7.4.1二項分布整體感知[學習目標]

1．理解n重伯努利試驗的概念．(數(shù)學抽象)2．掌握二項分布的概率表達式．(數(shù)學抽象)3．能利用n重伯努利試驗的模型及二項分布解決一些簡單的實際問題．(數(shù)學運算、數(shù)據(jù)分析)新課導入新知探究問題1下列一次隨機試驗的共同點是什么？試驗出現(xiàn)的結(jié)果共同點1、擲一枚硬幣2、檢驗一件產(chǎn)品3、飛碟射擊4、醫(yī)學檢驗正面朝上；反面朝上合格；不合格中靶；脫靶陰性；陽性只包含兩個結(jié)果我們把只包含兩個可能結(jié)果的試驗叫做伯努利試驗.概念生成伯努利試驗我們把只包含兩個可能結(jié)果的試驗叫做伯努利試驗(Bernoullitrials).

在實際問題中，有許多隨機試驗與擲硬幣試驗具有相同的特征，它們只包含兩個可能結(jié)果.例如，檢驗一件產(chǎn)品結(jié)果為合格或不合格，飛碟射擊時中靶或脫靶，醫(yī)學檢驗結(jié)果為陽性或陰性等.（還記得我們之前的0-1分布嗎？）（2）飛碟射擊時中靶或脫靶；（3）檢驗一件產(chǎn)品結(jié)果為合格或不合格；（4）醫(yī)學檢驗結(jié)果為陽性或陰性.……伯努利試驗：把只包含兩個可能結(jié)果的試驗。定義1

定義2(1)拋擲一枚質(zhì)地均勻的硬幣10次.(2)某飛碟運動員每次射擊中靶的概率為0.8，連續(xù)射擊3次.(3)一批產(chǎn)品的次品率為5%，有放回地隨機抽取20件.上述試驗都只包含兩個可能結(jié)果.(1)將同一個伯努利試驗重復做n次；(2)各次試驗的結(jié)果相互獨立.（1）拋擲一枚硬幣結(jié)果正面或反面朝上；上述試驗都是將一個伯努利試驗的重復n次只關注事件A是否發(fā)生只關注事件A在n次試驗中發(fā)生的次數(shù)X及其概率分布列新知探究

n重伯努利試驗

我們將一個伯努利試驗獨立地重復進行n次所組成的隨機試驗稱為n重伯努利試驗.n重伯努利試驗具有如下共同特征:(1)每次試驗都只有兩種結(jié)果，即事件要么發(fā)生，要么不發(fā)生；(2)每次試驗是在同樣條件下進行的；(3)各次試驗中的事件是相互獨立的；(4)每次試驗，某事件發(fā)生的概率是相同的。“重復”意味著各次試驗的概率相同概念生成[新知生成]1．n重伯努利試驗：將一個伯努利試驗____________進行n次所組成的隨機試驗稱為n重伯努利試驗．2．n重伯努利試驗的共同特征：(1)同一個伯努利試驗______做n次；(2)各次試驗的結(jié)果__________．獨立地重復重復相互獨立【微提醒】

(1)每次試驗結(jié)果只有兩種，即事件要么發(fā)生，要么不發(fā)生．(2)每次試驗在相同的條件下進行且各次試驗中的事件互不影響．[典例講評]

1．(1)(多選)下列事件不是n重伯努利試驗的是(

)A．運動員甲射擊一次，“射中9環(huán)”與“射中8環(huán)”B．甲、乙兩運動員各射擊一次，“甲射中10環(huán)”與“乙射中9環(huán)”C．甲、乙兩運動員各射擊一次，“甲、乙都射中目標”與“甲、乙都沒射中目標”D．在相同的條件下，甲射擊10次，5次擊中目標√√√互斥事件互斥事件相互獨立事件n重伯努利試驗[學以致用]

1．(1)下列試驗：①依次投擲四枚質(zhì)地不同的硬幣，3次正面向上；②某人射擊，擊中目標的概率是穩(wěn)定的，他連續(xù)射擊了10次，其中6次擊中；③口袋中裝有5個白球、3個紅球、2個黑球，依次從中抽取5個球，恰好抽出4個白球．其中是n重伯努利試驗的為________．(填序號)②試驗的結(jié)果有三種不同的顏色，且每種顏色出現(xiàn)的可能性不相等試驗的條件不同(質(zhì)地不同)新知探究問題2

某飛碟運動員每次射擊中靶的概率為0.8.連續(xù)3次射擊，中靶次數(shù)X的概率分布列是怎樣的?用Ai表示“第i次射擊中靶”(i＝1,2,3)，用下圖的樹狀圖表示試驗的可能結(jié)果：試驗結(jié)果X的值3次獨立重復試驗的結(jié)果兩兩互斥，每個結(jié)果都是由3個相互獨立事件的積.則X的概率分布列為:P(X=0)你能求出剩下的概率嗎？新知探究問題3

某飛碟運動員每次射擊中靶的概率為0.8.連續(xù)3次射擊，中靶次數(shù)X的概率分布列是怎樣的?用Ai表示“第i次射擊中靶”(i＝1,2,3)，則X的概率分布列為:P(X=0)P(X=1)P(X=2)P(X=3)=P(A1A2A3)=3×0.8×0.22=3×0.82×0.2=0.83于是,中靶次數(shù)X的分布列可簡寫為:

問題4

如果連續(xù)射擊4次，類比上面的分析，表示中靶次數(shù)X等于2的結(jié)果有哪些?寫出中靶次數(shù)X的分布列.新知探究（1）連續(xù)射擊4次，中靶次數(shù)X＝2的結(jié)果有共6個.(2)中靶次數(shù)X的分布列為

中靶次數(shù)X的分布列可簡寫為：二項分布一般地，在n重伯努利試驗中，設每次試驗中事件A發(fā)生的概率為p(0<p<1)，用X表示事件A發(fā)生的次數(shù)，則X的分布列為

二項分布如果隨機變量X的分布列具有上式的形式，則稱隨機變量X服從二項分布，記作X~B(n,p).概念生成概念辨析問題5

對比二項分布與二項式定理，你能看出它們之間的聯(lián)系嗎?如果把p看成b

，1-p看成a

，則就是二項式定理[(1-p)+p]n的展開式的第k＋1項，由此才稱為二項分布.服從二項分布的事件A恰好發(fā)生k次的概率正好是二項式定理展開式的第k＋1項，故有追問

二項分布和兩點分布有什么聯(lián)系？兩點分布是一種特殊的二項分布，即是n=1的二項分布；二項分布可以看做兩點分布的一般形式.概念辨析二項分布的分布列如下表當n=1時，可以得到兩點分布的分布列如右表：反思領悟

n重伯努利試驗概率求法的三個步驟(1)判斷：依據(jù)n重伯努利試驗的特征，判斷所給試驗是否為n重伯努利試驗．(2)分拆：判斷所求事件是否需要分拆．(3)計算：就每個事件依據(jù)n重伯努利試驗的概率公式求解，最后利用互斥事件概率加法公式計算．[新知生成]1．二項分布一般地，在n重伯努利試驗中，設每次試驗中事件A發(fā)生的概率為p(0<p<1)，用X表示事件A發(fā)生的次數(shù)，則X的分布列為P(X＝k)＝___________________，k＝0，1，2，…，n.如果隨機變量X的分布列具有上式的形式，則稱隨機變量X服從二項分布，記作X～B(n，p)．2．二項分布的均值與方差若X服從二項分布，即X～B(n，p)，則E(X)＝____，D(X)＝____________．

npnp(1－p)【微提醒】

(1)由二項式定理可知，二項分布的所有概率和為1.(2)兩點分布與二項分布的關系：兩點分布是只進行一次的二項分布．

√

[典例講評]

2．拋擲兩枚骰子，取其中一枚的點數(shù)為點P的橫坐標，另一枚的點數(shù)為點P的縱坐標，連續(xù)拋擲這兩枚骰子三次，求點P在圓x2＋y2＝16內(nèi)的次數(shù)X的分布列．

X0123P[典例講評]

2．拋擲兩枚骰子，取其中一枚的點數(shù)為點P的橫坐標，另一枚的點數(shù)為點P的縱坐標，連續(xù)拋擲這兩枚骰子三次，求點P在圓x2＋y2＝16內(nèi)的次數(shù)X的分布列．因此，隨機變量X的分布列為

試驗次數(shù)成功概率

X0123P問題7

假設隨機變量X服從二項分布B(n,p),那么X的均值和方差各是什么?對于一個離散型隨機變量，除了關心它的概率分布外，我們還關心它的均值和方差等數(shù)字特征.因此,一個服從二項分布的隨機變量，其方差和均值也是我們關心的.我們知道，拋擲一枚質(zhì)地均勻的硬幣，“正面朝上”的概率為0.5，如果擲100次硬幣，期望有100×0.5＝50次正面朝上.

根據(jù)均值的含義，對于服從二項分布的隨機變量X,我們猜想E(X)＝np.

新知探究：二項分布的均值與方差新知探究：二項分布的均值與方差從簡單開始,先考察n較小的情況.服從二項分布的隨機變量X,我們猜想：E(X)＝np.

(1)當n＝1時,X服從兩點分布,X分布列為

則有E(X)＝0×(1－p)+1×p＝pD(X)＝02×(1－p)+12×p－p2＝p(1－p)(2)當n＝2時,X分布列為

P(X＝0)＝(1－p)2,P(X＝1)＝2p(1－p),P(X＝2)＝p2E(X)＝0×(1－p)2＋1×2p(1－p)＋2×p2＝2pD(X)＝02×(1－p)2＋12×2p(1－p)＋22×p2－(2p)2＝2p(1－p)P(X＝0)＝1－p,P(X＝1)＝p,由此可猜想,

若X~B(n,p),則有如果X~B(n,p),那么E(X)=np,D(X)=np(1-p).下面對均值進行證明.證明：新知探究：二項分布的均值與方差[典例講評]

3．(1)已知X～B(10，0.5)，Y＝2X－8，則E(Y)等于(

)A．6 B．2C．4 D．3√由題意，隨機變量X～B(10，0.5)，可得E(X)＝10×0.5＝5，因為Y＝2X－8，可得E(Y)＝2E(X)－8＝2×5－8＝2.

ξ01234P

發(fā)現(xiàn)規(guī)律

解決此類問題的第一步是判斷隨機變量X服從什么分布，第二步是代入相應的公式求解．若X服從兩點分布，則E(X)＝___，D(X)＝___________；若X服從二項分布，即X～B(n，p)，則E(X)＝____，D(X)＝____________．pp(1－p)npnp(1－p)

ξ012345P

η012345P(3)求這名學生在途中至少遇到一次紅燈的概率．

應用遷移√1．n重伯努利試驗應滿足的條件：①各次試驗的結(jié)果之間是相互獨立的；②每次試驗只有兩種結(jié)果；③各次試驗成功的概率是相同的；④每次試驗發(fā)生的事件是互斥的．其中正確的是(

)A．①② B．②③C．①②③ D．①②④C

由n重伯努利試驗的概念知①②③正確，④錯誤．應用遷移2．投籃測試中，每人投3次，至少投中2次才算通過測試．已知某同學每次投籃投中的概率為0.6，且各次投籃是否投中相互獨立，則該同學通過測試的概率為(

)A．0.648 B．0.432C．0.36 D．0.312√

√

4．某次考試中，第一大題由12個選擇題組成，每題選對得5分，不選或錯選得0分．小王選對每題的概率為0.8，則其第一大題得分的均值為________．設小王選對的個數(shù)為X，得分為Y＝5X，則X～B(12，0.8)，E(X)＝np＝12×0.8＝9.6，E(Y)＝E(5X)＝5E(X)＝5×9.6＝48481．知識鏈：(1)n重伯努利試驗的概念及特征．(2)二項分布的概念及表示．(3)二項分布的均值及方差．2．方法鏈：二項分布問題的求解策略、數(shù)學建模．3．警示牌：不能正確判斷是不是二項分布而致誤．一、選擇題1．若某地居民中高血壓的患病率為p，從該地區(qū)隨機抽查n人，則下列說法正確的是(

)A．樣本患病率服從二項分布X～B(n，p)B．n人中患高血壓的人數(shù)X服從二項分布X～B(n，p)C．患病人數(shù)與樣本患病率均不服從二項分布X～B(n，p)D．患病人數(shù)與樣本患病率均服從二項分布X～B(n，p)B

[由二項分布的定義知B正確．]√課時分層作業(yè)(十七)2．設X～B(40，p)，且E(X)＝16，則p等于(

)A．0.1 B．0.2C．0.3 D．0.4D

[∵E(X)＝16，∴E(X)＝40p＝16，解得p＝0.4.故選D．]√

√

4．(多選)已知隨機變量X＋ξ＝7，若X～B(10，0.6)，則E(ξ)，D(ξ)分別為(

)A．E(ξ)＝1 B．E(ξ)＝2C．D(ξ)＝2.4D．D(ξ)＝5.6因為X～B(10，0.6)，所以E(X)＝10×0.6＝6，D(X)＝10×0.6×0.4＝2.4.因為X＋ξ＝7，所以ξ＝7－X，由均值和方差的性質(zhì)可得，E(ξ)＝E(7－X)＝7－E(X)＝1，D(ξ)＝D(7－X)＝D(X)＝2.4√√5．(多選)一次數(shù)學測驗由25道選擇題構成，每道選擇題有4個選項，其中有且僅有一個選項是正確的，每道題目選擇正確得4分，不作出選擇或選錯不得分，滿分100分，某學生選對任一題的概率為0.6，則(

)A．該學生在這次數(shù)學測驗中選對答案的題目的個數(shù)