PAGE1-第一節(jié)排列與組合[考綱傳真]1.理解分類加法計(jì)數(shù)原理和分步乘法計(jì)數(shù)原理.2.能正確區(qū)分“類”和“步”，并能利用兩個(gè)原理解決一些簡潔的實(shí)際問題.3.理解排列的概念及排列數(shù)公式，并能利用公式解決一些簡潔的實(shí)際問題.4.理解組合的概念及組合數(shù)公式，并能利用公式解決一些簡潔的實(shí)際問題．1．兩個(gè)計(jì)數(shù)原理分類加法計(jì)數(shù)原理分步乘法計(jì)數(shù)原理?xiàng)l件完成一件事有兩類不同方案，在第1類方案中有m種不同的方法，在第2類方案中有n種不同的方法完成一件事須要兩個(gè)步驟，做第1步有m種不同的方法，做第2步有n種不同的方法結(jié)論完成這件事共有N＝m＋n種不同的方法完成這件事共有N＝mn種不同的方法2.排列、組合的定義排列的定義從n個(gè)不同元素中取出m(m≤n)個(gè)元素依據(jù)肯定的依次排成一列組合的定義合成一組3.排列數(shù)、組合數(shù)的定義、公式、性質(zhì)排列數(shù)組合數(shù)定義從n個(gè)不同元素中取出m(m≤n)個(gè)元素的全部不同排列的個(gè)數(shù)從n個(gè)不同元素中取出m(m≤n)個(gè)元素的全部不同組合的個(gè)數(shù)公式Aeq\o\al(m,n)＝n(n－1)(n－2)…(n－m＋1)＝eq\f(n！,n－m！)Ceq\o\al(m,n)＝eq\f(A\o\al(m,n),A\o\al(m,m))＝eq\f(nn－1n－2…n－m＋1,m！)性質(zhì)Aeq\o\al(n,n)＝n！，0！＝1Ceq\o\al(m,n)＝Ceq\o\al(n－m,n)，Ceq\o\al(m,n)＋Ceq\o\al(m－1,n)＝Ceq\o\al(m,n＋1)[基礎(chǔ)自測(cè)]1．(思索辨析)推斷下列結(jié)論的正誤．(正確的打“√”，錯(cuò)誤的打“×”)(1)全部元素完全相同的兩個(gè)排列為相同排列． ()(2)在分類加法計(jì)數(shù)原理中，每類方案中的方法都能干脆完成這件事． ()(3)在分步乘法計(jì)數(shù)原理中，每個(gè)步驟中完成這個(gè)步驟的方法是各不相同的． ()(4)kCeq\o\al(k,n)＝nCeq\o\al(k－1,n－1). ()[答案](1)×(2)√(3)√(4)√2．(教材改編)圖書館的一個(gè)書架有三層，第一層有3本不同的數(shù)學(xué)書，其次層有5本不同的語文書，第三層有8本不同的英語書，現(xiàn)從中任取1本書，不同的取法有()A．12 B．16C．64 D．120B[書架上共有3＋5＋8＝16本不同的書，從中任取一本共有16種不同的取法，故選B.]3．(教材改編)用數(shù)字1,2,3,4,5組成無重復(fù)數(shù)字的四位數(shù)，其中偶數(shù)的個(gè)數(shù)為()A．8 B．24C．48 D．120C[末位只能從2,4中選一個(gè)，其余的三個(gè)數(shù)字隨意排列，故這樣的偶數(shù)共有Aeq\o\al(3,4)Ceq\o\al(1,2)＝4×3×2×2＝48個(gè)．故選C.]4．某市委從組織機(jī)關(guān)10名科員中選3人擔(dān)當(dāng)駐村第一書記，則甲、乙至少有1人入選，而丙沒有入選的不同選法的種數(shù)為()A．85 B．56C．49 D．28C[法一(干脆法)：甲、乙兩人均入選，有Ceq\o\al(1,7)Ceq\o\al(2,2)種方法，甲、乙兩人只有1人入選，有Ceq\o\al(1,2)Ceq\o\al(2,7)種方法，由分類加法計(jì)數(shù)原理，共有Ceq\o\al(2,2)Ceq\o\al(1,7)＋Ceq\o\al(1,2)Ceq\o\al(2,7)＝49種選法．法二(間接法)：從9人中選3人有Ceq\o\al(3,9)種方法，其中甲、乙均不入選有Ceq\o\al(3,7)種方法，∴滿意條件的選排方法有Ceq\o\al(3,9)－Ceq\o\al(3,7)＝84－35＝49種．]5．將6名老師分到三所中學(xué)任教，一所1名，一所2名，一所3名，則有________種不同的分法．360[將6名老師分組，分3步完成：第1步，在6名老師中任取1名作為一組，有Ceq\o\al(1,6)種取法；第2步，在余下的5名老師中任取2名作為一組，有Ceq\o\al(2,5)種取法；第3步，余下的3名老師作為一組，有Ceq\o\al(3,3)種取法．依據(jù)分步乘法計(jì)數(shù)原理，共有Ceq\o\al(1,6)Ceq\o\al(2,5)Ceq\o\al(3,3)＝60(種)取法．將這三組老師安排到三所中學(xué)，有Aeq\o\al(3,3)＝6(種)分法，故共有60×6＝360(種)不同的分法．]兩個(gè)計(jì)數(shù)原理的綜合應(yīng)用【例1】(1)從甲地到乙地每天有直達(dá)汽車4班，從甲到丙地，每天有5個(gè)班車，從丙地到乙地每天有3個(gè)班車，則從甲地到乙地不同的乘車方法有()A．12種 B．19種C．32種 D．60種(2)如圖，用6種不同的顏色分別給圖中A，B，C，D四塊區(qū)域涂色，若相鄰區(qū)域不能涂同一種顏色，則不同的涂法共有()A．400種 B．460種C．480種 D．496種(1)B(2)C[(1)分兩類：一類是干脆從甲到乙，有n1＝4種方法；另一類是從甲經(jīng)丙再到乙，可分為兩步，有n2＝5×3＝15種方法．由分類計(jì)數(shù)原理可得：從甲到乙的不同乘車方法n＝n1＋n2＝4＋15＝19.故選B.(2)完成此事可能運(yùn)用4種顏色，也可能運(yùn)用3種顏色．當(dāng)運(yùn)用4種顏色時(shí)：從A起先，有6種方法，B有5種，C有4種，D有3種，完成此事共有6×5×4×3＝360種方法；當(dāng)運(yùn)用3種顏色時(shí)，A，D運(yùn)用同一種顏色，從A，D起先，有6種方法，B有5種，C有4種，完成此事共有6×5×4＝120種方法．由分類加法計(jì)數(shù)原理可知：不同的涂法有360＋120＝480(種)．][規(guī)律方法]與兩個(gè)計(jì)數(shù)原理有關(guān)問題的解題策略1在綜合應(yīng)用兩個(gè)原理解決問題時(shí)，一般是先分類再分步，但在分步時(shí)可能又會(huì)用到分類加法計(jì)數(shù)原理.2對(duì)于較困難的兩個(gè)原理綜合應(yīng)用的問題，可恰當(dāng)?shù)禺嫵鍪疽鈭D或列出表格，化抽象為直觀.(1)五名學(xué)生報(bào)名參與四項(xiàng)體育競(jìng)賽，每人限報(bào)一項(xiàng)，則不同的報(bào)名方法的種數(shù)為________．五名學(xué)生爭奪四項(xiàng)競(jìng)賽的冠軍(冠軍不并列)，則獲得冠軍的可能性有________種．(2)用0,1,2,3,4,5,6這7個(gè)數(shù)字可以組成________個(gè)無重復(fù)數(shù)字的四位偶數(shù)．(用數(shù)字作答)(1)4554(2)420[(1)五名學(xué)生參與四項(xiàng)體育競(jìng)賽，每人限報(bào)一項(xiàng)，可逐個(gè)學(xué)生落實(shí)，每個(gè)學(xué)生有4種報(bào)名方法，共有45種不同的報(bào)名方法．五名學(xué)生爭奪四項(xiàng)競(jìng)賽的冠軍，可對(duì)4個(gè)冠軍逐一落實(shí)，每個(gè)冠軍有5種獲得的可能性，共有54種獲得冠軍的可能性．圖(1)(2)①當(dāng)末位數(shù)字是0時(shí)，如圖(1)所示，共有Aeq\o\al(3,6)個(gè)不同的四位偶數(shù)；圖(2)②當(dāng)末位數(shù)字是2或4或6時(shí)，如圖(2)所示，共有Aeq\o\al(1,5)Aeq\o\al(2,5)Ceq\o\al(1,3)個(gè)不同的四位偶數(shù)；即共有Aeq\o\al(3,6)＋Aeq\o\al(1,5)Aeq\o\al(2,5)Ceq\o\al(1,3)＝120＋5×5×4×3＝420個(gè)無重復(fù)數(shù)字的四位偶數(shù)．]排列問題【例2】3名女生和5名男生排成一排．(1)若女生全排在一起，有多少種排法？(2)若女生都不相鄰，有多少種排法？(3)若女生不站兩端，有多少種排法？(4)其中甲必需排在乙左邊(可不鄰)，有多少種排法？(5)其中甲不站最左邊，乙不站最右邊，有多少種排法？[解](1)(捆綁法)由于女生排在一起，可把她們看成一個(gè)整體，這樣同5名男生合在一起有6個(gè)元素，排成一排有Aeq\o\al(6,6)種排法，而其中每一種排法中，3名女生之間又有Aeq\o\al(3,3)種排法，因此共有Aeq\o\al(6,6)·Aeq\o\al(3,3)＝4320種不同排法．(2)(插空法)先排5名男生，有Aeq\o\al(5,5)種排法，這5名男生之間和兩端有6個(gè)位置，從中選取3個(gè)位置排女生，有Aeq\o\al(3,6)種排法，因此共有Aeq\o\al(5,5)·Aeq\o\al(3,6)＝14400種不同排法．(3)法一(位置分析法)：因?yàn)閮啥瞬慌排荒軓?名男生中選2人排，有Aeq\o\al(2,5)種排法，剩余的位置沒有特別要求，有Aeq\o\al(6,6)種排法，因此共有Aeq\o\al(2,5)·Aeq\o\al(6,6)＝14400種不同排法．法二(元素分析法)：從中間6個(gè)位置選3個(gè)支配女生，有Aeq\o\al(3,6)種排法，其余位置無限制，有Aeq\o\al(5,5)種排法，因此共有Aeq\o\al(3,6)·Aeq\o\al(5,5)＝14400種不同排法.(4)8名學(xué)生的全部排列共Aeq\o\al(8,8)種，其中甲在乙左邊與乙在甲左邊的各占eq\f(1,2)，因此符合要求的排法種數(shù)為eq\f(1,2)Aeq\o\al(8,8)＝20160.(5)甲、乙為特別元素，左、右兩邊為特別位置．法一(特別元素法)：甲在最右邊時(shí)，其他的可全排，有Aeq\o\al(7,7)種不同排法；甲不在最右邊時(shí)，可從余下6個(gè)位置中任選一個(gè)，有Aeq\o\al(1,6)種．而乙可排在除去最右邊位置后剩余的6個(gè)中的任一個(gè)上，有Aeq\o\al(1,6)種，其余人全排列，共有Aeq\o\al(1,6)·Aeq\o\al(1,6)·Aeq\o\al(6,6)種不同排法．由分類加法計(jì)數(shù)原理知，共有Aeq\o\al(7,7)＋Aeq\o\al(1,6)·Aeq\o\al(1,6)·Aeq\o\al(6,6)＝30960種不同排法．法二(特別位置法)：先排最左邊，除去甲外，有Aeq\o\al(1,7)種排法，余下7個(gè)位置全排，有Aeq\o\al(7,7)種排法，但應(yīng)剔除乙在最右邊時(shí)的排法Aeq\o\al(1,6)·Aeq\o\al(6,6)種，因此共有Aeq\o\al(1,7)·Aeq\o\al(7,7)－Aeq\o\al(1,6)·Aeq\o\al(6,6)＝30960種排法．法三(間接法)：8名學(xué)生全排列，共Aeq\o\al(8,8)種，其中，不符合條件的有甲在最左邊時(shí)，有Aeq\o\al(7,7)種排法，乙在最右邊時(shí)，有Aeq\o\al(7,7)種排法，其中都包含了甲在最左邊，同時(shí)乙在最右邊的情形，有Aeq\o\al(6,6)種排法．因此共有Aeq\o\al(8,8)－2Aeq\o\al(7,7)＋Aeq\o\al(6,6)＝30960種排法．[規(guī)律方法]求解排列應(yīng)用問題的六種常用方法干脆法把符合條件的排列數(shù)干脆列式計(jì)算優(yōu)先法優(yōu)先支配特別元素或特別位置捆綁法相隔問題把相鄰元素看作一個(gè)整體與其他元素一起排列，同時(shí)留意捆綁元素的內(nèi)部排列插空法對(duì)不相鄰問題，先考慮不受限制的元素的排列，再將不相鄰的元素插在前面元素排列的空當(dāng)中定序問題除法處理對(duì)于定序問題，可先不考慮依次限制，排列后，再除以定序元素的全排列間接法正難則反、等價(jià)轉(zhuǎn)化的方法(1)6把椅子擺成一排，3人隨機(jī)就座，任何兩人不相鄰的坐法種數(shù)為()A．144 B．120C．72 D．24(2)旅游體驗(yàn)師小明受某網(wǎng)站邀請(qǐng)，確定對(duì)甲、乙、丙、丁這四個(gè)景區(qū)進(jìn)行體驗(yàn)式旅游，若不能最先去甲景區(qū)旅游，不能最終去乙景區(qū)和丁景區(qū)旅游，則小李可選的旅游路途數(shù)為()A．24 B．18C．16 D．10(1)D(2)D[(1)先把3把椅子隔開擺好，它們之間和兩端共有4個(gè)位置，再把3人帶椅子插放在4個(gè)位置，共有Aeq\o\al(3,4)＝24(種)方法．故選D.(2)分兩種狀況，第一種：最終體驗(yàn)甲景區(qū)，則有Aeq\o\al(3,3)種可選的路途；其次種：不在最終體驗(yàn)甲景區(qū)，則有Ceq\o\al(1,2)·Aeq\o\al(2,2)種可選的路途．所以小李可選的旅游路途數(shù)為Aeq\o\al(3,3)＋Ceq\o\al(1,2)·Aeq\o\al(2,2)＝10.故選D.]組合問題【例3】某課外活動(dòng)小組共13人，其中男生8人，女生5人，并且男、女生各有一名隊(duì)長．現(xiàn)從中選5人主持某種活動(dòng)，依下列條件各有多少種選法？(1)只有一名女生當(dāng)選；(2)兩隊(duì)長當(dāng)選；(3)至少有一名隊(duì)長當(dāng)選；(4)至多有兩名女生當(dāng)選．[解](1)只有一名女生當(dāng)選等價(jià)于有一名女生和四名男生當(dāng)選．故共有Ceq\o\al(1,5)·Ceq\o\al(4,8)＝350種．(2)兩隊(duì)長當(dāng)選，共有Ceq\o\al(2,2)·Ceq\o\al(3,11)＝165種．(3)至少有一名隊(duì)長當(dāng)選含有兩類：只有一名隊(duì)長當(dāng)選，有兩名隊(duì)長當(dāng)選．故共有Ceq\o\al(1,2)·Ceq\o\al(4,11)＋Ceq\o\al(2,2)·Ceq\o\al(3,11)＝825種．(或采納解除法：Ceq\o\al(5,13)－Ceq\o\al(5,11)＝825(種))．(4)至多有兩名女生當(dāng)選含有三類：有兩名女生當(dāng)選，只有一名女生當(dāng)選，沒有女生當(dāng)選．故選法共有Ceq\o\al(2,5)·Ceq\o\al(3,8)＋Ceq\o\al(1,5)·Ceq\o\al(4,8)＋Ceq\o\al(5,8)＝966種．[規(guī)律方法]組合問題的常見類型與處理方法1“含有”或“不含有”某些元素的組合題型：“含”，則先將這些元素取出，再由另外元素補(bǔ)足；“不含”，則先將這些元素剔除，再從剩下的元素中選取.2“至少”或“至多”含有幾個(gè)元素的題型：若干脆法分類困難時(shí)，逆向思維，間接求解.(1)某單位擬支配6位員工在今年6月9日至11日值班，每天支配2人，每人值班1天．若6位員工中的甲不值9日，乙不值11日，則不同的支配方法共有()A．30種 B．36種C．42種 D．48種(2)現(xiàn)有16張不同的卡片，其中紅色、黃色、藍(lán)色、綠色卡片各4張，從中任取3張，要求這3張卡片不能是同一種顏色，且紅色卡片至多1張，不同取法的種數(shù)為()A．232 B．252C．472 D．484(1)C(2)C[(1)若甲在11日值班，則在除乙外的4人中任選1人在11日值班，有Ceq\o\al(1,4)種選法，9日、10日有Ceq\o\al(2,4)Ceq\o\al(2,2)種支配方法，共有Ceq\o\al(1,4)Ceq\o\al(2,4)Ceq\o\al(2,2)＝24(種)支配方法；若甲在10日值班，乙在9日值班，余下的4人有Ceq\o\al(1,4)Ceq\o\al(1,3)Ceq\o\al(2,2)種支配方法，共有12種支配方法；若甲、乙都在10日值班，則共有Ceq\o\al(2,4)Ceq\o\al(2,2)＝6(種)支配方法．所以總共有24＋12＋6＝42(種)支配方法．(2)分兩類：第一類，含有1張紅色卡片，不同的取法共有Ceq\o\al(1,4)Ceq\o\al(2,12)＝264(種)；其次類，不含有紅色卡片，不同的取法共有Ceq\o\al(3,12)－3Ceq\o\al(3,4)＝220－12＝208(種)．由分類加法計(jì)數(shù)原理知，不同的取法有264＋208＝472(種)．]1．(2024·全國卷Ⅱ)支配3名志愿者完成4項(xiàng)工作，每人至少完成1項(xiàng)，每項(xiàng)工作由1人完成，則不同的支配方式共有()A．12種B．18種 C．24種 D．36種D[由題意可得其中1人必需完成2項(xiàng)工作，其他2人各完成1項(xiàng)工作，可得支配方式為Ceq\o\al(1,3)·Ceq\o\al(2,4)·Aeq\o\al(2,2)＝36(種)，或列式為Ceq\o\a