專題03解二（三）元一次方程組（四大題型總結(jié)）【題型一：利用代入消元法解二元一次方程組】1．（2024八年級(jí)上·全國(guó)·專題練習(xí)）用代入法解下列方程組：（1）2x+4y=9x=2?y（2）x?3y=?22x+y=32．（23-24七年級(jí)下·黑龍江齊齊哈爾·期中）用代入消元法解下列方程組：（1）4x+y=153x?2y=3（2）y=2x?33x+2y=83．（23-24七年級(jí)下·山東青島·階段練習(xí)）解方程組：（1）3x?y=?4x?2y=?3（2）3x?4x?2y4．（23-24八年級(jí)下·重慶南岸·開學(xué)考試）解方程組：（1）3x+4y=2y?2x=?5（2）x+y=35x?35．（23-24七年級(jí)下·重慶巴南·期末）解方程組：（1）4x+2y=?2x?4=y（2）5x+2y=94x?y=26．（23-24七年級(jí)下·四川南充·期中）解方程組：（1）2x?3y=44x+y=1（2）y=2x?1x?2y=17．（23-24七年級(jí)下·湖北武漢·期中）解下列二元一次方程組：（1）y=2x?33x+2y=8（2）3x+4y=22x?y=58．（23-24七年級(jí)下·廣東肇慶·期中）解二元一次方程組：（1）x=y+3①（2）a?2b=4①9．（23-24八年級(jí)下·山東青島·期中）解方程組：（1）x?2y=14x+3y=26（2）x+1210．（2024七年級(jí)上·全國(guó)·專題練習(xí)）解方程組：2x?y+2=0①【題型二：利用加減消元法解二元一次方程組】11．（24-25八年級(jí)上·黑龍江大慶·期中）解方程組：（1）x+4y=?153x?5y=6（2）x212．（24-25八年級(jí)上·河南駐馬店·期末）解下列方程組：（1）3x?2y=114x?5y=3（2）0.5x+0.8y=4.71.2y+0.6x=6.613．（24-25八年級(jí)上·全國(guó)·期末）解方程組：（1）3x+8y=105x?12y=23（2）x314．（24-25八年級(jí)上·山東濟(jì)南·階段練習(xí)）解方程組：（1）2x+y=7x?y=2（2）3x+2y=4x15．（2024七年級(jí)上·全國(guó)·專題練習(xí)）解下列方程組：（1）2x+y=3x?y=6（2）3x?116．（24-25八年級(jí)上·內(nèi)蒙古包頭·期末）解方程組：（1）3x+4y=22x?y=5（2）x+1217．（24-25八年級(jí)上·陜西西安·期末）解方程組：（1）2x?y=33（2）x218．（24-25八年級(jí)上·陜西咸陽(yáng)·期末）解下列方程組：（1）3s?7t=15s?4t=17（2）x?1219．（24-25八年級(jí)上·寧夏中衛(wèi)·期末）解下列方程組：（1）3y?2x=1x+2（2）6x?y20．（24-25七年級(jí)下·全國(guó)·單元測(cè)試）解下列方程組：（1）x+y=103x?2y=5（2）x2（3）4x?y?1（4）3x+y【題型三：二元一次方程組的特殊解法】21．（23-24七年級(jí)下·吉林長(zhǎng)春·期中）閱讀材料：解方程組x?y?5=0①3x?y+2y=9②時(shí)，可由①得x?y=5③，然后再將③代入②，得3×5+2y=9，解得y=?利用上述方法解方程組：3x+y+1=03x+y?622．（23-24七年級(jí)下·廣西南寧·階段練習(xí)）閱讀感悟：有些關(guān)于方程組的問題，需要求的結(jié)果不是每一個(gè)未知數(shù)的值，而是關(guān)于未知數(shù)的代數(shù)式的值，如以下問題：已知實(shí)數(shù)x，y滿足3x?y=5①，2x+3y=7②，求x?4y和7x+5y的值．本題常規(guī)思路是將①②兩式聯(lián)立組成方程組，解得x，y的值再代入欲求值的代數(shù)式得到答案，常規(guī)思路運(yùn)算量比較大．其實(shí)，仔細(xì)觀察兩個(gè)方程未知數(shù)的系數(shù)之間的關(guān)系，本題還可以通過適當(dāng)變形整體求得代數(shù)式的值，如由①?②可得x?4y=?2，由①+解決問題：（1）已知二元一次方程組2x+3y=173x+2y=13，請(qǐng)用“整體代入法”求x?y和x+y（2）對(duì)于實(shí)數(shù)x，y，定義新運(yùn)算：x?y=ax?by+c，其中a，b，c是常數(shù)，等式右邊是通常的加法和乘法運(yùn)算．已知3?5=15，4?7=28，求a?b+c的值．23．（2024七年級(jí)下·全國(guó)·專題練習(xí)）閱讀下列材料，學(xué)習(xí)完“代入消元法”和“加減消元法”解二元一次方程組后，聰明的小燕在解方程組2x+3y=12①由①可設(shè)2x=6+6t，3y=6?6t，即x=3+3t，y=2?2t，代入②，得7(3+3t)?17(2?2t)=97，解得t=2．所以x=3+3×2=9，y=2?2×2=?2．所以原方程組的解為x=9y=?2請(qǐng)你模仿小燕的“平均值換元法”解方程組：5x+7y=707x+3y=16624．（23-24七年級(jí)下·河南南陽(yáng)·階段練習(xí)）閱讀材料：善于思考的貝貝同學(xué)在解方程組(a?1)+2(b+2)=62(a?1)+(b+2)=6時(shí)，采用了一種“整體換元”的解法．把a(bǔ)?1,b+2看成一個(gè)整體，設(shè)a?1=x,b+2=y,原方程組可變?yōu)閤+2y=62x+y=6，解得x=2y=2，即（1）模仿貝貝同學(xué)的“整體換元”的方法，解方程組：a（2）已知關(guān)于x,y的方程組a1x+b1y=c1a225．（23-24九年級(jí)下·黑龍江哈爾濱·期末）閱讀下列解方程組的方法，然后解決問題．解方程組20x+19y=17①解：①?②得3x+3y=3，所以x+y=1③．將③×16，得16x+16y=16④②?④，得x=?2，由③得y=3，所以方程組的解是x=?2y=3（1）請(qǐng)采用上面的方法解方程組2024x+2023y=20222021x+2020y=2019（2）直接寫出關(guān)于x、y的方程組的解a+2x+ay=a+726．（2025七年級(jí)下·全國(guó)·專題練習(xí)）解方程組：（1）4x+3y（2）4x27．（2024七年級(jí)上·全國(guó)·專題練習(xí)）利用換元法解下列方程組：（1）2x+1（2）x+y228．（2024七年級(jí)下·全國(guó)·專題練習(xí)）用換元法解二元一次方程組：（1）x+2y（2）2x+3y【題型四：解三元一次方程組】29．（2024七年級(jí)上·全國(guó)·專題練習(xí)）解方程組：（1）y=2x?7①（2）x+y=3①30．（23-24七年級(jí)下·全國(guó)·假期作業(yè)）解方程組：（1）3x?y+z=42x+3y?z=12（2）3x?y=?7y+4z=3,31．（2024七年級(jí)上·全國(guó)·專題練習(xí)）解方程組：（1）x+y+z=6①（2）3x?y=?7①32．（24-25八年級(jí)上·陜西西安·期中）解下列方程組：（1）x+y+z=26x?y=1（2）x+3y+2z=32x?3y?z=?233．（23-24六年級(jí)下·上海嘉定·期末）解方程組：（1）x+y+z=102x+3y+z=17（2）2x+3y?z=112x+y?5z=834．（23-24六年級(jí)下·上海徐匯·期末）解方程組：（1）x+y+z=6x?2y+5z=7（2）x?y?z=?13x+5y+7z=1135．（23-24七年級(jí)下·全國(guó)·課后作業(yè)）解方程組：（1）x:y=3:4①（2）2x+4y?3z=2①36．（23-24七年級(jí)下·甘肅定西·階段練習(xí)）閱讀材料：已知方程組2x+3y+z=83x+5y+z=11，求x+y+z解法一：由原方程組，得2x+z=8?3y②?①，得把③代入①，得2z=2+y．所以x+y+z=3?2y解法二：將原方程組整理得x+2y②?①，得把③代入①，得x+y+z=5．請(qǐng)根據(jù)閱讀材料，選擇一種方法，嘗試解決問題：已知方程組?x+5z=?13x?7y+6z=10，求x?2y+z專題03解二（三）元一次方程組（四大題型總結(jié)）【題型一：利用代入消元法解二元一次方程組】1．（2024八年級(jí)上·全國(guó)·專題練習(xí)）用代入法解下列方程組：（1）2x+4y=9（2）x?3y=?2【思路點(diǎn)撥】本題考查解二元一次方程組，熟練掌握代入消元法解二元一次方程組是解題的關(guān)鍵．（1）利用代入消元法即可解方程求解即可；（2）利用代入消元法即可解方程求解即可．【解題過程】（1）解：2x+4y=9①把②代入①，得22?y+4y=9，解得∶把y=52代入②，得所以原方程組的解為x=?1（2）解：x?3y=?2①由①，得x=3y?2③．把③代入②，得23y?2+y=3，解得∶把y=1代入③，得x=1，所以原方程組的解為x=1y=12．（23-24七年級(jí)下·黑龍江齊齊哈爾·期中）用代入消元法解下列方程組：（1）4x+y=153x?2y=3（2）y=2x?33x+2y=8【思路點(diǎn)撥】本題考查了解二元一次方程組，熟練掌握代入消元法是解此題的關(guān)鍵．（1）利用代入消元法解二元一次方程組即可；（2）利用代入消元法解二元一次方程組即可．【解題過程】（1）解：4x+y=15①由①可得y=15?4x③，將③代入②得：3x?215?4x解得：x=3，將x=3代入①得：4×3+y=15，解得：y=3，∴原方程組的解為x=3y=3（2）解：y=2x?3①將①代入②得：3x+22x?3解得：x=2，將x=2代入①得：y=1，∴原方程組的解為x=2y=13．（23-24七年級(jí)下·山東青島·階段練習(xí)）解方程組：（1）3x?y=?4x?2y=?3（2）3x?4x?2y【思路點(diǎn)撥】本題考查解二元一次方程組，用代入消元法是最基本的方法，熟練掌握基本方法是解題的關(guān)鍵．（1）用代入消元法求解；（2）用代入消元法求解．【解題過程】（1）解：3x?y=?4由①得：y=3x+4，代入②得：x?23x+4解得：x=?1，將x=?1代入y=3x+4，解得：y=1，∴原方程組的解為x=?1y=1（2）解：3x?4由②得：x=2y+1，代入①得：32y+1解得：y=1，將y=1代入x=2y+1得：x=3，∴原方程組的解為x=3y=14．（23-24八年級(jí)下·重慶南岸·開學(xué)考試）解方程組：（1）3x+4y=2y?2x=?5（2）x+y=35x?3【思路點(diǎn)撥】本題考查了解二元一次方程，熟練掌握代入消元法解二元一次方程組是解此題的關(guān)鍵．（1）利用代入消元法解二元一次方程組即可；（2）利用代入消元法解二元一次方程組即可．【解題過程】（1）解：3x+4y=2①由②得：y=2x?5③將③代入①得：3x+42x?5解得：x=2，將x=2代入③得：y=?1，∴原方程組的解為x=2y=?1（2）解：x+y=3①將①代入②得：5x?3×3=1，解得：x=2，將x=2代入①得：2+y=3，解得：y=1，∴原方程組的解為x=2y=15．（23-24七年級(jí)下·重慶巴南·期末）解方程組：（1）4x+2y=?2（2）5x+2y=9【思路點(diǎn)撥】本題考查了二元一次方程組的解法，代入消元法，是基礎(chǔ)知識(shí)要熟練掌握．（1）利用代入消元法求解即可；（2）利用代入消元法求解即可．【解題過程】（1）4x+2y=?2①將②代入①得，得4x+2x?4解得x=1，把x=1代入②，得y=?3．故原方程組的解為x=1y=?3（2）5x+2y=9①由②得y=4x?2③將③代入①得，得5x+24x?2解得x=1，把x=1代入③，得y=2．故原方程組的解為x=1y=26．（23-24七年級(jí)下·四川南充·期中）解方程組：（1）2x?3y=4（2）y=2x?1【思路點(diǎn)撥】本題考查的是二元一次方程組的解法，解二元一次方程組常用加減消元法和代入消元法．（1）利用代入消元法求解可得；（2）利用代入消元法求解可得；【解題過程】（1）2x?3y=4①由②得y=1?4x③，把③代入①得2x?3(1?4x)=4，解得：x=1把x=12代入③得：∴x=（2）y=2x?1①把①代入②得x?2(2x?1)=1，解得：x=1把x=13代入①得∴x=7．（23-24七年級(jí)下·湖北武漢·期中）解下列二元一次方程組：（1）y=2x?3（2）3x+4y=2【思路點(diǎn)撥】本題考查了解二元一次程組的解法，解題關(guān)鍵是掌握方程組解法中的代入消元法．（1）把方程①代入②消去y，解得x=2，再代入求y，答案可求；（2）整理方程②，得y=2x?5③，代入方程①得x=2，把x=2代入③，解得y=?1【解題過程】（1）解：y=2x?3①把方程①代入②得：3x+22x?3解得：x=2，把x=2代入①得：y=1，∴方程組的解是x=2y=1（2）3x+4y=2①由②得：y=2x?5③把③代入①，得：3x+42x?5解得：x=2，把x=2代入③，得：y=?1，∴方程組的解是x=2y=?18．（23-24七年級(jí)下·廣東肇慶·期中）解二元一次方程組：（1）x=y+3（2）a?2b=4【思路點(diǎn)撥】本題主要考查了解二元一次方程組，解題的關(guān)鍵是熟練掌握解二元一次方程組的方法，準(zhǔn)確計(jì)算．（1）用代入消元法解二元一次方程組；（2）用代入消元法解二元一次方程組．【解題過程】（1）解：x=y+3①由①代入②得到：3y+3解得y=?1，將y=?1代入①得到：x=2，∴此二元一次方程組的解為x=2y=?1（2）解：a?2b=4①由①得：a=2b+4③，把③代入②得到：42b+4解得b=?1，將b=?1代入①得到：a=2，∴此二元一次方程組的解為a=2b=?19．（23-24八年級(jí)下·山東青島·期中）解方程組：（1）x?2y=1（2）x+1【思路點(diǎn)撥】此題主要考查了解二元一次方程組的方法；（1）應(yīng)用代入消元法，求出方程組的解即可；（2）整理后用代入消元法，求出方程組的解即可．【解題過程】（1）x?2y=1由①得：x=2y+1③將③代入②得：4×2y+18y+4+3y=26，解得y=2，將y=2代入③得，x=5，故原方程組的解為：x=5y=2（2）x+1方程組可化為：x=6y?1①代入②可得：12y?2+2=11+y，11y=11，解得：y=1，

x=6y?1=5，所以方程組的解為x=5y=110．（2024七年級(jí)上·全國(guó)·專題練習(xí)）解方程組：2x?y+2=0①【思路點(diǎn)撥】本題主要考查解二元一次方程組，利用整體代入法解方程組即可．【解題過程】解：2x?y+2=0由①得2x?y=?2③由②得2(2x?y)+62將③代入④得：2×?2解得y=2，將y=2代入③，得2x?2=?2，解得x=0，則原方程組的解為x=0y=2【題型二：利用加減消元法解二元一次方程組】11．（24-25八年級(jí)上·黑龍江大慶·期中）解方程組：（1）x+4y=?15（2）x【思路點(diǎn)撥】（1）利用加減消元法解答即可；（2）利用加減消元法解答即可．本題考查了方程組的解法，熟練掌握解方程組的基本步驟是解題的關(guān)鍵．【解題過程】（1）解：x+4y=?15①×3?②得解得y=?3；把y=?3代入①解得，x=?3，故方程組的解為x=?3y=?3（2）解：x2整理，得3x?2y=0①×3?②×2把x=?6代入①解得，y=?9，故方程組的解為x=?6y=?912．（24-25八年級(jí)上·河南駐馬店·期末）解下列方程組：（1）3x?2y=11（2）0.5x+0.8y=4.7【思路點(diǎn)撥】本題主要考查了解二元一次方程組．（1）直接用加減消元法解答即可；（2）直接用加減消元法解答即可．【解題過程】（1）解：3x?2y=11①①×4?②×3解得：y=5將y=5代入②可得：4x?25=3，解得：x=7，所以該方程組的解為：x=7y=5（2）解：0.5x+0.8y=4.7原方程可化為：5x+8y=47①①?②×4將x=3代入②可得：3+2y=11，解得：y=4，所以該方程組的解為：x=3y=413．（24-25八年級(jí)上·全國(guó)·期末）解方程組：（1）3x+8y=10（2）x【思路點(diǎn)撥】本題主要考查了二元一次方程組的解法，解二元一次方程組的關(guān)鍵思想是消元，即消去一個(gè)未知數(shù)，把二元一次方程轉(zhuǎn)化為一元一次方程，常用的消元方法有：加減消元法、代入消元法．（1）運(yùn)用加減消元法消去未知數(shù)y，得到關(guān)于x的一元一次方程，解一元一次方程得到x=4，把x=4代入方程①求出y的值即可；（2）運(yùn)用加減消元法消去未知數(shù)y得到關(guān)于x的一元一次方程，解一元一次方程得到x=3，把x=3代入方程②求出y的值即可．【解題過程】（1）解：3x+8y=10①5x?12y=23②①×3+②×2得：19x=76，系數(shù)化為1得：x=4，把x=4代入①得：12+8y=10,解得：y=?1∴方程組的解為：x=4y=?（2）解：x3整理方程組得：4x?3y=12①3x+4y=9②①×4+②×3得：25x=75，解得：x=3，把x=3代入②得：4y=0，解得：y=0，∴方程組的解為：x=3y=014．（24-25八年級(jí)上·山東濟(jì)南·階段練習(xí)）解方程組：（1）2x+y=7x?y=2（2）3x+2y=4x【思路點(diǎn)撥】本題考查了解二元一次方程組，掌握解二元一次方程組的方法是解題的關(guān)鍵．（1）利用加減法解答即可；（2）先化簡(jiǎn)方程組，再利用加減法解答即可；【解題過程】（1）解：2x+y=7①①+②得，∴x=3，把x=3代入②得，3?y=2，∴y=1，∴方程組的解為x=3y=1（2）解：方程組化簡(jiǎn)得，3x+2y=4①①+②得，∴x=2，把x=2代入①得，6+2y=4，∴y=?1，∴方程組的解為x=2y=?115．（2024七年級(jí)上·全國(guó)·專題練習(xí)）解下列方程組：（1）2x+y=3（2）3【思路點(diǎn)撥】本題考查解二元一次方程組，熟練掌握解方程組的方法是解題的關(guān)鍵．（1）利用加減消元法解方程組即可；（2）先整理方程組，再利用加減消元法進(jìn)行計(jì)算即可．【解題過程】（1）解：2x+y=3①①+②得解得x=3，把x=3代入②得3?y=6，解得y=故原方程組的解是x=3y=?3（2）整理原方程組得3x?y=7①①+②得解得x=13把x=136代入①得解得y=?1故原方程組的解為x=1316．（24-25八年級(jí)上·內(nèi)蒙古包頭·期末）解方程組：（1）3x+4y=22x?y=5（2）x+12【思路點(diǎn)撥】本題考查解二元一次方程組，熟練掌握消元法解二元一次方程組，是解題的關(guān)鍵：（1）加減消元法進(jìn)行求解即可；（2）加減消元法進(jìn)行求解即可．【解題過程】（1）解：3x+4y=2①+②×4，得：11x=22把x=2代入②，得：2×2?y=5，解得：y=?1，∴方程組的解為：x=2y=?1（2）原方程組可化為：3x?2y=?1①①+②×2，得：7x=15把x=157代入②，得：2×15∴方程組的解為：x=1517．（24-25八年級(jí)上·陜西西安·期末）解方程組：（1）2x?y=33（2）x【思路點(diǎn)撥】本題考查了解二元一次方程組，正確計(jì)算是解題的關(guān)鍵：（1）根據(jù)加減消元法解二元一次方程組，即可求解；（2）根據(jù)加減消元法解二元一次方程組，即可求解．【解題過程】（1）解：2x?y=3由②得，3x+2y=8③①×2+③解得：x=2將x=2代入①得，4?y=3，解得：y=1，∴原方程組的解為：x=2（2）解：x由①得3x?2y=8③③+②得，6x=18解得：x=3，將x=3代入③得，9?2y=8解得：y=∴原方程組的解為：x=3y=18．（24-25八年級(jí)上·陜西咸陽(yáng)·期末）解下列方程組：（1）3s?7t=1（2）x?1【思路點(diǎn)撥】本題考查了用加減消元法解二元一次方程組，掌握用加減消元法解二元一次方程組的方法是解答本題的關(guān)鍵．（1）利用加減消元法求解即可；（2）先將方程組中的兩個(gè)方程進(jìn)行化簡(jiǎn)，然后通過加減消元法求解即可．【解題過程】（1）解：3s?7t=1①②×7?①×4解得：s=5，將s=5代入①得3×5?7t=1，解得：t=2，所以原方程組的解為s=5t=2（2）解：原方程組可化為3x+2y=8①①×3+②×2解得：x=2，將x=2代入①得3×2+2y=8，解得：y=1，所以原方程組的解為x=2y=119．（24-25八年級(jí)上·寧夏中衛(wèi)·期末）解下列方程組：（1）3y?2x=1（2）6【思路點(diǎn)撥】此題考查的是解二元一次方程組，掌握用加減消元法解二元一次方程組是解決此題的關(guān)鍵.（1）先將二元一次方程組化簡(jiǎn)，利用加減消元法解方程組即可；（2）先將二元一次方程組化簡(jiǎn)，然后利用加減消元法解方程即可.【解題過程】（1）解：3y?2x=1整理得?2x+3y=1①①?②得把x=0代入代入①得?2×0+3y=1，解得y=1∴方程組的解為x=0y=（2）解：6x?y整理得?x?13y=21????①①×3?②得∴y=–2．把y=?2代入①，解得：x=5．故方程組的解為x=5y=?220．（24-25七年級(jí)下·全國(guó)·單元測(cè)試）解下列方程組：（1）x+y=10（2）x（3）4（4）3【思路點(diǎn)撥】本題主要考查了解二元一次方程組：（1）（2）直接利用加減消元法解方程組即可；（3）（4）先整理原方程組，再利用加減消元法解方程組即可．【解題過程】（1）解：x+y=10①×2+②得5x=25，解得把x=5代入①得：5+y=10，解得y=5，∴原方程組的解為x=5y=5（2）解；x整理得：3x?2y=?2①②?①得：3y=12，解得把y=4代入②得：3x+4=10，解得x=2，∴原方程組的解為x=2y=4（3）解：4整理得：4x?y=5①×2+②得：11x=22，解得把x=2代入①得：4×2?y=5，解得y=3，∴原方程組的解為x=2y=3（4）解：3整理得：?x+7y=4①①×4+②得：30y=22，解得把y=1115代入②得：4x+2×11∴原方程組的解為x=17【題型三：二元一次方程組的特殊解法】21．（23-24七年級(jí)下·吉林長(zhǎng)春·期中）閱讀材料：解方程組x?y?5=0①3x?y+2y=9②時(shí)，可由①得x?y=5③，然后再將③代入②，得3×5+2y=9，解得y=?利用上述方法解方程組：3x+y+1=03x+y?6【思路點(diǎn)撥】由③得：3x+y=?1，把3x+y=?1代入④可求出y，把y=4代入③即可求出x【解題過程】解：3x+y+1=0可由③得：3x+y=?1，把3x+y=?1代入④得：?1?67+2y=7，解得：把y=4代入③得：x=?∴方程的解為x=?522．（23-24七年級(jí)下·廣西南寧·階段練習(xí)）閱讀感悟：有些關(guān)于方程組的問題，需要求的結(jié)果不是每一個(gè)未知數(shù)的值，而是關(guān)于未知數(shù)的代數(shù)式的值，如以下問題：已知實(shí)數(shù)x，y滿足3x?y=5①，2x+3y=7②，求x?4y和7x+5y的值．本題常規(guī)思路是將①②兩式聯(lián)立組成方程組，解得x，y的值再代入欲求值的代數(shù)式得到答案，常規(guī)思路運(yùn)算量比較大．其實(shí)，仔細(xì)觀察兩個(gè)方程未知數(shù)的系數(shù)之間的關(guān)系，本題還可以通過適當(dāng)變形整體求得代數(shù)式的值，如由①?②可得x?4y=?2，由①+解決問題：（1）已知二元一次方程組2x+3y=173x+2y=13，請(qǐng)用“整體代入法”求x?y和x+y（2）對(duì)于實(shí)數(shù)x，y，定義新運(yùn)算：x?y=ax?by+c，其中a，b，c是常數(shù)，等式右邊是通常的加法和乘法運(yùn)算．已知3?5=15，4?7=28，求a?b+c的值．【思路點(diǎn)撥】本題考查了二元一次方程組的應(yīng)用，三元一次方程組的應(yīng)用，掌握整體思想解決問題是解題的關(guān)鍵．（1）將兩方程相加可求x+y的值，將兩方程相減可求x?y的值；（2）由題意列出方程組，再由①×3?【解題過程】（1）解：2x+3y=17①由②?①得：由②+①得：∴x+y=6；（2）解：∵3?5=15，4?7=28，∴3a?5b+c=15①由①×3?②×223．（2024七年級(jí)下·全國(guó)·專題練習(xí)）閱讀下列材料，學(xué)習(xí)完“代入消元法”和“加減消元法”解二元一次方程組后，聰明的小燕在解方程組2x+3y=12①由①可設(shè)2x=6+6t，3y=6?6t，即x=3+3t，y=2?2t，代入②，得7(3+3t)?17(2?2t)=97，解得t=2．所以x=3+3×2=9，y=2?2×2=?2．所以原方程組的解為x=9y=?2請(qǐng)你模仿小燕的“平均值換元法”解方程組：5x+7y=707x+3y=166【思路點(diǎn)撥】本題考查解二元一次方程組及解一元一次方程，結(jié)合已知條件設(shè)得5x=35+35m，7y=35?35m是解題的關(guān)鍵．由題意設(shè)5x=35+35m，7y=35?35m，然后利用含m的代數(shù)式分別表示出x，y，再將其代入第二個(gè)方程中求得m的值，最后將其代入表示x，y的含m的代數(shù)式中即可求得答案．【解題過程】解：5x+7y=70①由①可設(shè)5x=35+35m，7y=35?35m，則x=7+7m，y=5?5m，將其代入②得：7(7+7m)+3(5?5m)=166，解得：m=3，則x=7+7×3=28，y=5?5×3=?10，故原方程組的解為x=28y=?1024．（23-24七年級(jí)下·河南南陽(yáng)·階段練習(xí)）閱讀材料：善于思考的貝貝同學(xué)在解方程組(a?1)+2(b+2)=62(a?1)+(b+2)=6時(shí)，采用了一種“整體換元”的解法．把a(bǔ)?1,b+2看成一個(gè)整體，設(shè)a?1=x,b+2=y,原方程組可變?yōu)閤+2y=62x+y=6，解得x=2y=2，即（1）模仿貝貝同學(xué)的“整體換元”的方法，解方程組：a（2）已知關(guān)于x,y的方程組a1x+b1y=c1a2【思路點(diǎn)撥】本題考查的是整體法即換元法解二元一次方程組，熟練的確定整體未知數(shù)是解本題的關(guān)鍵.（1）設(shè)a3?1=x,b2+2=y（2）設(shè)5m+3=x，3n?2=y，原方程組化為：【解題過程】（1）解：設(shè)a3原方程組化為：x+2y=5①①+②得：3x+3y=6，即x+y=2③把③代入①得：2+y=5，即y=3，把y=3代入③得：x=?1，∴a3解得：a=0b=2（2）設(shè)5m+3=x，原方程組化為：a1∴5m+3解得：m=?1n=425．（23-24九年級(jí)下·黑龍江哈爾濱·期末）閱讀下列解方程組的方法，然后解決問題．解方程組20x+19y=17①解：①?②得3x+3y=3，所以x+y=1③．將③×16，得16x+16y=16④②?④，得x=?2，由③得y=3，所以方程組的解是x=?2y=3（1）請(qǐng)采用上面的方法解方程組2024x+2023y=20222021x+2020y=2019（2）直接寫出關(guān)于x、y的方程組的解a+2x+ay=a+7【思路點(diǎn)撥】本題考查了特殊方法和加減消元法解二元一次方程組，準(zhǔn)確理解題意，熟練掌握知識(shí)點(diǎn)是解題的關(guān)鍵．（1）根據(jù)題例進(jìn)行解題即可；（2）根據(jù)題例進(jìn)行解題即可．【解題過程】（1）解：2024x+2023y=2022①①?②，得∴x+y=1③．將③×2020，得2020x+2020y=2020②?④，得把x=?1代入③，得y=2，∴原方程組的解為x=?1y=2（2）解：a+2x+ay=a+7①?②，得∴x+y=1③將③×(a?5)，得(a?5)x+(a?5)y=a?5②?④，得解得y=?5把y=?52代入③，得∴原方程組的解為x=726．（2025七年級(jí)下·全國(guó)·專題練習(xí)）解方程組：（1）4（2）4【思路點(diǎn)撥】本題主要考查二元一次方程組的解法，熟練掌握二元一次方程組的解法是解題的關(guān)鍵；（1）設(shè)x+3y=a,x?y=b，則原方程組可變形為4a+3b=163a?5b=12（2）設(shè)1x=a,1【解題過程】（1）解：設(shè)x+3y=a,x?y=b，則原方程組可變形為4a+3b=163a?5b=12解得a=4b=0從而得方程組x+3y=4x?y=0解得x=1y=1故原方程組的解為x=1y=1（2）解：設(shè)1x=a,1解得a=1b=2從而得方程組1x解得x=1故原方程組的解為x=127．（2024七年級(jí)上·全國(guó)·專題練習(xí)）利用換元法解下列方程組：（1）2（2）x+y【思路點(diǎn)撥】本題考查了解二元一次方程組，換元法，靈活運(yùn)用換元法是解題的關(guān)鍵．（1）令m=x+1，n=y?2，原方程組化為2m+3n=1m?2n=4，解出m和n的值代入m=x+1，n=y?2，即可求出x和y（2）令a=x+y，b=x?y，原方程組化為a2+b5=?32a?3b=26，解出a和b的值代入a=x+y，【解題過程】（1）解：令m=x+1，n=y?2，原方程組化為2m+3n=1m?2n=4解得m=2n=?1把m=2n=?1代入m=x+1，n=y?2得x+1=2y?2=?1解得x=1，y=1，∴原方程組的解為x=1y=1（2）解：令a=x+y，b=x?y，原方程組化為a2解得a=?2b=?10將a=?2b=?10代入a=x+y，b=x?y得x+y=?2x?y=?10解得x=?6y=4∴原方程組的解為x=?6y=428．（2024七年級(jí)下·全國(guó)·專題練習(xí)）用換元法解二元一次方程組：（1）x+2y（2）2x+3y【思路點(diǎn)撥】本題考查換元法解二元一次方程組，觀察方程組，（1）中都含有x+2y，x?2y，考慮運(yùn)用換元法解原方程組，理解換元的意義是正確解答的關(guān)鍵；（2）中都含2x+3y，2x?3y，考慮運(yùn)用換元法解原方程組，理解換元的意義是正確解答的關(guān)鍵．【解題過程】（1）解：x+2y3設(shè)x+2y=m，x?2y=n，則m3解這個(gè)方程組得m=60n=20則x+2y=60x?2y=20解這個(gè)方程組得x=40y=10∴原方程組的解為x=40y=10（2）解：2x+3y4設(shè)2x+3y=m，2x?3y=n，則m4解這個(gè)方程組得m=60n=?24則2x+3y=602x?3y=?24解這個(gè)方程組得x=9y=14∴原方程組的解為x=9y=14【題型四：解三元一次方程組】29．（2024七年級(jí)上·全國(guó)·專題練習(xí)）解方程組：（1）y=2x?7（2）x+y=3【思路點(diǎn)撥】本題考查了三元一次方程組的解法，掌握三元一次方程組的解法是解答本題的關(guān)鍵．（1）把三元一次方程組化為二元一次方程組再運(yùn)用加減消元法求解即可；（2）先將x和y消去，解出z，再解出x和y即可求解．【解題過程】（1）解：y=2x?7①把①代入②得11x+2z=23④聯(lián)立方程組得3x?4z=4③由③+④×2解得x=2，把x=2分別代入①③得y=?3∴原方程組的解為x=2y=?3（2）解：x+y=3①由①+②由③?④，得：把z=?1代入②，得：x=1，把x=1代入①，得：y=2，∴原方程組的解集是：x=1y=230．（23-24七年級(jí)下·全國(guó)·假期作業(yè)）解方程組：（1）3x?y+z=4（2）3x?y=?7【思路點(diǎn)撥】本題考查解三元一次方程組，利用消元法解方程組即可；（1）加減消元法解方程組即可（2）加減消元法解方程組即可．【解題過程】（1）解：3x?y+z=4①①+②，得：①?③，得：④+⑤，得：7x=14，解得：把x=2代入⑤，得：2×2?2y=?2，解得：y=3，把x=2，y=3代入③，得：2+3+z=6，解得：z=1，∴方程組的解為：x=2y=3（2）3x?y=?7①+②，得：④+③×2，得：7x=?14把x=?2代入①，得：3×?2?y=?7，解得：把y=1代入②，得：1+4z=3，解得：z=1∴方程組的解集為：x=?2y=131．（2024七年級(jí)上·全國(guó)·專題練習(xí)）解方程組：（1）x+y+z=6（2）3x?y=?7【思路點(diǎn)撥】本題考查的是三元一次方程組的解法，掌握三元一次方程組的解法是解答本題的關(guān)鍵．（1）先消去未知數(shù)z，再求解x，再進(jìn)一步解答，從而可得答案；（2）先消去未知數(shù)y，再求解x，再進(jìn)一步解答，從而可得答案．【解題過程】（1）解：x+y+z=6①③?①得：②?④得：把y=0代入②得：x=?1，把x=?1，y=0代入①得z=7，∴方程組的解為：x=?1y=0（2）解：3x?y=?7由①+②，得：由③+④，得：解得：x=?2，把x=?2代入①，得：y=1，把y=1代入②，得：z=1∴原方程組的解集是x=?2y=132．（24-25八年級(jí)上·陜西西安·期中）解下列方程組：（1）x+y+z=26x?y=1（2）x+3y+2z=3【思路點(diǎn)撥】本題考查的是三元一次方程組的解法，掌握三元一次方程組的解法是解答本題的關(guān)鍵．（1）先①+②和①+③消去y，再解答即可．（2）先運(yùn)用加減消元法把三元一次方程組化成二元一次方程組，再運(yùn)用代入消元法進(jìn)行運(yùn)算即可．【解題過程】（1）解：①+②得：2x+z=27④，①+③得：3x+2z=44⑤，2x+z=27④④×2?⑤得：x=10，把x=10代入④得：z=7，把x=10代入