黑龍江省教育學(xué)會示范性高中專業(yè)委員會高三學(xué)年第一次模擬考試數(shù)學(xué)學(xué)科試題一、選擇題：本題共8小題，每小題5分，共分．在每小題給出的四個選項中，只有一項符合要求．1.若，則復(fù)數(shù)的虛部為（）A.B.1C.D.【答案】B【解析】【分析】由復(fù)數(shù)的除法得到代數(shù)形式，即可求解；【詳解】由，可得：，所以復(fù)數(shù)的虛部為1.故選：B2.設(shè)集合，則（）A.B.C.D.【答案】D【解析】【分析】根據(jù)一元二次不等式求出集合A，再應(yīng)用交集定義計算求解.【詳解】集合，，則故選：D.3.在高三某次調(diào)研考試時，某學(xué)習(xí)小組對本組6名同學(xué)的考試成績進行統(tǒng)計，其中數(shù)學(xué)試卷上有一道滿分為12分的解答題，6名同學(xué)的得分按從低到高的順序排列為，若該組數(shù)據(jù)的中位數(shù)是這組數(shù)據(jù)極差，則該組數(shù)據(jù)的第60百分位數(shù)是（）A.7B.7C.9D.10第1頁/共23頁【答案】D【解析】【分析】根據(jù)中位數(shù)是極差求出的值，再計算第60百分位數(shù)即可.，，，1012為偶數(shù)，所以中位數(shù)是中間兩個數(shù)和的平均數(shù)，即中位數(shù)為.極差是最大值12減去最小值，即極差為.因為該組數(shù)據(jù)的中位數(shù)是這組數(shù)據(jù)的極差，所以.可得：.此時這組數(shù)據(jù)為，，，10，10，12.計算，所以第60百分位數(shù)是第個數(shù)，即10.故選：D.4.正項等比數(shù)列中，是其前項和，若，則（）A.63B.56C.52D.42【答案】D【解析】【分析】根據(jù)等比數(shù)列的通項公式基本量運算求出通項，再應(yīng)用等比數(shù)列求和即可.【詳解】正項等比數(shù)列中，是其前項和，若，則，所以或，因為，所以，所以，又因為，所以，則.故選：D.5.已知，且，則（）A.B.C.D.【答案】C第2頁/共23頁【解析】【分析】應(yīng)用兩角和差正弦公式計算，再結(jié)合二倍角余弦公式計算即可.【詳解】已知，且，則，所以，則.故選：C.6.正方體的棱長為1，為棱的中點，點在面對角線上運動（點異于）A.平面B.C.直線與平面所成角的余弦值為D.三棱錐體積為【答案】C【解析】ABC平面距離空間向量法求解再結(jié)合三棱錐體積公式計算判斷D.第3頁/共23頁【詳解】連接，因為分別是中點，所以平面，平面，所以平面，A選項正確；如圖建系，設(shè)，所以，所以，B選項正確；設(shè)，設(shè)平面法向量為，，設(shè)直線與平面所成角為，所以，所以，C選項錯誤；設(shè)平面法向量為，因為，所以，所以，令，則，第4頁/共23頁因為，所以，所以點到平面的距離為，所以三棱錐的體積為，D選項正確.故選：C.7.已知函數(shù)是偶函數(shù)，則（）A.B.C.D.【答案】A【解析】【分析】利用偶函數(shù)的性質(zhì)求解參數(shù)，結(jié)合導(dǎo)數(shù)判斷單調(diào)性，再利用對數(shù)的運算性質(zhì)將所有數(shù)轉(zhuǎn)化到同一單調(diào)區(qū)間內(nèi)，比較大小即可.【詳解】因為函數(shù)是偶函數(shù)，且，，所以，即，解得，得到，其定義域關(guān)于原點對稱，此時，，故是偶函數(shù)，符合題意，而，令，，令，，故在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，第5頁/共23頁而，且，得到，而由偶函數(shù)性質(zhì)得，而，則，得到成立，故A正確.故選：A8.若不等式對一切e的可能取值為（）A.B.C.1D.2【答案】A【解析】【詳解】不等式可化為，令，當(dāng)時，，此時，直線恒過點，故只需直線為在點處的切線即可，，此時．當(dāng)時，亦恒過點，為使，對一切恒成立，需開口向下，且在點處與有公切線即可，故，此時．綜上，的取值范圍是，所以的可能取值為.故選：A.二、選擇題：本題共3小題，每小題6分，共分．在每小題給出的選項中，有多項符合題目要求．全部選對的得6分，部分選對的得部分分，有選錯的得0分．9.坐位體前屈（SitAndReach）是一種體育鍛煉項目，也是大中小學(xué)體質(zhì)健康測試項目，通常使用電動測第6頁/共23頁試儀進行測試，為鼓勵和推動學(xué)生積極參加體育鍛煉，增強學(xué)生體質(zhì)，我國于2002年開始在全國試行《學(xué)高三女生坐位體前屈的成績cm三女生中隨機抽取3人，記在區(qū)間的人數(shù)為，則正確的有（）A.B.C.D.【答案】AB【解析】【分析】利用正態(tài)分布的性質(zhì)計算判斷ABC概率公式計算判斷D.【詳解】對于A，由，得，則，A正確；對于B，由A知，在區(qū)間的概率為，，，因此，B正確；對于C，由B知，，因此，C錯誤；對于D，，D錯誤.故選：AB10.已知函數(shù)，如圖是直線與曲線的三個交點，其橫坐標分別是，則正確的有（）A.若，則B.若，則的單調(diào)減區(qū)間為第7頁/共23頁C.若，則D.若，且，點的橫坐標為，則【答案】ABD【解析】分析】求出周期判斷A；求出最值點判斷BC；利用圖象，結(jié)合給定條件求出解析式計算判斷D.【詳解】對于A，觀察圖象知，函數(shù)的最小正周期，因此，A正確；對于B，函數(shù)的一個最大值點為，右側(cè)相鄰最小值點，則函數(shù)的最小正周期為，單調(diào)減區(qū)間為，B正確；對于C，，當(dāng)時，由，得，由或或，得或或，而均在區(qū)間內(nèi)，C錯誤；對于D，由，得，由并結(jié)合圖象得，則，解得，，又，且在的一個減區(qū)間內(nèi)，則，解得，因此，，D正確.故選：ABD已知曲線為上一點，則以下說法正確的有（）第8頁/共23頁A.存在點，使得B.的取值范圍為C.若的值與無關(guān)，且，則取值范圍為D.若的值與無關(guān)，則其最小值為．【答案】BCD【解析】【分析】首先對曲線進行化簡，分類討論點的位置判斷A，利用點到直線的距離公式結(jié)合余弦函數(shù)的性質(zhì)判斷B，利用平行線間的距離公式結(jié)合直線與橢圓的位置關(guān)系判斷C，D即可.【詳解】我們首先對曲線的方程化簡，得到，對于A，若點在曲線上時，有，此時，不可能有；當(dāng)點在曲線上時，曲線的漸近線方程，當(dāng)點在上時，曲線的漸近線方程，如圖，因為直線與漸近線方程平行，第9頁/共23頁則不存在點，使得，故A錯誤；對于B，因為可看作到直線的距離的倍，因為直線與平行，且之間的距離為1，故，由圖可知，當(dāng)點在曲線上時，點到直線的距離有最大值，設(shè)，點到直線的距離為，結(jié)合余弦函數(shù)有界性可得，當(dāng)且僅當(dāng)?shù)忍柍闪?，即，則的取值范圍為，故B正確．對于C，設(shè)由第10頁/共23頁得表示點到直線和的距離之和的倍，的值與無關(guān)，則該曲線在兩平行線和之間，當(dāng)與曲線橢圓部分相切時，聯(lián)立得，且，解得或，所以的范圍為，故C正確；對于D，當(dāng)為漸近線為與曲線橢圓部分相切的直線時，的值最小，由平行線間距離公式得與的距離，則，且，故D正確．故選：BCD【點睛】關(guān)鍵點點睛：解題關(guān)鍵是判斷取值最小的情況，然后結(jié)合平行線間距離公式得到所要求的結(jié)果即可．三、填空題：本小題共3個小題，每小題5分，共分．12.已知拋物線的焦點為，點在上，且，則到軸的距離為______．【答案】##【解析】【分析】根據(jù)拋物線的定義，先求出拋物線的準線方程，再結(jié)合拋物線上的點到焦點的距離等于到準線的距離，進而求出點到軸的距離.【詳解】在拋物線中，，則，所以準線方程為.第11頁/共23頁設(shè)點的坐標為到焦點的距離為到準線的距離也為.點到準線的距離為，所以.解方程，可得.點到軸的距離就是點橫坐標的絕對值，因為，所以點到軸的距離為.故答案為：.13.已知平面向量滿足，則______．【答案】##【解析】【分析】利用平面向量數(shù)量積的定義結(jié)合給定條件得到方程，求解夾角即可.【詳解】因為，所以，得到，即，而，故，解得.故答案為：14.三棱錐中，平面，平面內(nèi)動點的軌跡是集合，已知，且在所在直線上，．則三棱錐外接球的表面積為______．【答案】【解析】【分析】以中點為原點建立直角坐標系，設(shè)，利用題設(shè)等式化簡計算得到點的軌跡方程，從而得出的外接圓半徑為4，結(jié)合對應(yīng)圖形借助于直角三角形即可求解.【詳解】以中點為原點建立直角坐標系，不妨設(shè)，第12頁/共23頁設(shè)，由可得，，化簡得：，此即點的軌跡方程，其中，，故外接圓半徑為4，設(shè)三棱錐的外接球半徑為，球心為，取的中點，點即的外接圓圓心，連接，作于點，則平面，在中，，則，在中，可得：，解得，所以.故答案為：.【點睛】關(guān)鍵點點睛：由動點的軌跡方程確定外接圓的半徑是解題的關(guān)鍵.四、解答題：本題共5小題，共分．解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟．15.在中，內(nèi)角所對的邊分別為，且．（1）求角；（2）若為的中點，在下列兩個條件中任選一個，求的長度．條件①：的面積，且，第13頁/共23頁條件②：注：如果選擇多個條件分別解答，按第一個解答計分．【答案】（1）（2）【解析】1）由正弦定理邊角轉(zhuǎn)化，再應(yīng)用余弦定理求解即可；（2）選條件①先應(yīng)用面積公式計算得出，再應(yīng)用余弦定理計算求解；選條件②先應(yīng)用同角三角函數(shù)關(guān)系得出，再應(yīng)用正弦定理結(jié)合余弦定理計算求解.【小問1詳解】由題意得，由正弦定理得，，．【小問2詳解】若選條件①：∵的面積，，，，，為的中點，，在中，，．第14頁/共23頁若選條件②：，由正弦定理得，，，解得或為的中點，，在中，，．16.已知函數(shù)．（1）當(dāng)時，求曲線在點處的切線方程；（2）若函數(shù)有極小值，且極小值小于，求實數(shù)的取值范圍．【答案】（1）（2）【解析】1）根據(jù)題意計算和，得切線方程為；（2）先求導(dǎo)得，分和討論，求出極小值，再由整理有，構(gòu)造新函數(shù)，利用導(dǎo)數(shù)求解即可.【小問1詳解】當(dāng)時，，則，所以，因為，所以在處的切線方程為．【小問2詳解】第15頁/共23頁因為，其中，則，①當(dāng)時，恒成立，此時函數(shù)在上單調(diào)遞增，無極小值，②當(dāng)時，令，可得，列表如下：0+遞減極小值遞增所以，由題意可得，即，令，則．因為，當(dāng)?shù)忍柍闪?，所以函?shù)在單調(diào)遞增，所以由，得，所以實數(shù)的取值范圍是．17.員的榮耀與拼搏．中國隊以32金27銀26銅，總計85枚獎牌的傲人成績，強勢登頂獎牌榜，成為最大贏家．這一成績不僅創(chuàng)造了中國隊亞冬會歷史最佳，更是追平了單屆金牌數(shù)紀錄，書寫了中國冰雪運動的嶄新篇章．冰球深受廣大球迷的喜愛，每支球隊都有一個或幾個主力隊員，現(xiàn)有一支冰球隊，其中甲球員是其主力隊員，經(jīng)統(tǒng)計該球隊在某階段所有比賽中，甲球員是否上場時該球隊的勝負情況如表：甲球員是否上場球隊的勝負情況合計勝負第16頁/共23頁上場3845未上場3合計40（1的獨立性檢驗，能否認為球隊的勝負與甲球員是否上場有關(guān)聯(lián)？（2）由于隊員的不同，甲球員主打的位置會進行調(diào)整，根據(jù)以往的數(shù)據(jù)統(tǒng)計，甲球員上場時，打邊鋒，中鋒，后衛(wèi)的概率分別為0.4，0.5，0.1，相應(yīng)球隊贏球的概率分別為0.7，0.9，0.5．（?。┊?dāng)甲球員上場參加比賽時，求球隊贏球的概率；（ⅱ）當(dāng)甲球員上場參加比賽時，在球隊贏了某場比賽的條件下，求甲球員打中鋒的概率．附：．0.150.100.050.0250.0100.0012.0722.7063.7415.0246.63510.728【答案】（1）列聯(lián)表見解析，有關(guān)（20.78【解析】1）先補全表格再計算卡方，最后根據(jù)臨界值判斷即可；（2【小問1詳解】根據(jù)題意，可得的列聯(lián)表：甲球員是否上場球隊的勝負情況合計勝負上場38745第17頁/共23頁未上場235合計401050零假設(shè)：球隊勝負與甲球員是否上場無關(guān)根據(jù)列聯(lián)表中的數(shù)據(jù)，經(jīng)計算得到根據(jù)小概率值的獨立性檢驗，我們推斷不成立，即認為球隊勝負與甲球員是否上場有關(guān)，此推斷犯錯誤的概率不大于0.025．【小問2詳解】甲球員上場時，打邊鋒，中鋒，后衛(wèi)的概率分別為0.4，0.5，0.1，相應(yīng)球隊贏的概率分別為0.7，0.9，0.5（?。┰O(shè)事件事件則所以當(dāng)甲球員上場參加比賽時，球隊贏球的概率當(dāng)甲球員上場參加比賽時，求球隊勝的概率0.78（ⅱ）當(dāng)甲球員上場參加比賽時，在球隊贏了某場比賽的條件下，甲球員打中鋒的概率．當(dāng)甲球員上場參加比賽時，在球隊贏了某場比賽的條件下，甲球員打中鋒的概率18.已知橢圓的左，右焦點分別為，經(jīng)過且傾斜角為的直線與橢圓交于兩點（其中點在第18頁/共23頁（1）為橢圓上頂點時求的面積；（2）如圖，將平面沿軸折疊，使軸正半軸和軸所確定半平面（平面）與軸負半軸和軸所確定的半平面（平面）互相垂直．（?。┤?，求異面直線和所成角的余弦值；（ⅱ）是否存在，使得折疊后與距離與折疊前與距離之比為？若存在，求的值，若不存在，請說明理由．【答案】（1）（2【解析】1）根據(jù)點斜式求解直線方程，即可聯(lián)立直線與題意方程，得交點坐標，即可利用面積公式求解，（2程，得韋達定理，根據(jù)兩點距離公式可得,根據(jù)即可求解.【小問1詳解】由橢圓方程知當(dāng)為橢圓上頂點時，又，直線的方程為第19頁/共23頁由知，．【小問2詳解】（?。r在折疊前圖中，直線方程為，由（1）可知此時折疊后仍以軸為軸，軸原位置仍為軸，折疊后軸的正方向為軸正方向，建立空間直角坐標系，則（ⅱ）折疊前設(shè)，直線由知，折疊后按（ⅰ）中坐標系第20頁/共23頁由知或（舍去），故存在1）幾何法，若題目的條件能明顯體現(xiàn)幾何2）代數(shù)法，若題目的條件能體現(xiàn)一種明確的函數(shù)關(guān)系，則