線/與雙曲線C交于48兩點，在無軸上是否存在一定點。，使得直線3與03的斜率

之和為定值？若存在，請求出點。的坐標及定值；若不存在，請說明理由.

7.(2024?吉林長春?一模)已知尸為拋物線C:「=2px(p>0)的焦點，。為坐標原點，過焦點下作一條直線

交C于/,3兩點，點〃在C的準線/上，且直線板的斜率為的面積為1.

(1)求拋物線C的方程；

(2)試問在/上是否存在定點N，使得直線NA與NB的斜率之和等于直線NF斜率的平方？若存在，求出點N

的坐標；若不存在，請說明理由；

(3)過焦點尸且與x軸垂直的直線4與拋物線C交于尸，0兩點，求證：直線4P與50的交點在一條定直線

上.

8.(2025?廣東惠州?模擬預測)己知橢圓C:/+/=l(a>6>0)的長軸長為2挺，離心率為乎.

⑴求橢圓C的方程；

22

⑵己知橢圓5+方=l(a>6>0)上點(X。,為)處的切線方程是學+等=1.在直線/：X=2上任取一點M引

橢圓C的兩條切線，切點分別是尸、Q.

①求證：直線尸。恒過定點N；

②是否存在實數(shù)彳，使得|RV|+|QV|=RRVHQN|,若存在，求出義的值，若不存在，說明理由.

題型02非對稱韋達

【解題規(guī)律?提分快招】

1、在一元二次方程辦2+bx+c=0中，若A>0,設(shè)它的兩個根分別為再，馬，則有根與系數(shù)關(guān)系：

西+x,=-勺，xA=-,借此我們往往能夠利用韋達定理來快速處理卜-X2I,x；+x；,工+工之類的結(jié)構(gòu)。

aaxxx2

2、但在有些問題時，我們會遇到涉及范，起的不同系數(shù)的代數(shù)式的應(yīng)算，比如求%，3±%+2再一%或

x22XXX2一項+x2

彳%+〃￡之類的結(jié)構(gòu)，就相對較難地轉(zhuǎn)化到應(yīng)用韋達定理來處理了.特別是在圓錐曲線問題中，我們聯(lián)立

直線和圓錐曲線方程，消去x或y,也得到一個一元二次方程，我們就會面臨著同樣的困難，我們把這種形

如X]+2*2,彳X,之類中不，Z的系數(shù)不對等的情況，這些式子是非對稱結(jié)構(gòu),

稱為“非對稱韋達”.

【典例訓練】

一、解答題

22

1.(2024?浙江紹興?三模)設(shè)雙曲線C：\-2=1(“>0，b>0)的一條漸近線為x-3y=0,焦點到漸

ab

近線的距離為1.4，4分別為雙曲線c的左、右頂點，直線/過點7(2,0)交雙曲線于點N,記直線

刖2的斜率為左，質(zhì).

(1)求雙曲線C的方程；

k

⑵求證了}為t定值.

/2

2.2

2.（2024?四川成都?模擬預測）在平面直角坐標系中，橢圓C的方程是土+匕=1.

43

⑴若直線了=日與橢圓C交于48兩點，P為橢圓C上任意一點，直線力、總斜率分別為左、k2,求

尢.左2；

⑵過橢圓。的右焦點與作直線交橢圓于〃，N兩點.直線八、=4,作于點”證明直線過定點

E,并求出E點坐標.

22

3.（2024?河南新鄉(xiāng)一模）已知雙曲線C:3-口^=1（。＞0）的左、右焦點分別為耳,巴，且閨瑪|=26.

a。+3

（1）求C的漸近線方程.

（2）點。為C的左支上一點，且cos/片。月=].42分別為C的左、右頂點，過點（2,0）的直線交C的右支

于民廠兩點，其中點E在x軸上方，直線口與”交于點P.

①求直線耳。的方程；

②證明：點尸到直線耳。的距離為定值.

4.(24-25高三上?湖北?期末)已知橢圓0+/=1的左，右焦點為斗旦，點P是橢圓上任意一點，PF/PFz

a

的最小值是-2.

⑴求橢圓M的方程；

(2)設(shè)42為橢圓的上，下頂點，為橢圓上異于43的兩點，記直線4C2。的斜率分別為配后2,且

與=3

(i)證明：直線8過定點S；

111

(ii)設(shè)直線/C與直線5。交于點。，直線0s的斜率為《，試探究鼠,匚,廠滿足的關(guān)系式.

/1/243

?>題里通關(guān)?沖高考O

一、解答題

1.(24-25高三上?廣東潮州?期末)設(shè)廠為拋物線C：J?=4x的焦點，P為c的準線與X軸的交點，且直線

I過點P.

(1)若/與C有且僅有一個公共點，求直線/的方程；

⑵若/與C交于A,8兩點，且瓦4，尸8,求的面積.

22

2.(24-25高三上?遼寧?期末)已知直線2x+3k6=0經(jīng)過橢圓C:2+方=l(a>6>0)的右頂點A和上頂

點、B.

(1)求橢圓C的標準方程及離心率；

⑵與直線平行的直線/交C于兩點(M,N均不與C的頂點重合)，設(shè)直線即的斜率分別為

左,左2，證明：占自為定值.

3.(2024高三?全國?專題練習)己知雙曲線。:0—==1(°>0力〉0)過點“(2,3),且M到直線

ab

7a5

""一E的距離為“

(1)求雙曲線C的標準方程.

⑵C的左、右焦點分別為耳，耳，若過大的直線與C交于42兩點，直線/月與/交于點P.

(i)證明：直線3P過定點；

(ii)當43兩點均在C的左支上時，直線3耳與/交于點0,直線5P與直線交于點。，求△48。的面

積的最小值.

f3、22.

4.（24-25高三上?上海浦東新?期中）已知/（。,3）和尸3,彳為橢圓cj+馬=l（a>6>0）上兩點.

12/ab

（1）求C的離心率；

（2）若過P的直線/交C于另一點B,且的面積為9,求/的方程；

⑶過。4中點。的動直線與橢圓C有兩個交點N,試判斷在〉軸上是否存在點T使得而.而W0,若

存在，求出T點縱坐標的取值范圍；若不存在，說明利用.

4

5.（24-25高三上?山東濰坊?期末）已知雙曲線C的中心為坐標原點，左焦點為（-3,0）,離心率為過點（4,0）

的直線/交C于”，N兩點.

⑴求C的方程；

（2）設(shè)C的左、右頂點分別為A,B,直線8M與直線x=l交于點G,證明：A,G,N三點共線.

22

6.(24-25高三上?湖北武漢?期末)己知橢圓C：宏+方=l(a>6>0)的長軸長是短軸長的2倍，焦距為

26，點、A,8分別為C的左、右頂點，點尸，。為C上的兩個動點，且分別位于x軸上、下兩側(cè)，LAPQ

和她尸。的面積分別為S,,記得=2

(1)求橢圓C的方程；

(2)若4=7-46，求證直線尸。過定點，并求出該點的坐標；

(3)若彳>1,設(shè)直線NP和直線8。的斜率分別為占，k2,求3的取值范圍.

7.(24-25高三上?河北滄州?期末)平面直角坐標系中，動點尸(xj)到點(1,0)的距離比它到了軸的距離多1.

(1)求動點P的軌跡方程；

⑵若點C為。,2),過“(2,0)的直線/與點p的軌跡交于兒B兩點(48與C不重合)，直線/C,BC

與直線x=-2交于點￡,下?證明：以跖為直徑的圓在x上截得的弦長為定值.

8.(24-25高三上?山東日照?期末)在平面直角坐標系中，已知定點片(-1,0),工(L0),動點T滿足

|7^|+|7K|=6,記T的軌跡為曲線C.

⑴求曲線C的方程；

⑵過月作x軸的垂線與曲線C在第一象限的交點為M,過點M的直線與曲線C相切，且與x軸交于點p.

(i)點R是曲線C上異于M的一點，且工心欠=24,求直線初?的方程；

(ii)過點尸且斜率不為0的直線交曲線C于A?兩點(。在E的左側(cè))，若N為線段用的中點，直線7VE

交直線于點0,求證：軸.

9.(24-25高三上?安徽銅陵?期末)設(shè)橢圓￡：1+《=1(46>0).已知點7(0,1),S償，-口在橢圓E上.

ab<-35)

⑴求橢圓E的標準方程；

⑵若過點工(2,1)的直線/與橢圓E交于瓦。兩點(B在C右側(cè))，且與線段ST交于點P.

APAB

(i)證明:---=2----

PCBC

(ii)當尸為NC中點時，求直線4P的方程.

2.2

10.（24-25高三上?甘肅武威?期末）已知4-2,0）,3（2