Z+Z《4L微畫板》格制餅文

（小學數學教師適用）

廣州大學計算教育軟件研究所

2011年03月

Z+Z智能教育平臺《超級畫板》廣州地區(qū)綜合應用項目

目錄

第一部分基于超級畫板的動態(tài)教學入門3

01認識動態(tài)數學3

02動態(tài)數學工具平臺3

03通過一個實例入門5

04動態(tài)數學軟件的構圖規(guī)則9

第二部分幾何圖形與變換11

01經過一點的直線11

02三角形的三條高線12

03測量三角形的內角和14

04三角形內角和等于平角的直觀說明15

05勾股定理的直觀說明*18

06在平面上滾動的車輪23

07圓在圓上滾動*25

08翻折得到軸對稱圖形28

09等分圓周設計的圖案30

10制作七巧板游戲32

11勾股樹*35

12二叉樹*39

第三部分運算與代數43

01比較y=xA3與y=3Ax增長的快慢43

02國王需要付出多少小麥44

03閏年的規(guī)則是如何產生的48

第b部分計算機聚你學散學50

01.輕松繪制點線圓51

02.拖動找找規(guī)律看54

03.漂亮小雞愛美麗60

04.鏡子內外行動齊63

05.千姿百態(tài)萬花筒67

06.請找對稱在哪里72

07.公雞排列真整齊75

08.位置如何算平移78

09.利用平移能說理82

10.平移圖案得鑲嵌86

11.圖案平移又旋轉91

12.各種各樣的角度94

13.角度大小看圓弧97

14.旋轉可得靚圖案100

15.旋轉半周謂對稱103

1

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16.利用旋轉說面積108

17.鑲嵌還需用旋轉115

18.大小各異形狀同123

19.究竟何謂相似形126

20.搭建美麗圣誕樹131

21.放縮變換得位似134

22.位置無關構造異139

23.多少才能填充滿144

24.圓形壓縮得橢圓148

25.幾何變換代數析151

26.還有挑戰(zhàn)等著你157

2

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第一部分基于超級畫板的動態(tài)數學入門

01認識動態(tài)數學

“任意三角形A8C...”、“點P在圓上O上運動過程中...”、“周長固定的長方形”…，這些

都是我們常用的幾何語言。這些語言所對應的情景，在傳統(tǒng)教學手段下，只能要求學生充分

發(fā)揮想象能力。相對于我們所生活的多姿多彩的空間而言，高度抽象化了的語言以及圖形對

于剛學習數學學生來說是難以接受的。

計算機的出現(xiàn)使這種現(xiàn)象漸漸發(fā)生改變。利用計算機所作的圖形不僅直觀、形象，而且

具有動態(tài)性，易于觀察和理解。

若利用計算機所作的幾何圖形，在被拖動過程中仍保持幾何性質不變，如三角形還是三

角形、圓上的點還是圓上的點、平行還是平行、垂直還是垂直、中點還是中點…，那么這樣

的圖形就稱為動態(tài)幾何圖形。

構造動態(tài)兒何圖形的計算機軟件，就叫做動態(tài)兒何軟件(DynamicGeometrySoftware)0

動態(tài)幾何的名稱于上世紀80年代中期開始出現(xiàn)，經過了20多年的發(fā)展，動態(tài)兒何吸引

了越來越多人的關注，它在數學教育上的價值已經得到充分肯定。

目前具有動態(tài)幾何功能的軟件就有幾十種，其中被中國數學教師所廣泛了解的就有

Geometer'sSketchpad,Z+Z超級畫板、Cabri、AutoGraph>Derive>GeoGebra等。

由于計算機在動態(tài)兒何方面的成功，也促使人們開始研究計算機在數學的其他領域的教

育功能。

因此，計算機代數系統(tǒng)(ComputerAlgebraSystem)>動態(tài)統(tǒng)計軟件(DynamicStatistics

System)、隨機實驗平臺(ProbabilitySimulationPlatform)等相繼出現(xiàn)并被廣泛實驗應用。

計算機代數系統(tǒng)最重要的應用就是數值計算與符號運算。

動態(tài)統(tǒng)計軟件能方便地處理大量的數據并且按照人們所熟悉的形式展現(xiàn)。

隨機實驗平臺能夠模擬概率事件并且自動記錄和計算實驗結果。

動態(tài)幾何軟件、計算機代數系統(tǒng)、動態(tài)統(tǒng)計軟件、隨機實驗平臺等都屬于動態(tài)數學軟件

(DynamicMathematicsSoftware)?

02動態(tài)數學工具平臺

Z+Z智能教育平臺《超級畫板》是目前功能最完善的動態(tài)數學平臺之一。它是：

?動態(tài)幾何平臺；

?計算機代數系統(tǒng)；

?動態(tài)統(tǒng)計平臺；

?隨機實驗平臺；

它還是：

?程序設計平臺；

?自動推理系統(tǒng)。

為了更加盡快熟悉《超級畫板》的上述功能，讓我們首先了解一下它的工作界面吧。

超級畫板軟件啟動后窗口如下：

3

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利用超級畫板工作，主要就是通過菜單欄中的菜單命令來實現(xiàn)。菜單欄中包括【文件】、

【編輯】、【查看】、【作圖】、【變換】、【測量】等菜單項。

菜單欄下是常用工具欄，就是將經常用的命令放在這里，提高我們的工作效率。

工具欄下面的空白區(qū)域就是作圖等工作的主要區(qū)域，簡稱為作圖工作區(qū)。

作圖工作區(qū)左邊是另外的一些工作區(qū)，包括“對象工作區(qū)”、“程序工作區(qū)”、“問題工作

區(qū)”等。如左下圖所示，單擊下方的選項卡即可將對應的工作區(qū)激活；如右下圖所示，單擊

工作區(qū)右上角的“X”即可將對應的工作區(qū)關閉，通過單擊【查看】菜單中【工具欄】子菜單

下的對應命令可以重新顯示。

我們常用的就是“對象工作區(qū)”和“程序工作區(qū)”，可以將其他工作區(qū)關閉，結果如左下圖

所示。

4

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對象QX

息性4X

-口?1!文檔圖形對象列表

sEin第1頁

+R］國［4］對象組:坐標系值

-畫筆

是

1

HO

畫線…實線

1建對象啕程序

畫筆…兔色

作圖工作區(qū)右側是“對象屬性工作區(qū)”，可以方便地修改多個對象的屬性。如右上圖所示,

拖動左邊框可以改變它的寬度，單擊右上方的“自動隱藏”開關按鈕可以將“屬性工作區(qū)”關

閉。鼠標指向。

屬性同X-PX國

圈打1gl/I自圓

俳

值

詩

臼畫筆上乜

|是畫對象是

畫線皂度1畫線皂度

純色畫..?■000000死色畫..■000000二1

商質量.?.是

03通過一個實例入門

這一節(jié)我們通過兩個實例初步認識超級畫板軟件的主要功能。

在制作下面的實例過程中，有些內容可能沒有介紹得足夠詳細。

(-)構造星形線和玫瑰線

(1)啟動一個新的超級畫板文檔，下面的工作過程中，我們不需要顯示坐標系，那么

如左下圖所示在對象工作區(qū)中單擊“坐標系”對象前的方框，結果(如右下圖)方框中“4”消

失的同時在作圖工作區(qū)中坐標系也被隱臧。在對象工作區(qū)中，每個對象前的方框“日'就是控

制它在作圖工作區(qū)中被顯示或者隱藏的開關按鈕。

對象aX對象4X

-口111文檔圖形對象列表-EJill文檔圖形對象列表

白第1頁-第1頁

+［4］對象蛆:坐標系(±□國［4］對象蛆:坐標系

(2)在新的超級畫板文檔中，單擊工具條中的【畫筆】工具畫，光標進入選擇畫圖狀

態(tài)。

(3)在空白處單擊鼠標然后松開，即可作出點A。

(4)如下圖，鼠標指向點A,按住拖動一段距離后松開鼠標，即可作出線段AB。

4^400e

A5VAB

(5)如下圖，鼠標指向線段AB中點附近的位置，當線段4B變?yōu)榧t色且光標右側出現(xiàn)

“中點”提示時，單擊鼠標，作出線段AB的中點C。

5

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(6)如下圖所示，鼠標指向點C,雙擊不松開并按住拖動，移動到點5的位置時(點

B變?yōu)榧t色)松開鼠標，作出以點C為圓心、經過點B的圓。

(7)如下圖所示，鼠標指向圓周，圓周變?yōu)榧t色進行提示時單擊鼠標，作出圓C上的

任意點Do

(8)單擊點。并按住拖動到點C,作出線段。C。

(9)如下圖所示，鼠標指向線段OC的延長線與圓周的交點附近的位置，線段CD和

圓周同時變?yōu)榧t色進行提示并且光標右側出現(xiàn)“相交”，這時單擊鼠標即可作出線段。C的延

長線與圓周的交點從然后連接線段EC。

(10)在弧BD之間，在圓周上任意取另外一個點兒

(11)單擊點凡并按住拖動到線段48垂足附近的位置，線段變?yōu)榧t色進行提示

并且光標右側出現(xiàn)“垂足”，這時松開鼠標即可作出點尸到線段A8的垂足G和垂線段FG。

6

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（12）作出點F到線段QC的垂足〃和垂線段四。

（13）連接線段G/7。

（15）單擊工具條中的【選擇】工具CH,光標返回到選擇狀態(tài)。

點A、點8平面上的自由點，可以被任意拖動。

點。、點尸是圓C的圓周上的點，稱為半自由點，可以在圓上被任意拖動。

點C是線段的中點，點E是直線和圓的交點，點G、點”、點/是點到直線的垂足，

這些稱為約束點，不能被拖動。

在點A、點8或者點。、點F被拖動過程中，可以發(fā)現(xiàn)圖形的幾何性質保持不變，中

點還是中點、垂足還是垂足、交點還是交點，這就是動態(tài)幾何圖形的特點。

拖動點。，使得CC與4B垂直，結果如下圖所示：

容易看出，四邊形CGFH是一個矩形。根據矩形的性質得知，當點F在圓上運動的過

程中，線段G4保持長度不變。這樣，就可以模擬靠在墻上的梯子向下滑動的過程。

那么，當梯子在下滑過程中，或者說當點尸在圓周上運動的過程中，線段G”掃描過

7

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的區(qū)域是一個什么樣的圖形呢？點/和線段C/上又能劃出什么性狀的圖形呢？為了探索這

些問題，我們繼續(xù)下面的操作：

（16）鼠標指向線段G//,單擊鼠標右鍵，彈出快捷菜單，如左下圖在快捷菜單中單擊

【跟蹤】命令，結果如下圖（中）所示在對象工作顯示出增加了線段GH的跟蹤對象。拖動

點F在圓周匕運動，結果如右下圖所示。

D

□

［］點點在直線上

?:-□?17H:

軌跡…?-□/［18］線段：FH

0:'

跟蹤任□/［19］線段：GH

動畫...嘈一?:-?［20］點I:點在直線上

□/氏

?:-

蹤

□永

CI段

0-微

隱藏和顯示按鈕GH1E

（17）增加點/的跟蹤和線段C1的跟蹤。

（18）為了讓點尸在圓周上更加均勻地運動，可以增加一個點尸的動畫按鈕，操作是:

鼠標指向點F,單擊鼠標右鍵，在快捷菜單中單擊【動畫…】命令，結果彈出動畫屬性對話

框，直接單擊對話框中【確定】按鈕完成。單擊動畫按鈕結果如下圖所示：

動畫:F運動

為了讓跟蹤的圖形更加美觀，我們需要作如下調整：

將跟蹤對象都放在圖層的最后面（最下面），使得能夠清楚地看到原來點、線等幾何對

象。將不同的跟蹤對象設置不同的顏色，使得容易識別跟蹤圖形的性質特點。

當作圖區(qū)中出現(xiàn)一般操作時，跟蹤對象就會自動消失，所以跟蹤對象無法在作圖區(qū)中被

選中，但可以在左邊的對象工作區(qū)中容易地選擇它們。

為完成上述目的，需要繼續(xù)下面的操作：

（19）［在對象工作區(qū)中］選擇線段C/的跟蹤對象，單擊【對象】菜單中的【移動對象

到最后面】命令，（這時線段C/的跟蹤對象仍處于被選中的狀態(tài)）然后單擊工具條中【畫筆

顏色】工具/'右部分的三角，如下圖所示即可打開畫線顏色調色板，然后選擇一種顏色

即可。

8

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老

:::

:=!更多顏色…

(20)選擇點/的跟蹤對象，將其移至最后，并且重新設置一種畫線顏色。

(21)選擇線段G4的跟蹤對象，將其移至最后，并且重新設置一種畫線顏色。結果如

下圖所示：

【思考與練習】

當線段CZ)與A8不垂直時，跟蹤圖形如下圖所示:

請繼續(xù)研究下面的問題：

(1)線段G”的長度是否仍然保持不變？

(2)跟蹤線段GH所留下的圖形與上面有什么區(qū)別？

(3)跟蹤點/的所留下的圖形有什么改變？

04動態(tài)數學軟件的構圖規(guī)則

根據前面所設計到的問題，我們粗略談談使用動態(tài)數學軟件工具作圖等工作過程中所要

遵從的規(guī)則和超級畫板中的一些習慣。

(1)當需要用畫筆畫圖時.，就單擊【畫筆】工具函進入畫圖狀態(tài)；當不再用畫筆畫圖

時，就單擊【選擇】工具團返回到選擇狀態(tài)。

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(2)平面上的任意點，是完全自由點，可以被任意拖動；直線上的點、圓上的點以及

以后接觸到的曲線上的點，是半自由點，可以按照一定的規(guī)律被拖動：線段的中點，直線的

垂足等，是約束點，不能被拖動。

(3)需要選擇多個對象時，需要按住Ctrl鍵的同時，依次單擊需要被選擇的對象。選

擇完成后，松開Ctrl鍵即可。

(4)要作三角形的內心，需要首先選擇三角形的三個頂點；要構造一個多邊形的內部，

需要首先選擇多邊形的頂點。當選擇的對象滿足作圖條件時菜單命令才會變?yōu)榱辽患せ睿?/p>

若選擇的對象不滿足作圖條件，則對應的菜單命令為灰色不能被使用。

(5)控制參數改變的方法上面介紹了兩種：插入參數的變量控制尺，增加參數的動畫

按鈕。

學習小結

首先我們認識了超級畫板軟件的界面,進一步學習了根據自己的要求重新布置界面的方

法。另外，你還可以根據自一的需要將常用的菜單命令添加到工具條中，這與一般的應用軟

件的操作方法是相同的。

我們學習了用超級畫板的【畫筆】工具的功能，利用畫筆可以直接畫出點、線、圓、對

象上的點、對象之間的交點、垂足、中點等等，而不能任何工具和菜單之間的切換。實際上,

利用畫筆可以直接作出二十幾種常用的幾何對象。【畫筆】工具的功能豐富而使用簡單，不

過需要加強練習才能運用自如。

除此之外，我們還學習了利用菜單命令作圖、進行圖形變換的操作，從而理解在計算機

上作圖的規(guī)則，有些命令要首先選擇滿足作圖條件的對象后才能被激活；而另外有些命令，

卻是什么都不需要選擇即可直接使用。

希臘字母71在計算機系統(tǒng)中通常用Pi表示。

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第二部分幾何圖形與變換

01經過一點的直線

在平面上，經過一個點的直線有多少條呢？我們可以在計算機上畫出經過任意兩個點的

一條直線，然后其中一個點位置固定的情況下，拖動另外一個點，引導學生探索這個問題。

(1)在新的文檔頁面中，隱藏坐標系。

(2)單擊【畫筆】工具，任意畫一條線段AB。

(3)單擊【選擇】工具，雙擊線段AB,打開其屬性對話框，如下圖所示，選擇直線類

型為：直線，單擊【確定】按鈕完成。

直線畫筆|埴充|漸變|文本|

類型

O0AB斜率：

蠢點和傾斜角。

BA傾斜角：

O點和嫡上的截距x-截距：

O點和畫上的截廠截距：

O截距式方程一般式方程：Ax+By+C=0

O斜截式方程

o1般式方程類型轉換

長度.&-0線段。射線臂線

(4)跟蹤直線43。

拖動點B，可以觀察到經過點4的直線的情況，如下圖所示:

【思考與練習】

II

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如上圖所示，藍色圓以點A為中心、經過點B,點C是圓4上的任意點，紅色圓以C

為圓心經過點8。當點C在圓周上運動時跟蹤圓C留下的圖形，如下圖所示，這叫心臟線

或者蘋果曲線。請你自己動手展示生成蘋果曲線的過程。

02三角形的三條高線

利用動態(tài)幾何軟件畫出的圖形，其形狀可以被任意改變，而圖形在改變過程中，所包含

的幾何關系始終保持不變，這可以幫助我們探索與發(fā)現(xiàn)圖形中所隱含的內在規(guī)律。

(1)在新建文檔中，隱臧坐標系。

(2)單擊【畫筆】工具，畫任意三角形A8C。

(3)作出點A到對邊BC的垂足D和垂線段作出點B到對邊CA的垂足E和垂

線段8E：作出點對C到邊AB的垂足尸和垂線段CF。

(4)單擊【選擇】工具，返回到選擇狀態(tài)。

(5)設置線段A。為直線，設置線段BE為直線，設置線段CF為直線。

(6)同時選擇直線A。、BE和CF,在右側的屬性對話框中設置【畫線類型】為：虛

線。結果如右下圖所示：

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屬性4X

對于垂直關系，我們往往需要標注出直角符號。例如要將N4OC的角標注出來，就首

先要選擇三個點，分別是角的始邊上的點、角的頂點、角的終邊上的點，然后執(zhí)行標注角的

命令。操作步驟如下：

(7)按住Ctrl鍵，依次選擇點A、點Q和點C,單擊【作圖】菜單中的【標注角】命

令。

(8)重復類似操作標注NBEA和NCF8。

(9)選擇角的標注符號，可以通過工具條中的【填充】工具將其內部填充。結果如下

圖所示：

【思考與練習】

三角形的三條中線、三條角平分線也分別交于一點，請你動手完成展示和探索這兩個性

質的內容。

要做三角形中一個角平分線和對邊的交點，可以通過【作圖】菜單下【點】子菜單中的

【角平分線上的點】命令直接實現(xiàn)。

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03測量三角形的內角和

利用計算機作出的三角形，可以被任意改變形狀，能夠更加普遍地探究三角形三個內角

測量值之和的規(guī)律。

(1)在新建文檔中，作任意三角形ABC。

(2)依次選擇點C、點A和點8,單擊【測量】菜單下的【角的值】命令，結果得到

NC4B的測量值，如下圖所示：

當圖形比較簡單時，我們一般習慣用角的頂點的名字表示這個角，例如在這里表示為

/A,所以我們可以將角的名稱進行修改。操作步驟如下：

(3)雙擊測量文本，如左下圖進入編輯狀態(tài)，將字符C48修改為4,然后在作圖區(qū)空

白處單擊鼠標，退出編輯狀態(tài)，結果如右下圖所示。

$fh{208}CABj%.7

NA=63.36

(4)重復類似操作測量角8和角C的值，并且按照上面的要求編輯測量結果名稱。

(5)單擊【測量】菜單下的【測量表達式…】命令，打開測量表達式對話框。如下圖

所示，可以看到之前測量的值分別用m000、mOOl、m002記錄，這是計算機系統(tǒng)自動產生

的名稱，而且這樣做的好處是：之前測量得到的結果容易被以后所運用。

測量表達式

表達式:

mOOO:[11]$fh{208}A=63.36$￡h{176}

mOOl:[12]Sfh{208}B=75.79$fh{176}

m002:[13]$fh{208}C=40,84$￡h{176}

(6)在【表達式】編輯框中輸入：mOOO+mOO1+m(X)2；然后單擊【測量結果表示為弧

度】，取消對該選項的選擇；單擊【確定】按鈕得到測量結果。

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(7)最后關閉測量表達式對話框，結果如下圖所示:

【思考與練習】

如何測量三角形的外角和？同時實驗探索或檢驗三角形外角和的規(guī)律。

04三角形內角和等于平角的直觀說明

我們可以通過將一個角平移、將另一個角旋轉直觀地說明了三角形內角和等于平角的

道理，見下節(jié)的【思考與練習】。在這一節(jié)中，將通過同時兩個角旋轉來直觀說明。

(1)畫任意三角形ABC。

(2)作48邊的中點。、C4邊的中點E、BC邊上的中點尸。

(3)同時選擇點4、點B和點C,單擊【作圖】菜單下【點】子菜單中的【三角形的

內心】命令，作出三角形ABC的內心G。結果如下圖所示：

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下面要完成以點E為中心、以f為旋轉角，將NC旋轉：

(4)右鍵單擊點E,在快捷菜單中單擊【指定旋轉或放縮中心】命令。此時，該命令

的名稱變?yōu)椤灸壳罢谑褂玫男D或放縮中心為：￡1

(5)在作圖區(qū)空白處單擊右鍵，在快捷菜單中單擊【指定旋轉角或放縮倍數參數…】

命令，在彈出的用戶輸入對話框中輸入：f,單擊【確定】按鈕完成。此時，該命令的名稱

變?yōu)椤灸壳罢谑褂玫男D或放縮倍數參數為：J.】。

(6)同時選擇點C、點尸和點G,單擊鼠標右犍，在快捷菜單中單擊【旋轉幾何對象】

命令，結果作出點H、點/、點人

(7)依次選擇點E、點H、點/和點J,單擊鼠標右鍵，在快捷菜單中單擊【多邊形】

命令，作出多邊形結果如下圖所示：

下面要完成以點。為中心、以Y為旋轉角，將NB旋轉：

(7)右鍵單擊點D,在快捷菜單中單擊【目前正在使用的旋轉或放縮中心為：￡］命

令。此時，該命令的名稱變?yōu)椤灸壳罢谑褂玫男D或放縮倍數參數為：DY

(8)在作圖區(qū)空白處單擊右鍵，在快捷菜單中單擊【目前正在使用的旋轉或放縮中心

為：“命令，在彈出的用戶輸入對話框中將參數修改為：Y,單擊【確定】按鈕完成。此時，

該命令的名稱變?yōu)椤灸壳罢谑褂玫男D或放縮中心為：

(9)同時選擇點8、點尸和點G,單擊鼠標右鍵，在快捷菜單中單擊【旋轉幾何對象】

命令，結果作出點K、點乙、點M。

(10)依次選擇點。、點K、點心和點單擊鼠標右鍵，在快捷菜單中單擊【多邊形】

命令，作出多邊形結果如下圖所示：

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(11)以點A、點。、點G和點E為頂點，構造一個多邊形。

(12)單擊多邊形的內部，通過工具條中的【填充工具】為三個多邊形設置填充顏色。

下面增加一個控制參數t的動畫按鈕：

(13)在作圖區(qū)空白處單擊右鍵，在快捷菜單中單擊【動畫…】命令，在彈出的用戶輸

入對話框中輸入：t,單擊【確定】按鈕，彈出動畫屬性對話框。

(14)如下圖所示，在動畫屬性對話框中設置運動頻率為：300,設置參數范圍為：0

到pi,選擇運動類型為：一次運動。

動畫|畫筆|埴充|漸變|文本

動畫：t[-5,5]類型

。重復運動

。往復運動

參數e一次運動

動畫運動的頻率：艇’

□逆向運動

最小值廠□等速返

參數范圍(t):

最大值Pi

2口隱藏-甌1

2。

隱藏不需要顯示的對象：

(15)選擇點。、點E、點尸、點G、點、H、點/、點人點K、點乙、點M,在空白處

單擊右鍵，在快捷菜單中單擊【隱藏】命令。

單擊【動畫：t[0,pi]]按鈕的主按鈕(左邊部分)，和/C動態(tài)旋轉，結果如下圖所

示：

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單擊【動畫:t|O,pi|】按鈕的輔按鈕（中間部分），N8和/C動態(tài)旋轉，結果如下圖所

動畫：t[O,pi]r

【思考與練習】

（1）將三角形通過如下圖所示變換，可以直觀說明三角形的面積等于底邊與高的乘積

的一半。請你在計算機上完成能動態(tài)展示這一過程的實驗。

（2）將梯形形通過如下圖所示變換，可以直觀說明梯形的面積等于上、下底邊之和與

高的乘積的一半.請你在計算機匕完成能動態(tài)展示這一過程的實驗。

（3）放縮操作和旋轉操作的方法類似，請你動手設計一個放縮對象的變換。

05勾股定理的直觀說明*

勾股定理是幾何中最著名的定理之一，也叫畢達格拉斯定理。據說畢達格拉斯發(fā)現(xiàn)這個

定理時認為這是神賜予的，于是殺了100頭牛祭祀，大擺宴席。

到今天為止，證明勾股定理的方法有上百種之多。在本節(jié)中我們將通過計算機的動態(tài)演

示直觀地說明勾股定理。

（1）在新建文檔中，隱藏坐標系。

（2）光標進入畫圖狀態(tài)，畫任意線段48,如下圖所示，鼠標單擊點8并按住向上拖

動，當光標右側出現(xiàn)‘‘垂直”提示時，松開鼠標，作出經過點8與線段48垂直的線段BC。

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ABAB

下面我們要做出分別以AB、BC、CA為一邊的三個正方形。而例如以AB為一邊的正方

形有兩個，分別在48的上方和下方。在超級畫板中作正方形需要選擇兩個點，而以兩個已

知點為頂點的正方形有兩個。那么所作出的正方形的位置與選擇的點的順序有關：以選擇的

第一個點為中心，將第二個點按逆時針方向旋轉的一側。具體操作步驟如下：

(3)依次選擇點C和點8,單擊【作圖】菜單下【常見多邊形】子菜單中的【正方形】

命令，結果如下圖所示。

下面我們要將正方形分割成四部分。操作步驟如下：

(6)作出對角線A/的中點人(若作圖過程中作出了對角線A/,則將其刪除即可)

(7)光標進入畫圖狀態(tài)，如下圖所示，過點1/作出與AC垂直且與H/相交的線段JK。

當然你的操作過程中，也可能是與4G平行且與H/相交的情形，而結果是相同的。刪除線

段JK。

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（8）將點1/指定為旋轉中心，設置旋轉角參數為：pi/2。

（9）將點K旋轉得到點L,將點L旋轉得到點M,將點M旋轉的到點N。

將正方形A8/H內的四部分分別以不同的向量平移而出，操作步驟如下：

（10）作平面上的任意點P、點。、點R和點S。

（11）依次選擇點J和點P,單擊鼠標右鍵，在快捷菜單中單擊【選定平移向量】命令。

此時，該命令的名稱變?yōu)椤灸壳罢谑褂玫钠揭葡蛄繛椋哼x擇點K、點/和點L,單

擊鼠標右鍵，在快捷菜單中單擊【平移幾何對象】命令，得到點T、點。和點Vo作出以點

P、點八點U和點V為頂點的多邊形，并將其內部填充一種顏色。

（12）依次選擇點1/和點。，單擊鼠標右鍵，在快捷菜單中單擊【目前正在使用的平移

向量為：JP1命令。止匕時，該命令的名稱變?yōu)椤灸壳罢谑褂玫钠揭葡蛄繛椋篔QL避點

L,點8和點M,單擊鼠標右鍵，在快捷菜單中單擊【平移幾何對象】命令，得到點W、點

x和點匕作出以點。、點卬、點x和點y為頂點的多邊形,，將其內部填充?種顏色。

（13）以有向線段為平移向量，將點M、點4和點N平移得到點Z、點4和點

作出以點R、點Z、點4和點S為頂點的多邊形，并將其內部填充。

（14）以有向線段JS為平移向量，將點N、點，和點L平移得到點Ci、和點3，

作出以點S、點Ci、0和點好為頂點的多邊形，并將其內部填充。結果可參照下圖中的部

分。

下面將正方形C8DE按照指定的向量平移而出，操作步驟如下：

（15）作出線段的中點作出線段AF的中點G1。（若作圖過程中作出了正方形

的對角線，則將其刪除即可）

（16）在平面上任意取一點

（17）以有向線段FtHt為平移向量，將點C、點8、點D和點E平移得到點八、/、

K和點加，作出以點八、A、K和點心為頂點的多邊形，將其內部填充并增加其內部的透

明度。結果如下圖所示：

2()

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(18)依次選擇點尸和點G,單擊鼠標右鍵，在快捷菜單中單擊【動畫…】命令，在彈

出的動畫屬性對話框中單擊【確定】按鈕完成，作出點P移動到點G的動畫按鈕。

(19)重復類似操作，作出點。移動到點A的動畫按鈕，作出點R移動到點C的動畫

按鈕，作出點S移動到點尸的動畫按鈕，作出點4移動到點Gi的動畫按鈕。如下圖所示:

動畫:P運動到G動畫：Q運動到A動畫:R運動到C

動畫：S運動到F動畫:Hi運動到5

(20)同時選擇這5個動畫按鈕，單擊【課件】菜單中的【動畫并行運動按鈕】命令，

在彈出的動畫屬性對話框中，單擊【文本】選項卡，設置按鈕的名稱為：剪拼，單擊【確定】

按鈕完成，作出按鈕【剪拼工

對象的屬性

動畫|畫筆|埴充］漸變文本］

剪拼

下面作出還原按鈕。操作步驟如下：

(21)作出點尸移動到點J的動畫按鈕，作出點。移動到點J的動畫按鈕，作出點R

移動到點J的動畫按鈕，作出點5移動到點■/的動畫按鈕，作出點H運動到點吊的動畫按

鈕。

(22)同時選擇這5個動畫按鈕，單擊【課件】菜單中的【動畫并行運動按鈕】命令，

在彈出的動畫屬性對話框中，單擊【文本】選項卡，設置按鈕的名稱為：還原，單擊【確定】

按鈕完成，作出按鈕【還原工

21

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下面對作圖區(qū)中不需要顯示的對象隱藏，具體如下：

(23)將【剪拼】和【還原】之外的其他10個動畫按鈕隱藏。

(24)將點A、點8和點C之外的其他所有點隱臧。

到現(xiàn)在整個內容就制作完畢，單擊【剪拼】按鈕，結果如左下圖所示；單擊【還原】按

鈕，結果如右下圖所示。

【思考與練習】

(1)在上一節(jié)中我們通過旋轉的方式直觀地說明了三角形內角和為平角。我們還可以

將角A旋轉到角C的位置，然后將角B平移到角C的位置，同樣能直觀地說明三角形內角

和為平角這個問題。請你動手完成它的直觀展示過程。

(2)過去直接進入證明缺少發(fā)現(xiàn)的過程，因此兒何定理仿佛是從天上掠下來的。新課

程改革中則強調先從直觀發(fā)現(xiàn)圖形性質，積累了一定知識之后再進入邏輯論證。這時出現(xiàn)了

一個新的問題：既然我們發(fā)現(xiàn)了圖形的性質，為什么還要進行推理證明呢？似乎沒有這個必

要！怎么讓學生感到不能光憑直覺研究圖形性質？請你動手制作了下面的內容，將左邊的圖

形剪開平移重新組合后得到了右邊的圖形。并增加一個標題：怎么少了一塊？

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06在平面上滾動的車輪

圓形車輪在水平路面上無滑動地滾動的特點就是圓心在水平方向上經過的距離，即車

輪行駛過的路面長度，等于車輪在路面上滾動所經過的弧長。根據這一原理，我們就可以模

擬車輪在平面上滾動的過程。

首先設置作圖區(qū)的界面，更加像一個路面，具體操作如下：

(1)在空白文檔中，如左下圖所示，在左邊對象工作區(qū)中單擊“對象組:坐標系”前的

結果變?yōu)槿缬蚁聢D所示列表展開。

對象對象4X

-口1京文檔圖形對象列表-口111文檔圖形對象列表

B第1頁E0口第1頁

和［3國［4］對象蛆:坐標系-0國［4］對象蛆:坐標系

口樂［0］直角坐標系0-xy

+□?［1］點0：坐標原點

a0/［2］直線：x軸

由□/［3］直線：畫

(2)單擊對象“點：坐標原點”前的方框，從作圖區(qū)中隱臧原點。；單擊對象“直線：y

軸''前的方框，從作圖區(qū)中隱藏y軸。

(3)在左邊對象工作區(qū)中，如左下圖所示，鼠標指向第0號對象“直角坐標系O-xy”，

單擊右鍵，打開其屬性對話框，如右下圖所示，設置x軸的名稱為：路面，單擊【確定】按

鈕完成。

對象

4X坐標系畫筆|埴充|

:文檔圖形對象列表

e第1頁

士回國［4］對象蛆:坐標系

□［0］韓坐標逗-xy

iI；出面直角

王□/［3］直線：淵

作出一個半徑為1的車輪，操作步驟如下：

(4)在作圖區(qū)空白處單擊鼠標右鍵，在彈出的快捷菜單中單擊【坐標點】命令，彈出

坐標點作圖時話框，如下圖所示，在第一行中雙擊x坐標對應的網格激活輸入狀態(tài)，輸入：

。；雙擊y坐標對應的網格激活輸入狀態(tài)，輸入：1；為了使得作出的點能夠在水平方向上.被

拖動，輸入“x拖動”的參數為：a,最后單擊【確定】按鈕完成，作出點A。(其中拖動參數

必須是對應的坐標表達式中所出現(xiàn)的參數)

(5)選擇點4,單擊【作圖】菜單中【圓和圓弧】子菜單下的【已知圓心和半徑的圓…】

命令，在彈出的輸入對話框中輸入：1,單擊【確定】按鈕，作出以點4為圓心、半徑為1

的圓。

(6)作出圓與路面的交點8。結果如下所示：

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假設車輪在起點時，對應的點A的橫坐標是0,點8在起點處。車輪行駛了一段距離

。后，車輪上的一點應該旋轉了“弧度(因為圓A的半徑為1),所以我們將點8繞點A旋

轉a弧度所得到的點，就是車輪滾動過程中點B應該旋轉到的實際位置。具體操作方法如

下：

(7)依次選擇點8和點A,單擊鼠標右鍵，在快捷菜單中單擊【點繞點的旋轉放縮點…】,

如下圖所示，在彈出的參數輸入對話框中輸入放縮比例為：1,旋轉角(角度)為：-a*180/pi,

單擊【確定】按鈕，作出點C和線段4C。(負號表示按照順時針方向旋轉)

作出經過點C的直徑和與AC垂直的直徑，具體操作步驟如下：

(8)作出線段C4的延長線與圓4的交點D,連接線段A。。

(9)依次選擇點C和點A,單擊鼠標右鍵，在快捷菜單中單擊【點繞點的旋轉放縮點…】,

在彈出的參數輸入對話框中輸入放縮比例為：1,旋轉角為：90,單擊【確定】按鈕，作出

點E和線段

(10)作出線段EA的延長線與圓A的交點F,連接線段4幾結果如下圖所示：

(11)6如點A運動的動畫按鈕，設置運動的范圍為：0到4*pi,設置運動頻率為：300。

隱藏點B和其他輪子上的點的名字，操作如下：

(12)隱藏點5。

(13)單擊【編輯】菜單中【全部點的名字】開關命令，將點的名字隱藏。

單擊動畫按鈕，模擬輪子在水平路面上滾動的過程，如下圖所示：

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(1)跟蹤車輪上的點C,然后再次單擊動畫按鈕，結果如下生成點C的跟蹤圖形:

這種由旋轉的輪子在無滑動的滾動中而生成的曲線，就叫做旋輪線。請你研究旋輪線的

性質。

(2)在輪子的半徑上任意取一點，然后跟蹤該點，如下圖所示，是其中的兩種情形：

這種圖形也是無滑動滾動的輪子邊沿上的點而生成的曲線嗎？

它們被稱為廣義旋輪線。

(3)請你探索得出(1)中軌跡圖形對應點C的軌跡方程，也進一步嘗試得到(2)中

對應的軌跡曲線方程。

(4)將輪子的半徑大小改為上重新制作上面的內容。

07圓在圓上滾動*

在固定圓上滾動的圓，跟蹤其上面的一點所生成的曲線也是擺線。下面制作半徑為r

的動圓在半徑為R的定圓上滾動的實驗。

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為了方便討論問題，在這里我們將圓的半徑取為整數。在計算機和數學語言中取整數的

函數是floorC”)，結果表示比a小的最大整數。

首先作出半徑為flooKa)的定圓和半徑為floorS)的動圓。

(1)在新建文檔中，隱臧0號對象“坐標系”、2號對象'軸直線"、3號對象“y軸直線”,

只保留坐標原點。。

(2)如下圖所示,作坐標點A(floor(a)*cos(r)?floor(a)*sin(0)＞設置x拖動參數為

(3)以點。為圓心、0A長為半徑作圓。(在什么都不選擇的情況下，單擊工具條中的

【縮小】工具可以減小坐標系的單位長度)

(4)以點4為圓心、作半徑長為Hoor(〃)的圓。連接線段0A,作出的延長線與圓

4的另一個交點8。結果如下圖所示：

(4)隱藏圓B和線段0A。

(5)作出以點B為圓心經過點A的圓。

假定初始位置時，圓8與圓。相切于點A,若點8繞。旋轉了，弧度，則點A繞點B

旋轉的角度是：產^。?！?^/^。。式與弧度。下面作出點4繞點8旋轉的對應點：

(6)將點4繞點8旋轉放縮，得到點C和線段BC其中放縮比例為：1,旋轉角(角

度)為：180/pi*f*floor(a)/floorS)。結果如下圖所示：

下面增加點4的動畫按鈕。

設k=floor(a)/floor?。當々為整數時，曲線由h支組成，圓8上的點描完k支后(即圓8

繞圓A一周)，返回到起始位置；當k為分數(k=glh,g、人為互素的整數)時，曲線由g支

組成，圓尸上的動點描完g支后(即圓尸繞圓。旋轉〃周)，返回到起始位置。

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在這里，當人為整數時，讓圓P繞圓。滾動一周；當我為分數時，讓圓P繞圓。旋轉

floorS)周(若用，〃表示floor(a)與floor(6)的最大公約數，貝U旋轉floor(b)周的過程中，是機