習(xí)題8-1

1.設(shè)u=a-b+2c,v=-a+3b-c.試用a、b、c表示2w-3v.

解2w-3v=2(a-b+2c)-3(-a+3b-c)

=2a-28+4c+3G-9H3C

二5。-11H7c.

2.如果平面上一個(gè)四邊形的對角線互相平分，試用向量證

所以DC=-OA+OB=OB-OA=-AB.

這說明四邊形ABCD的對邊AB=CD且AB//CD,從而四邊形

ABCO是平行四邊形.

3.把AABC的邊五等分，設(shè)

分點(diǎn)依次為。2、。3、。4,再把

―>

各分點(diǎn)與點(diǎn)A連接.試以AB=c、

表示向量〃A、D2A.D3A.

￡A.

解D.A=BA-BD}=-c-a,

D°A=BA-BD?=-c,

D§A=BA-BDB=-C-—a,

->f—A

D^A—BA—BD^.

4.已知兩點(diǎn)M(0,1,2)和%(1,-1,0).試用坐標(biāo)表示式表

示向量M拓及-2〃拓.

解MX=(1,-1,0)-(0,1,2)=(1,-2,-2),

-2M拓=-2(1,-2,-2)=(-2,4,4).

5.求平行于向量4=(6,7,-6)的單位向量.

解⑷=162+72+(—6)2=11,

平行于向量。=(6,7,-6)的單位向量為

⑷借11,1齊1,一11#或一⑷±Q=(1T1，~1n1,1冷1,

6.在空間直角坐標(biāo)系中，指出下列各點(diǎn)在哪個(gè)卦限？

A(l,-2,3);BQ,3,-4);C(2,-3,-4);D(-2,-3,1).

解A在第四卦限,8在第五卦限,C在第八卦限,。在第三卦

限.

7.在坐標(biāo)面上和坐標(biāo)軸上的點(diǎn)的坐標(biāo)各有什么特征？指

出下列各點(diǎn)的位置：

A(3,4,0);B(0,4,3);C(3,0,0);￡>(0,-1,0).

解在％0y面上，點(diǎn)的坐標(biāo)為(%,y,0)；在yOz面上，點(diǎn)的坐

標(biāo)為(0,y,z);在zQx面上，點(diǎn)的坐標(biāo)為&,0,z).

在工軸上，點(diǎn)的坐標(biāo)為(%,0,0)；在y軸上，點(diǎn)的坐標(biāo)為(0,y,

0),在2軸上，點(diǎn)的坐標(biāo)為(0,0,z).

A在％Oy面上,B在yOz面上,C在％軸上,。在y軸上.

8.求點(diǎn)3,瓦c)關(guān)于⑴各坐標(biāo)面；(2)各坐標(biāo)軸；(3)坐標(biāo)原點(diǎn)

的對稱點(diǎn)的坐標(biāo).

解(1)點(diǎn)(。,仇c)關(guān)于％Oy面的對稱點(diǎn)為(。,仇-c),點(diǎn)(a,A,c)

關(guān)于yOz面的對稱點(diǎn)為(-a,b,c),點(diǎn)(a,h,c)關(guān)于z。%面的對稱點(diǎn)

為(a,-瓦c).

(2)點(diǎn)(a,b,c)關(guān)于％軸的對稱點(diǎn)為(a,-仇-c),點(diǎn)(a,b,c)關(guān)于

y軸的對稱點(diǎn)為(-a,b,-c),點(diǎn)(a,瓦c)關(guān)于z軸的對稱點(diǎn)為(-a,

-b,c).

(3)點(diǎn)(a,b,c)關(guān)于坐標(biāo)原點(diǎn)的對稱點(diǎn)為(-a,-4-c).

9.自點(diǎn)外(%o,yo,zo)分別作各坐標(biāo)面和各坐標(biāo)軸的垂線，寫

出各垂足的坐標(biāo).

解在工。)，面、yOz面和zO%面上，垂足的坐標(biāo)分別為(%o,yo,

0)、(0,y0,zo)和(%o,0,zo).

在光軸、y軸和z軸上，垂足的坐標(biāo)分別為Qo,0,0),(0,y0,0)

和(0,0,z()).

10.過點(diǎn)Po(xo,加zo)分別作平行于z軸的直線和平行于

面的平面，問在它們上面的點(diǎn)的坐標(biāo)各有什么特點(diǎn)？

解在所作的平行于z軸的直線上，點(diǎn)的坐標(biāo)為(我,然,z);

在所作的平行于xOy面的平面上，點(diǎn)的坐標(biāo)為y,zo).

H.一邊長為a的立方體放置在直刀面上，其底面的中心在

坐標(biāo)原點(diǎn)，底面的頂點(diǎn)在％軸和)，軸上，求它各頂點(diǎn)的坐標(biāo).

解因?yàn)榈酌娴膶蔷€的長為所以立方體各頂點(diǎn)的坐

標(biāo)分別為

(Wa，°，°)，(乎a，°，°)，(0,一(0,乎。,0),

(當(dāng)a,0,a),亭,0,〃)，(0,一爭,a),(0,多a).

12.求點(diǎn)〃(4,-3,5)到各坐標(biāo)軸的距離.

解點(diǎn)M到1軸的距離就是點(diǎn)(4,-3,5)與點(diǎn)(4,0,0)之間的距

離，即

22

Jr=A/(-3)+5=V34.

點(diǎn)M到y(tǒng)軸的距離就是點(diǎn)(4,-3,5)與點(diǎn)(0,-3,0)之間的距

離，即

J/42+52=V4i.

y=A

點(diǎn)M到z軸的距離就是點(diǎn)(4,-3,5)與點(diǎn)(0,0,5)之間的距離,

即

4=j42+(-3)2=5.

13.在yOz面上，求與三點(diǎn)A(3,1,2)、8(4,-2,-2)和C(0,5,

1)等距離的點(diǎn).

解設(shè)所求的點(diǎn)為尸(0,乂z)與A、B、C等距離，則

|PA|2=32+(y-l)2+(z-2)2,

|ph|2=42+(y+2)2+(z+2)2,

―>

|PCF=(y-5)2+(z-1)2.

由題意，有

\PA^=\PB^PC^,

22222

pDf3+(y-l)+(z-2)=(y-5)+(z-l)

1[42+(3；+2)2+(z+2)2=(y-5)2+(z-l)2

解之得尸1,z=-2,故所求點(diǎn)為(0,1,-2).

14.試證明以三點(diǎn)A(4,1,9)、伏10,-1,6)、C(2,4,3)為頂點(diǎn)

的三角形是等腰三角直角三角形.

解因?yàn)?/p>

|AB|=7(10-4)2+(-l-l)2+(6-9)2=7,

|AC|=7(2-4)2+(4-l)2+(3-9)2=7,

|BC|=7(2-10)2+(4+l)2+(3-6)2=7A/2,

所以|威|24盛|2+|北|2,|矗目元|

因此AABC是等腰直角三角形.

15.設(shè)已知兩點(diǎn)M(4,0,l)和跖(3,0,2).計(jì)算向量加范

的模、方向余弦和方向角.

解M~M2=(3-4,0-V2,2-1)=(-1,V2,1);

|M-2=J(T)2+(a)2+F=2;

ccos/?=￥，cos/=1;

乙乙乙

2〃n_3冗71

”一行,°Fr~3-

16.設(shè)向量的方向余弦分別滿足(l)cosgO;(2)cos住1;

(3)cosgcos分0,問這些向量與坐標(biāo)軸或坐標(biāo)面的關(guān)系如何？

解(1)當(dāng)cos—O時(shí)，向量垂直于無軸，或者說是平行于yOz

面.

(2)當(dāng)cos分1時(shí)，向量的方向與y軸的正向一致，垂直于

zOx面.

(3)當(dāng)cosa=cosj&=0時(shí)，向量垂直于無軸和y軸，平行于z

軸，垂直于xOy面.

17.設(shè)向量「的模是4,它與軸〃的夾角是60。，求r在軸

u上的投影.

解Prj/斗升cos0=4.J=2.

18.一向量的終點(diǎn)在點(diǎn)爾2,-1,7),它在％軸、y軸和z軸上

的投影依次為4,-4,7,求這向量的起點(diǎn)A的坐標(biāo).

解設(shè)點(diǎn)A的坐標(biāo)為(%,y,z).由已知得

2-x=4

7-z=7

解得4-2,y=3,z=0.點(diǎn)A的坐標(biāo)為A(-2,3,0).

19.tn=3i+5j+8k,n=2i-Aj-lkp=5i+j-4k.求向量

a=4m+3n-p在％軸上的投影及在y軸上的分向量.

解因?yàn)?/p>

a=4m+3n-p

=4(3i+5j+8@+3(2T/—74)一(5坷一4A)

=13i+7/+15A:,

所以a=4m+3〃-p在％軸上的投影為13,在y軸上的分向量少.

習(xí)題8-2

1.a=3i-j-2k,b=i+2j-k,求(1)。彷及QX~；(2)(—2。>36及ax2b;(3)。、力夾角的余弦.

解(1)ai=3x1+(-1)x2+(-2)x(-l)=3,

ijk

axb=3-1-2=5i+j+7A.

I2-1

(2)(-2a)-3Z>=-6ab=-6x3=-18,

?x2*=2(axft)=2(5i+/+7/l)=10i+2/4-14*.

|a仍I33

(3)cos(a,b)=-I-?l—l*—l=—7j1=4^7-6j==—2V-2jT=.

2.設(shè)〃、b、c為單位向量，且滿足a+b+c=0,求ab+b?c+ca.

解因?yàn)閍+Hc=0,所以(a+)+c>(a+)+c)=0,

即aa+》6+cc+2zr〃+2ac+2ca=0,

[13

于是ab+bc+ca=--(aa-^bb+cc)=--(\+l+l)=--.

己知M(l,-1,2)、%(3,3,1)和％(3,1,3).求與必看？、忒用同時(shí)垂直的單位向

3.

量.

解=GT3+1,1-2)=(24,-1),MZM3=(3-3,1-3,3-1)=(0,-2,2).

n=MiM^M2M3=24-1=6i-4j-4*,

0-22

|〃|=J36+16+16=2炳,

1

e=±](6i-4j-4k)=+(3i-2j-2Jt)為所求向量.

2V17

4.設(shè)質(zhì)量為100kg的物體從點(diǎn)Mi(3,1,8)沿直線稱動(dòng)到點(diǎn)M2(l,4,2),計(jì)算重力所作的

功(長度單位為〃?，重力方向?yàn)閦軸負(fù)方向).

解F=(0,0,-100x9.8)=(0,0,-980),5=^^2=(1-3,4-1,2-8)=(-2,3,-6).

W=F-S=(0,0,-980).2,3,-6)=5880(焦耳).

5.在杠桿上支點(diǎn)。的一側(cè)與點(diǎn)。的距離為xi的點(diǎn)Pi處，有一與改成角仇的力尸?

作用著；在O的另一側(cè)與點(diǎn)。的距離為X2的點(diǎn)尸2處，有一與漉成角a的力B作用著.問

仇、01、如、X2、|尸||、|尸2|符合怎樣的條件才能使杠桿保持平衡？

解因?yàn)橛泄潭ㄞD(zhuǎn)軸的物體的平衡條件是力矩的代數(shù)和為零，再注意到對力矩正負(fù)的

規(guī)定可得，使杠桿保持平衡的條件為

xi|Fi|-sin6?i-X2|F2|-sinft=O,/，用

即刈尸1卜sir>a=X2|尸卜2sin/

6.求向量a=(4,-3,4)在向量力=(2,2,1)上的投影.必\4__%>_

解F合L-

1

Pr]ha=aeb=a-^-=^-ab=(4,-3,4).(2,2,1)=1(4x2-3x2+4xl)=2.

網(wǎng)網(wǎng)A/22+22+123

7.設(shè)。=(3,5,-2),上(2,1,4),問幾與"有怎樣的關(guān)系，能使得加+/心與z軸垂直？

解Aa+〃〃=(34+2〃,52+//,-22+4//),

Aa+〃b與z軸垂0加+,而J_A

u>(32+2〃,54+//,-2力+4//>(0,0,1)=0,

即一2幾+4從=0,所以A=2〃.當(dāng)&2〃時(shí)，加+融與z軸垂直.

8.試用向量證明直徑所對的圓周角是直角.

證明設(shè)AB是圓0的直徑，。點(diǎn)在圓周上，則防=-不，|品目H|.

因?yàn)榫?辰?=(A—H)?(A—法)=(冼一H)(左：+豆)4&?|2-|豆|2=0,

所以/_L訪，ZC=90°.

9.設(shè)已知向量。=2，一牙+匕b=i-j+3k和c=i-2j,計(jì)算：(\)(ab)c-(ac)b;(2)(a+A)xS+c);

⑶(ax))c.

解(1)a*=2x1+(-3)x(-1)+1x3=8,0c=2x1+(—3)x(—2)=8,

(ab)c-(a-c)b=Sc-Sb=S(c-b)=S[(i-2j)-(i-j+3k)]=~Sj-24k.

(2)a+*=3i-4/+4jl,b+c=2i-3j+3k,

iJ*1

(a+b)x(〃+c)=3-44\=-j-k.

2-33|

ijk

(3)ax*=2-31=-8z-5j+jt,

1-13

(axft)-c=-8x1+(-5)x(-2)+1x0=2.

10.己知H=i+3j,OB=j+3k,求4048的面積.

解根據(jù)向量積的幾何意義，I蘇&I表示以溫和為為鄰邊的平行四邊形的面積,

于是AO45的面積為

S^^\OA^OB\.

因?yàn)橐缫?；03=-3i-3j+k,|5%<而|=5(-3>+(-3)2+『二則,

013

所以三角形AOAB的面積為

S=J亦防耳風(fēng).

12.試用向量證明不等式：

個(gè)龍+電+4舊+用+母日+的/I，

其中4|、42、“3、"、岳、犯為任意實(shí)數(shù)，并指出等號成立的條件.

解設(shè)。=(“|,。2,。3),b=Sl,62,63),則有

a-h=]a\-\b\cos(a,b)^a\'\b\,

于是Ja，+語+說/￥+彷+僮5“占+01b2+1，

其中當(dāng)cos(a")=l時(shí)，即a與6平行是等號成立.

習(xí)題8-3

1.一動(dòng)點(diǎn)與兩定點(diǎn)(2,3,1)和(4,5,6)等距離，求這動(dòng)點(diǎn)的軌跡方程.

解設(shè)動(dòng)點(diǎn)為M(x,y,z),依題意有

(_r-2)2+(y-3)2+(2-l)2=(x-4)2+0--5)2+(z-6)2,

即4x+4y+10z-63=0.

2.建立以點(diǎn)(1,3,-2)為球心，且通過坐標(biāo)原點(diǎn)的球面方程.

解球的半徑R=jF+32+(_2)2=舊,

球面方程為

(x-l)2+(y-3)2+(z+2)2=14,

即%2+/+z2-2x--6y+4z=0.

3.方程x2+y2+z2-2x+4y+2z=0表示什么曲面？

解由已知方程得

(x1-2x+1)+(y2-i-4_y-i-4)+(z2+2z+1)=1+4+1,

即(x-l)2+(y+2)2+(z+l)2=(而尸，

所以此方程表示以(1,-2,-1)為球心，以卡為半徑的球面.

4.求與坐標(biāo)原點(diǎn)。及點(diǎn)(2,3,4)的距離之比為1:2的點(diǎn)的全體所組成的曲面的方程，它

表示怎樣曲面？

解設(shè)點(diǎn)(x,y,z)滿足題意，依題意有

y1x2+y2+z2_1

J(x-2)2+(y-3>+(z-4)22

化簡整理得

(X+62+(y+l)2+Q+護(hù)*

它表示以管為球心，以|炳為半徑的球面.

5.將zOx坐標(biāo)面上的拋物線，=5x繞x軸旋轉(zhuǎn)一周，求所生成的旋轉(zhuǎn)曲面的方程.

解將方程中的z換成土JV+z2得旋轉(zhuǎn)曲面的方程V+Z2=5X.

6.將zOx坐標(biāo)面上的圓W+z2=9繞z軸旋轉(zhuǎn)一周，求所生成的旋轉(zhuǎn)曲面的方程.

解將方程中的X換成士由手得旋轉(zhuǎn)曲面的方程『+V+z2=9.

7.將xOy坐標(biāo)面上的雙曲線4f-9），2=36分別繞x軸及），軸旋轉(zhuǎn)一周，求所生成的旋轉(zhuǎn)

曲面的方程.

解雙曲線繞x軸旋轉(zhuǎn)而得的旋轉(zhuǎn)曲面的方程為

4?-9/-9Z2=36.

雙曲線繞y軸旋轉(zhuǎn)而得的旋轉(zhuǎn)曲面的方程為

4?+4z2-9y2=36.

8.畫出下列方程所表示的曲面：

v2z2

⑶5+p；

(4)盧=z0;

9.指出下列方程在平面解析幾何中和在空間解析幾何中分別表示什么圖形：

⑴日

解在平面解析幾何中,x=2表示平行于y軸的一條直線；在空間解析幾何中,x=2表示一

張平行于yOz面的平面.

⑵y=x+l;

解在平面解析幾何中,y=x+l表示一條斜率是1,在)，軸上的截距也是1的直線；在空

間解析幾何中，y=x+l表示一張平行于z軸的平面.

(3)f+V=4;

解在平面解析幾何中，1+)2=4表示中心在原點(diǎn)，半徑是4的圓；在空間解析幾何中,

?+/=4表示母線平行于z軸，準(zhǔn)線為W+y2=4的圓柱面.

(4)*_)2=1.

解在平面解析幾何中,『-)2=1表示雙曲線；在空間解析幾何中,*-尸=1表示母線平行

于z軸的雙曲面.

10.說明下列旋轉(zhuǎn)曲面是怎樣形成的：

⑴與+若+*1;

解這是xOy面上的橢圓?+卷=1繞x軸旋轉(zhuǎn)一周而形成的，或是zOx面上的橢圓

22

。+&=1繞X軸旋轉(zhuǎn)一周而形成的.

49

v2

(2)x2_±_+z2=l；

4

解這是xOy面上的雙曲線爐-[=1繞y軸旋轉(zhuǎn)一周而形成的，或是)，Oz面上的雙曲

線-[+z2=l繞y軸旋轉(zhuǎn)一周而形成的.

(3)?-衿/=1;

解這是xOy面上的雙曲線r->2=1繞x軸旋轉(zhuǎn)一周而形成的，或是zQx面上的雙曲線

x2-?=1繞x軸旋轉(zhuǎn)一周而形成的.

(4)&-4)2=/+產(chǎn).

解這是zOx面上的曲線(z-a)2=/繞Z軸旋轉(zhuǎn)一周而形成的，或是)，0z面上的曲線

(z-a)2=y2繞z軸旋轉(zhuǎn)一周而形成的.

11.畫出下列方程所表示的曲面：

⑴丘+產(chǎn)小3；

(2)f-)2-4z2=4;

習(xí)題8-4

1.畫出下列曲線在第一卦限內(nèi)的圖形:

⑵:二甲;

x2+y2=a2

x2+z2=a2?

2.指出下方程組在平面解析幾何中與在空間解析幾何中分別表示什么圖形：

卜=5x+l.

[)[y=2x-39

解在平面解析幾何中，[尸產(chǎn);表示直線v=5x+l與產(chǎn)2%-3的交點(diǎn)(-*-?);在空

[y=2x-3”33

間解析幾何中，尸:票計(jì)!表示平面y=5x+l與產(chǎn)比-3的交線，它表示過點(diǎn)(-弓,-?,0),并

且行于Z軸.

(2)-T+^=,.

j=3

解在平面解析幾何中，,于+三小表示橢圓當(dāng)+*曰與其切線廣3的交點(diǎn)(0,3);在

y=349

空間解析幾何中，，三十^T表示橢圓柱面?+營=1與其切平面尸3的交線.

3.分別求母線平行于x軸及y軸而且通過曲線X：O=016的柱面方程.

解把方程組中的x消去得方程3y2T2=16,這就是母線平行于x軸且通過曲線

2x2+y2+z2=\6

的柱面方程.

x2+z2-y2=0

把方程組中的y消去得方程3f+2z2=16,這就是母線平行于y軸且通過曲線

2x2+y2+z2=16

的柱面方程.

x2+z2-y2=0

4.求球面f+y2+z2=9與平面x+z=l的交線在xOy面上的投影的方程.

解由x+z=l得z=l-x代入得方程”-2%+9=8,這是母線平行于z軸，準(zhǔn)線

為球面W+y2+z2=9與平面x+z=l的交線的柱面方程，于是所求的投影方程為

j2x2-2x+y2=8

[z=0

5.將下列曲線的一般方程化為參數(shù)方程：

x2+y2+z2=9.

(1)

y=x

解將y=x代入x2+y2+z2=9得2A2+Z2=9,即一—+三?=1.

令x=-^=cost,貝ijz=3sint.

故所求參數(shù)方程為

x=-^cosr,y=^=cost,z=3sint.

(2)，aT)2+y2+(z+l)2=4.

(z=0

解將z=0代入(x-l)2+y2+(z+1)2=4得(x-l)2+y2=3.

令x=l+>/Jcos，，則y=VJsinf,

于是所求參數(shù)方程為

X=1+A/3COSZ,y=V3sinr,z=0.

x=acos。

6.求螺旋線y=asin。在三個(gè)坐標(biāo)面上的投影曲線的直角坐標(biāo)方程.

z=b0

解由前兩個(gè)方程得/+產(chǎn)=儲，于是螺旋線在xOy面上的投影曲線的直角坐標(biāo)方程為

|x2+y2=tz2

|z=0

由第三個(gè)方程得"代入第一個(gè)方程得

-=cosv,即z=Z?arccos-,

aba

于是螺旋線在zOx面上的投影曲線的直角坐標(biāo)方程為

z=Z?arccos—

<a?

y=0

由第三個(gè)方程得代入第二個(gè)方程得

b

-=sin.,即z=6arcsin』，

aba

于是螺旋線在yOz面上的投影曲線的直角坐標(biāo)方程為

x=0

z=fearcsin—,

a

7.求上半球OWzW及匚記于與圓柱體f+VwaM。A。)的公共部分在xOy面和z。無面上

的投影.

解圓柱體/+)%族在xOy面上的投影為它含在半球04z*a2_*2—丫2在

xOy面上的投影內(nèi)，所以半球與圓柱體的公共部分在xO.y面上的投影為f+y24ax.

為求半球與圓柱體的公共部分在zOx面上的投影，由圓柱面方程f+y2』％得>2=必_比

代入半球面方程2=/浮一/一丫2,得z=Ja2-ax(。*),于是半球與圓柱體的公共部分在

zOx面上的投影為

0<z<-Ja2-ax[0<x<a),即z1+ax<a2,0<x<a,z>0.

8.求旋轉(zhuǎn)拋物面在三坐標(biāo)面上的投影.

解令z=4得f+y2=4,于是旋轉(zhuǎn)拋物面2=』+穴04")在xOy面上的投影為x2+y2*.

令x=0得z92,于是旋轉(zhuǎn)拋物面內(nèi)2+日0女“)在yOz面上的投影為/<z<4.

令y=0得z=x2,于是旋轉(zhuǎn)拋物面2=/+：尸(04244)在zOx面上的投影為^<2<4,

習(xí)題8—5

1.求過點(diǎn)(3,0,-1)且與平面3A7y+5z-12=。平行的平面方

程.

解所求平面的法線向量為〃=(3,-7,5),所求平面的方程為

3(x-3)-7(y—0)+5(z+l)=0,即3%-7y+5z-4=0.

2.求過點(diǎn)M0(2,9,-6)且與連接坐標(biāo)原點(diǎn)及點(diǎn)Mo的線段

。減垂直的平面方程.

解所求平面的法線向量為九=(2,9,-6),所求平面的方程為

2(x-2)+9(y-9)-6(z-6)=0,即2%+9y-6z-121=0.

3.求過(1,(-2,-2,2)、(1,-1,2)三點(diǎn)的平面方程.

解W|=(l,-1,2)-(1,1,-1)=(0,-2,3),

?i=(l,-1,2)-(-2,-2,2)=(3,1,0),

所求平面的法線向量為

ijk

w=M]Xn2=0-23=-3i+9j+6k,

310

所求平面的方程為

-3(x-1)+9(y-1)+6(z+1)=0,即x-3y-2z=0.

4.指出下列各平面的特殊位置，并畫出各平面：

(1)%=0；

解尤=。是yOz平面.

(2)3y-l=0;

解3k1=0是垂直于y軸的平面，它通過y軸上的點(diǎn)

(0,1,0).

(3)2x-3y-6=0;

解2%-3k6=0是平行于z軸的平面，它在％軸、y軸上的截

距分別是3和-2.

⑷％-6y=0;

解%—6y=0是通過z軸的平面，它在％0)，面上的投影的斜

率為卓

(5)y+z=l;

解y+z=l是平行于％軸的平面，它在y軸、z軸上的截距均

為1.

(6)%-2z=0;

解x-2z=0是通過y軸的平面.

(7)6%+5-z=0.

解6%+5-z=0是通過原點(diǎn)的平面.

5.求平面2%-2y+z+5=0與各坐標(biāo)面的夾角的余弦.

解此平面的法線向量為n=(2,-2,1).

此平面與yOz面的夾角的余弦為

7?、ni22

CO(5t=CO-⑺…尸/==;

221

\n\-\i\A/2+(-2)+13，

此平面與z。％面的夾角的余弦為

一小。山)=品=也+a+廠1；

此平面與工。＞面的夾角的余弦為

一『。9)=瑞=e+(：2)2+1丹

6.一平面過點(diǎn)(1,0,-1)且平行于向量。=(2,1,1)和)=(1,-1,

0),試求這平面方程.

解所求平面的法線向量可取為

ijk

n=axb=211=i+j-3k,

1-10

所求平面的方程為

(%—l)+(y—0)—3(z+l)=0,即％+y-3z—4=0.

7.求三平面%+3y+2=l,2x-y-z=0,-x+2y+2z=3的交點(diǎn).

解解線性方程組

x+3y+z=l

<2x-y-z=0

\-x+2y+2z=3

得％=l,y=-l,z=3.三個(gè)平面的交點(diǎn)的坐標(biāo)為(1,-1,3).

8.分別按下列條件求平面方程：

⑴平行于zOx面且經(jīng)過點(diǎn)(2,-5,3);

解所求平面的法線向量為)=(0,1,0),于是所求的平面為

0-(x-2)-5Cv+5)+0-(z-3)=0,即尸—5.

(2)通過z軸和點(diǎn)(-3,1,-2);

解所求平面可設(shè)為Ax+gy=o.

因?yàn)辄c(diǎn)(-3,1,-2)在此平面上，所以

—3A+3=0,

將B=3A代入所設(shè)方程得

Ax+34y=0,

所以所求的平面的方程為

x+3y=0,

(3)平行于％軸且經(jīng)過兩點(diǎn)(4,0,-2)和(5,1,7).

解所求平面的法線向量可設(shè)為九=(0,瓦c).因?yàn)辄c(diǎn)(4,0,-2)

和(5,1,7)都在所求平面上，所以向量m=(5,1,7)-(4,0,-2)=(1,

1,9)與〃是垂直的，即

Z?+9c-0,b=-9c,

于是?=(0,-9c,c)=-c(0,9,-1).

所求平面的方程為

9(j-0)-(z+2)=0,即9y-z-2=0.

9.求點(diǎn)(1,2,1)到平面%+2y+2z-10=0的距離.

解點(diǎn)(1,2,1)到平面%+2y+2z-10=0的距離為

7|l+2x2+2xl-10|,

a=----=—=1?

71z2+22+22

習(xí)題8-6

1.求過點(diǎn)(4,-1,3)且平行于直線與=＞個(gè)的直線方程.

解所求直線的方向向量為s=(2,1,5),所求的直線方程為

%-4_y+l_z-3

~T~=~F=~5~'

2.求過兩點(diǎn)M3-2,1)和Af2(-1,0,2)的直線方程.

解所求直線的方向向量為s=(-1,0,2)-(3,-2,1)=(-4,2,1),

所求的直線方程為

x-3y+2x-l

-421

3.用對稱式方程及參數(shù)方程表示直線]；一

2x+y+z=4

解平面x-y+z=l和2x+y+z=4的法線向量為?i=(l,-1,1),

小=(2,1,1),所求直線的方向向量為

ijk

s=n1xn2=1-11=-2i+j+3k.

-211

在方程組"？+：T4中，令尸0,得解得m3,

[2x+y+z=4[2x+z=4

Z=-2.于是點(diǎn)(3,0,-2)為所求直線上的點(diǎn).

所求直線的對稱式方程為

x—3_y_z+2.

二二T='；

參數(shù)方程為

x=3-2。y=t^z=—2+3乙

4.求過點(diǎn)(2,0,-3)且與直線垂直的平面

2z+l=U

方程.

解所求平面的法線向量〃可取為已知直線的方向向量，即

ijk

n=(l,-2,4)x(3,5,-2)=1-24=-16i+14j+l1A.

35-2

所平面的方程為

-16(x-2)+l4(y-0)+ll(z+3)=0,

即16%-14y-llz-65=0.

5求直線哇猊才。與直線落沈:鼠)的夾角

的余弦.

解兩直線的方向向量分別為

ijk

5-33=3i+4j-k,

3-21

iJ.左

22

=10i-5j+10k.

38-1

兩直線之間的夾角的余弦為

°°"3瑞

3x10+4x(-5)+(-1)x10=()

221222

-A/3+4+(-1/70+(-5)+10-,

6.證明直線與直線f+6y一言=8平行

[—zx-Vy-VZ—/y—z—u

解兩直線的方向向量分別為

ijk

4=12-l=3i+j+5k,

-211

ijk

”=36-3=-9i-3j-15k.

2—1—1

因?yàn)镾2=-3S1,所以這兩個(gè)直線是平行的.

7.求過點(diǎn)(0,2,4)且與兩平面x+2z=l和k3z=2平行的直線

方程.

解因?yàn)閮善矫娴姆ň€向量小=(1,0,2)與"2=(0,1,-3)不平

行，所以兩平面相交于一直線，此直線的方向向量可作為所求

直線的方向向量S,即

卜jk\

S=102\=-2i+3j+k.

所求直線的方程為

x_y-2_z-4

3二'=丁’

8.求過點(diǎn)(3,1,-2)且通過直線甘=早普的平面方程.

解所求平面的法線向量與直線胃=手=彳的方向向量

J4JL

31=(5,2,1)垂直.因?yàn)辄c(diǎn)(3,1,-2)和(4,-3,0)都在所求的平面上,

所以所求平面的法線向量與向量§2=(4,-3,0)-(3,1,-2)=(1,-4,2)

也是垂直的.因此所求平面的法線向量可取為

ijk

T2=S]X,=521=Si-9j-22k.

■1-42

所求平面的方程為

8(x-3)-9(y-l)-22(z+2)=0,

即8%-9y-22z-59=0.

9.求直線｛二；：；：%。與平面%—y—z+i=o的夾角.

解已知直線的方向向量為

ijk

s=(l,1,3)x(1,-1,-1)=113=萬+4J-2左=2?+2/_4)，

1-1-1

已知平面的法線向量為Ml,-1,-1).

因?yàn)?/p>

s-n=2xl+4x(-l)+(-2)x(-l)=0,

所以sIn,從而直線卜+)+3zU與平面x-y-z+l=O的夾角為0.

10.試確定下列各組中的直線和平面間的關(guān)系：

⑴考=空號和4A2k2z=3;

解所給直線的方向向量為S=(-2,-7,3),所給平面的法線

向量為?=(4,-2,-2).

因?yàn)??〃=(-2)x4+(-7)x(-2)+3x(-2)=0,所以s_L〃，從而所給

直線與所給平面平行.又因?yàn)橹本€上的點(diǎn)(-3,-4,0)不滿足平面

方程4%-2k2z=3,所以所給直線不在所給平面上.

(2)與=3=，和3A2y+7z=8;

解所給直線的方向向量為$=(3,-2,7),所給平面的法線向

量為〃=(3,-2,7).

因?yàn)閟=n,所以所給直線與所給平面是垂直的.

(3)號=牛=弓和%+y+z=3.

解所給直線的方向向量為s=(3,所給平面的法線向

量為〃=(1,1,1).

因?yàn)镾TZ=3X1+1X1+(-4)X1=0,所以S_L?從而所給直線與所

給平面平行.又因?yàn)橹本€上的點(diǎn)(2,-2,3)滿足平面方程％+y+z=3,

所以所給直線在所給平面上.

H.求過點(diǎn)(1,2,1)而與兩直線產(chǎn)和[2%-：+z：0

x-y+z-l=0[x-y+z=0

平行的平面的方程.

解已知直線的方向向量分別為

\iJM

s,=(1,2,-1)x(1,-1,1)=12-i=i-2j-3k,

I1-111

s,=(2,-1,1)x(1,-1,1)=2-11=-j-A.

「T"

所求平面的法線向量可取為

iJk

n=s1xs2=1-2-3=-i+j-k,

0—1—1

所求平面的方程為

-(x-l)+(y-2)-(z-l)=0,即x-y+z=O.

12.求點(diǎn)(-1,2,0)在平面x+2y-z+l=0上的投影.

解平面的法線向量為〃=(1,2,-1).過點(diǎn)(-1,2,0)并且垂直

于已知平面的直線方程為

.x+l_y-2_z

~T=~T=^i'

將此方程化為參數(shù)方程x=-l+t,廣2+2/,z=-t,代入平面方程

x+2y-z+l=0中，得

(-l+Z)+2(2+2r)-(-0+1=0,

解得仁-|.再將仁-|代入直線的參數(shù)方程，得％=［，產(chǎn)全

2=|,于是點(diǎn)(-1,2,0)在平面x+2y-z+l=0上的投影為點(diǎn)

13.求點(diǎn)P(3,-1,2)到直線[；+)'1+：°的距離.

2x-y+z-4=0

解已知直線的方向向量為

ijk

s=(l,1,-1)x(2,-1,1)=11-l=-3j-3k.

2-11

過點(diǎn)尸且與已知直線垂直的平面的方程為

-3(y+l)—3(z-2)=0,即y+z-l=O.

解線性方程組

%+y-z+l=O

<2%-y+z-4=0,

y+z-l=O

得％=1,y=-^,2=|.

點(diǎn)P(3,-l,2)到直線=+10的距離就是點(diǎn)P(3,-l,2)

[2x-y+z-4=0

與點(diǎn)(1,-去|)間的距離，即

d=J(3-l)2+(-l+^)2+(2-^-)=^-A/2.

V乙乙乙

14.設(shè)M)是直線L外一點(diǎn)，M是直線L上任意一點(diǎn)，且直

線的方向向量為s,試證：點(diǎn)M)到直線L的距離

—

,|AfAfxs|

〃=---n----

回.

->

解設(shè)點(diǎn)M)到直線L的距離為aL的方向向量s=MN,根

據(jù)向量積的幾何意義，以■和疝V為鄰邊的平行四邊形的面

積為

fT—>

\M0MXMN\^MQMXS\,

又以忒M和MN為鄰邊的平行四邊形的面積為d-\MNhd-\s\.

因此

—

d-\s\^M(}Mxs\,d-—上——.

15.求直線[7-4咤z=：在平面4%_*=1上的投影直線

[3x-y-2z-9=0

的方程.

解過已知直線的平面束方程為

(2+3丸)%+(—4-X)y+(1-22)z—9/l=0.

為在平面束中找出與已知平面垂直的平面，令

(4-1,1)-(2+32,-4-Z,1-22)=0,

即4-(2+32)+(-l)-(-4-2)+l-(l-2/l)=0.

解之得行-號將丸=卡代入平面束方程中，得

17x+31y-37z-117=0.

故投影直線的方程為

4x-y+z=l

<17%+3V-37z-l17=0'

16.畫出下列各曲面所圍成的立體圖形：

(l)x=0,y=0,z=0,x=2,y=l,3x+4y+2z-12=0;

1\3

Qy

4/

(3)z=0,z=3,x-y=O,x-^3y=0,%2+y=i(在第一圭卜限內(nèi));

(4)%=0,y=0,z=0,/+y2=R2,產(chǎn)序二/^在第一卦限內(nèi))

總習(xí)題八

1.填空

(1)設(shè)在坐標(biāo)系［0;i,j,A］中點(diǎn)A和點(diǎn)M的坐標(biāo)依次為(XO,JO,zo)和(x,y,z),則在［4;ij,k］

坐標(biāo)系中，點(diǎn)M的坐標(biāo)為,向量。M的坐標(biāo)為.

-

解M(x-xo,y-泗,z-zo),OM={x,y,z).

提示：自由向量與起點(diǎn)無關(guān)，它在某一向量上的投影不會因起點(diǎn)的位置的不同而改變.

(2)設(shè)數(shù)為、辦、加不全為0,使辦a+；W>+/l3C=0,則。、從c三個(gè)向量是的.

解共面.

(3)設(shè)a=(2,1,2),10),c=b-Aa,且ale,則&.

解3.

提示：因?yàn)閍_Lc,所以0c=0.

又因?yàn)橛蒩c=ah-；M-a=2x4+1x(-l)+2x10-2(22+12+22)=27-9/1,所以加3.

(4)設(shè)a、b、c都是單位向量，且滿足a+6+c=0,則。b+"c+cu=.

解4-

提示：因?yàn)椤?5+c=0,所以(a+力+c>(a+Hc)=0,

艮|J?)+cc+2tzb+2ac+2ca=0,

⑸設(shè)⑷=3,|b|二4,|c|=5,且滿足a+b+c=O,貝!J|QXZH■力xc+cxa|=.

解36.

提示:c=-(a+b),

axb+b義c+cxa=axb-b義(a+b)-(a+b)xa=axb—bxa-bxa=3axb,

|ax》+》xc+cxa|=3|ax5|=3|aHb|=3?3?4=36.

2.在y軸上求與點(diǎn)A(l,-3,7)和點(diǎn)5(5,7,-5)等距離的點(diǎn).

解設(shè)所求點(diǎn)為M(0,y,0),則有

12+0^3)2+72=52+0?-7)2+(-5)2,

即6+3)2=仁7)2,

解得y=2,所求的點(diǎn)為M(0,2,0).

3.已知A/18C的頂點(diǎn)為43,2,-1)、8(5,-4,7)和C(-1,1,2),求從頂點(diǎn)C所引中線的長度

解線段”的中點(diǎn)的坐標(biāo)為(苧，號，二^9)=(4,-1,3).所求中線的長度為

4=J(4+1)2+(_I)2+(3_21=回.

—>

4.設(shè)AA5C的三邊8C=a、CA=b.AB=c,三邊中點(diǎn)依次為。、E、F,試用向量。、

b、c表示4)、BE>CF,并證明

M)^BE+CF=Q.

解AI)=^+BD=c+^a,

BfE=BfC+CfE=a+±1b,

2

i

CF=CA+AF=b+^-c.

2

AD+5E+C尸=93+Hc弓(Y+C)=O

5.試用向量證明三角形兩邊中點(diǎn)的連線平行于第三邊，且其長度等于第三邊長度的

一半.

證明設(shè)D,E分別為AB,AC的中點(diǎn)，則有

Z)￡=A￡-A￡)=|(AC-AB),1

—>—?—>—>―?/\

BC=BA+AC=AC-AB,￡

所以DE=^BC,/\

從而。E//BC,且|DE|=fBC|.

6.^\a+b\=\a-b\,o=(3,-5,8),b=(-l,1,z),求z.

解a+方=(2,-4,8+z),ad=(4,-6,8-z).因?yàn)閨a+6|=|a-b|,所以

招+(T)2+(8+Z)2=J42+(-6)2+(8—Z)2,

解得Z=l.

7.設(shè)|。=石，|加=1,(a?=J,求向量a+A與。的夾角.

6

解|a+6|2=(a+A)-(a+i)=|a|24-|i|2+2a-&=|a|24-|i|2+2|a|-|A|cos(a,Ab)=3+1+2-73cos-T-=7,

6

|a-&|2=(a-6)-(a-6)=|?l2+|fr|2-2a-&=|a|2+|i|2-2|a|-|Z>|cos(a,Ab)=3+l-2V^cos[=l.

o

設(shè)向量a+b與a-b的夾角為“則

C030=(a+力佃|2_固2_3T=2

\a+h\-\a-b\\a+b\-\a—b\幣-1幣

6=arccos」=.

a

8.設(shè)a+3617a-5b,a-4b17a-2瓦求(。：力.

解因?yàn)閍+3AL7a-5b,a-4虹7所20，

所以(a+3Z>).(7a-5Z>)=0,(a-4b)-(7a-2b)=0,

即7|a|2+l6ab-\5\b\2=0,7|a|2-30a-ft+8|*|2=0,

又以上兩式可得

|aHil=V2^,

于是8sM*瑞M

9.設(shè)0=(2,-1,-2),力=(1,1「)，問2為何值時(shí)(01)最小？并求出此最小值.

Aab_1—2z

解cos(a,b)=

\a\-\b\~2^2+Z1

因?yàn)楫?dāng)0<(a3)<q時(shí)，cos(a[)為單調(diào)減函數(shù).求(a")的最小值也就是求/(z)=」^3￡=

23V2+Z2

的最大值.

令/⑵號表^=°'得z=4

當(dāng)z=-4時(shí)，cos(a；b)=a§,所以

10.設(shè)同=4,向=3,(。")=],求以a+2b和〃-3力為邊的平行四邊形的面積.

6

解(a+25)x(a-3b)=-3axA+2)xa=5Ax”.

以a+2b和。-3)為邊的平行四邊形的面積為

|(a+2*)x(a-3*)|=5|6xa|=5|6|-|a|sin(a>)=5-3-4-1=30.

11.設(shè)。=(2,-3,1),萬=(1,一2,3),c=(2,1,2),向量;?滿足rJ_a,rJ也PrjcF=14,求r.

解設(shè)r=(x,y9z).

因?yàn)閞_La,r_L"所以ra=0,r?b=0,即

2x-3y+z=0,x-2y+3z=0.

又因?yàn)閷?14,所以廠717c=14,即

\c\

2x+y+2z=42.

解線性方程組

2九一3y+z=0

，x-2y+3z=0,

2x+y+2z=42

得x=14,尸10,z=2,所以r=(14,10,2).

fijk_

另解因?yàn)樨蜭a,ri"所以，與ax〃=2-31=一7，一5/-4平行，故可設(shè)r=4(7,5,1).

1-23

又因?yàn)镻ijcul4,所以廣告c=14,r?c=42,即

〃7x2+5xl+lx2)=42,/l=2,

所以—(14,10,2).

12.iSa=(-l,3,2),Z>=(2,-3,-4),c=(-3,12,6),證明三向量a、/>、c共面，并用a和b

表不c.

證明向量。、氏。共面的充要條件是(ax5).c=0.因?yàn)?/p>

ijk

axb=-\32=-6i-3k,

2-3-4

(〃x〃)c=(-6)x(-3)+0x12+(-3)x6=0,

所以向量a、b、c共面.

設(shè)c=/la+〃仇則有

(-2+2//,32-3//,24—4〃)=(一3,12,6),

即有方程組

-A+2/z=-3

,34-3〃=12,

2九一4〃=6

解之得Q5,/z=l,所以c=5a+b.

13.已知?jiǎng)狱c(diǎn)M(xj,z)到工Oy平面的距離與點(diǎn)M到點(diǎn)(1,-1,2)的距離相等，求點(diǎn)M的

軌跡方程.

解根據(jù)題意，有

IZ.J(x-1)2+(y+l)2+(z-2)2,

或z2=(x-l)2+(>+1)2+(Z-2)2,

化簡得

(x-l)2+(y+l)2=4(z-l),

這就是點(diǎn)M的軌跡方程.

14.指出下列旋轉(zhuǎn)曲面的一條母線和旋轉(zhuǎn)軸：

(l)z=2(x2+y2);

解旋轉(zhuǎn)曲面的一條母線為zOx面上的曲線z=*,旋轉(zhuǎn)軸為z軸.

⑵梟言親1；

解旋轉(zhuǎn)曲面的一條母線為X。)，面上的曲線E+［=1,旋轉(zhuǎn)軸