百合小升初第十二講數(shù)論模塊—數(shù)的整除數(shù)的整除特征具有較強的實際意義，常用的數(shù)的整除特征如下：

1、能被2整除數(shù)的特征：個位數(shù)字是０、2、4、6、8的數(shù)能被2整除。2、能被5整除的數(shù)的特征：個位數(shù)字是0和5的數(shù)能被5整除。3、能被3（或9）整除的數(shù)的特征：各位數(shù)字和能被3（或9）整除。這個數(shù)能被3（或9）整除。4、能被4（或25）整除的數(shù)的特征：末兩位數(shù)能被4（或25）整除。5、能被8（或125）整除的數(shù)的特征：末三位數(shù)能被8（或125）整除。6、能被7（或11或13）整除的數(shù)的特征：末三位數(shù)與末三位以前的數(shù)字所組成的數(shù)之差（大減小）能被7（或11或13）整除。、7、能被11整除的數(shù)的特征：奇數(shù)位數(shù)字和與偶數(shù)位數(shù)字和的差（大減?。┠鼙?1整除。例題解評例1、如果六位數(shù)12x40y能被72整除，試求此六位數(shù)。

例2、一個四位數(shù)，減去它的各位數(shù)字之和，其差還是一個四位數(shù)603A，試求出A。例3、如果六位數(shù)()5993()能被33整除，這個六位數(shù)是

和

。例4、

如果六位數(shù)1992□□能被105整除，那么，它的最后兩位數(shù)是幾？例5、

在□內(nèi)填上合適的數(shù)，使六位數(shù)□1998□能被56整除。課堂練習(xí)1、（1）判斷47382能否被3或9整除？

（2）判斷42559，7295871能否被11整除？2、求一個首位數(shù)字為5的最小六位數(shù)，使這個數(shù)能被9整除，且各位數(shù)字均不相同。3、從0、1、2、4、7五個數(shù)中選出三個組成三位數(shù)，其中能被3整除的有

個。

4：四位數(shù)7a2b能被2，3，5整除，這樣的四位數(shù)有幾個？分別是多少？5：有0、1、4、7、9五個數(shù)字，從中選出四個數(shù)字組成一個四位數(shù)﹝例如1409﹞，把其中能被3整除的四位數(shù)從小到大排列起來，第5個數(shù)的末位數(shù)字是

。

6：在568后面補上三個數(shù)字，組成一個六位數(shù)，使它分別被3，4，5整除，且使這個數(shù)盡可能的小。課后作業(yè)1、四位數(shù)3AA1能被9整除，A是幾？2、四位數(shù)841□能被2和3整除，□中應(yīng)填幾？這個四位數(shù)是多少？3、在25□79這個數(shù)的□內(nèi)填上一個數(shù)字，使這個數(shù)能被11整除，方格內(nèi)應(yīng)填幾？4、45ab這個四位數(shù),同時能被2，3，4，5，9整除，則此四位數(shù)是幾？5、四位數(shù)87AB既能被9整除，又是25的倍數(shù)，那么A是幾？B是幾？`例8：一個六位數(shù)，它能被9和11整除。去掉這個六位數(shù)的首、尾兩個數(shù)字，中間的四個數(shù)字是

1997，那么這個六位數(shù)是

。

﹝第七屆“祖沖之杯”數(shù)學(xué)邀請賽﹞解：設(shè)這個六位數(shù)是a1997b，它能被9整除，

所以a+1+9+9+7+b=a+b+26，能被9整除，

從而a+b=1或10。

但a+b=1時，只能a=1、b=0，

而119970不能被11整除，所以只有a+b=10。

A1997b能被11整除，

所以(a+9+7)-(1+9+b)=0或11，即得b-a=6或a-b=5，

但a-b=5時，a、b不是整數(shù)，因此只有b-a=6，

解得a=2，b=8。

于是，這個六位數(shù)是219978。例9：在下面的方框中各填一個數(shù)字，使六位數(shù)

11□□11

能被17和19整除，那么方中的兩位數(shù)是

。﹝1995年小學(xué)數(shù)學(xué)奧林匹克）解：17*19=323，110011/323余數(shù)為191。

若□□91被323整除，商的個位數(shù)字，必定為7。

323*7=2661，9-6=3，從而商是17，□□91=5491。

即原題方框中的兩位數(shù)是53。以下例題綜合運用了整除性質(zhì)和特征解題。例10：老師買了72本相同的書，當時沒有記住每本書的價格，只用鉛筆記下了用掉的總錢數(shù)，

回校后發(fā)現(xiàn)有兩個數(shù)字已看不清了。你能幫助補上這兩個數(shù)字嗎？（□13.7□元，□中為

看不清的數(shù)字）。分析：首先將□13.7□元化成分，這樣總錢數(shù)就是□137□（整數(shù)分）。由于每本書價格相

同，所以72|□137□。但72=8×9，所以8和9都應(yīng)整除□137□。解：72=8×9，□13.7□元=□137□分

∴8|□137□，9|□137□

由于8整除□137□，所以8|37□由此可知，當37□=376時才有8|376，故原數(shù)為□1376。

又由于9整除□1376，所以其數(shù)字和□+1+3+7+6，必是9的倍數(shù)。

即9|（□+17），而□只能是1到9中的某個數(shù)，所以□只能且1。

因此，原數(shù)為11376分，即113.76元。啟示：此處用到了整除的一條重要性質(zhì)：如果a|b,c|b,且

a、c沒有除1以外的公共約數(shù)（即

a,c互質(zhì)），那么bc|a,這里72=8×9，（8，9）=1，因為8|□137□，9|□137□，所以72|

□137□，因此同理可得能被6整除的數(shù)要求能同時被2、3整除，因為6=2×3，（2，3）

=1，能被12整除的數(shù)要求能同時被3，4整除，因為12=3×4，（3，4）=1。例11：某個七位數(shù)1993□□□能夠同時被2、3、4、5、6、7、8、9整除，那么它的最后三字依

次是

。﹝1993年小學(xué)數(shù)學(xué)奧林匹克）解：這個七位數(shù)能被2、3、4、5、6、7、8、9整除，

所以能被2、3、4、5、6、7、8、9的最小公倍數(shù)整除。

這個最小公倍數(shù)是5*6*7*8*9=2520。

1993000/2520=790......2200

2520-2200=320

所以最后三位數(shù)依次是3、2、0。例12：從1999到5999的自然數(shù)中有多少個數(shù)，它的數(shù)字和能被4整除？試簡述理由。

[第九屆“祖沖之杯”數(shù)學(xué)邀請賽]解：顯而易見，1999的數(shù)字和能被4整除，

從2000到5999有4000個自然數(shù)，在這4000個自然數(shù)中，

個位、十位和百位都有0到9十個數(shù)字可供選擇，

不管如何選擇，取定后，千位上的數(shù)字就能「左右大局」(如個位、十位、百位的數(shù)字和

除以4余數(shù)為3，千位數(shù)字便可取5，使該數(shù)的數(shù)字和能被4整除)

事實上，千位數(shù)字可取2、3、4、5，從1999到5999的自然數(shù)中，它的數(shù)字和能被4整除

有：1×10×10×10＋1＝1001(個)

。例13：有分別寫著1，2，3，…，13的卡片各兩張，任意抽出兩張，計算這兩張卡片上的數(shù)的

積，這樣會得到許多不相等的積。試問：這些積中最多有多少個能被6整除？

[第四屆“從小愛數(shù)學(xué)”邀請賽]解：這些積中，6的倍數(shù)有許多不同的答案

最小的是1×6；最大的是26×6(由12和13這兩張卡片上的數(shù)的積得出)

由1×6，2×6，3×6，……，26×6看來，似乎有26個績能被6整除

但實際上，不會出現(xiàn)17×6，19×6，21×6，23×6，25×6這五種情形

所以，這些積中最多有(26－5)個，即21個能被6整除。例14：試證明由同一數(shù)字組成的三位數(shù)都是37的倍數(shù)。證明：設(shè)這三位數(shù)為aaa,

則aaa=a×100+a×10+a×1=100a+10a+a=111a

∵37|111,∴37|111a

∴37|aaa例15：已知A是一個自然數(shù)，它是15的倍數(shù)，并且它的各個數(shù)位上的數(shù)字只有0和8兩種，問A最

小是幾？分析：因為15|A，而15=5×3，（5，3）=1

所以5|A，3|A

故A的末位數(shù)字只能是零，從而打開解題的缺口。解：當A為兩位數(shù)時，A只能為80，88，而5|A，所以88不合題意，又3|A，故80不合題意。

當A為三位數(shù)時，因為5|A，故A的末位是0，A只可能為880，800，而3|A，故880，800均不

符合題意。

當A為四位數(shù)時，因5|A，故末位數(shù)字為0，又首位數(shù)字只能為8，則A=8ab0，

因為3|A，所以3|（8+a+b）

當a,b中一個為8，一個為0時，A不能被3整除；當a,b均為8時，3|（8+a+b），故a=b=8,此

時A=8880符合題意。故A=8880。例16：已知四位數(shù)的個位與千位數(shù)字之和為10，個位數(shù)字既是偶數(shù)又是質(zhì)數(shù)，百位數(shù)字與十位

數(shù)字組成的兩位數(shù)是個質(zhì)數(shù)，又知這個四位數(shù)能被36整除，求所有滿足條件的四位數(shù)中的

最大者。解：因為個位數(shù)字既是偶數(shù)又是質(zhì)數(shù)，所以個位數(shù)字為2，又個位與千位數(shù)字之和為10，故千

位數(shù)字為8。

故設(shè)這個四位數(shù)為8ab2,

∵36=4×9，（4，9）=1

∴4|8ab2，9|8ab2

∴9|（8+a+b+2）即9|(10+a+b)

∴4|b2

∴b=9,7,5,3,1

當a=9時，因9|（10+a+b）

∴b=8，不符合4|b2

當a=8時，因9|（10+a+b）

∴b=9，符合4|b2

∴這個四位數(shù)為8892。知識要點：1.整除——約數(shù)和倍數(shù)例如：15÷3=5，63÷7=9一般地，如a、b、c為整數(shù)，b≠0，且a÷b=c，即整數(shù)a除以整除b（b不等于0），除得的商c正好是整數(shù)而沒有余數(shù)（或者說余數(shù)是0），我們就說，a能被b整除（或者說b能整除a）。記作b｜a.否則，稱為a不能被b整除，（或b不能整除a），記作ba。如果整數(shù)a能被整數(shù)b整除，a就叫做b的倍數(shù)，b就叫做a的約數(shù)。例如：在上面算式中，15是3的倍數(shù)，3是15的約數(shù)；63是7的倍數(shù)，7是63的約數(shù)。2.數(shù)的整除性質(zhì)性質(zhì)1：如果a、b都能被c整除，那么它們的和與差也能被c整除。即：如果c｜a，c｜b，那么c｜（a±b）。例如：如果2｜10，2｜6，那么2｜（10＋6），并且2｜（10—6）。性質(zhì)2：如果b與c的積能整除a，那么b與c都能整除a。即：如果bc｜a，那么b｜a，c｜a。性質(zhì)3：如果b、c都能整除a，且b和c互質(zhì)，那么b與c的積能整除a。即：如果b｜a，c｜a，且（b，c）=1，那么bc｜a。例如：如果2｜28，7｜28，且（2，7）=1,那么（2×7）｜28。性質(zhì)4：如果c能整除b，b能整除a，那么c能整除a。即：如果c｜b，b｜a，那么c｜a。例如：如果3｜9，9｜27，那么3｜27。3．數(shù)的整除特征①能被2整除的數(shù)的特征：個位數(shù)字是0、2、4、6、8的整數(shù).“特征”包含兩方面的意義：一方面，個位數(shù)字是偶數(shù)（包括0）的整數(shù)，必能被2整除；另一方面，能被2整除的數(shù)，其個位數(shù)字只能是偶數(shù)（包括0）.下面“特征”含義相似。②能被5整除的數(shù)的特征：個位是0或5。③能被3（或9）整除的數(shù)的特征：各個數(shù)位數(shù)字之和能被3（或9）整除。④能被4（或25）整除的數(shù)的特征：末兩位數(shù)能被4（或25）整除。例如：1864=1800＋64，因為100是4與25的倍數(shù)，所以1800是4與25的倍數(shù)。又因為4｜64，所以1864能被4整除。但因為2564，所以1864不能被25整除。⑤能被8（或125）整除的數(shù)的特征：末三位數(shù)能被8（或125）整除。例如：29375＝29000＋375，因為1000是8與125的倍數(shù)，所以29000是8與125的倍數(shù)。又因為125｜375，所以29375能被125整除。但因為8375，所以829375。⑥能被11整除的數(shù)的特征：這個整數(shù)的奇數(shù)位上的數(shù)字之和與偶數(shù)位上的數(shù)字之和的差（大減?。┦?1的倍數(shù)。例如：判斷123456789這九位數(shù)能否被11整除？解：這個數(shù)奇數(shù)位上的數(shù)字之和是9＋7＋5＋3＋1=25，偶數(shù)位上的數(shù)字之和是8＋6＋4＋2＝20.因為25—20＝5，又因為115，所以11123456789。再例如：判斷13574是否是11的倍數(shù)？解：這個數(shù)的奇數(shù)位上數(shù)字之和與偶數(shù)位上數(shù)字和的差是：（4＋5＋1）-（7＋3）＝0。因為0是任何整數(shù)的倍數(shù)，所以11｜0。因此13574是11的倍數(shù)。⑦能被7（11或13）整除的數(shù)的特征：一個整數(shù)的末三位數(shù)與末三位以前的數(shù)字所組成的數(shù)之差（以大減?。┠鼙?（11或13）整除。例如：判斷1059282是否是7的倍數(shù)？解：把1059282分為1059和282兩個數(shù)。因為1059-282＝777，又7｜777，所以7｜1059282。因此1059282是7的倍數(shù)。再例如：判斷3546725能否被13整除？解：把3546725分為3546和725兩個數(shù)。因為3546-725=2821.再把2821分為2和821兩個數(shù)，因為821—2＝819，又13｜819，所以13｜2821，進而13｜3546725。拓展：⑧判定一個數(shù)可否被17整除，只要將其末三位與前面隔開，看末三位數(shù)與前面隔出數(shù)的3倍的差（大減?。┦欠癖?7整除。⑨判定一個數(shù)可否被19整除，只要將其末三位與前面隔開，看末三位與前面隔出數(shù)的7倍的差（大減?。┦欠癖?9整除。⑩判定一個數(shù)可否被23或29整除，只要將其末四位與前面隔開，看末四位與前面隔出數(shù)的5倍的差（大減小）是否被23或29整除。例1．在□里填上合適的數(shù)，使五位數(shù)26□7□能被4整除，也能被3整除。解答：共有7種可能：個位2226666百位1470369例2．在□內(nèi)填上的數(shù)，使□895□這個數(shù)能被72整除。解答：8、9的倍數(shù)，末三位被8整除，個位2，各位數(shù)字和被9整除，萬位3.。38952。例3．七位數(shù)22A333A是6的倍數(shù)，那么A是多少？解答：此數(shù)是6的倍數(shù)，要同時符合被2、3整除的數(shù)的特點，A=4。例4．在□里填上適當?shù)臄?shù)，使6位數(shù)865□□□能被3、4、5整除，而且使這個數(shù)盡可能地小。解答：符合條件的數(shù)能被5整除，后兩位能背4整除，個位一定是0；各個數(shù)位數(shù)字和能被3整除，此數(shù)最小是865020。例5．在□內(nèi)填上合適的數(shù)，使5位數(shù)7□36□能被5整除，也能被9整除。解答：7236076365例5．在□內(nèi)填上合適的數(shù)字，使5位數(shù)5□13□能被9整除。解答：50130、50139、51138、52137、53136、54135、55134、56133、57132、58131、59130、59139.例6．是一個四位數(shù)，這個數(shù)同時能被2、3、5、9整除，那么這個數(shù)是。解答：3600、3690。例7．一個無重復(fù)數(shù)字的五位數(shù)3□6□5能被75整除。這樣的五位數(shù)有哪幾個？解答：末兩位25：38625；末兩位75：30675或39675。例8．有一個六位數(shù)能被11整除，首位是7，其余各位數(shù)字各不相同，這個六位數(shù)最小是多少？解答：要使六位數(shù)最小，必須把最小數(shù)0，1，2，3，4，排列在7的后面，這樣可得到數(shù)701234，可是這個數(shù)不能被11整除，為了求得最小的六位數(shù)，先要修改個位數(shù)4，經(jīng)試算，把4改成9正好符合題意，所以最小的六位數(shù)是701239。答：所求的最小的六位數(shù)是701239。例9．求被26整除的六位數(shù)□1993□。解答：由于26＝2×13，所以所求六位數(shù)□1993□應(yīng)分別被2和13整除。被2整除的數(shù)個位只能是0，2，4，6，8；所求六位數(shù)被13整除，必有□19與93□的差（93□－□19）是13的倍數(shù)。（1）當原數(shù)個位為0時，930＝71×13＋7，故□19也應(yīng)滿足被13除余7?！?9＝100×□＋13＋6＝7×13×□＋9×□＋13＋6＝13（7×□＋1）＋9×□＋6即9×□＋6＝13K＋7∴9×□－1應(yīng)是13的倍數(shù)，故□只能是3。即六位數(shù)為319930。（2）當原數(shù)個位數(shù)為2時，932＝71×13＋9，故□19也應(yīng)滿足被13除余9。由于□19＝（7×□＋1）×13＋9×□＋6∴9×□＋6＝13K＋9，故9×□－3應(yīng)是13的倍數(shù)，□只能是9。即六位數(shù)為919932。（3）當原數(shù)個位數(shù)為4時，934＝71×13＋11，故□19也應(yīng)被13除余11。由于□19＝（7×□＋1）×13＋9×□＋6∴9×□＋6＝13K＋11，即9×□－5應(yīng)是13的倍數(shù)，故□只能是2。即六位數(shù)為219934。（4）當原數(shù)個位數(shù)為6時，936＝72×13，所以□19也應(yīng)被13整除。由于□19＝（7×□＋1）×13＋9×□＋6∴9×□＋6＝13K，9×□－7＋13＝13K，故9×□－7應(yīng)是13的倍數(shù)，□只能是8。即六位數(shù)為819936。（5）當原數(shù)個位數(shù)為8時，938＝72×13＋2，故□19也應(yīng)被13除余2。由于□19＝（7×□＋1）×13＋9×□＋6∴9×□＋6＝13K＋2，即9×□＋4應(yīng)是13的倍數(shù)，□只能是1。即六位數(shù)為119938。綜合以上情況，滿足條件的六位數(shù)有：319930，919932，219934，819936，119938，共五個。下面是一些關(guān)于數(shù)的整除的一些技巧知識，根據(jù)這些技巧，我們能很快判斷一個數(shù)能不能被下列數(shù)整除。

關(guān)于2：一個整數(shù)的末位是偶數(shù)，則這個數(shù)能被2整除。

關(guān)于3：一個整數(shù)的數(shù)字和能被3整除，則這個整數(shù)能被3整除。

關(guān)于4：一個整數(shù)的末尾兩位數(shù)能被4整除，則這個數(shù)能被4整除。

關(guān)于5：一個整數(shù)的末位是0或5，則這個數(shù)能被5整除。

關(guān)于6：一個整數(shù)能被2和3整除，則這個數(shù)能被6整除。

關(guān)于7：一個整數(shù)的個位數(shù)字截去，再從余下的數(shù)中，減去個位數(shù)的2倍，如果差是7

的倍數(shù)，則原數(shù)能被7整除。因為一個兩位數(shù)N可以表示成N=10x+y=10×（x-2y）+21y，

如果x-2y能被7整除，則數(shù)N能被7整除。多于兩位數(shù)的繼續(xù)此操作。

關(guān)于8：一個整數(shù)的未尾三位數(shù)能被8整除，這個數(shù)能被8整除。

關(guān)于9：一個整數(shù)的數(shù)字和能被9整除，則這個整數(shù)能被9整除。

關(guān)于11：一個整數(shù)的奇位數(shù)字之和與偶位數(shù)字之和的差能被11整除，則這個數(shù)能被11

整除。因為一個兩位數(shù)N可以表示成N=10x+y=10×（x-y）+11y，如果x-y能被11整除，則數(shù)N能被11整除。

關(guān)于13：一個整數(shù)的個位數(shù)字截去，再從余下的數(shù)中，加上個位數(shù)的4倍，如果差是

13的倍數(shù)，則原數(shù)能被13整除。因為一個兩位數(shù)N可以表示成N=10x+y=10×（x+4y）-39y，

如果x+4y能被13整除，則數(shù)N能被13整除。

關(guān)于17：一個整數(shù)的個位數(shù)字截去，再從余下的數(shù)中，減去個位數(shù)的5倍，如果差是17

的倍數(shù)，則原數(shù)能被17整除。因為一個兩位數(shù)N可以表示成N=10x+y=10×（x-5y）+51y，

如果x-5y能被17整除，則數(shù)N能被7整除。

關(guān)于19：一個整數(shù)的個位數(shù)字截去，再從余下的數(shù)中，加上個位數(shù)的2倍，如果差是

19的倍數(shù)，則原數(shù)能被19整除。因為一個兩位數(shù)N可以表示成N=10x+y=10×（x+2y）-19y，

如果x+2y能被19整除，則數(shù)N能被19整除。（3）關(guān)于除數(shù)為7、11、13的1001法

判斷較大一個的6位數(shù)能否被7、11、13整除，還有一個快捷的“1001”法。

因為1001=7×11×13，1001能被7、11、13整除。一個數(shù)能被7、11、13整除的數(shù)減去1001及其倍數(shù)也能被7、11、13整除。

aba的1001倍等于把abc再寫一遍放在后邊，abc×1001=abcabc

例如，897654能否被7整除，可以先計算897654-896896，看得數(shù)能否被7整除。習(xí)題：1．已知45｜。求所有滿足條件的六位數(shù)。解答：∵45=5×9，∴5｜,9｜∴y可取0或5。當y=0時，根據(jù)9｜及數(shù)的整除特征③可知x=6，當y=5時，根據(jù)9｜及數(shù)的整除特征③可知x=9?！酀M足條件的六位數(shù)是519930或919935。2．李老師為學(xué)校一共買了28支價格相同的鋼筆，共付人民幣9□.2□元.已知□處數(shù)字相同，請問每支鋼筆多少元？解答：∵9□.2□元=9□2□分28＝4×7，∴4和7均能整除9□2□。4｜2□可知□處能填0或4或8。∵79020，79424，所以□處不能填0和4；∵7｜9828，所叫□處應(yīng)該填8。又∵9828分=98.28元98.28÷28＝3.51（元）答：每支鋼筆3.51元。3．已知整數(shù)能被11整除.求所有滿足這個條件的整數(shù)。解答：∵11｜∴根據(jù)能被11整除的數(shù)的特征可知：1+2+3+4+5的和與5a之差應(yīng)是11的倍數(shù)，即11｜（15—5a）.或11｜（5a—15）。但是15—5a=5（3—a），5a—15=5（a—3），又（5，11）=1，因此11｜（3—a）或11｜（a—3）。又∵a是數(shù)位上的數(shù)字?！郺只能取0～9。所以只有a=3才能滿足11｜（3—a）或11｜（a—3），即當a=3時，11｜15—5a。符合題意的整數(shù)只有1323334353。4．把三位數(shù)接連重復(fù)地寫下去，共寫1993個，所得的數(shù)恰是91的倍數(shù)，試求=?解答：∵91=7×13，且（7，13）＝1?！?｜,13｜根據(jù)一個數(shù)能被7或13整除的特征可知：原數(shù)能被7以及13整除，當且僅當能被7以及13整除，也就是能被7以及13整除。因為（7，10）=1，（13，10）＝1，所以7，13也就是7，13，因此，用一次性質(zhì)（特征），就去掉了兩組；反復(fù)使用性質(zhì)996次，最后轉(zhuǎn)化成：原數(shù)能被7以及13整除，當且僅當能被7以及13整除。又∵91的倍數(shù)中小于1000的只有91×4=364的百位數(shù)字是3，∴=3645．在□里填上適當?shù)臄?shù)字，使七位數(shù)□1992□□能同時被9、25、8整除。解答：要求七位數(shù)□1992□□能同時被9、25、8整除，先考慮能被25整除這個條件。當七位數(shù)□1992□□能被25整除時，它的十位和個位數(shù)字組成的數(shù)只能是00，25，50，75。再考慮第二個條件，□1992□□能被8整除，當□1992□□能被8整除時，它的末三位上數(shù)字組成的數(shù)必須是8的倍數(shù)，但200，225，250，275這四個數(shù)中，只有200這個數(shù)是8的倍數(shù)，所以七位數(shù)的十位與個位□內(nèi)只能填0。最后考慮第三個條件，被9整除.□1992要被9整除，其各個數(shù)位上的數(shù)字和必須是9的倍數(shù)，而1+9+9+2+0+0=21，所以七位數(shù)百萬位□內(nèi)只能填6，這樣便找到了問題的解答。首先因為200既是25的倍數(shù)，又是8的倍數(shù)，所以□1992□□的十位與個位□內(nèi)只能填0。因為1+9+9+2+0+0=21，而21+6=27，27是9的倍數(shù)，所以□1992□□的百萬位□內(nèi)只能填6。1992能同時被9、25、8整除。6．求能被26整除的六位數(shù)。解答：∵26=2×13，∴能分別被2和13整除。∵2｜，∴y可能取0、2、4、5、6、8。又∵13｜，∴13能整除與的差。當y＝0時，由于13｜910，而13又要整除與的差，∴13｜。又∵=100x+19=(7×13+9)x+19＝7×13x+9x+13＋6，∴根據(jù)整除“性質(zhì)1”，有13｜9x+6，經(jīng)試驗可知只有當x＝8時，13｜9x＋6，∴當y=0時，符合題意的六位數(shù)是819910。當y=2時，因為13｜，所以13整除與之差，也即13整除與2的差；與前相仿，=7×13x+13+9x+6,所以13整除9x＋6—2，即13｜9x+4。經(jīng)試驗可知只有當x＝1時，13｜9x+4。∴當y＝2時，符合題意的六位數(shù)是119912。同理，當y＝4時，13｜9x＋6-4，即13｜9x+2，經(jīng)試驗可知當x＝7時，13｜9x+2。∴當y=4時，符合題意的六位數(shù)是719914。同理，當y＝6時，13｜9x＋6—6。即13｜9x.經(jīng)試驗可知x無解（因為是的最高位數(shù)碼，x≠0）?！喈攜=6時，找不到符合題意的六位數(shù)。同理，當y＝8時，13｜9x+6-8，即13｜9x-2。經(jīng)試驗只有當x＝6時，13｜9x-2?！喈攜=8時，符合題意的六位數(shù)是619918。答：滿足本題條件的六位數(shù)共有819910、119912、719914和619918四個。7．一個首位數(shù)字為5的最小六位數(shù)，使這個數(shù)能被9整除，且各位數(shù)字均不相同。解答：一個以5為首位的六位數(shù)5×××××，要想使它最小，只可能是501234（各位數(shù)字均不相同）。但是501234的數(shù)字和為5＋0＋1＋2＋3＋4＝15，并不是9的倍數(shù)，故只能將末位數(shù)字改為7。這時，5＋0＋1＋2＋3＋7＝18是9的倍數(shù)，故501237是9的倍數(shù)。即501237是以5為首位，且是9的倍數(shù)的最小的六位數(shù)。8．自然數(shù)1，2，3…依次寫下去組成一個數(shù)12345678910111213…。如果寫到某個自然數(shù)時，所組成的數(shù)恰好第一次能被72整除，問這個自然數(shù)是多少？解答：由于要求恰好第一次能被72整除，因此，應(yīng)以從前往后的順序去尋找。如果先考慮被8整除，那么末位應(yīng)為偶數(shù)，且末三位數(shù)字組成的三位數(shù)應(yīng)是8的倍數(shù)。因而依次看三位數(shù)：234，456，678，810，112，314，516，718，192，920，202，212，122，222，232，324，242，252，526，262，272，728，282，930，132，334，536，738，394…中哪些是8的倍數(shù)。如知456、112為8的倍數(shù)，就要再看123456以及123456789101112是否為9的倍數(shù)。由于123456的數(shù)字和為21，123456789101112的數(shù)字和為56，都不是9的倍數(shù)，所以不滿足題目的條件。滿足條件的數(shù)要在其它8的倍數(shù)中尋找。像這樣試驗三位偶數(shù)能否被8整除，速度較慢，由于被8整除的數(shù)一定能被4整除，故只須對被4整除的數(shù)（這種數(shù)極易看出）進行檢驗即可。經(jīng)檢驗，形如123456…，末三位為516，192、920，232、272、728的自然數(shù)都不是9的倍數(shù)。而當末三位為536時，才滿足題目的條件，即：123456789101112…33343536恰被72整除，故所求自然數(shù)為36?，F(xiàn)在換一種方法，先考慮被9整除，再考慮被8整除，由于數(shù)123456789101112…18192021…前九個數(shù)字之和為45，是9的倍數(shù)，故在考察位數(shù)超過九的數(shù)是否被整除時，前九個數(shù)字可不再看；接下來，由于101112131415161718的數(shù)字之和為45，是9的倍數(shù)，故在考察位數(shù)超過27位的數(shù)是否被9整除時，前27個數(shù)字可不再看；1920212223242526的數(shù)字之和為36，是9的倍數(shù)，因而在考察位數(shù)超過43位的數(shù)是否是9的倍數(shù)時，前43個數(shù)字可不再看；272829303的數(shù)字的之和為36，是9的倍數(shù)，因而在考察位數(shù)超過52位的數(shù)是否被9整除時，前52個數(shù)字可不再看；1323的數(shù)字和為9，因而在考察位數(shù)超過56位的數(shù)是否被9整除時，前56個數(shù)字可不再看；33343536的數(shù)字和為27，因而在考察位數(shù)超過63位的數(shù)是否被9整除時，前63個數(shù)字可不看。以上做法把按自然數(shù)依次寫下去組成的數(shù)分成若干段，各段的數(shù)字和均為9的倍數(shù)，即123456789｜101112131415161718｜1920212223242526｜27｜2829303｜132333435｜36｜…然后從中再看各段末三位數(shù)字組成的三位數(shù)是否為8的倍數(shù)。789、718、526、627、303、435都不是8的倍數(shù)，但536是8的倍數(shù)。即寫到36時，第一次恰好是72的倍數(shù)。這樣做比先考慮被8整除，后考慮被9整除要快速簡單得多。9．任意一個三位數(shù)連著寫兩次得到一個六位數(shù)，這個六位數(shù)一定同時能被7、11、13整除。這是為什么？解答：設(shè)任意一個三位數(shù)為，則這個六位數(shù)為

＝×1000＋＝1001×＝7×11×13×所以這個六位數(shù)能同時被7、11、13整除。10．有72名學(xué)生，共交課間餐費元，每人交了多少元？解答：72=8×9，所以應(yīng)同為8和9的倍數(shù)。∵為8的倍數(shù)，∴為8的倍數(shù)，故b=2?！邽?的倍數(shù)，∴a+5+2+7+b=16+a為9的倍數(shù)，故a=2。∴=25272。25272÷72=351（分）。答：每人交了3.51元。11．從0、3、5、7四個數(shù)字中任選三個，排成能同時被2、3、5整除的三位數(shù)。這樣的三位數(shù)共有幾個？解答：所求的三位數(shù)能同時被2、5整除，所以這個三位數(shù)的個位數(shù)字為0。所求的三位數(shù)能被3整除，所以這個三位數(shù)的各位數(shù)字之和應(yīng)是3的倍數(shù)。故所求的三位數(shù)為570或750，共2個。12．用1、2、3、4、5、6、7、8、9（每個數(shù)字用一次）組成三個能被9整除的、和盡可能大的三位數(shù)，這三個三位數(shù)分別是多少？解答：1+2+3+4+5+6+7+8+9＝45。因為所求的三個三位數(shù)都能被9整除，所以它們的各位數(shù)字之和分別能被9整除，故這三個三位數(shù)中有兩個的數(shù)字和都是18，一個的數(shù)字和是9。要使數(shù)字和是9的三位數(shù)盡可能大，百位上的數(shù)字必須為6，十位上的數(shù)字為2，個位上的數(shù)字為1，所以這個三位數(shù)是621。要使數(shù)字和是18的兩個三位數(shù)盡可能大，一個的百位上數(shù)字為9，另一個百位上數(shù)字為8，十位上數(shù)字分別為5與7，個位上數(shù)字分別為4與3。故這兩個三位數(shù)是954與873。因此，所求的三個三位數(shù)分別是621、954、873。13．已知A、B、C、D是各不相同的數(shù)字，A+B+C=18,B＋C＋D＝23，四位數(shù)被5除余3，求四位數(shù)是多少。解答：四位數(shù)被5除余3，所以C=3或C=8若C=3，則B＋D=23-3=20，這與B＋D＜18矛盾.故C≠3。若C=8，則B+D=23-8=15。故B＝9,D＝6或B＝6,D＝9或B＝8,D＝7或B＝7,D＝8。A、B、C、D是各不相同的數(shù)字，所以B＝9,D＝6或B＝6,D＝9，從而A=1或A=4。因此，四位數(shù)是1986或4689。14．一個六位數(shù)的各位數(shù)字都不相同，最左邊一個數(shù)字是3，且此六位數(shù)能被11整除。這樣的六位數(shù)中的最小的數(shù)是多少？解答：依題意，設(shè)所求的六位數(shù)為，因為六位數(shù)30124a能被11整除，所以（a＋2）-（4+1+3）=a-6應(yīng)是11的倍數(shù)。故a=6。因此，所求的最小六位數(shù)是301246。15．五位數(shù)能被6整除，則2×(a＋b＋c＋d)－e也能被6整除。請說明道理。解答：因為能被6整除，所以它能分別被2和3整除，故e為2的倍數(shù)，a+b+c+d+e是3的倍數(shù)。因為2×（a+b+c+d）－e＝2×（a+b+c+d+e）－3e，而2×（a+b+c+d+e）、3e都能被6整除，所以2×（a+b+c+d）－e能被6整除。16．某數(shù)乘以7后，乘積的最后三位數(shù)是173，那么這樣的整數(shù)中最小的是多少？解答：①設(shè)這個數(shù)為N，乘積為A173，根據(jù)題意N×7=A173，現(xiàn)要求N最小，即使A173為最小，A應(yīng)是多少呢？可以從最小的數(shù)試起。若A=1，1173不能被7整除，舍去；同理當A=2，3，4時，A173都不能被7整除，舍去。當A=5時，5173被7整除，所以N最小數(shù)為5173÷7=739。②設(shè)這個數(shù)為N，由題設(shè)7×N=A173，即7｜A173，由（6）可知所求最小的A滿足7｜173-A，或7｜5-A，顯然當A=5時即7×N=5173時N最小，最小值為739。答：這樣的整數(shù)中最小者為739。17．從1到9這九個數(shù)字中排出8個數(shù)字，組成能被12整除的八位數(shù)，這樣的八位數(shù)中，最大和最小的各是多少？解答：能被12整除的數(shù)必能被3和4整除，能被3整除的數(shù)，其數(shù)字之和必能被3整除，因為1+2+3+…+8+9=45能被3整除，因此去掉3、6、9中的任一個所剩下的8個數(shù)組成的八位數(shù)一定是3的倍數(shù)，要使八位數(shù)最大，應(yīng)去掉數(shù)字3，并使高位的數(shù)盡可能大，兼顧末兩位數(shù)被4整除的條件。最大八位數(shù)為98765412；不難知道最小的八位數(shù)為12345768。答：所求的最大數(shù)為98765412，最小數(shù)為12345768。18．下面這二百零一位數(shù)11…1□22…2（其中1和2各有100個）能被13整除，那么中間方格內(nèi)應(yīng)填什么數(shù)？解答：111111被13整除，而100=6×16+4，故原來被13整除的算式即變?yōu)?3｜1111□2222；再根據(jù)（6）還可變?yōu)?3｜333-1□2，經(jīng)試算即可知方格應(yīng)填1。答：方格內(nèi)應(yīng)填上1。19．試求出所有滿足下述條件的兩位數(shù)，當它們分別乘以數(shù)字2，3，4，5，6，7，8，9時其積的數(shù)字之和均不變。解答：因為所求的兩位數(shù)乘以9后數(shù)字之和不變，可知其數(shù)字之和是9的倍數(shù)，這樣的數(shù)字只有10個：18，27，36，45，54，63，72，81，90，99；對每一個數(shù)字進行檢驗，結(jié)果只有18，45，90和99滿足題目要求。答：數(shù)字18，45，90，99滿足題設(shè)要求。20．傳說從前有個巧匠叫布克，該國的國王久聞其名。有一次，國王想考一考布克，看看他是否真的很聰明。于是他把布克叫到宮中，出了這樣一道難題考他：“你給我鋸一根長方體木料，這根木料的相鄰兩個面的面積是108平方分米和32平方分米，長、寬、高都是整分米數(shù)且長度均不為1分米，如果把它鋸成若干個小木塊，那么鋸得的小方塊必須能拚成一個大正方體。請你回答我要你鋸的這根木料的長、寬、高各是多少？這根木料最少能鋸成幾個大小相同的小方塊？要鋸幾次？這些小木塊拼成的大正方體棱長是多少？”布克不愧為一個巧匠，面對國王連珠炮般的提問，他沉著鎮(zhèn)定地作了正確的回答，國王興猶未盡，繼續(xù)問到：“如果我現(xiàn)在有一批這樣的長方體木料，要堆成一個正方體的實心木垛，這樣的木料至少有幾根？有多高？”布克又圓滿地回答了國王的提問，這位賢明的國王對布克大為稱贊，重重地獎賞了他。小讀者，如你是布克，你能正確回答嗎？解答：因為相鄰兩個面有一條公共邊，所以這條公共邊的長是108、32的公約數(shù)，這個公約數(shù)是1、2或4；1不合題意，不考慮，當公共邊為2分米時，長方體的長、寬、高中另兩條是54分米，16分米；當公共邊長4分米時，另兩條是27分米，8分米。因為把這個長方體鋸開后要拼成一個大正方體，所以長方體體積等于正方體體積。嘗試兩種情況：54×16×2＝2×3×3×3×2×2×2×2×2=（2×2×3）×（2×2×3）×（2×2×3）=12327×8×4＝3×3×3×2×2×2×2×2＝2×3×2×3×2×3×2×2因為正方體的體積是棱長的立方，所以把它的體積分解質(zhì)因數(shù)必可得到三組相同的質(zhì)因數(shù)，第一種情況滿足這一條件。第二種情況無法滿足。所以長方體的長、寬、高分別是54分米、16分米，2分米。拼得的正方體棱長為12分米，鋸成的小正方體的棱長應(yīng)是54、16、2的公約數(shù)，要求塊數(shù)最少則小正方體棱長最大，最大公約數(shù)為2分米，那么長方體的長分27塊，寬8塊，高不必鋸，共鋸的次數(shù)為（27－1）＋（8－1）=33（次）。要堆成實心的正方體木垛，這個正方體的棱長應(yīng)是長、寬、高的公倍數(shù)，塊數(shù)最少則正方體棱長最小，最小公倍數(shù)為432分米，堆一垛至少要432×432×432÷（54×16×2）=46656（塊），高為43.2米。這道題綜合了最大公約數(shù)，分解質(zhì)因數(shù)，立方數(shù)的特征，最小公倍數(shù)的知識，在解題中要正確選擇究竟應(yīng)用何種知識解決問題。21．父親給小明出了這樣一道題：“在一間屋子里，有一百盞電燈排成一行，按從左到右的順序，編上號碼1，2，3，4，5，…，99，100。每盞電燈上有一個拉線開關(guān)，開始時，全部的燈都關(guān)著，有100個學(xué)生在外排隊，第1個學(xué)生進來，把是1倍數(shù)的燈都拉了一下（即把所有的燈拉亮了）。第2個學(xué)生進來，把編號是2倍數(shù)的燈又拉了一下（即把第2，4，6，8，…，98，100盞燈又拉滅了）。第3個學(xué)生進來，把是3倍數(shù)的燈又拉了一下，……，第100個人進來，把第100號燈拉了一下，想一想，第100個人拉了以后，還有多少盞燈是亮著的？”這下可把小明忙壞了，他在一張大大的紙上，畫出所有的電燈，又是打“√”，又是畫“○”，好久沒能解出來，難道就沒有更好的辦法了嗎？小明犯了難。小讀者，你有好辦法教小明嗎？解答：到最后一個為止，拉了奇數(shù)次的燈是亮著的，拉了偶數(shù)次的燈是熄滅的。拉了奇數(shù)次的燈的號碼應(yīng)該有奇數(shù)個約數(shù)，拉了偶數(shù)次的燈的號碼應(yīng)該有偶數(shù)個約數(shù)。哪些數(shù)有奇數(shù)個約數(shù)呢？1的約數(shù)只有1，4的約數(shù)有1，2，4，4＝2×2＝22，9的約數(shù)是1，3，9，9=3×3＝32，16的約數(shù)有1，2，4，8，16，16＝2×2×2×2＝24，……，我們看到完全平方數(shù)的約數(shù)有奇數(shù)個約數(shù)。因為完全平方數(shù)有一個約數(shù)為n，n2=N，n沒有與它配對的約數(shù)（大些或小些的），其余的約數(shù)也成對出現(xiàn)，所以偶數(shù)+1=奇數(shù)，完全平方數(shù)有奇數(shù)個約數(shù)，而非完全平方數(shù)則約數(shù)個數(shù)為偶數(shù)。亮著的燈編號為：1，4，9，16，25，36，49，64，81，100共10盞。這道題綜合了奇偶分析和完全平方數(shù)特征方面的內(nèi)容。22．在海族館工作的父親要出差了，你能根據(jù)他給小強留下的條子判斷出小強父親遠行回來的日期和行程嗎？小強：海族館的章魚打架斷了一條腕足，只剩下十七條腕足了，我要和館里的叔叔們一起到大海去捕一條大章魚來。如果你把章魚剩下的腕足條數(shù)分成兩個自然數(shù)的和，得到一些成對的自然數(shù)，其中乘積最大的一對組成一個日期，這個日期是我回來的大致日期。如果把章魚剩下的腕足條數(shù)分成若干個自然數(shù)的和，得到許多組和為17的自然數(shù)，其中乘積最大的一組數(shù)的積是我這次遠出的行程。父親1992年8月18日解答：①先把17分拆成兩個自然數(shù)的和，拆得自然數(shù)的積有八種：1×16=16，2×15=30，3×14＝42，4×13=52，5×12=60，6×11=66，7×10=70，8×9=72?？梢?×9的積最大，這個日期有8，9兩個數(shù)字組成，或是8月9日，或是9月8日，由于父親在寫條子的日期已是8月18日，所以回來日期應(yīng)是9月8日。仔細觀察一下可以發(fā)現(xiàn)，把自然數(shù)拆成兩個小自然數(shù)的和，要使其積最大，必須兩個小自然數(shù)相差最小。②把17分成若干個自然數(shù)的和，使這些自然數(shù)的積最大，究竟是分得多好還是分得少好呢？看來分的個數(shù)多一點好，因為多一個數(shù)，可以多乘一次，乘積就大些，當然這些數(shù)中不應(yīng)有1（想一想，為什么？），個數(shù)多的拆法是：17＝2＋2＋2＋2＋2＋2＋2＋3，但2×2×2=8，把3個2改成2個3，積為3×3=9，所以要盡可能少出現(xiàn)2，多出現(xiàn)3，17=3＋3＋3＋3＋3＋2，小的自然數(shù)積為3×3×3×3×3×2＝486（千米），若再減少自然數(shù)的個數(shù)有3×3×3×3×5＝405，3×3×6×5＝270，9×8=72，……，這些分析中以五個3和一個2的分拆積最大?？偨Y(jié)本題的把一個數(shù)分成若干個自然數(shù)和，使這些自然數(shù)積最大的經(jīng)驗有：①拆分中不應(yīng)有1，只應(yīng)有3或2；②拆分中盡量增加3的個數(shù)，減少2的個數(shù)。23．把1至1997這1997個自然數(shù)依次寫下來，得一多位數(shù)123456789101112…199519961997，試求這個多位數(shù)除以9的余數(shù)。解答：一個自然數(shù)除以9的余數(shù)，等于這個自然數(shù)各個數(shù)位上數(shù)字和除以9的余數(shù)。這一來上面求多位數(shù)除以9的余數(shù)問題，便轉(zhuǎn)化為求1至1997這1997個自然數(shù)中所有數(shù)字之和是多少的問題。這個問題的求法有很多，下面分別加以介紹。因為1至9這9個數(shù)字之和為45，所以10至19，20至29，30至39，…，80至89，90至99這些十個數(shù)各數(shù)位上數(shù)字和分別為：45+10，45+20，45+30，45+40，…，45+80，45+90.這一來，1至99這99個自然數(shù)各數(shù)位數(shù)字和為：45+55+65+…+125+135=900。因為1至99這99個自然數(shù)各數(shù)位上數(shù)字和為900，所以100至199，200至299，…，800至899，900至999這些100個數(shù)各數(shù)位上數(shù)字和分別為900+100，900+200，…，900+800，900+900。這一來，1至999這999個自然數(shù)各數(shù)位上數(shù)字和為：900+1000+…+1700+1800=13500。因為1至999這999個自然數(shù)各數(shù)上數(shù)字和為13500，所以1000至1999這1000個自然數(shù)各數(shù)位數(shù)字和為：13500+1000=14500，這一來1至1999這1999個自然數(shù)各數(shù)位數(shù)字和為：13500+14500=28000。1998、1999這兩個數(shù)各數(shù)位上數(shù)字和為：27、28。28000-27-28=27945，9能整除27945，故多位數(shù)除以9余0。另外還有一個較為省事的求和方法，將0至1999這2000個自然數(shù)一頭一尾搭配分成如下的1000組：（0，1999），（1，1998），（2，1997），（3，1996）（4，1995），（5，1994），（6，1993），（7，1992）……（996，1003），（997，1002），（998，1001），（999，1000）以上每一組兩數(shù)之和都是1999，并且每一組兩數(shù)相加時都不進位，這樣1至1999這1999個自然數(shù)的所有數(shù)字之和等于：（1+9+9+9）×1000=28000其余的與上面提到的相同，故從略。本題還有另外一種解法.因為依次寫出的任意連續(xù)9個自然數(shù)所組成的多位數(shù)，一定能被9整除。而從1至1997一共有1997個數(shù)，1997÷9=221……8，1990、1991、1992、1993、1994、1995、1996、1997這8個數(shù)所有數(shù)位上數(shù)字和為19+20+21+22+23+24+25+26=360，360能被9整除，所以多位數(shù)除以9余0，與前面的結(jié)果相同。為什么依次寫出的任意連續(xù)9個自然數(shù)所組成的多位數(shù)一定能被9整除呢？這是因為任意連續(xù)的9個自然數(shù)各數(shù)位上的數(shù)字和除以9的余數(shù)，必定是0，1，2，…，7，8這九個數(shù)，而這九個數(shù)的和為36，36能被9整除，所以任意依次寫出的9個連續(xù)自然數(shù)組成的多位數(shù)也一定能被9整除。24．將1，2，3，…，30從左到右依次排列成一個51位數(shù)123456…2930，試求這個51位數(shù)除以11的余數(shù)。解答：被11整除的特征是：這個數(shù)奇數(shù)位上數(shù)字和與偶數(shù)位上數(shù)字和的差能被11整除.從這個特征的導(dǎo)出過程中我們還可以看出：一個數(shù)奇數(shù)位上數(shù)字和與偶數(shù)位上數(shù)字和的差除以11的余數(shù)，與原數(shù)除以11的余數(shù)是相等的。利用這一性質(zhì)便可求出問題的結(jié)果來。因為51位數(shù)123456…282930的奇數(shù)位上的數(shù)字分別是0，9，8，7，6，5，4，3，2，1，0，9，8，7，6，5，4，3，2，1，0，9，7，5，3，1，這些數(shù)字之和為：1+3+5+7+9+（1+2+3+4+5+6+7+8+9）×2=115這個數(shù)的偶數(shù)位上的數(shù)字分別是3，2，2，2，2，…，2，1，1，…，1，8，6，4，2，這些數(shù)字之和為：2×10+1×10+3+8+6+4+2=53115-53=62，62÷11=5……7所以這個51位數(shù)除以11的余數(shù)是7。此題恰巧是奇數(shù)位上的數(shù)字和大于偶數(shù)位上的數(shù)字和，所以計算起來比較方便，如果有一個18位數(shù)919293949596979899，問這個數(shù)除以11的余數(shù)是幾？上述18位數(shù)奇數(shù)位上的數(shù)字和為（9+8+7+6+5+4+3+2+1=）45，偶數(shù)位上的數(shù)字和為（9×9=）81.現(xiàn)在是偶數(shù)位上的數(shù)字和大于奇數(shù)位上的數(shù)字和，81-45=36，36÷11=3…3。應(yīng)該怎么計算呢？請同學(xué)們動腦筋想一想，告訴你們答案為8，即上述那個18位數(shù)除以11余8。25．將1至9這九個數(shù)字，按圖1所示的次序排成一個圓圈。請你在某兩個數(shù)字之間剪開，分別按順時針和逆時針次序形成兩個九位數(shù)（例如，在1和7之間剪開，得到兩個九位數(shù)是193426857和758624391）。如果要求剪開后所得到的兩個九位數(shù)的差能被396整除，那么剪開處左右兩個數(shù)字的乘積是幾？解答：396=4×9×11，而4、9、11兩兩互質(zhì)，根據(jù)前面提到的有關(guān)整除的性質(zhì)，考慮被396整除，只要分別考慮被4、9、11整除就行了。前面提到如果一個數(shù)的各個數(shù)位上的數(shù)字和是9的倍數(shù)，那么這個數(shù)一定能被9整除。現(xiàn)在無論從哪兩個數(shù)字之間剪開，按順時針或逆時針次序所得到的兩個九位數(shù)，其各個數(shù)位上的數(shù)字和，都是1至9九個數(shù)字之和45，45能被9整除，因此兩個九位數(shù)一定能被9整除，那么這兩個九位數(shù)之差當然也能被9整除。再考慮除以11的情況.考慮一個數(shù)能否被11整除，只要考慮這個數(shù)奇數(shù)位上數(shù)字和與偶數(shù)位上數(shù)字和之差除以11的余數(shù)。現(xiàn)在無論從哪兩個數(shù)字之間剪開后所得到的兩個九位數(shù)，它們數(shù)字的順序恰好是互相顛倒的，因此這兩個九位數(shù)的奇數(shù)位上數(shù)字和與偶數(shù)位數(shù)字和之差是完全一樣的，換句話說，這兩個九位數(shù)除以11的余數(shù)相同，從而它倆的差一定能被11整除。最后考慮所得兩個九位數(shù)之差能否被4整除。從一個數(shù)能被4整除的特征可以知道，只要這兩個九位數(shù)的末兩位數(shù)字組成的兩位數(shù)之差能被4整除，那么這兩個九位數(shù)的差一定能被4整除。因此只需考慮：剪開處左面兩個數(shù)字組成的兩位數(shù)與右面兩個數(shù)字顛倒順序后組成的兩位數(shù)之差能否被4整除。只要這個差能被4整除，所得兩個九位數(shù)之差就能被396整除，否則就不能被396整除。在1與9之間剪開：71-39=32，32能被4整除。在9與3之間剪開：43-19=24，24能被4整除。在3與4之間剪開：93-24=69，69不能被4整除。在4與2之間剪開：62-34=28，28能被4整除。在2與6之間剪開：86-42=44，44能被4整除。在6與8之間剪開：58-26=32，32能被4整除。在8與5之間剪開：75-68=7，7不能被4整除。在5與7之間剪開：85-17=68，68能被4整除。在7與1之間剪開：91-57=34，34不能被4整除。因此本題共有下面六個答案：1×9=9，9×3=27，4×2=8，2×6=12，6×8=48，5×7=35。26．下面是某校購買72張課桌和77把課椅的發(fā)票。由于不小心浸水，烘干后發(fā)票上的一些數(shù)字都模糊不清了，每一個模糊不清的數(shù)字用□表示，請恢復(fù)發(fā)票中注有□的數(shù)字。解答：為方便起見，以分為單位，設(shè)課桌的單位與總價分別為分和分，課椅的單價和總價分別為分和分，合計金額為分。因為72=8×9,8,9互質(zhì)，所以三位數(shù)能被8整除，由此可知c=6。又因為+=，所以g=9,f=7,x=2,a≥7。又因為9能整除，所以6+7+7+b+a應(yīng)是9的倍數(shù)，即a+b+2是9的倍數(shù)。則有a+b=7，a+b=16。又因由a≥7，所以當a+b=7時，有a=7，b=0；當a+b=16時，有a=7、8、9，b=9、8、7。這一來課桌的總價可以是70776分，79776分，88776分，97776分。因為g=9，f=7，所以77把課椅的總價為分。因為7×7=49，所以f=7。因為77×7=539，-=。這個等式告訴我們：去掉課椅單價中最后的那個7，會有×77=，所以e=2。這一來，課椅單價為分。因為327×77=25179＜，527×77=40579＞，所以d=4，即課椅單價為427分，427×77=32879，所以課椅的總價為32879分。70776+32879=103655，79776+32879=112655，88776+32879=121655，97776+32879=130655，這四個和里只有103655符合要求，所以課桌的總為70776分，70776÷72=983，課桌的單價為983分，恢復(fù)后的發(fā)票如下：整除問題\o"難解的數(shù)學(xué)緣"難解的數(shù)學(xué)緣2009-10-2119:51:20閱讀52評論0

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數(shù)的整除概念、性質(zhì)及整除特征為解決一些整除問題帶來了很大方便，在實際問題中應(yīng)用廣泛。一、整除的定義：

當兩個整數(shù)a和b（b≠0），a被b除的余數(shù)為零時（商為整數(shù)），則稱a被b整除或b整除a，也把a叫做b的倍數(shù)，b叫a的約數(shù)，記作b|a，如果a被b除所得的余數(shù)不為零，則稱a不能被b整除，或b不整除a，記作b

a.二、數(shù)的整除性質(zhì)：

(1)對稱性：若甲數(shù)能被乙數(shù)整除，乙數(shù)也能被甲數(shù)整除，那么甲、乙兩數(shù)相等。

記作：a|b,b|a,則a=b。

(2)傳遞性：若甲數(shù)能被乙數(shù)整除，乙數(shù)能被丙數(shù)整除，那么甲數(shù)能被丙數(shù)整除。

記作：若a|b,b|c,則a|c。

(2)

若兩個數(shù)能被一個自然數(shù)整除，那么這兩個數(shù)的和與差都能該自然數(shù)整除。

記作：若a|b,a|c,則a|(b

c)。

(3)

幾個數(shù)相乘，若其中有一個因子能被某一個數(shù)整除，那么它們的積也能被該數(shù)整除。

(4)

若一個數(shù)能被兩個互質(zhì)數(shù)中的每一個數(shù)整除，那么這個數(shù)也能分別被這兩個互質(zhì)數(shù)的

積整除。記作：若a|b,c|b,(a,c)=1,

則ac|b。

(5)

若一個數(shù)能被兩個互質(zhì)數(shù)的積整除，那么，這個數(shù)也能分別被這兩個互質(zhì)數(shù)整除。

記作：若ac|b,(a,c)=1,

則a|b,c|b。

(6)

若一個質(zhì)數(shù)能整除兩個自然數(shù)的乘積，那么這個質(zhì)數(shù)至少能整除這兩個自然數(shù)中的一

個。

(7)

若a|b,m≠0,則am|bm。

(8)

若am|bm,m≠0,則a|b。

(9)若c|a，c|b，則c|（ma+nb），其中m、n為任意整數(shù)

（這一性質(zhì)還可以推廣到更多項的和）

三、整除特征

（1）1與0的特性：

1是任何整數(shù)的約數(shù)，即對于任何整數(shù)a，總有1|a.

0是任何非零整數(shù)的倍數(shù)，a≠0,a為整數(shù)，則a|0.

（2）若一個整數(shù)的末位是0、2、4、6或8，則這個數(shù)能被2整除。

（3）若一個整數(shù)的數(shù)字和能被3整除，則這個整數(shù)能被3整除。

（4）

若一個整數(shù)的末尾兩位數(shù)能被4整除，則這個數(shù)能被4整除。

（5）若一個整數(shù)的末位是0或5，則這個數(shù)能被5整除。

（6）若一個整數(shù)能被2和3整除，則這個數(shù)能被6整除。

（7）若一個整數(shù)的個位數(shù)字截去，再從余下的數(shù)中，減去個位數(shù)的2倍，如果差是7的倍

數(shù)，則原數(shù)能被7整除。如果差太大或心算不易看出是否7的倍數(shù)，就需要繼續(xù)上述

「截尾、倍大、相減、驗差」的過程，直到能清楚判斷為止。例如，判斷133是否7的倍

數(shù)的過程如下：13－3×2＝7，所以133是7的倍數(shù)；又例如判斷6139是否7的倍數(shù)的過

程如下：613－9×2＝595

，

59－5×2＝49，所以6139是7的倍數(shù)，余類推。

（8）若一個整數(shù)的未尾三位數(shù)能被8整除，則這個數(shù)能被8整除。

（9）若一個整數(shù)的數(shù)字和能被9整除，則這個整數(shù)能被9整除。

（10）若一個整數(shù)的末位是0，則這個數(shù)能被10整除。

（11）若一個整數(shù)的奇位數(shù)字之和與偶位數(shù)字之和的差能被11整除，則這個數(shù)能被11整除。

11的倍數(shù)檢驗法也可用上述檢查7的「割尾法」處理！過程唯一不同的是：倍數(shù)不是2

而是1！

（12）若一個整數(shù)能被3和4整除，則這個數(shù)能被12整除。

（13）若一個整數(shù)的個位數(shù)字截去，再從余下的數(shù)中，加上個位數(shù)的4倍，如果差是13的倍

數(shù)，則原數(shù)能被13整除。如果差太大或心算不易看出是否13的倍數(shù)，就需要繼續(xù)上述

「截尾、倍大、相加、驗差」的過程，直到能清楚判斷為止。

（14）若一個整數(shù)的個位數(shù)字截去，再從余下的數(shù)中，減去個位數(shù)的5倍，如果差是17的倍

數(shù)，則原數(shù)能被17整除。如果差太大或心算不易看出是否17的倍數(shù)，就需要繼續(xù)上述

「截尾、倍大、相減、驗差」的過程，直到能清楚判斷為止。

（15）若一個整數(shù)的個位數(shù)字截去，再從余下的數(shù)中，加上個位數(shù)的2倍，如果差是19的倍

數(shù)，則原數(shù)能被19整除。如果差太大或心算不易看出是否19的倍數(shù)，就需要繼續(xù)上述

「截尾、倍大、相加、驗差」的過程，直到能清楚判斷為止。

（16）若一個整數(shù)的末三位與3倍的前面的隔出數(shù)的差能被17整除，則這個數(shù)能被17整除。

（17）若一個整數(shù)的末三位與7倍的前面的隔出數(shù)的差能被19整除，則這個數(shù)能被19整除。

（18）若一個整數(shù)的末四位與前面5倍的隔出數(shù)的差能被23(或29)整除，則這個數(shù)能被23整

除。四、其他重要結(jié)論

1、能被2和5，4和25，8和125整除的數(shù)的特征是分別在這個數(shù)的未一位、未兩位、未三位

上。我們可以概括成一個性質(zhì)：未n位數(shù)能被

(或

)整除的數(shù)，本身必能被

(或

)整除；

反過來，末n位數(shù)不能被

(或

)整除的數(shù)，本身必不能被

(或

)整除。例如，判斷

19973216、91688169能否能被16整除，只需考慮未四位數(shù)能否被16整除便可，這樣便可以

舉一反三，運用自如。

2、利用連續(xù)整數(shù)之積的性質(zhì)：

任意兩個連續(xù)整數(shù)之積必定是一個奇數(shù)與一個偶數(shù)之一

積，因此一定可被2整除；

任意三個連續(xù)整數(shù)之中至少有一個偶數(shù)且至少有一個是3的倍

數(shù)，所以它們之積一定可以被2整除，也可被3整除，所以也可以被2×3=6整除。這個性質(zhì)

可以推廣到任意個整數(shù)連續(xù)之積。五、例題解析以下例題運用了整除特征解題。例1：（1）判斷47382能否被3或9整除？

（2）判斷42559，7295871能否被11整除？解：（1）4+7+3+8+2=24

3|24，

9

24

∴3|47382，

9

47382

（2）（9+5+4）―（5+2）=18―7=11

∴11|42559

（1+8+9+7）―（7+5+2）=25―14=11

∴11|7295871啟示：判斷一個整數(shù)能否被另一個整數(shù)整除，充分考慮整除的特征，這樣有利于我們?nèi)ヅ袛?。?：求一個首位數(shù)字為5的最小六位數(shù)，使這個數(shù)能被9整除，且各位數(shù)字均不相同。分析：由于要求被9整除，可只考慮數(shù)字和，又由于要求最小的，故從第二位起應(yīng)盡量用最小

的數(shù)字排，并試驗?zāi)┪粩?shù)字為哪個數(shù)時，六位數(shù)為9的倍數(shù)。解：一個以5為首位數(shù)的六位數(shù)5―――――，要想使它最小，只可能是501234（各位數(shù)字均不

相同）。

但是501234的數(shù)字和5+0+1+2+3+4=15，并不是9的倍數(shù)，故只能將末位數(shù)字改為7，這時，

5+0+1+2+3+7=18是9的倍數(shù)，故501237是9的倍數(shù)。

即501237是以5為首位，且是9的倍數(shù)的最小六位數(shù)。例3：從0、1、2、4、7五個數(shù)中選出三個組成三位數(shù)，其中能被3整除的有

個。

﹝南京巿第一屆“興趣杯”少年數(shù)學(xué)邀請賽決賽B卷﹞

解：三位數(shù)的數(shù)字和字和應(yīng)被3整除，所以可取的三個數(shù)字分別是：

0,1,2；

0,2,4;

0,2,7;

1,4,7。

于是有：（2*2*1）*3+3*2*1=18﹝個﹞例4：四位數(shù)7a2b能被2，3，5整除，這樣的四位數(shù)有幾個？分別是多少？解：要使7a2b能同時被2，3，5整除，則b為零；又要使7a20能被3整除，a必須滿足各位數(shù)字的

和7+2+0+a能被3整除，又知a只能取0至9這十個數(shù)字，所以a只可取0，3，6，9。故滿足條

件的四位數(shù)有4個，即7020，7320，7620，7920。啟示：在做有關(guān)整除的題目時，應(yīng)充分考慮一些常見整數(shù)的整除特征。例5：有0、1、4、7、9五個數(shù)字，從中選出四個數(shù)字組成一個四位數(shù)﹝例如1409﹞，把其中能

被3整除的四位數(shù)從小到大排列起來，第5個數(shù)的末位數(shù)字是

。

﹝北京巿第一屆“迎春杯”賽﹞

解：從0、1、4、7、9中選出四個數(shù)字，使它們的和是3的倍數(shù)，這樣的四位數(shù)只能由

0、1、4、7或1、4、7、9組成。

按從小到大順序排列為

1047、1074、1407、1470、1479、1749、…

所以第五個四位數(shù)個位上應(yīng)是9。例6：在568后面補上三個數(shù)字，組成一個六位數(shù)，使它分別被3，4，5整除，且使這個數(shù)盡可

能的小。解：不妨設(shè)補上三個數(shù)字后的六位數(shù)為568abc。由于這個六位數(shù)分別被3，4，5整除，故它應(yīng)

滿足如下三個條件：

（1）

數(shù)字和（5+6+8+a+b+c）是3的倍數(shù)；

（2）

末兩位數(shù)字組成的兩位數(shù)bc是4的倍數(shù)；

（3）

末位c為0或5。

由于4|bc，故c不能是5，而只能是0，且b只可能是2，4，6，8，0。

又因為3|（5+6+8+a+b+c）即3|（5+6+8+a+b+0），所以

當b=2時，3|（5+6+8+a+2）,a可為0，3，6，9

當b=4時，3|（5+6+8+a+4）a可為1，4，7

當b=6時，3|（5+6+8+a+6）,a可為2，5，8

當b=8時，3|（5+6+8+a+8），a可為0，3，6，9

當b=0時，3|（5+6+8+a+0），a可為2，5，8

要使六位數(shù)568abc盡可能小，則a應(yīng)取0，b應(yīng)取2，c應(yīng)取0。

故被3，4，5整除的最小六位數(shù)568abc應(yīng)為568020。例7：個位數(shù)字為6，且能被3整除的五位數(shù)共有多少個？分析：此題如果把個位數(shù)字為6且被3整除的五位數(shù)找出來實屬不易，因此應(yīng)想簡便方法求解，

由此想到被3整除的數(shù)的特征是其各數(shù)位數(shù)字之和能被3整除，因此將其轉(zhuǎn)化為各位數(shù)字

之和除以3的倍數(shù)有多少個。解：設(shè)所求五位數(shù)為abcd6

∵3|abcd6

∴3|（a+b+c+d+6）

∴3|（a+b+c+d）

∴3|

故所求的五位數(shù)只需求被3整除的四位數(shù)有多少個即可

又1～1000能被3整除的數(shù)有333個

1～10000能被3整除的數(shù)有3333個

故1000～10000能被3整除的數(shù)有3333-333=3000（個）

∴所求符合題意的數(shù)有3000個。

啟示：兩次運用被3整除的數(shù)的特征，先將3|abcd6轉(zhuǎn)化為3|（a+b+c+d+6）,得3|

（a+b+c+d），然后再將其轉(zhuǎn)化為3|abcd。例8：一個六位數(shù)，它能被9和11整除。去掉這個六位數(shù)的首、尾兩個數(shù)字，中間的四個數(shù)字是

1997，那么這個六位數(shù)是

。

﹝第七屆“祖沖之杯”數(shù)學(xué)邀請賽﹞解：設(shè)這個六位數(shù)是a1997b，它能被9整除，

所以a+1+9+9+7+b=a+b+26，能被9整除，

從而a+b=1或10。

但a+b=1時，只能a=1、b=0，

而119970不能被11整除，所以只有a+b=10。

A1997b能被11整除，

所以(a+9+7)-(1+9+b)=0或11，即得b-a=6或a-b=5，

但a-b=5時，a、b不是整數(shù)，因此只有b-a=6，

解得a=2，b=8。

于是，這個六位數(shù)是219978。例9：在下面的方框中各填一個數(shù)字，使六位數(shù)

11□□11

能被17和19整除，那么方中的兩位數(shù)是

。﹝1995年小學(xué)數(shù)學(xué)奧林匹克）解：17*19=323，110011/323余數(shù)為191。

若□□91被323整除，商的個位數(shù)字，必定為7。

323*7=2661，9-6=3，從而商是17，□□91=5491。

即原題方框中的兩位數(shù)是53。以下例題綜合運用了整除性質(zhì)和特征解題。例10：老師買了72本相同的書，當時沒有記住每本書的價格，只用鉛筆記下了用掉的總錢數(shù)，

回校后發(fā)現(xiàn)有兩個數(shù)字已看不清了。你能幫助補上這兩個數(shù)字嗎？（□13.7□元，□中為

看不清的數(shù)字）。分析：首先將□13.7□元化成分，這樣總錢數(shù)就是□137□（整數(shù)分）。由于每本書價格相

同，所以72|□137□。但72=8×9，所以8和9都應(yīng)整除□137□。解：72=8×9，□13.7□元=□137□分

∴8|□137□，9|□137□

由于8整除□137□，所以8|37□由此可知，當37□=376時才有8|376，故原數(shù)為□1376。

又由于9整除□1376，所以其數(shù)字和□+1+3+7+6，必是9的倍數(shù)。

即9|（□+17），而□只能是1到9中的某個數(shù)，所以□只能且1。

因此，原數(shù)為11376分，即113.76元。啟示：此處用到了整除的一條重要性質(zhì)：如果a|b,c|b,且

a、c沒有除1以外的公共約數(shù)（即

a,c互質(zhì)），那么bc|a,這里72=8×9，（8，9）=1，因為8|□137□，9|□137□，所以72|

□137□，因此同理可得能被6整除的數(shù)要求能同時被2、3整除，因為6=2×3，（2，3）

=1，能被12整除的數(shù)要求能同時被3，4整除，因為12=3×4，（3，4）=1。例11：某個七位數(shù)1993□□□能夠同時被2、3、4、5、6、7、8、9整除，那么它的最后三字依

次是

。﹝1993年小學(xué)數(shù)學(xué)奧林匹克）解：這個七位數(shù)能被2、3、4、5、6、7、8、9整除，

所以能被2、3、4、5、6、7、8、9的最小公倍數(shù)整除。

這個最小公倍數(shù)是5*6*7*8*9=2520。

1993000/2520=790......2200

2520-2200=320

所以最后三位數(shù)依次是3、2、0。例12：從1999到5999的自然數(shù)中有多少個數(shù)，它的數(shù)字和能被4整除？試簡述理由。

[第九屆“祖沖之杯”數(shù)學(xué)邀請賽]解：顯而易見，1999的數(shù)字和能被4整除，

從2000到5999有4000個自然數(shù)，在這4000個自然