PAGEPAGE1729控制系統(tǒng)的非線性問題9.1概述在物理世界中，理想的線性系統(tǒng)并不存在。嚴(yán)格來講，所有的控制系統(tǒng)都是非線性系統(tǒng)。例如，由電子線路組成的放大元件，會(huì)在輸出信號(hào)超過一定值后出現(xiàn)飽和現(xiàn)象。當(dāng)由電動(dòng)機(jī)作為執(zhí)行元件時(shí)，由于摩擦力矩和負(fù)載力矩的存在，只有在電樞電壓達(dá)到一定值的時(shí)候，電動(dòng)機(jī)才會(huì)轉(zhuǎn)動(dòng)，存在死區(qū)。實(shí)際上，所有的物理元件都具有非線性特性。如果一個(gè)控制系統(tǒng)包含一個(gè)或一個(gè)以上具有非線性特性的元件，則稱這種系統(tǒng)為非線性系統(tǒng)，非線性系統(tǒng)的特性不能由微分方程來描述。圖9-1所示的伺服電機(jī)控制特性就是一種非線性特性，圖中橫坐標(biāo)u為電機(jī)的控制電壓，縱坐標(biāo)為電機(jī)的輸出轉(zhuǎn)速，如果伺服電動(dòng)機(jī)工作在A1OA2區(qū)段，則伺服電機(jī)的控制電壓與輸出轉(zhuǎn)速的關(guān)系近似為線性，因此可以把伺服電動(dòng)機(jī)作為線性元件來處理。但如果電動(dòng)機(jī)的工作區(qū)間在B1OB2區(qū)段．那么就不能把伺服電動(dòng)機(jī)再作為線性元件來處理，因?yàn)槠潇o特性具有明顯的非線性。圖9-1伺服電動(dòng)機(jī)特性9.1.1控制系統(tǒng)中的典型非線性特性常見典型非線性特性有飽和非線性、間隙非線性、死區(qū)非線性、繼電非線性等。9.1.1.1控制系統(tǒng)中的放大環(huán)節(jié)及執(zhí)行機(jī)構(gòu)受到電源電壓和功率的限制，都具有飽和特性。如圖9-2所示，其中的區(qū)域是線性范圍，線性范圍以外的區(qū)域是飽和區(qū)。許多元件的運(yùn)動(dòng)范圍由于受到能源、功率等條件的限制，也都有飽和非線性特性。有時(shí)，工程上還人為引入飽和非線性特性以限制過載。圖9-2飽和非線性9.1.1.2不靈敏區(qū)(死區(qū))非線性控制系統(tǒng)中的測(cè)量元件、執(zhí)行元件等一般都具有死區(qū)特性。例如一些測(cè)量元件對(duì)微弱的輸入量不敏感，電動(dòng)機(jī)只有在輸入信號(hào)增大到一定程度的時(shí)候才會(huì)轉(zhuǎn)動(dòng)等等。如圖9-3所示，其特性是輸入信號(hào)在區(qū)間時(shí)，輸出信號(hào)為零。超出此區(qū)間時(shí)，呈線性特性。這種只有在輸入量超過一定值后才有輸出的特性稱為不靈敏區(qū)非線性，其中區(qū)域叫做不靈敏區(qū)或死區(qū)。圖9-3不靈敏區(qū)非線性特性圖9-4具有不靈敏區(qū)的飽和特性死區(qū)特性給系統(tǒng)帶來穩(wěn)態(tài)誤差和低速運(yùn)動(dòng)不穩(wěn)定影響。但死區(qū)特性會(huì)減弱振蕩、過濾輸入端小幅度干擾，提高系統(tǒng)抗干擾能力。9.1.1.3在很多情況下，系統(tǒng)元件同時(shí)存在死區(qū)特性和飽和限幅特性。如電樞電壓控制的直流電動(dòng)機(jī)的控制特性就具有這種特性。具有不靈敏區(qū)的飽和非線性特性如圖9-4所示。9.1.1.4繼電器實(shí)際繼電器的特性如圖9-5所示，輸入和輸出之間的關(guān)系不完全是單值的。由于繼電器吸合及釋放狀態(tài)下磁路的磁阻不同，吸合與釋放電流是不相同的。因此，繼電器的特性有一個(gè)滯環(huán)。這種特性稱為具有滯環(huán)的三位置繼電特性。當(dāng)時(shí)，可得到純滯環(huán)的兩位置繼電特性，如圖9-6所示。當(dāng)時(shí)，可得到具有三位置的理想繼電非線性特性，如圖9-7所示。圖9-5具有滯環(huán)的三位置繼電非線性特性圖9-6具有滯環(huán)的兩位置繼電非線性特性9.1.1.5間隙非線性形成的原因是由于滯后作用，如磁性材料的滯后現(xiàn)象，機(jī)械傳動(dòng)中的干摩擦與傳動(dòng)間隙。間隙非線性也稱滯環(huán)非線性。間隙非線性的特點(diǎn)是：當(dāng)輸入量的變化方向改變時(shí)，輸出量保持不變，一直到輸入量的變化超出一定數(shù)值(間隙)后，輸出量才跟著變化。齒輪傳動(dòng)中的間隙是最明顯的例子。間隙非線性如圖9-8所示。圖9-7具有三位置的理想繼電非線性特性圖9-8間隙非線性特性9.1.2非線性系統(tǒng)與線性系統(tǒng)相比，有許多獨(dú)有的特點(diǎn)：（1）線性系統(tǒng)的穩(wěn)定性由系統(tǒng)的閉環(huán)極點(diǎn)決定，也就是說一旦系統(tǒng)確定，其穩(wěn)定性也隨即確定，與初始條件和輸入信號(hào)無關(guān)。而非線性系統(tǒng)的穩(wěn)定性除了與系統(tǒng)的閉環(huán)極點(diǎn)相關(guān)外，還與初始條件和輸入信號(hào)相關(guān)。對(duì)于某一個(gè)確定的非線性系統(tǒng)，在一種初始條件下是穩(wěn)定的，而在另一種初始條件下則可能是不穩(wěn)定的，或者在一種輸入信號(hào)作用下是穩(wěn)定，而在另一種輸入信號(hào)作用下卻是不穩(wěn)定的。（2）線性系統(tǒng)的運(yùn)動(dòng)狀態(tài)不是收斂與平衡狀態(tài)，就是發(fā)散。理論上說，當(dāng)系統(tǒng)處于臨界時(shí)，會(huì)出現(xiàn)等幅振蕩。但是在實(shí)際情況下，這種狀態(tài)不可能維持，外界環(huán)境或系統(tǒng)參數(shù)稍有變化，系統(tǒng)就會(huì)趨于平衡狀態(tài)或發(fā)散狀態(tài)。而非線性系統(tǒng)的運(yùn)動(dòng)狀態(tài)除了收斂和發(fā)散以外，還有等幅振蕩的狀態(tài)。這種振蕩狀態(tài)在沒有外界作用的情況下，也會(huì)存在，而且保持一定的幅度和頻率，稱為自持振蕩、自振蕩或自激振蕩。自持振蕩由系統(tǒng)結(jié)構(gòu)和參數(shù)決定，是非線性系統(tǒng)獨(dú)有的現(xiàn)象。（3）線性系統(tǒng)在輸入某一頻率的正弦信號(hào)時(shí)，輸出的穩(wěn)態(tài)分量是同頻率的正弦信，系統(tǒng)只會(huì)改變輸入信號(hào)的幅度和相位。而在非線性系統(tǒng)中，當(dāng)輸入信號(hào)是某一頻率的正弦信號(hào)時(shí)，輸出信號(hào)不僅含有同頻率的正弦分量，還含有高次諧波分量。因此，在分析線性系統(tǒng)時(shí)采用的頻率特性、傳遞函數(shù)等方法不能應(yīng)用于非線性系統(tǒng)的分析。（4）線性系統(tǒng)滿足疊加原理。而非線性系統(tǒng)不滿足疊加原理。對(duì)非線性系統(tǒng)的分析，重點(diǎn)是系統(tǒng)的穩(wěn)定性，系統(tǒng)是否產(chǎn)生自持振蕩，自持振蕩的頻率和幅度是多少，如何減小和消除自持振蕩等。9.1.3目前尚沒有通用的求解非線性微分方程的方法。雖然有一些針對(duì)特定非線性問題的系統(tǒng)分析與設(shè)計(jì)方法，但其適用范圍有限。因此分析非線性系統(tǒng)要根據(jù)其不同特點(diǎn)，選用有針對(duì)性不同方法。（1）相平面分析法非線性控制系統(tǒng)的相平面分析法是一種用圖解法求解二階非線性常微分方程的方法。相平面上的軌跡曲線描述了系統(tǒng)狀態(tài)的變化過程，因此可以在相平面圖上分析平衡狀態(tài)的穩(wěn)定性和系統(tǒng)的時(shí)間響應(yīng)特性。（2）描述函數(shù)法描述函數(shù)法又稱為諧波線性化法，它是一種工程近似方法。應(yīng)用描述函數(shù)法研究非線性控制系統(tǒng)的自持振蕩時(shí)，能給出振蕩過程的基本特性(如振幅、頻率)與系統(tǒng)參數(shù)(如放大系數(shù)、時(shí)間常數(shù)等)的關(guān)系，給系統(tǒng)的初步設(shè)計(jì)提供一個(gè)思考方向。描述函數(shù)法是線性控制系統(tǒng)理論中的頻率法在非線性系統(tǒng)中的推廣。此外還有線性化近似方法，逐段線性近似法等。用計(jì)算機(jī)直接求解非線性微分方程，以數(shù)值解形式進(jìn)行仿真研究，是分析、設(shè)計(jì)復(fù)雜非線性系統(tǒng)的有效方法。隨著計(jì)算機(jī)技術(shù)的發(fā)展，計(jì)算機(jī)仿真已成為研究非線性系統(tǒng)的重要手段。本章重點(diǎn)討論非線性系統(tǒng)的描述函數(shù)分析方法和相平面分析法。9.2描述函數(shù)法描述函數(shù)法是一種基于諧波線性化概念，將分析線性系統(tǒng)的頻率響應(yīng)法移植到分析非線性系統(tǒng)中的一種工程近似方法。其基本思想是：當(dāng)系統(tǒng)滿足某種條件時(shí)，系統(tǒng)中非線性環(huán)節(jié)的輸出信號(hào)中的高次諧波分量可以忽略，用基波近似輸出信號(hào)，由此導(dǎo)出非線性環(huán)節(jié)的近似頻率特性，即描述函數(shù)。此時(shí)的非線性系統(tǒng)就近似為一個(gè)線性系統(tǒng)，可以用線性系統(tǒng)分析方法中的頻率響應(yīng)法對(duì)其進(jìn)行分析。描述函數(shù)法主要用于分析非線性系統(tǒng)的穩(wěn)定性，是否產(chǎn)生自持振蕩，自持振蕩的頻率和幅度，消除和減弱自持振蕩的方法等。9.2.19.2.1.1繼電特性引例理想繼電特性如圖9-9（a）所示，當(dāng)輸入正弦信號(hào)時(shí)，其輸出y(t)是一個(gè)與輸入正弦函數(shù)同頻率的周期方波。圖9-9理想繼電特性及輸入、輸出波形與輸出波形輸出周期函數(shù)可展開成富里葉級(jí)數(shù)=(9-1)由式（9-1）可以看出，方波函數(shù)可以看做是無數(shù)個(gè)正弦信號(hào)分量的疊加。這些分量中，有一個(gè)與輸入信號(hào)頻率相同的分量，稱為基波分量（或一次諧波分量），其幅值最大。其他分量的頻率均為輸入信號(hào)頻率的奇數(shù)倍，統(tǒng)稱為高次諧波。頻率愈高的分量，振幅愈小，各諧波分量的振幅與頻率的關(guān)系稱為該方波的頻譜，如圖9-9（b）所示。9.2.1.2諧波線性化對(duì)于任意非線性特性，設(shè)輸入的正弦信號(hào)為，輸出波形為y(t)。輸出y(t)有富氏形式：式中（9-2）（9-3），對(duì)于本章所討論的幾種典型非線性特性，均屬于奇對(duì)稱函數(shù)，y(t)是對(duì)稱的，則A0=0；若為單位奇對(duì)稱函數(shù)，則A0=A1=0。諧波線性化的基本思想或處理方法是略去輸出高次諧波分量，用輸出y(t)的基波分量y(t)近似地代替整個(gè)輸出。即（9-4）式中；（9-4a）(9-4b)因此，對(duì)于一個(gè)非線性元件，我們可以用輸入和輸出近似描述其基本性質(zhì)。非線性元件的輸出是一個(gè)與其輸入同頻率的正弦量，只是振幅和相位發(fā)生了變化。這與線性元件在正弦輸入下的輸出在形式上十分相似，故有些學(xué)者（特別是蘇聯(lián)學(xué)者）也稱上述近似處理為諧波線性化。9.2.1.3描述函數(shù)非線性特性在進(jìn)行諧波線性化之后，可以仿照幅相頻率特性的定義，建立非線性特性的等效幅相特性，即描述函數(shù)。非線性元件的描述函數(shù)是由輸出的基波分量y1(t)對(duì)輸入x的復(fù)數(shù)比來定義的，即（9-5）式中N——非線性元件的描述函數(shù)；X——正弦輸入的幅值；Y1——輸出信號(hào)一次諧波的幅值；φ1——輸出信號(hào)一次基波與輸入信號(hào)的相位差。描述函數(shù)的實(shí)質(zhì)是用一個(gè)等效線性元件替代原來的非線性元件，而等效線性元件的幅相特性函數(shù)N是輸入信號(hào)的幅值X的函數(shù)。圖9-10所示為包括非線性元件的非線性系統(tǒng)框圖，即非線性系統(tǒng)分成線性部分G（S）與非線性部分N（X）。圖9-10典型非線性系統(tǒng)把非線性元件等效為一個(gè)放大倍數(shù)為復(fù)數(shù)的放大器，與頻率ω?zé)o關(guān)。這相當(dāng)于線性系統(tǒng)中的放大器，其放大倍數(shù)是一個(gè)普通常數(shù)。系統(tǒng)閉環(huán)傳遞函數(shù)為閉環(huán)系統(tǒng)特征方程為9.2.29.2.2.1理想理想繼電特性的數(shù)學(xué)表達(dá)式為當(dāng)輸入正弦信號(hào)時(shí)，繼電特性為過零切換，則理想繼電特性及在正弦信號(hào)作用下的輸入、輸出波形，如圖9-11所示。圖9-11理想繼電特性及輸入、輸出波形由于正弦信號(hào)是單值奇函數(shù)，因此，,及=0。根據(jù)式（9-4b）得富氏級(jí)數(shù)基波分量的系數(shù)B，因?yàn)閥(t)是周期2的方波，且對(duì)點(diǎn)奇對(duì)稱，故可改寫為因此基數(shù)分量為（9-6）顯然，理想繼電特性的描述函數(shù)是一個(gè)實(shí)數(shù)量，并且只是輸入振幅X的函數(shù)。9.2.2.2假設(shè)輸入正弦信號(hào)函數(shù)為，則輸出特性的數(shù)學(xué)表達(dá)式為：當(dāng)時(shí)，死區(qū)特性及其輸入、輸出波形，如圖9-12所示。當(dāng)輸入信號(hào)幅值在死區(qū)范圍內(nèi)時(shí)，輸出為零，只有輸入信號(hào)幅值大于死區(qū)時(shí)，才有輸出，故輸出為一些不連續(xù)、不完整的正弦波形。圖9-12死區(qū)特性及輸入、輸出波形圖9-13死區(qū)特性描述函數(shù)由于死區(qū)特性為單值奇對(duì)稱函數(shù)，故，，,而并且由于y(t)在一個(gè)周期中波形對(duì)稱，即當(dāng)時(shí)，y(t)=0,故的積分值只要計(jì)算其中，即，代入上式并整理得其描述函數(shù)為(9-7)圖9-13所示為與的關(guān)系曲線。由圖9-13可見，當(dāng)時(shí)，輸出為零，從而描述函數(shù)的值也為零；如死區(qū)很小，或輸入的振幅很大時(shí)，，，亦即可認(rèn)為描述函數(shù)為常量，恰好等于死區(qū)特性線性段的斜率，這表明死區(qū)影響可忽略不計(jì)。9.2.2.3飽和非線性特性的描述函數(shù)假設(shè)輸入正弦信號(hào)函數(shù)為，則飽和非線性特性的數(shù)學(xué)表達(dá)式為：（改,改）式中K為斜率。飽和特性及其輸入、輸出波形如圖9-14所示。圖9-14飽和特性及其輸入、輸出波形圖9-15飽和特性描述函數(shù)由圖可見，當(dāng)正弦輸入信號(hào)的振幅時(shí)，工作在線性段，沒有非線性的影響。當(dāng)時(shí)才進(jìn)入非線性區(qū)。因此飽和特性的描述函數(shù)僅在的情況下才有意義。由于飽和特性為單值奇對(duì)稱函數(shù)，所以，，且，故描述函數(shù)為（9-8）與之間的關(guān)系如圖9-15所示。圖9－16非線性系統(tǒng)9圖9－16非線性系統(tǒng)用描述函數(shù)法分析非線性系統(tǒng)的穩(wěn)定性，首先將系統(tǒng)化簡(jiǎn)成圖9－16所示的形式。系統(tǒng)的頻率響應(yīng)為 （9－9）可以看出，當(dāng)時(shí)，系統(tǒng)的特征方程為 （9－10）或者寫成 （8－11）其中，稱為非線性環(huán)節(jié)的負(fù)倒描述函數(shù)。與之間的相對(duì)位置就決定了非線性系統(tǒng)的穩(wěn)定性，證明略去。判斷非線性系統(tǒng)的穩(wěn)定性，首先應(yīng)在平面上畫出與軌跡，并在上標(biāo)明增大的方向，在上標(biāo)明增大的方向。如果非線性系統(tǒng)中的線性部分滿足最小相位條件，則非線性系統(tǒng)穩(wěn)定性的判定規(guī)則如下：如果不包圍的軌跡，如圖9－17a所示，則系統(tǒng)穩(wěn)定。離越遠(yuǎn)，系統(tǒng)的相對(duì)穩(wěn)定性越好。如果包圍，如圖9－17b所示，則系統(tǒng)不穩(wěn)定。如果與相交，如圖9－17c所示。若交點(diǎn)處，而，設(shè)某一時(shí)刻有?？梢钥闯?，此信號(hào)經(jīng)過系統(tǒng)閉環(huán)回路一周回到輸入端仍然為，系統(tǒng)中存在一個(gè)等幅振蕩。該振蕩可能是自持振蕩，也可能在一定條件下收斂或發(fā)散。圖圖9－17非線性系統(tǒng)穩(wěn)定性分析ImImImReReRe0abc自持振蕩的確定當(dāng)與相交時(shí)，方程圖9圖9－18自持振蕩分析ImRe的解對(duì)應(yīng)著一個(gè)周期運(yùn)動(dòng)的信號(hào)的振幅和頻率。若這個(gè)等幅振蕩在系統(tǒng)受到輕微擾動(dòng)作用后偏離原來的運(yùn)動(dòng)狀態(tài)，而當(dāng)擾動(dòng)消失后，系統(tǒng)又回到原來頻率和振幅的等幅持續(xù)振蕩，則這種等幅振蕩稱為非線性系統(tǒng)的自持振蕩。自持振蕩是一種穩(wěn)定的等幅振蕩，而不穩(wěn)定的等幅振蕩在系統(tǒng)受到擾動(dòng)的時(shí)候，會(huì)收斂、發(fā)散或轉(zhuǎn)移到另一個(gè)穩(wěn)定的周期運(yùn)動(dòng)狀態(tài)。如圖9－18所示，與有兩個(gè)交點(diǎn)和。假設(shè)系統(tǒng)工作在點(diǎn)，當(dāng)受到輕微的擾動(dòng)時(shí)，使非線性環(huán)節(jié)的振幅增加，即工作點(diǎn)沿的曲線向增大的方向運(yùn)動(dòng)到點(diǎn)。由于點(diǎn)被包圍，屬于不穩(wěn)定點(diǎn)，系統(tǒng)的響應(yīng)發(fā)散。此時(shí)，工作點(diǎn)會(huì)繼續(xù)沿的曲線向增大的方向運(yùn)動(dòng)至點(diǎn)。若系統(tǒng)受到輕微擾動(dòng)使工作點(diǎn)沿的曲線向減小的方向運(yùn)動(dòng)到點(diǎn)。由于點(diǎn)不被包圍，屬于穩(wěn)定點(diǎn)，系統(tǒng)的響應(yīng)收斂。此時(shí)，工作點(diǎn)會(huì)繼續(xù)沿的曲線向減小的方向運(yùn)動(dòng)，直到減小為零。顯然，屬于不穩(wěn)定的等幅振蕩點(diǎn)，不是自持振蕩點(diǎn)。假設(shè)系統(tǒng)工作在點(diǎn)，當(dāng)受到輕微的擾動(dòng)時(shí)，使非線性環(huán)節(jié)的振幅增加，即工作點(diǎn)沿的曲線向增大的方向運(yùn)動(dòng)到點(diǎn)。由于點(diǎn)不被包圍，屬于穩(wěn)定點(diǎn)，系統(tǒng)的響應(yīng)收斂。此時(shí)，工作點(diǎn)會(huì)繼續(xù)沿的曲線向減小的方向回到點(diǎn)。若系統(tǒng)受到輕微擾動(dòng)使工作點(diǎn)沿的曲線向減小的方向運(yùn)動(dòng)到點(diǎn)。由于點(diǎn)被包圍，屬于不穩(wěn)定點(diǎn)，系統(tǒng)的響應(yīng)發(fā)散。此時(shí)，工作點(diǎn)會(huì)繼續(xù)沿的曲線向增大的方向回到點(diǎn)。顯然，是一個(gè)穩(wěn)定的等幅振蕩點(diǎn)，是自持振蕩點(diǎn)。圖9－19自持振蕩的判別ImRe不穩(wěn)定區(qū)域穩(wěn)定區(qū)域從上面的分析可以看出，圖9－18所示系統(tǒng)在非線性環(huán)節(jié)的輸入信號(hào)振幅時(shí)，系統(tǒng)收斂；當(dāng)時(shí)，系統(tǒng)產(chǎn)生自持振蕩。系統(tǒng)的穩(wěn)定性與初始條件及輸入信號(hào)有關(guān)，這是非線性系統(tǒng)與線性系統(tǒng)的一個(gè)明顯的區(qū)別。判斷周期運(yùn)動(dòng)點(diǎn)是否是自持振蕩點(diǎn)的方法為：如圖9－19所示，將包圍的區(qū)域看作是不穩(wěn)定區(qū)域，不被包圍的區(qū)域看作是穩(wěn)定區(qū)域。當(dāng)交點(diǎn)處的軌跡沿增大的方向由不穩(wěn)定區(qū)域進(jìn)入穩(wěn)定區(qū)域時(shí)，該交點(diǎn)時(shí)自持振蕩點(diǎn)。反之，當(dāng)交點(diǎn)處的圖9－19自持振蕩的判別ImRe不穩(wěn)定區(qū)域穩(wěn)定區(qū)域9.3相軌跡法相軌跡法是適用于二階非線性系統(tǒng)的幾何解法。對(duì)于二階動(dòng)力學(xué)系統(tǒng)，如已知兩個(gè)狀態(tài)變量，則該系統(tǒng)的動(dòng)力學(xué)性能就完全能被描述。一般的二階系統(tǒng)均可表示為（9-12），二階系統(tǒng)也可以寫成狀態(tài)空間方程表示，即（9-13）上式兩邊相除，得（9-14）解上式可得以為橫坐標(biāo)，以為縱坐標(biāo)，便構(gòu)成分析系統(tǒng)的相平面圖。系統(tǒng)每一時(shí)刻的狀態(tài)即“相”均相應(yīng)于平面上的一點(diǎn)，以時(shí)間作為參變量變化時(shí)，該點(diǎn)在平面上對(duì)應(yīng)的曲線就是相軌跡。軌跡的起始點(diǎn)就是初始值，其軌跡表示在某一輸入激勵(lì)下系統(tǒng)的反應(yīng)。如果相軌跡趨于無窮大，則系統(tǒng)不穩(wěn)定；如果相軌跡趨于原點(diǎn)，則系統(tǒng)穩(wěn)定；如果相軌跡最后形成圍繞原點(diǎn)不斷循環(huán)的環(huán)，則系統(tǒng)存在極限環(huán)的持續(xù)振蕩。對(duì)于二階系統(tǒng)狀態(tài)變量是兩個(gè)，通常選?。◤V義位移），和（廣義速度）作為狀態(tài)變量（9-15）則（9-16）相平面法的主要工作是作相軌跡圖，有了相軌跡圖，系統(tǒng)的性能也就表示出來了。9.3.19.3.1例9-1單位質(zhì)量的自由落體運(yùn)動(dòng)。當(dāng)忽略大氣影響時(shí)，單位質(zhì)量的自由落體運(yùn)動(dòng)方程為所以即圖9-20兩邊積分得（C為常數(shù)）以（即）為橫坐標(biāo)，以（即）為縱坐標(biāo)，作相平面圖，如圖9-20所示。能用解析法作相平面圖的系統(tǒng)只有比較簡(jiǎn)單的二階線性系統(tǒng)，對(duì)于大多數(shù)非線性系統(tǒng)很難用解析法示出解。因此，對(duì)于分析非線性系統(tǒng)更實(shí)用的是圖解法（等傾線法）。9.3.1對(duì)于一般的二階系統(tǒng)，令，則系統(tǒng)可表示為上兩式相除得所謂等傾線是指相平面內(nèi)對(duì)應(yīng)相軌跡上具有等斜率的線。設(shè)斜率為k，則相應(yīng)于不同的k值畫不同的等傾線，則可得到相軌跡切線的方向場(chǎng)。從過初始點(diǎn)的短傾線開始畫，連續(xù)相鄰近的短傾線，依次往后連接，即組成相軌跡圖。顯然，等傾線的間隔越密集，相軌跡的精度越高。例9-2非線性方程。設(shè)斜率為k，令則即所以（9-17）當(dāng)短傾線傾角為0o時(shí)，其斜率k為0，式（9-17）變?yōu)樵撌奖硎镜那€上的每一點(diǎn)斜率為0，如圖9-21中所示。當(dāng)短傾線傾角為45o時(shí)，其斜率k為1，式（9-17）變?yōu)樵撌奖硎镜那€上的每一點(diǎn)斜率為1，如圖9-21中所示。圖9-21等傾線法例如上可以作出其他斜率的傾線，這樣就可以作出如圖9-21所示的斜率分布場(chǎng)。畫每根相軌跡時(shí)，先找初始點(diǎn)，再順序把相鄰不同斜率的折線連接起來，即可作出近似的相軌跡圖。9.3.2奇點(diǎn)即平衡點(diǎn)，是系統(tǒng)處于平衡狀態(tài)相平面上的點(diǎn)。此時(shí)，系統(tǒng)的速度和加速度均為零，以為橫坐標(biāo)，以為縱坐標(biāo)，相軌跡在奇點(diǎn)處的斜率為0/0型，與普通點(diǎn)不同，奇點(diǎn)可以有無窮多條相軌跡通過，解的惟一性不適合于奇點(diǎn)。例9-3系統(tǒng)因?yàn)閯t系統(tǒng)奇點(diǎn)需滿足即解得點(diǎn)即為該系統(tǒng)奇點(diǎn)。對(duì)于不同類型的阻尼比，二階系統(tǒng)的相平面圖不同，如圖9-22所示。當(dāng)阻尼比時(shí)，系統(tǒng)有一對(duì)負(fù)實(shí)部的共軛復(fù)根，系統(tǒng)穩(wěn)定，其相軌跡呈螺線型，軌跡族收斂于奇點(diǎn)，這種奇點(diǎn)稱為穩(wěn)定焦點(diǎn)。當(dāng)阻尼比時(shí)，系統(tǒng)有一對(duì)正實(shí)部的共軛復(fù)根，系統(tǒng)不穩(wěn)定，其相軌跡也呈螺線型，但軌跡族是從奇點(diǎn)螺旋發(fā)散出來的，這種奇點(diǎn)稱為不穩(wěn)定焦點(diǎn)。當(dāng)阻尼比時(shí)，系統(tǒng)有兩個(gè)正實(shí)根，系統(tǒng)不穩(wěn)定，相平面內(nèi)的軌跡族直接從奇點(diǎn)發(fā)散出來，這種奇點(diǎn)稱為不穩(wěn)定節(jié)點(diǎn)。當(dāng)阻尼比時(shí)，系統(tǒng)有兩個(gè)負(fù)實(shí)根，系統(tǒng)穩(wěn)定，相平面內(nèi)的軌跡族無振蕩地收斂于奇點(diǎn)，這種奇點(diǎn)稱為穩(wěn)定節(jié)點(diǎn)。當(dāng)阻尼比時(shí)，系統(tǒng)有一對(duì)共軛虛根，系統(tǒng)等幅振蕩，其相軌跡為一族圍繞奇點(diǎn)的封閉曲線，這種奇點(diǎn)稱為中心點(diǎn)。如果線性二階系統(tǒng)的項(xiàng)和項(xiàng)異號(hào)，即則系統(tǒng)有一個(gè)正實(shí)根，有一個(gè)負(fù)實(shí)根，系統(tǒng)是不穩(wěn)定的，其相軌跡呈馬鞍形，中心中奇點(diǎn)，這種奇點(diǎn)稱為鞍點(diǎn)。有了奇點(diǎn)的概念，便可以利用對(duì)奇點(diǎn)的認(rèn)識(shí)較快地畫出相軌跡的草圖，其步驟為：1）求出奇點(diǎn)；2）在奇點(diǎn)附近通過線性化判斷奇點(diǎn)的類型，并在奇點(diǎn)附近畫出相應(yīng)的相軌跡線；3）在遠(yuǎn)離奇點(diǎn)處用等傾線等方法完成相軌跡圖。例9-4有如下非線性系統(tǒng)方程：即則解得奇點(diǎn)為在（0，0）點(diǎn)附近，因很小，系統(tǒng)可近似為解得可見，，該奇點(diǎn)為穩(wěn)定焦點(diǎn)。在（-2，0）點(diǎn)附近，令，系統(tǒng)方程為即在（-2，0）點(diǎn)附近，因很小，系統(tǒng)可近似為與異號(hào)，故其奇點(diǎn)為鞍點(diǎn)。圖9-23奇點(diǎn)應(yīng)用例該系統(tǒng)的相平面圖如圖9-23所示。由圖可知，該系統(tǒng)在有些初始狀態(tài)下是穩(wěn)定的，收斂于原點(diǎn)，而在有些初始狀態(tài)下是不穩(wěn)定的。8.3.3通過以下方法求出時(shí)間信息：1）則通過積分，可得：當(dāng)然，上式也可以通過取合理的增量，變成下式求出時(shí)間2）則則通過積分