一 簡 三 普通模1 含0.5°角的角格點(diǎn)解法 1

一、簡例 ∠CBD=68oBCE=14o，∠DCE=8o，求∠DAE于是末學(xué)在想，能不能有一個比較規(guī)范的程序方式來求解，讓普通的同學(xué)們都能便利BD⊥ACF是AC上A關(guān)于BD的對稱點(diǎn)，連接FB、△BEF的外接圓交EC于PPB、 O、C關(guān)于FP B、C關(guān)于OP 2△C內(nèi)一點(diǎn)P與三個頂點(diǎn)的聯(lián)線，將三角形的三個內(nèi)角分為六個分角，聯(lián)線PA、PB、PCP，也可以附加上六個分角的度數(shù)，六個分角依間隔分為兩組，（）和（z）,標(biāo)注時依順ABC-P(a,b,c,x,y,z（a,b,x,,未知的分角 FCB-△ABE的外接圓交AC于G，產(chǎn)生一個新的角格點(diǎn)BGC-E(38°,14°,24°,28°,8°,68°)，例1mod5- (8°,28°,68°,24°,14°,其中ABC-E表達(dá)了mod5-8的一個成員，BGC-E表達(dá)了mod5-8的另一個成員。一個模塊5

（1）1（α，β，90°-α-β，α，β，90°-α-PP11（2）模型2 證法1： 由ABC-P可知mod2 證法2：△ABD2α ∠PCA=2∠CDP=60°- ∠PCB=180°-2α-(30°-α)-30°-(60°-2α)=由ABC-P(α，30°，60°-2α，α，30°-可知 已知：ABC-Pα，60°-2α，30°-α，α，) A、B關(guān)于EP ∠PCE=90°-∠PCB=180°-(30°-α)-2α-（60°-2α）- 可知mod2 已知：ABC-Pα，30°，30°-α，α) △COB A、B關(guān)于OP ∠PCB=∠POB=90°-(30°-∠PCA=180°-30°-(30°+α)-(60°+α)=60°-由ABC- 可知 2：29mod2-1(30°,1°,58°,1°,29°,61° mod2-2(30°,2°,56°,2°,28°,62°mod2-3(30°,3°,54°,3°,27°,63° mod2-4(30°,4°,52°,4°,26°,64°mod2-5(30°,5°,50°,5°,25°,65° mod2-6(30°,6°,48°,6°,24°,66°mod2-7(30°,7°,46°,7°,23°,67° mod2-8(30°,8°,44°,8°,22°,68°mod2-9(30°,9°,42°,9°,21°,69° mod2-10(30°,10°,40°,10°,20°,70°mod2-( mod2-()mod2-( mod2-()mod2-(30°, mod2-()mod2-(30°, mod2-()mod2-(30°, mod2-()mod2-(30°,21°,18°,21°, mod2-(30°,22°,16°,22°,)mod2-(30°,23°,14°,23°, mod2-(30°,24°,12°,24°,)mod2-(30°,25°,10°,25°, mod2-(30°,26°,8°,26°,)mod2-(30°,27°,6°,27°, mod2-(30°,28°,4°,28°,)mod2-(30°,29°,2°,29°,)3（30°，α，90°-1：ABC-P（30°，α，2α，30°- ∠FBD=∠FAD= A、B、D、C 由ABC-P可知mod3(30°，α，90°-3α，2α，30°-α，30°+α)成立已知ABC-P（30°- ∠PBF=∠PBC D、P、F、A 由ABC-P（30°-α,30°+α,2α,α,30°,90°-3α)可知mod3(30°，α，90°-3α，2α，30°-α，30°+α)證法已知ABC-O是△ABP的外心，連接OA、OB、OC、 △POB A、B關(guān)于CO 可知mod3(30°,α,90°-3α,2α,30°-α,30°+α)3：29(30°,87°,2°,29°,31°mod3-(30°,2°,84°,4°,28°,32°mod3-(30°,81°,6°,27°,33°mod3-(30°,4°,78°,8°,26°,34°(30°,75°,10°,25°,35°mod3-(30°,6°,72°,12°,24°,36°(30°,69°,14°,23°,37°mod3-(30°,8°,66°,16°,22°,38°mod3-(30°,63°,18°,21°,39°mod3-(30°,10°,60°,20°,20°,40°mod3-(30°,11°,57°,22°,19°,41°mod3-(30°,12°,54°,24°,18°,42°mod3-(30°,13°,51°,26°,17°,43°mod3-(30°,14°,48°,28°,16°,44°mod3-(30°,15°,45°,30°,15°,45°mod3-(30°,16°,42°,32°,14°,46°mod3-(30°,17°,39°,34°,13°,47°mod3-(30°,18°,36°,36°,12°,48°mod3-(30°,19°,33°,38°,11°,49°mod3-(30°,20°,30°,40°,10°,50°mod3-(30°,21°,27°,42°,9°,51°mod3-(30°,22°,24°,44°,8°,52°mod3-(30°,23°,21°,46°,7°,53°mod3-(30°,24°,18°,48°,6°,54°mod3-(30°,25°,15°,50°,5°,55°mod3-(30°,26°,12°,52°,4°,56°mod3-(30°,27°,9°,54°,3°,57°mod3-(30°,28°,6°,56°,2°,58°mod3-(30°,29°,3°,58°,1°,59°4（30°，2α，30°-1：ABC-P30°，2α，α，30°-∠AFC=∠PAD=∠PBD=由ABC-P可知mod4 (30°，2α，30°-2α，α，30°-2α，90°+α)成立ABC-P(30°-2α，2α，α，30°-2αO是△ABC的外心，連接OA、OB、OC、 △AOC ∠COB=2(30°-2α+α)=60°-∠POC 由ABC-P 30°-2α，2α，30°，α，30°-可知mod430°，2α，30°-2α，α，30°-2α，90°+α)成立ABC-P(α,30°-2α,2α,30°-2α做∠PAC的平分線交BC于D，連接∠PAD=∠PAB P是△ABD∠PDA=∠PDB=∠ADC=180°-2(60°+α)=60°- 根據(jù) 則有APC- 由ABC-P(α,30°-2α，90°+α，2α,30°-2α，30°)可知mod430°，2α，30°-2α，α，30°-2α，90°+α)4：141()2(2°,26°,)3(3°,24°,)4(4°,22°,)5()6()7()8()9()mod4-()mod4-(30°,22°,8°,11°,)mod4-(30°,24°,6°,12°,)mod4-(30°,26°,4°,13°,)mod4-(30°,28°,2°,14°,)（5）5（α，60°-4α，60°+α，3α，30°-2α，30°+α）1：已知ABC-P（α，60°-4α，3α，30°- ∠PAD=∠PAB =>Q、C關(guān)于BE 由ABC-P可知mod5α，60°-4α，60°+α，3α，30°-2α,30°+α)成立已 ∠PAE=∠PAB= ∠PEA=∠PEB=90°-2α-（30°- P、C關(guān)于BE 由ABC-D(3α，30°-2α，30°+α，α，60°-4α可知mod5(α，60°-4α，60°+α，3α，30°-2α，30°+α) 已知ABC-P(3α,_,30°+α,60°-4α,α,_) mod430°，2α，30°-2α，α，30°-則有DBC- (30°，30°-2α，2α，90°+α,α，30°-∠PCB=180(90-(30260°-α由P(3,30°-2α,30,,60°-4,60)可知mod5α,60°-4α,60°+α,3α,30°-2α,30°+α)5：14mod5-1(1°,56°,61°,3°,28°,31°mod5-2(2°,52°,62°,6°,26°,32°)mod5-3(3°,48°,63°，9°,24°,33°)mod5-4(4°,44°,64°,12°,22°,34°mod5-5(5°,40°,65°,15°,20°,35°mod5-6(6°,36°,66°,18°,18°,36°mod5-7(7°,32°,67°,21°,16°,37°mod5-8(8°,28°,68°,24°,14°,38°mod5-9(9°,24°,69°,27°,12°,39°)mod5-10(10°,20°,70°,30°,10°,40°)mod5-11(11°,16°,71°,33°,8°,41°mod5-12(12°,12°,72°,36°,6°,42°mod5-13(13°,8°,73°,39°,4°,43°mod5-14(14°,4°,74°,42°,2°,44°°5396(9°,24°,30°,3°,39°,)7(15°,18°,24°,3°,39°,)8(9°,15°,51°,3°,48°,)9(12°,18°,86°,)(12°,12°,48°,6°,18°,)(12°,18°,54°,6°,42°,)(9°,18°,54°,9°,15°,)(12°,15°,48°,9°,15°,)(12°,18°,39°,9°,15°,)(12°,18°,42°,12°,12°,)(24°,30°,30°,18°,24°,)(6°,18°,42°,6°,12°,)(6°,24°,48°,6°,18°,)(12°,18°,48°,6°,30°,)(12°,24°,42°,6°,42°,)(10°,16°,24°,2°,34°,)(8°,12°,50°,2°,46°,)(10°,18°,46°,4°,38°,)(6°,12°,24°,6°,)(18°,24°,24°,6°,30°,)(22°,24°,28°,10°,26°,)(18°,30°,30°,12°,24°,)(12°,30°,48°,18°,18°,)(6°,12°,48°,3°,18°,)(6°,15°,51°,3°,24°,)(9°,12°,51°,3°,30°,)(12°,18°,24°,3°,30°,)(9°,15°,48°,3°,39°,)(12°,21°,27°,3°,42°,)(15°,18°,27°,3°,48°,)(15°,21°,24°,3°,54°,)(6°,12°,48°,6°,9°,)(12°,18°,24°,)(6°,21°,57°,9°,12°,)(12°,15°,57°,9°,18°,)(15°,21°,48°,9°,33°,)(12°,33°,39°,15°,18°,)(18°,27°,39°,15°,24°,)(24°,27°,33°,15°,30°,)12293：294145：1439125mod2-10和mod5-10發(fā)生了重復(fù)，mod3-151重復(fù)，實際總數(shù)應(yīng)當(dāng)是11卻只有一種，那就是11(12°,18°,54°,6°,42°,48°)，它的兩個正三角形成員如圖ABC-P(6°,48°,42°54°12°,18°DEF-Q(6°,42°,48°,54°,18°,12°例 求證：11(12°,18°,54°,6°,42°,48°)成立根據(jù)mod3- PDC，使∠DAC=30°, =>B、CAD =>△ABC 由ABC-P（6°,48°,42°,54°,12°,18°）可知11（6°,42°,48°,12°,18°,54°）例3求證：10(12°,12°,48°,6°,18°,84°)成立根據(jù)11 =>B、D關(guān)于AC ∠°-30°°°由 ,12°,48°,18°,6°,84°)可知10(12°,12°,48°,6°,18°,84°)例 求證：17（6°,12°,96°,6°,18°,42°）成根據(jù)△ABD是正三角形A、D關(guān)于BC 由ABC-P可知17（6°,12°,96°,6°,18°,42°）成立 求證：9（6°,12°,114°,12°,18°,18°）成立已 ABC-P（12°,6°,18°,12° △OBC A、B關(guān)于PO 根據(jù)11(6°,42°,48°,12°,18°,54°)BCO-P（6°,42°,48°54°,18°,12°,） 由ABC-P（12°,6°,114°,18°,12°,18°）可知9 （6°,12°,114°,12°,18°,18°）成立例6求證18（6°,18°,78°,6°,24°,48°）成立根據(jù) 例7求證19（6°,30°,66°,12°,18°,48°）ABC-P（6°，30°，12°，18°）根據(jù)11(6°,42°,48°,12°,18°,54°) =>P、E關(guān)于AC 由ABC- 可知19（6°,30°,66°,12°,18°,48°）成例8求證16(18°,24°,54°,24°,30°,30°)ABD- 根據(jù)11(6°,42°,48°,12°,18°,54°) A、B關(guān)于PD =>B、P、C、DABC-P可知 12每一種例 求 (3°,39°, 9°,24°, (9°,15°,87°,12°,18°, (3°,39°, 9°,15°,mod5-3(3°,48°,63°,9°,24°, 3°,63°,48°,33°,9°,24°)∠ADB=48°+24°=72 ∠PBC=48°-9°=39由ABC- (3°,39°,75°,30°,9°,可 (3°,39°,75°,9°,24°,30°)成∠EAP=∠EAC= ∠EAD (15°,87°,9°,18°,12°,可 (9°,15°,87°,12°,18°,39°)成 (3°,39°,66°,15°,9°,48°)可知333°,39°,66°,9°,15°,48°)例107（3°,39°,81°,15°,43（15°,24°,57°,18°,mod5-3（3,48°,63°,9°,24°,33°）ABC-P（3,48°,63°,33°24°,9°） AF平分∠BAC，AF交PC于F，B、C關(guān)于AF對稱 由ABF-P7（3°,39°,81°,15°24°,18°）由APC-E（15°,57°,24°,18°可知 （15°,24°,57°,18°,27°,39°）成例11 (9°,15°,75°,9°,18°, ( ABC-P9°,15°,18°9°∠PAB=∠PBA=9°A、B關(guān)于PD 根據(jù)mod5-9(9°,24°,69°,27°,12°,39°)ABD-C27°,12°,39°,9°,24°,69°) =>P、C、D、B∠PCB= ABC-P(9°,15°,75°,18°,9°,54°)可知 (9°,15°,75°,9°,18°,54°)成由APD-C18°,12°,39°，9°可知 (9°,15°,87°,12°,18°,39°)成例12求證13（9°,15°,81°,12°,15°,48°）已知ABC-P ∠PAB= 依據(jù)例10已證43（15°,24°,57°,18°,27°,39°）存在 ABD-C（24°,15°,57°,18°,27°,39°）成立 =>A、P、C、D由ABC-P（15°,12°,48°,9°,15°,可知13（9°,15°,81°，12°,15°,48°） 求證 (12°,12°,84°,12°,18°,42°)成ABC-∠PAB A、B關(guān)于PO 則 ∠PCB=∠PCO∠PCA=66°+18°=由ABC-可知 求證20（6°，42°，54°，12°，24°，42°）成已 O是△ABC ABC-O合乎模型 根據(jù)mod4-12 (30°,24°,6°,12°,6°,102°)則有AOC-P30°,6°,24°6°ABC-可知20（6°,42°,54°,12°,24°,42°）例15求證 已知：ABC-P A、B關(guān)于PO ∠PAO=60°+6°=66°根據(jù)mod2-6 (6°,48°,30°,24°,6°,66°)存在則 AOC-P( 由ABC-可知 例16：37(6°,9°,99°,6°,12°,48°)已知：ABC-P 根據(jù)mod5-3 AOC-P(63°,3°,48°,9°,33°,24°) 可知 例17求證 成證明：根據(jù)mod5-3有ABD-P ∠CEP根據(jù)例 已證得12則有APD-E由ABC-P 可知 成例 求證 (6°,30°,78°,18°,24°,24°)成mod3-5(30°,6°,ADC-P672°,30°,24°,12°,36°)ADB, =>△PCDPDBC∠PCB=36°/2=18° 由ABC-P(6°,78°,30°,24°,24°,18°)可知 (6°,30°,78°,18°,24°,24°)成例19求證27（12°,24°,66°,18°,30°,30°）mod3-ABD-P（12°,36°,48°30°,18°,36°,） 根據(jù)mod2-24（30°,24°,12°,24°,6°,84°）有PBD-E（24°,12°,30°,84°,24°,6°）存在由ABC-P（12°,24°,66°,30°,18°,30°）可知27（12°,24°,66°,18°,30°,30°）成立20求證28（12°,30°,48°,18°,18°,54°）成立根據(jù)mod2-12則 ADC-P（12°,36°,30°,18°,12°,72°）存mod5-12（12°,12°,72°,36°,6°,42°）則有BDC-E（72°,12°,12°,42°36°,6°） 可 28（12°,30°,48°,18°,18°,54°）成例 求證31(3°，30°，75°，9°，12°，51°）成依據(jù)例 已證 (3°,39°,75°,9°,24°,30°）存在則 ADC-P(3°,39°,75°,9°,24°,30°）存在∠ECD=∠EPD=24°-根 mod4-9（30°,18°,12°,9°,12°,99°）存在則 BCD-E（30°,12°,18°,12°,9°,99°）存 由ABC-P可知31(3°,30°,75°,9°,12°,51°）例22求證29(3°,18°,93°,6°,12°,48°）根據(jù)mod3- (30°,18°,36°,36°,12°,48°做 (12°,36°,48°,30°,18°,36° mod3-3(30°,3°,81°,6°,27°,33°APD-E381°,30°,27°,33°,6°由ABC-P(12°,48°,6°,3°,18°,93°）可 29(3°,18°,93°,6°,12°,48°）成例23：求證 根據(jù)mod2-12 (30°,12°,36°,12°,18°,72°)存在則有BCD- (30°,12°,36°,12°,18°,72°)存根據(jù)mod5-3 則有ADC- 存 由ABC-P(3°,30°,93°,24°,12°,18°) (3°,30°,93°,12°,18°,24°)成立例24求證33(3°,39°,66°,9°,15°,48°)成立根據(jù)例已知6 (3°,39°,75°,9°,24°,30°)存在則有ADC-P(3°,75°,39°,9°,30°,24°)存在 PB P、B關(guān)于CD ABC-P可 (3°,39°,66°,9°,15°,48°)成例 求證30(3°,24°,81°,6°,15°,51°)成根據(jù)mod4-3做ADC-P根據(jù)例12 已證13(9°,15°,81°,12°,15°,48°)存在 ABC-P(3°,81°,24°,6°,15°,51°)可 (3°,24°,81°,6°,15°,51°)成例 求證38(6°,15°,105°,12°,18°,24°)成 (30°,12°,18°,6°,18°,96°)存在則有ABD-P 根據(jù)例25已證30 則有BDP-E(3°,24°,81°,15°,6°,51°) ABC-P可知：38(6°,15°,105°,12°,18°,24°)成立例2740（9°,18°,69°,12°,15°,57°)依據(jù)例12 所證13（9°,15°,81°,12°,15°,48°)存在做ADC-P（12°,48°,15°,9°,81°,15°) 依據(jù)例17 所證8（3°,48°,54°,9°,15°,51°)存在則有PBC-E（51°,9°,15°,3°,48°,54°)存在 由ABC-P（12°,57°,15°,9°,18°,69°)成立可知 （9°,18°,69°,12°,15°,57°)成 求證42(12°,33°,39°,15°,18°,63°)成依據(jù)例10證得7做ADC-P ∠CPB=18°+39°+15°+12°=84° 已證6(3°,39°,75°,9°,24°,30°)存在則 PBC-E(75°,39°,3°,9°,24°,30°)存∠PCB=3°+30°=33° 可知 1鑲嵌例29求證34(3°,42°,75°,12°,21°,27°）成立已知ABC-P(3°,42°,_,_,21°,27°） ∠EDC=∠EPC=111°-根 例23所證32(3°,30°,93°,12°,18°,24°）存ADC-E3°,93°,30°,12°,24°,18°）由ABC- 可知34(3°,42°,75°,12°,21°,27°）成例30求證 (3°,48°,69°,15°,18°,27°）成已知ABC-P(3°,15°,_,18°,_,69°） ∠EDC=∠EPC=180°-18°-根據(jù)例23所證32(3°,30°,93°,12°,18°,24°ADC-E3°,93°,30°,18°,24°,12°）∠PEC=18° ∠PED=3°+24°=27由ABC- (3°,48°,69°,18°,15°,27°可知35 (3°,48°,69°,15°,18°,27°）成立 求證36 ∠EDC=∠EPC=∠EDA=180°-93°-15°-根據(jù)例23 32(3°,30°,93°,12°,18°,24°)成立 由ABC-P(3°,54°,63°,24°,21°,15°)可 例 求證41(9°,33°,54°, 21°,48°）成已知ABC-P(15°,48°,_,_,9°,33°） △PAC的外接圓交PD于 ∠EAC=∠EPC=根 例16所證37(6°,9°,99°,6°,12°,48°則有DAC-E(9°,99°,6°,48°,12° 由ABC- (15°,48°,21°,54°,9°,33°可知41(9°,33°,54°, 21°,48°）成例33求證39(6°,21°,57°,9°,12°,75°）已知ABC-P(21_,57,12,9° ∠ECD=∠EPD=21°-∠EDC=∠EPC=根 例16所證37(6°,9°,99°,6°,12°,48°則有BCD-E(6°,12°,48°,9°,6° ）存由ABC- (21°,6°,57°,12°,9°,75°）成可知 (6°,21°,57°,9°,12°,75°）成例34求證 成 ∠EDC=∠EPC=∠EDA=180°-105°-30°-26所證得38則 AEC-F 由ABC- 可 成求證25（6°，30°，78°，18°，24°，24°）mod2-18(18°,24°, ADC-P(12°,18°,78°,24°, 根據(jù) (6°,18°,ADC-B(6°,18° 由ABC-P(6°,30°,78°,24°,24°,18°)可知25(6°,30°,78°,18°,24°,24°)例 求證 (6°,21°,57°,9°,12°,75°）成依 例27所證40(9°,18°,69°,12°,15°,57°則有ADC-P12°,15°,57°,9°,18°,69°）做△PAB,使 連接BC、△PBD的外接圓交AB于E，交CD于F，連接EP、ED、FP、 依據(jù)例15所證24 (6°,6°,126°,6°,12°,24°）則有ADP- (6°,12°,24°,6°,6°,126°）存 ∠CPB=57°+9°+6°+12°=84° ∠FPC= 84°-15°=69°PBC-F合乎mod1, (15°,6°,69°,69°,15°,6°）∠PCB=69°+6°=75 由ABC- 可 39(6°,21°,57°,9°,12°,75°）成α值來表示。如：Mod3( 8 例37求證45（1.5°,39°,91.5°,9°,15°,24°）成立根據(jù)例24 已證明33（3°,39°,66°,9°,15°,48°）存在則有ADC-P（9°,48°,15°,39°,3°,66°） 由ABC-P（9°,24°,15°,39°,1.5°,91.5°）可知45（1.5°,39°,91.5°,9°,15°,24°）成立例38求證 成 ∠EDC 依據(jù)例43所證45(1.5°,39°,91.5°,9°,15°,24°)存在則有DBC-E(24°,9°,15°,91.5°,1.5°,39°) 由ABC-P(16.5°,9°,25.5°,48°,1.5°,79.5°)46(1.5°,48°,79.5°,9°,16.5°,25.5°)例39求證47 成 ∠ECD=∠EPD=10.5°-∠EDC 依據(jù)例43所證45(1.5°,39°,91.5°,9°,15°,24°)存在則 ABC-P可知 成例40求證48 成 ∠ECD=∠EPD=10.5°-∠EDC 依據(jù)例43所證45(1.5°,39°,91.5°,9°,15°,24°)存在則 ABC-P可知 成例41求證 ABC-P(3°,19.5°,109.5°,9°,15°,24°)成根據(jù)例9所證 (3°,39°,75°,9°,24°,30°)存在 做AC垂直平分PD，使∠CDP=∠CPD=19.5° 可知： ABC-P(3°,19.5°,109.5°,9°,15°,24°)成例42求證 (34.5°,9°,43.5°,12°,19.5°,61.5°)成已知：ABC-P(34.5°,_,43.5°,12°,19.5°,_) E是AB上A關(guān)于CP的對稱點(diǎn)，連接CE、△CPE的外接圓交PB于F，連接CF、依據(jù)例47所證49則 EBC-F∠PBC= 可知 (34.5°,9°,43.5°,12°,19.5°,61.5°)成例43求證 (15°,28.5°,43.5°,18°,19.5°,55.5°)成已知：ABC-P(19.5°,18°,_,_,2