PAGEPAGE616.1二次根式第1課時(shí)二次根式的概念教學(xué)目標(biāo)一、基本目標(biāo)【學(xué)問與技能】理解并駕馭二次根式的概念，駕馭二次根式中被開方數(shù)的取值范圍和二次根式的取值范圍．【過程與方法】經(jīng)驗(yàn)視察、比較、總結(jié)二次根式概念和被開方數(shù)取值范圍的過程，發(fā)展學(xué)生的歸納概括實(shí)力．【情感看法與價(jià)值觀】經(jīng)驗(yàn)視察、比較和應(yīng)用等數(shù)學(xué)活動(dòng)，感受數(shù)學(xué)活動(dòng)充溢了探究性和創(chuàng)建性，體驗(yàn)發(fā)覺的歡樂，并提高應(yīng)用意識(shí)．二、重難點(diǎn)目標(biāo)【教學(xué)重點(diǎn)】二次根式的概念，二次根式有意義的條件．【教學(xué)難點(diǎn)】求二次根式中字母的取值范圍．教學(xué)過程環(huán)節(jié)1自學(xué)提綱，生成問題【5min閱讀】閱讀教材P2～P3的內(nèi)容，完成下面練習(xí)．【3min反饋】1．一個(gè)正數(shù)有兩個(gè)平方根；0的平方根為0；在實(shí)數(shù)范圍內(nèi)，負(fù)數(shù)沒有平方根．因此，在實(shí)數(shù)范圍內(nèi)開平方時(shí)，被開方數(shù)只能是正數(shù)或0.2．一般地，我們把形如eq\r(a)(a≥0)的式子叫做二次根式，“eq\r()”稱為二次根號(hào)．3．下列式子中，不是二次根式的是(B)A．eq\r(45) B．eq\r(－3)C．eq\r(a2＋3) D．eq\r(\f(2,3))環(huán)節(jié)2合作探究，解決問題活動(dòng)1小組探討(師生互學(xué))【例1】下列各式中，哪些是二次根式，哪些不是二次根式？eq\r(11)，eq\r(－5)，eq\r(－72)，eq\r(3,13)，eq\r(\f(1,5)－\f(1,6))，eq\r(3－x)(x≤3)，eq\r(－x)(x≥0)，eq\r(a－12)，eq\r(－x2－5)，eq\r(a－b2)(ab≥0)．【互動(dòng)探究】(引發(fā)學(xué)生思索)要推斷一個(gè)根式是不是二次根式，一是看根指數(shù)是不是2，二是看被開方數(shù)是不是非負(fù)數(shù)．【解答】因?yàn)閑q\r(11)，eq\r(－72)，eq\r(\f(1,5)－\f(1,6))＝eq\r(\f(1,30))，eq\r(3－x)(x≤3)，eq\r(a－12)，eq\r(a－b2)(ab≥0)中的根指數(shù)都是2，且被開方數(shù)均為非負(fù)數(shù)，所以都是二次根式.eq\r(3,13)的根指數(shù)不是2，eq\r(－5)，eq\r(－x)(x≥0)，eq\r(－x2－5)的被開方數(shù)都小于0，所以不是二次根式．【互動(dòng)總結(jié)】(學(xué)生總結(jié)，老師點(diǎn)評(píng))推斷一個(gè)式子是不是二次根式，要看所給的式子是否具備以下條件：(1)帶二次根號(hào)；(2)被開方數(shù)是非負(fù)數(shù)．【例2】當(dāng)x________，eq\r(x＋3)＋eq\f(1,x＋1)在實(shí)數(shù)范圍內(nèi)有意義．【互動(dòng)探究】(引發(fā)學(xué)生思索)二次根式有意義要滿意什么條件？本題是否還要考慮其他條件？【分析】要使eq\r(x＋3)＋eq\f(1,x＋1)在實(shí)數(shù)范圍內(nèi)有意義，必需同時(shí)滿意被開方數(shù)x＋3≥0和分母x＋1≠0，解得x≥－3且x≠－1.【答案】≥－3且x≠－1【互動(dòng)總結(jié)】(學(xué)生總結(jié)，老師點(diǎn)評(píng))使一個(gè)代數(shù)式有意義的未知數(shù)的取值范圍通常要考慮三種狀況：一是分母不為零，二是偶次方根的被開方數(shù)為非負(fù)數(shù)，三是零次冪的底數(shù)不為零．活動(dòng)2鞏固練習(xí)(學(xué)生獨(dú)學(xué))1．下列式子中，是二次根式的是(A)A．－eq\r(7) B．eq\r(3,7)C．eq\r(x) D．x2．使式子eq\r(－x－52)有意義的未知數(shù)x有(B)A．0個(gè) B．1個(gè)C．2個(gè) D．多數(shù)個(gè)3．當(dāng)x是多少時(shí)，eq\f(\r(2x＋3),x)＋x2在實(shí)數(shù)范圍內(nèi)有意義？解：依題意，得eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(2x＋3≥0，,x≠0，))解得eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x≥－\f(3,2)，,x≠0.))∴當(dāng)x≥－eq\f(3,2)且x≠0時(shí)，eq\f(\r(2x＋3),3)＋x2在實(shí)數(shù)范圍內(nèi)沒有意義．活動(dòng)3拓展延長(學(xué)生對(duì)學(xué))【例3】若實(shí)數(shù)x、y滿意y＞eq\r(x－2)＋eq\r(6－3x)＋3，求|y－3|－eq\r(x－y2)的值．【互動(dòng)探究】要求|y－3|－eq\r(x－y2)的值，需確定出x、y的取值范圍．依據(jù)式子y＞eq\r(x－2)＋eq\r(6－3x＋3)，可以確定出x、y的取值范圍．【解答】由題意，得x－2≥0且6－3x≥0，解得x＝2，則y＞3.故|y－3|－eq\r(x－y2)＝y(tǒng)－3－y＋2＝2－3＝－1.【互動(dòng)總結(jié)】(學(xué)生總結(jié)，老師點(diǎn)評(píng))利用二次根式有意義的條件求出x的值，從而確定y的取值范圍，然后利用二次根式的性質(zhì)化簡代數(shù)式．環(huán)節(jié)3課堂小結(jié)，當(dāng)堂達(dá)標(biāo)(學(xué)生總結(jié)，老師點(diǎn)評(píng))二次根式eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(概念,有意義的條件——被開方數(shù)是非負(fù)數(shù)))練習(xí)設(shè)計(jì)請(qǐng)完成本課時(shí)對(duì)應(yīng)訓(xùn)練！第2課時(shí)二次根式的性質(zhì)教學(xué)目標(biāo)一、基本目標(biāo)【學(xué)問與技能】理解eq\r(a)(a≥0)是一個(gè)非負(fù)數(shù)、(eq\r(a))2＝a(a≥0)和eq\r(a2)＝a(a≥0)，并利用它們進(jìn)行計(jì)算和化簡；了解代數(shù)式的概念．【過程與方法】在明確(eq\r(a))2＝a(a≥0)和eq\r(a2)＝a(a≥0)的算理的過程中，感受數(shù)學(xué)的好用性；通過小組合作溝通，培育學(xué)生的合作意識(shí)．【情感看法與價(jià)值觀】通過二次根式的相關(guān)計(jì)算，進(jìn)而解決一些實(shí)際問題，培育學(xué)生解決問題的實(shí)力．二、重難點(diǎn)目標(biāo)【教學(xué)重點(diǎn)】二次根式的性質(zhì)．【教學(xué)難點(diǎn)】運(yùn)用二次根式的性質(zhì)進(jìn)行有關(guān)計(jì)算．教學(xué)過程環(huán)節(jié)1自學(xué)提綱，生成問題【5min閱讀】閱讀教材P3～P4的內(nèi)容，完成下面練習(xí)．【3min反饋】1．(1)當(dāng)a>0時(shí)，eq\r(a)表示a的算術(shù)平方根，因此eq\r(a)>0；(2)當(dāng)a＝0時(shí)，eq\r(a)表示0的算術(shù)平方根，因此eq\r(a)＝0.概括：一般地，eq\r(a)(a≥0)是一個(gè)非負(fù)數(shù)．2．教材P3“探究”，依據(jù)算術(shù)平方根的意義填空：(1)(eq\r(4))2＝4；(eq\r(2))2＝2；eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\r(\f(1,3))))2＝eq\f(1,3)；(eq\r(0))2＝0.(2)一般地，(eq\r(a))2＝a(a≥0)．3．教材P4“探究”，填空：(1)eq\r(22)＝2；eq\r(0.012)＝0.01；eq\r(\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(2,3)))2)＝eq\f(2,3)；eq\r(02)＝0.(2)一般地，eq\r(a2)＝a(a≥0)．老師點(diǎn)撥：二次根式的三特性質(zhì)：(1)eq\r(a)(a≥0)是一個(gè)非負(fù)數(shù)；(2)(eq\r(a))2＝a(a≥0)；(3)eq\r(a2)＝a(a≥0)．4．用基本運(yùn)算符號(hào)把數(shù)或表示數(shù)的字母連結(jié)起來的式子，我們稱這樣的式子為代數(shù)式．5．計(jì)算：eq\r(0.0196×22500)＝21；eq\r(5\f(4,9))＝eq\f(7,3).環(huán)節(jié)2合作探究，解決問題活動(dòng)1小組探討(師生互學(xué))【例1】計(jì)算：(1)(eq\r(1.5))2；(2)(2eq\r(5))2；(3)eq\r(16)；(4)eq\r(－52).【互動(dòng)探究】(引發(fā)學(xué)生思索)一個(gè)非負(fù)數(shù)的算術(shù)平方根的平方等于什么？當(dāng)二次根式的被開方數(shù)是一個(gè)完全平方數(shù)，開方時(shí)有什么規(guī)則？【解答】(1)eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\r(1.5)))2＝1.5.(2)(2eq\r(5))2＝22×(eq\r(5))2＝4×5＝20.(3)eq\r(16)＝(eq\r(42))＝4.(4)eq\r(\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－5))2)＝eq\r(52)＝5.【互動(dòng)總結(jié)】(學(xué)生總結(jié)，老師點(diǎn)評(píng))一個(gè)非負(fù)數(shù)的算術(shù)平方根的平方等于這個(gè)非負(fù)數(shù)．當(dāng)二次根式的被開方數(shù)是一個(gè)完全平方數(shù)時(shí)，eq\r(a2)＝eq\b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\co1(a))＝eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(a\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(a≥0))；,－a\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(a<0)).))【例2】化簡下列二次根式．(1)eq\r(8a3b)(a≥0，b≥0)；(2)eq\r(－36×169×－9).【互動(dòng)探究】(引發(fā)學(xué)生思索)依據(jù)開方的定義化簡．留意：二次根式的結(jié)果是最簡二次根式．【解答】(1)eq\r(8a3b)＝eq\r(22·a2·2ab)＝eq\r(2a2)·eq\r(2ab)＝2aeq\r(2ab).(2)eq\r(－36×169×－9)＝eq\r(36×169×9)＝6×13×3＝234.【互動(dòng)總結(jié)】(學(xué)生總結(jié)，老師點(diǎn)評(píng))(1)若被開方數(shù)中含有負(fù)因數(shù)，則應(yīng)先化成正因數(shù)；(2)將二次根式盡量化簡，使被開方數(shù)(式)中不含能開得盡方的因數(shù)(式)，即化為最簡二次根式．活動(dòng)2鞏固練習(xí)(學(xué)生獨(dú)學(xué))1．下列各式正確的是(D)A．eq\r(－4×－9)＝eq\r(－4)×eq\r(－9)B．eq\r(16＋\f(9,4))＝eq\r(16)×eq\r(\f(9,4))C．eq\r(4\f(4,9))＝eq\r(4)×eq\r(\f(4,9))D．eq\r(4×9)＝eq\r(4)×eq\r(9)2．計(jì)算：(1)(eq\r(9))2；(2)－(eq\r(3))2；(3)eq\r(64)；(4)eq\r(a2＋2a＋1).解：(1)9.(2)－3.(3)8.(4)eq\r(a2＋2a＋1)＝eq\r(\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(a＋1))2)＝eq\b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\co1(a＋1)).當(dāng)a≥－1時(shí)，原式＝a＋1；當(dāng)a<－1時(shí)，原式＝－a－1.3．已知實(shí)數(shù)a、b在數(shù)軸上的位置如圖所示，化簡：eq\r(a＋12)＋2eq\r(b－12)－|a－b|.解：從數(shù)軸上a、b的位置關(guān)系，可知－2＜a＜－1,1＜b＜2，且b＞a，故a＋1＜0，b－1＞0，a－b＜0，原式＝|a＋1|＋2|b－1|－|a－b|＝－(a＋1)＋2(b－1)＋(a－b)＝b－3.活動(dòng)3拓展延長(學(xué)生對(duì)學(xué))【例3】已知a、b、c是△ABC的三邊長，化簡eq\r(a＋b＋c2)－eq\r(b＋c－a2)＋eq\r(c－b－a2).【互動(dòng)探究】依據(jù)三角形的三邊關(guān)系，得出b＋c＞a，b＋a＞c.依據(jù)二次根式的性質(zhì)得出含有肯定值的式子，然后去肯定值符號(hào)合并即可．【解答】∵a、b、c是△ABC的三邊長，∴b＋c＞a，b＋a＞c，∴原式＝|a＋b＋c|－|b＋c－a|＋|c－b－a|＝a＋b＋c－(b＋c－a)＋(b＋a－c)