變換理論變換是從拉氏變換引申出來的一種變換方法，是研究線性離散系統(tǒng)的重要數(shù)學(xué)工具。一、變換定義由式(8-5)，采樣信號的拉氏變換(1-1)可見為的超越函數(shù)。為便于應(yīng)用，進(jìn)行變量代換（1-2）將式(8-19)代入式(8-18)，則采樣信號的變換定義為(1-3)變換定義式（1-3）表示變量的系數(shù)代表連續(xù)時(shí)間函數(shù)在采樣時(shí)刻上的采樣值。有時(shí)也將記為(1-4)這些都表示對離散信號的變換。二變換方法常用的變換方法有級數(shù)求和法和部分分式法。1.級數(shù)求和法根據(jù)變換的定義，將連續(xù)信號按周期進(jìn)行采樣，將采樣點(diǎn)處的值代入式（1-3），可得再求出上式的閉合形式，即可求得。例1-1對連續(xù)時(shí)間函數(shù)按周期進(jìn)行采樣，可得試求。解按(1-3)變換的定義若，則無窮級數(shù)是收斂的，利用等比級數(shù)求和公式，可得閉合形式為2.部分分式法（查表法）已知連續(xù)信號的拉氏變換，將展開成部分分式之和，即且每一個(gè)部分分式都是變換表中所對應(yīng)的標(biāo)準(zhǔn)函數(shù)，其變換即可查表得出例1-2已知連續(xù)函數(shù)的拉氏變換為試求相應(yīng)的變換。解將展成部分分式：對上式逐項(xiàng)查變換表，可得三變換的基本定理1.線性定理若,,,為常數(shù)，則(1-5)證明由變換定義式(1-5)表明，變換是一種線性變換，其變換過程滿足齊次性與均勻性。2.實(shí)數(shù)位移定理實(shí)數(shù)位移是指整個(gè)采樣序列在時(shí)間軸上左右平移若干采樣周期，其中向左平移為超前，向右平移為滯后。實(shí)數(shù)位移定理表示如下：如果函數(shù)是可z變換的，其變換為，則有滯后定理(1-6)以及超前定理（1-7）其中為正整數(shù)。證明式(1-6)，由變換定義令，則有由于變換的單邊性，當(dāng)時(shí)，有，所以上式可寫為再令，式(1-6)得證。證明式(1-7)，由變換定義可知令，則有再令，可以得到式(1-7)得證。顯然可見，算子有明確的物理意義：代表時(shí)域中的延遲算子，它將采樣信號滯后個(gè)采樣周期；同理，代表超前環(huán)節(jié)，它把采樣信號超前個(gè)采樣周期。實(shí)數(shù)位移定理的作用相當(dāng)于拉氏變換中的微分或積分定理。應(yīng)用實(shí)數(shù)位移定理，可將描述離散系統(tǒng)的差分方程轉(zhuǎn)換為域的代數(shù)方程。例1-3試用實(shí)數(shù)位移定理計(jì)算滯后函數(shù)的變換。解3.復(fù)數(shù)位移定理如果函數(shù)是可變換的，其變換為，則有(1-8)證明由變換定義令，代入上式，則有原式得證。例1-4試用復(fù)數(shù)位移定理計(jì)算函數(shù)的變換。解令，查表可得根據(jù)復(fù)數(shù)位移定理(1-8)，有4.終值定理如果信號e(t)的z變換為E(z)，信號序列e(nT)為有限值(n＝0，1，2，…)，且極限存在，則信號序列的終值(1-9)證明根據(jù)z變換線性定理，有由平移定理于是上式兩邊取時(shí)的極限，得當(dāng)取為有限項(xiàng)時(shí)，上式右端可寫為令，上式為所以得證。在離散系統(tǒng)分析中，常采用終值定理求取系統(tǒng)輸出序列的穩(wěn)態(tài)值和系統(tǒng)的穩(wěn)態(tài)誤差。例1-5設(shè)變換函數(shù)為試?yán)媒K值定理確定的終值。解由終值定理(1-9)，得5.卷積定理設(shè)和，，為兩個(gè)采樣信號序列，其離散卷積定義為(1-10)則卷積定理可描述為：在時(shí)域中，若(1-11)則在z域中必有(1-12)證明由變換定義，有所以根據(jù)變換平移定理，有故交換求和次序并利用式(1-10)，上式可寫為原式得證。在離散系統(tǒng)分析中，卷積定理是溝通時(shí)域與域的橋梁。利用卷積定理可建立離散系統(tǒng)的脈沖傳遞函數(shù)。應(yīng)當(dāng)注意，變換只反映信號在采樣點(diǎn)上的信息，而不能描述采樣點(diǎn)間信號的狀態(tài)。因此變換與采樣序列對應(yīng)，而不對應(yīng)唯一的連續(xù)信號。不論什么連續(xù)信號，只要采樣序列一樣，其變換就一樣。四反變換已知變換表達(dá)式，求相應(yīng)離散序列的過程,稱為反變換，記為(1-13)當(dāng)時(shí)，，信號序列是單邊的，對單邊序列常用的反變換法有部分分式法，冪級數(shù)法和反演積分法。1.部分分式法（查表法）部分分式法又稱查表法，根據(jù)已知的，通過查變換表找出相應(yīng)的，或者?？紤]到變換表中，所有變換函數(shù)在其分子上都有因子，所以，通常先將展成部分分式之和，然后將等式左邊分母中的乘到等式右邊各分式中，再逐項(xiàng)查表反變換。例1-6設(shè)為試用部分分式法求。解首先將展開成部分分式，即把部分分式中的每一項(xiàng)乘上因子后，得查z變換表得，最后可得2.冪級數(shù)法變換函數(shù)的無窮項(xiàng)級數(shù)形式具有鮮明的物理意義。變量的系數(shù)代表連續(xù)時(shí)間函數(shù)在時(shí)刻上的采樣值。若是一個(gè)有理分式，則可以直接通過長除法，得到一個(gè)無窮項(xiàng)冪級數(shù)的展開式。根據(jù)的系數(shù)便可以得出時(shí)間序列的值。例1-7設(shè)為試用長除法求或。解應(yīng)用長除法，用分母去除分子，即可寫成所以 長除法以序列的形式給出的數(shù)值，但不容易得出的封閉表達(dá)形式。3.反演積分法（留數(shù)法）反演積分法又稱留數(shù)法。在實(shí)際問題中遇到的變換函數(shù)，除了有理分式外，也可能是超越函數(shù)，此時(shí)無法應(yīng)用部分分式法及冪級數(shù)法來求反變換，只能采用反演積分法。當(dāng)然，反演積分法對為有理分式的情形也適用。的冪級數(shù)展開形式為(1-14)設(shè)函數(shù)除有限個(gè)極點(diǎn),,…外，在z域上是解析的，則有反演積分公式(1-15)式中表示函數(shù)在極點(diǎn)處的留數(shù)，留數(shù)計(jì)算