內(nèi)容

初等函數(shù)的性質(zhì)..................................................................1

二次函數(shù)與命題..................................................................8

復(fù)數(shù)............................................................................14

函數(shù)...........................................................................22

極限與導(dǎo)數(shù).....................................................................29

集合與簡易邏輯.................................................................38

解三角形.......................................................................46

立體幾何.......................................................................52

排列組合與概率.................................................................61

平面幾何.......................................................................70

平面向量.......................................................................74

三角函數(shù).......................................................................81

數(shù)列............................................................................93

圓錐曲線......................................................................102

整數(shù)問題......................................................................126

初等函數(shù)的性質(zhì)

-、基礎(chǔ)知識

1.指數(shù)函數(shù)及其性質(zhì)：形如y=ax(a>0,a*1)的函數(shù)叫做指數(shù)函數(shù)，其定義域為R,值域為(0,+-),

當(dāng)0<a<1時，y=ax是減函數(shù)，當(dāng)a>1時，y=ax為增函數(shù)，它的圖象恒過定點(0,1)。

an-y[a,a"-y[a^",a'"=—,a"=

2.分?jǐn)?shù)指數(shù)騫：a，'。

3.對數(shù)函數(shù)及其性質(zhì)：形如y=logax(a>0,a^1)的函數(shù)叫做對數(shù)函數(shù)，其定義域為(0,+-),值域為

R.圖象過定點(1,0)o當(dāng)0<a<1,y=logax為減函數(shù)，當(dāng)a>1時;y=logax為增函數(shù)。

4.對數(shù)的性質(zhì)(M>0,N>0)；

1)ax=M=x=logaM(a>0,a*1)；

2)loga(MN)=logaM+logaN：

M

3)loga(N)=logaM-logaN；4)logaMn=nlogaM：,

j_log’b

5)loga〃logaM；6)alogaM=M;7)logab="g。a(a,b,c>0,a,c*1).

[—&,0)和(0,y[a]

5.函數(shù)y=x+x(a>0)的單調(diào)遞增區(qū)間是卜*ZaJ和N。,+8人單調(diào)遞減區(qū)間為

(請讀者自己用定義證明)

6.連續(xù)函數(shù)的性質(zhì)：若a<b,f(x)在［a,b］上連續(xù)，且f(a)?f(b)<0,則f(x)=O在(a,b)上至少有一個實

根。

二、方法與例題

1.構(gòu)造函數(shù)解題。

例1已知a,b,c￡(-1,1),求證:ab+bc+ca+1>0.

【證明】設(shè)f(x)=(b+c)x+bc+1(xw(?1,1)),則f(x)是關(guān)于x的一次函數(shù)。

所以要證原不等式成立,只需證f(?1)>0且f(1)>0(因為-1va<1).

因為f(-1)=-(b+c)+bc+1=(1-b)(1-c)>0,

f(1)=b+c+bc+a=(1+b)(1+c)>0,

所以f(a)>0,即ab+bc+ca+1>0.

nn

工靖ZE

例2(柯西不等式)若a1,a2,…,an是不全為。的實數(shù)，b1,b2,…,bneR,則(i)

2(9'')2,等號當(dāng)且僅當(dāng)存在MGR,使ai=〃",i=1,2,…，n時成立。

Ya'bi力：ay

【證明】令f(x尸(/=,)x2-2(/=1)x+a=/=1

因為>0,且對任意xeR,f(x)2O,

Z44Za；Eb；

所以△=4(，=】)-4(淖)(淖)W0.

Z。；fb；Z。也

展開得(i)(閆)2(日)2o

等號成立等價于f(x)=O有實根,即存在使ai=M,i=1,2,…，n。

例3設(shè)x,yGR+,x+y=c,c為常數(shù)且ce(0,2］,求u=、*八的最小值。

1Y1)xy11

x+—yH———+—+——

【解】u=“人y)=xy+Vxxy^xy+xy+2.

1

=xy+盯+2.

(x+y)2_c21c2

令xy=t,貝ijO<t=xyW44，設(shè)f(t)=t+，,0<tW4

2(C2

—o,—

因為0<cW2,所以0<4wi,所以f⑴在I4」上單調(diào)遞減。

c2c24c24

所以f(t)min=f(4)=4+c~,所以u24+c~+2.

cc24

2

當(dāng)x=y=2時，等號成立.所以u的最小值為4+c+2.

2.指數(shù)和對數(shù)的運算技巧。

￡

例4設(shè)p,qeR+且滿足log9P=Iog12q=Iog16(p+q),求P的值。

【解】令log9P=Iog12q=Iog16(p+q)=t,則p=9t,q=12t,p+q=16t,

2t

所以9t+12t=16t,即1+

幺=a=⑶'xJ+V5

記x=P9,U；；貝M+X=X2,解得2

￡±］土石

又夕＞0,所以夕=2

例5對于正整數(shù)a,b,c(aWbWc)和實數(shù)x,y,z,w,若ax=by=cz=70w,且“歹2卬，求證：a+b=c.

【證明】由ax=by=cz=70w取常用對數(shù)得xlga=ylgb=zlgc=wlg70.

_L_L11_L_L

所以w|ga=X|g70,w|gb=，lg70,W|gc=Z|g70,

相加得w(lga+lgb+lgc)=Byz^lg70,由題設(shè)^z

所以lga+lgb+lgc=lg70,所以lgabc=lg70.

所以abc=70=2X5X7.

若a=1,則因為xlga=wlg70,所以w=0與題設(shè)矛盾,所以a>1.

又aWbWc,且a,b,c為70的正約數(shù)，所以只有a=2,b=5,c=7.

所以a+b=c.

例6已知x。1,ac。1,a。1,c。1.Hlogax+logcx=2logbx,求證c2=(ac)logab.

【證明】由題設(shè)logax+logcx=2logbx,化為以a為底的對數(shù)，得

log“X210g“x

1嗚％+

log.clog,*,

因為ac>0,ac*1,所以Iogab=logacc2,所以c2=(ac)logab.

注：指數(shù)與對數(shù)式互化，取對數(shù)，換元，換底公式往往是解題的橋梁。

3.指數(shù)與對數(shù)方程的解法。

解此類方程的主要思想是通過指對數(shù)的運算和換元等進(jìn)行化簡求解。值得注意的是函數(shù)單調(diào)性的應(yīng)用和

未知數(shù)范圍的討論。

例7解方程：3x+4x+5x=6x.

【解】方程可化為則收)在(-8,+8)上是減

函數(shù)，因為f(3)=1,所以方程只有一個解x=3.

xf=才

x+y-7

例8解方程組：1歹v一x(其中x,yGR+).

(x+y)lgxf21gy

【解】兩邊取對數(shù)，則原方程組可化為l(x+y"gy=3g/x①②

把①代入②得(x+y)21gx=36lgx,所以[(x+y)2?36]lgx=0.

由lgx=O得x=1,由(x+y)2-36=0(x,y￡R+)得x+y=6,

代入①得lgx=2lgy,即x=y2,所以y2+y-6=0.

又y>0,所以y=2,x=4.

Xj—1Xf=4

所以方程組的解為l乂=11%=2

例9已知a>0,a-1,試求使方程Ioga(x-ak)=loga2(x2-a2)有解的k的取值范圍。

(x-ak)~=x2—

<x-ak>0

【解】由對數(shù)性質(zhì)知，原方程的解X應(yīng)滿足卜2一"~>°.①②③

若①、②同時成立，則③必成立，

J(x-aZ;)2=x2-a2

故只需解—

由①可得2kx=a(1+k2),④

q(l+%2)1+G

當(dāng)k=0時，④無解；當(dāng)kHO時，④的解是*=2k，代入②得2k>k.

若k<0,則k2>1,所以kv-1；若k>0,則k2<1,所以0<k<1.

綜上,當(dāng)ke(-8「i)u(0,1)時，原方程有解。

三、基礎(chǔ)訓(xùn)練題

1.命題p:"(Iog23)x-(log53)x》(log23)-y-(log53)-y"是命題q:"x+y》O”的條件。

2.如果x1是方程x+lgx=27的根，x2是方程x+10x=27的根，則x1+x2=.

3.已知f(x)是定義在R上的增函數(shù)，點A(-1,1),B(1,3)在它的圖象上，y=f-1(x)是它的反函數(shù),

則不等式|f-1(log2x)|<1的解集為。

1+―

4.若log2a1+。<0,則a取值范圍是。

5.命題p:函數(shù)y=log21x,在[2,+°°)上是增函數(shù)；命題q:函數(shù)y=log2(ax2-4x+1)的值域為

R，則p是q的條件。

6.若0<b<1,a>0且a#1,比較大?。簗loga(1-b)||loga(1+b).

7.已知f(x)=2+log3x,XG[1,3],則函數(shù)y=[f(x)]2+f(x2)的值域為。

11

--------1--------

,1,1

logylog,-

8.若x=2J則與X最接近的整數(shù)是。

9.函數(shù)211—X1+的單調(diào)遞增區(qū)間是。

10.函數(shù)f(x)=x—2X+51L2"的值域為。

11.設(shè)f(x)=lg[1+2x+3x+…+(n-1)x+nx?a],其中n為給定正整數(shù)，nN2,aeR.若f(x)在xe(-°o,1]B>|

有意義，求a的取值范圍。

lg2x

12.當(dāng)a為何值時，方程】g(x+a)=2有一解，二解，無解？

四、高考水平訓(xùn)練題

1.函數(shù)f(x)=VN+Ig(x2-1)的定義域是.

2.已知不等式x2-logmx<0在XG'時恒成立，則m的取值范圍是,

3.若xe{x|log2x=2-x},則x2,x,1從大到小排列是.

1-x/a+6]

4.若f(x)=ln1+x,則使f(a)+f(b)=〔1+.

x+@-3

5.命題p:函數(shù)y=log2、x,在[2,+°°)上是增函數(shù)；命題q：函數(shù)y=log2(ax2-4x+1)的值域為

R.則p是q的條件.

6.若0<b<1,a>0且a#1,比較大小：|loga(1-b)||loga(1+b)|.

7.已知f(x)=2+log3x,xe[1,3],貝U函數(shù)y=[f(x)]2+f(x2)的值域為.

11

-r+-r

logIlog,

8.若X=5JwJ,則與x最接近的整數(shù)是.

—I1—x1+xJ

9.函數(shù)y=2"xi+x，的單調(diào)遞增區(qū)間是

x-1(「3斤|

10.函數(shù)f(x)=x--2X+51]_2"的值域為

11.f(x)=lg[1+2x+3x+-+(n-1)x+nx?a],其中n為給定正整數(shù)，n>2,asR?若f(x)在XG(-8,1]

時有意義，求a的取值范圍。

lg2x

12.當(dāng)a為何值時，方程lg(x+a)=2有一解，二解，無解？

四、高考水平訓(xùn)練題

陽

1.函數(shù)f(x)=\同+Ig(x2-1)的定義域是__________.

(引

2.已知不等式x2-logmx<0在時恒成立，則m的取值范圍是_______.

3.若xe{x|log2x=2-x},則x2,x,1從大到小排列是.

1-xJ4+?]

4.若f(x)=ln1+x,則使f(a)+f(b)=U成立的a,b的取值范圍是.

10231〃

￡一J一=2

5.已知an=logn(n+1),設(shè)"=2log《/0°P,其中p,q為整數(shù)，且(p,q)=1,則p?q的值為.

6.已知x>10,y>10,xy=1000,則(Igx)?(Igy)的取值范圍是.

7.若方程lg(kx)=2lg(x+1)只有一個實數(shù)解，則實數(shù)k的取值范圍是.

IlgIx-1IIx1

V

8.函數(shù)f(x)=1°"=1的定義域為R,若關(guān)于x的方程f-2(x)+bf(x)+c=0有7個不同的實數(shù)

解，則b,c應(yīng)滿足的充要條件是.

(1)b<0且c>0；(2)b>0且c<0；(3)b<0且c=0；(4)b20且c=0。

2

9.已知f(x)=12-1>x,F(x)=f(x+t)-f(x-t)(t*0),則F(x)是函數(shù)(填奇偶性).

(l+xy/fa+b](<7-Z?

10.已知f(x)=lgl>x人若11-血=1,5血=2,其中則f(a)+f(b)=.

11.設(shè)aeR,試討論關(guān)于x的方程lg(x-1)+lg(3-x)=lg(a-x)的實數(shù)解的個數(shù)。

12.設(shè)f(x)=|lgx|,實數(shù)a,b滿足0<a<b,f(a)=f(b)=2八2),求證：

(1)a4+2a2-4a+1=0,b4-4b3+2b2+1=0；(2)3<b<4.

13.設(shè)a>0且a#1,f(x)=loga(x+J/T)(x21),(1)求f(x)的反函數(shù)f-1(x)；(2)若

f-1(n)<2(neN+),求a的取值范圍。

五、聯(lián)賽一試水平訓(xùn)練題

1.如果Iog2[log2(Iog2x)]=Iog3[log3(Iog3x)]=Iog5[log5(Iog5z)]=0,那么將x,y,z從小到大排列為

包也土,包

2.設(shè)對任意實數(shù)xO>x1>x2>x3>0,都有l(wèi)og$1993+log小1993+log$1993>klog*1993恒成立，

則k的最大值為.

11

--------1--------

3.實數(shù)x,y滿足4x2-5xy+4y2=5,設(shè)S=x2+y2,貝ij‘max5,畫的值為

4.已知0cb<1,00<a<450,則以卜三個數(shù)：x=(sina)logbsina,y=(cosa)logbsina,z=(sina)logbsina

從小到大排列為.

5.用岡表示不超過x的最大整數(shù)，則方程lg2x-[lgx]-2=0的實根個數(shù)是.

6.^a=lgz+lg[x(yz)-1+1],b=lgx-1+lg[xyz+1],c=lgy+lg[(xyz)-1+1],記a,b,c中的最大數(shù)為M,則M的

最小值為.

7.若f(x)(xeR)是周期為2的偶函數(shù)，當(dāng)xd[04時，f(x)=”8,則’IM,,I17J'115幾小

到大排列為.

2

71og2x-1+^log,^X

8.不等式22+2>0的解集為.

9.已知a>1,b>1,且lg(a+b)=lga+lgb,求lg(a?1)+lg(b-1).

lg(6一x)+lg(x-2)+log1(x-2)

______________________________一=1

10.(1)試畫出由方程1g2y2所確定的函數(shù)y=f(x)圖象。

(2)若函數(shù)y=ax+2與y=f(x)的圖象恰有一個公共點，求a的取值范圍。

11.對于任意neN+(n>1),試證明：[冊]+[.]+???+[德產(chǎn)[Iog2n]+[log3n]+…+[lognn]。

六、聯(lián)賽二試水平訓(xùn)練題

312―x+3y2―?+3之2―z

1.設(shè)x,y,z￡R+且x+y+z=1,求u=1+"1+^+z的最小值。

?(Jx，+ax+5+1)

2.當(dāng)a為何值時，不等式log??log5(x2+ax+6)+loga3^0有且只有一個解(a>1

且a。1)。

3f(x)是定義在(1,+8)上且在(1,+oo)中取值的函數(shù),滿足條件；對于任何x,y>1及u,v>0,f(xuyv)

ii

<[f(x)]"‘Ey)]”①都成立，試確定所有這樣的函數(shù)f(x).

4.求所有函數(shù)f：RfR,使得xf(x)?yf(x尸(x?y)f(x+y)①成立。

5.設(shè)m》14是一個整數(shù)，函數(shù)f：N-N定義如下：

2

〃一加+14n>m

f(n)=[/(/(”+加一13))n<m2

求出所有的m,使得f(1995)=1995.

6.求定義在有理數(shù)集上且滿足下列條件的所有函數(shù)f:

f(x+y)=f(x)+f(y)+f(x)?f(y),x,yeQ.

7.是否存在函數(shù)f(n),將自然數(shù)集N映為自身,且對每個n>1,f(n)=f(f(n-1))+f(f(n+1))都成立。

8.設(shè)p,q是任意自然數(shù)，求證：存在這樣的f(x)GZ(x)(表示整系數(shù)多項式集合)，使對x軸上的某個

-/(x)一K<±.

長為4的開區(qū)間中的每一個數(shù)x,有qq

+〃圖

9.設(shè)a,B為實數(shù)，求所有f：R+fR，使得對任意的X,yeR+,f(x)f(y)=y2?fQ成立。

二次函數(shù)與命題

一、基礎(chǔ)知識

b

1.二次函數(shù)：當(dāng)。=0時,y=ax2+bx+c或f(x)=ax2+bx+c稱為關(guān)于x的二次函數(shù)，其對稱軸為直線x=-2a,

b

另外配方可得f(x)=a(x-x0)2+f(x0),其中x0=-2a,下同。

2.二次函數(shù)的性質(zhì)：當(dāng)a>0時，f(x)的圖象開口向上，在區(qū)間(-8,xO]上隨自變量x增大函數(shù)值減小

(簡稱遞減)，在僅0,-8)上隨自變量增大函數(shù)值增大(簡稱遞增)。當(dāng)a<0時，情況相反。

3.當(dāng)a>0時，方程f(x)=O即ax2+bx+c=0…①和不等式ax2+bx+c>0…②及ax2+bx+c<0…③與函數(shù)f(x)

的關(guān)系如下(記△=b2-4ac)。

1)當(dāng)△>()時，方程①有兩個不等實根，設(shè)x1,x2(x1<x2),不等式②和不等式③的解集分別是｛x|x<x1

或x>x2｝和｛x|x1<x<x2｝,二次函數(shù)f(x)圖象.叮x軸有兩個不同的交點，f(x)還可寫成f(x)=a(x-x1)(x-x2).

b手b

2)當(dāng)△=?時，方程①有兩個相等的實根x1=x2=x0=2。,不等式②和不等式③的解集分別是｛x|x2。｝

和空集0,f(x)的圖象與x軸有唯一公共點。

3)當(dāng)△<()時，方程①無解，不等式②和不等式③的解集分別是R和0.f(x)圖象與x軸無公共點。

當(dāng)a<0時，請讀者自己分析。

4ac-b2b

4.二次函數(shù)的最值：若a>0,當(dāng)x=xO時，f(x)取最小值f(xO)=4a，若a<0,則當(dāng)x=xO=2a時,

^ac-b2

f(x)取最大值f(xO)=4。.對于給定區(qū)間［m,n］上的二次函數(shù)f(x)=ax2+bx+c(a>0),當(dāng)xOe［m,n］時，

f(x)在［m,n］上的最小值為f(xO);當(dāng)xO<m時。f(x)在［m,n］上的最小值為f(m)；當(dāng)xO>n時,f(x)在［m,n］

上的最小值為f(n)(以上結(jié)論由二次函數(shù)圖象即可得出)。

定義1能判斷真假的語句叫命題，如“3>5”是命題，“蘿卜好大”不是命題。不含邏輯聯(lián)結(jié)詞“或”、

“且”、“非”的命題叫做簡單命題，由簡單命題與邏輯聯(lián)結(jié)詞構(gòu)成的命題由復(fù)合命題。

注1“p或q”復(fù)合命題只有當(dāng)p,q同為假命題時為假，否則為真命題；“p且q”復(fù)合命題只有當(dāng)P，

q同時為真命題時為真，否則為假命題；p與“非P”即“P”恰好一真一假。

定義2原命題：若p則q(p為條件，q為結(jié)論)；逆命題：若q則p；否命題：若非p則q；逆否命

題：若非q則非P。

注2原命題與其逆否命題同真假。一個命題的逆命題和否命題同真假。

注3反證法的理論依據(jù)是矛盾的排中律，而未必是證明原命題的逆否命題。

定義3如果命題“若p則q”為真，則記為p=>q否則記作pWq.在命題“若p則q”中，如果已知

P=q,則P是q的充分條件；如果q=p,則稱p是q的必要條件；如果p=q但q不=p,則稱p是

q的充分非必要條件；如果p不=q但p=q,則p稱為q的必要非充分條件；若p=>q且q=p,則

p是q的充要條件。

二、方法與例題

1.待定系數(shù)法。

例1設(shè)方程X2-X+1=O的兩根是a,6,求滿足小)=8川3)=3(1)=1的二次函數(shù)￡僅).

【解】設(shè)f(x)=ax2+bx+c(a*0),

則由已知』。)=6,4。)=<1相減并整理得(a-p)［(a+0)a+b+1］=0,

因為方程x2-x+1=0中△NO,

所以a*8,所以(a+B)a+b+1=0.

又a+B=1,所以a+b+1=0.

又因為f(1)=a+b+c=1,

所以c-1=1,所以c=2.

又b=-(a+1),所以f(x)=ax2-(a+1)x+2.

再由f(a)=6得aa2-(a+1)a+2=B,

所以aa2-aa+2=a+(3=1,所以aa2-aa+1=0.

即a(a2-a+1)+1-a=0,即1-a=0,

所以a=1,

所以f(x)=x2-2x+2.

2.方程的思想。

例2已知f(x)=ax2-c滿足Y<f(1)W-1,-1<f(2)<5,求f(3)的取值范圍。

【解】因為-4Wf(1)=a-cW-1,

所以1W-f(1)=c-aW4.

85

又-1Wf(2)=4a-cW5,f(3)=3f(2)-3f(i),

8585

所以3x(-1)+3Wf(3)W3x5+3x4,

所以-1Wf(3)W20.

3.利用二次函數(shù)的性質(zhì)。

例3已知二次函數(shù)f(x)=ax2+bx+c(a,b,cGR,a#0),若方程f(x)=x無實根，求證：方程f(f(x))=x也無

實根。

【證明】若a>0,因為￡僅)=*無實根，所以二次函數(shù)g(x)=f(x)-x圖象與x軸無公共點且開口向上，所以

對任意的xeR,f(x)-x>0即f(x)>x,從而f(f(x))>f(x),

所以f(f(x))>x,所以方程f(f(x))=x無實根。

注：請讀者思考例3的逆命題是否正確。

4.利用二次函數(shù)表達(dá)式解題。

例4設(shè)二次函數(shù)f(x)=ax2+bx+c(a>0),方程f(x)=x的兩根x1,x2滿足0<x1<x2<。，

(I)當(dāng)xw(0,x1)時,求證：x<f(x)<x1；

為

(II)設(shè)函數(shù)f(x)的圖象關(guān)于x=xO對稱，求證：xO<2

【證明】因為x1,x2是方程f(x)-x=O的兩根，所以f(x)-x=a(x-x1)(x-x2),

即f(x)=a(x-x1)(x-x2)+x.

(I)當(dāng)x￡(0,x1)時，x-x1<0,x-x2<0,a>0,所以f(x)>x.

J_

其次f(x)-x1=(x-x1)[a(x-x2)+1]=a(x-x1)[x-x2+a]<0,所以f(x)<x1.

綜上，x<f(x)<x1.

(II)f(x)=a(x-x1)(x-x2)+x=ax2+[1-a(x1+x2)]x+ax1x2,

。區(qū)+X2)-1_X!+X21

所以xO=2。22。，

5.構(gòu)造二次函數(shù)解題。

例5已知關(guān)于x的方程(ax+1)2=a2(a-x2),a>1,求證:方程的正根比1小，負(fù)根比-1大。

【證明】方程化為2a2x2+2ax+1-a2=0.

構(gòu)造f(x)=2a2x2+2ax+1-a2,

f(1)=(a+1)2>0,f(-1)=(a-1)2>0,f(0)=1-a2<0,即△>(),

所以f(x)在區(qū)間(-1,0)和(0,1)上各有一根。

即方程的正根比1小，負(fù)根比-1大。

6.定義在區(qū)間上的二次函數(shù)的最值。

丫4+/+5

例6當(dāng)x取何值時，函數(shù)y=(/+1)2取最小值？求出這個最小值。

5

-J_+1

21/2［、2---y=

【解】y=1-X-+l(廠+11，令/+1u,則0<uW1。

(1Y1919

y=5u2-u+1=512。20,

119

u———

且當(dāng)10即x=±3時，ymin=20.

例7設(shè)變量x滿足x2+bxW-x(b<-1),并且x2+bx的最小值是2,求b的值。

【解】由x2+bxW-x(b<-1),得0WxW-(b+1).

b貴上一1

i)-2^-(b+1),即b<2時，x2+bx的最小值為-442,所以b2=2,所以臺=±及(舍去)。

b

ii)-2>-(b+1),即b>-2時，x2+bx在［0,-(b+1)］上是減函數(shù),

11

所以x2+bx的最小值為b+1,b+1=-2,b=-2.

3

綜上，b=-2.

7.一元二次不等式問題的解法。

Jx~—x+a—ci~<0

例8已知不等式組U+2">1①②的整數(shù)解恰好有兩個，求a的取值范圍。

【解】因為方程x2-x+a-a2=0的兩根為x1=a,x2=1-a,

若aWO,則x1<x2.①的解集為a〈x〈1-a,由②得x>1-2a.

因為1-2a21-a,所以aWO,所以不等式組無解。

若a>0,i)當(dāng)0<a<2時，x1<x2,①的解集為a〈x<1-a.

因為0<a<x<1-a<1,所以不等式組無整數(shù)解。

ii)當(dāng)a=2時，a=1-a,①無解。

iii)當(dāng)a>2時,a>1-a,由②得x>1-2a,

所以不等式組的解集為1-a<x<a.

又不等式組的整數(shù)解恰有2個，

所以a-(1-a)>1且a-(1-a)W3,

所以1<aW2,并且當(dāng)1<aW2時，不等式組恰有兩個整數(shù)解0,1。

綜上，a的取值范圍是1<aW2.

8.充分性與必要性。

例9設(shè)定數(shù)A,B,C使得不等式

A(x-y)(x-z)+B(y-z)(y-x)+C(z-x)(z-y)>0①

對一切實數(shù)x,y,z都成立，問A,B,C應(yīng)滿足怎樣的條件？(要求寫出充分必要條件，而且限定用只涉

及A,B,C的等式或不等式表示條件)

【解】充要條件為A,B,CNO且A2+B2+C2W2(AB+BC+CA).

先證必要性，①可改寫為A(x-y)2-(B-A-C)(y-z)(x-y)+C(y-z)2'0②

若A=0,則由②對一切x,y,zGR成立，貝里有B=C,再由①知B=C=O,若A^O,則因為②恒成立，所

以A>0,△=(B-A-C)2(y-z)2-4AC(y-z)2<0恒成立，所以(B-A-C)2-4ACW0,即A2+B2+C2W

2(AB+BC+CA)

同理有B20,CN0,所以必要性成立。

再證充分性，若A20,B20,C20且A2+B2+C2W2(AB+BC+CA),

1)若A=0,則由B2+C2W2BC得(B-C)2W0,所以B=C,所以△=(),所以②成立，①成立。

2)若A>0,則由③知△4()，所以②成立，所以①成立。

綜上，充分性得證。

9.常用結(jié)論。

定理1若a,beR,|aHb|〈|a+b|W|a|+|b|.

【證明】因為-|a|WaW|a|,-|b|WbW|b|,所以-(|a|+|b|)Wa+bW|a|+|b|,

所以|a+b|W|a|+|b|(注：若m>0,則-mWxWm等價于|x|Wm).

X|a|=|a+b-b|^|a+b|+|-b|,

即|aHb|W|a+b].綜上定理1得證。

定理2若a,beR,貝ija2+b222ab；若x,yeR+,則x+y》？歷.

(證略)

注定理2可以推廣到n個正數(shù)的情況，在不等式證明一章中詳細(xì)論證。

三、基礎(chǔ)訓(xùn)練題

1.下列四個命題中屬于真命題的是，①“若x+y=O,則x、y互為相反數(shù)”的逆命題；②"兩

個全等三角形的面積相等”的否命題；③“若qW1,貝Ux2+x+q=0有實根”的逆否命題；④“不等邊三

角形的三個內(nèi)角相等”的逆否命題。

2.由上列各組命題構(gòu)成“p或q”，“p且q”，“非p”形式的復(fù)合命題中，p或q為真，p月.q為假，非

P為真的是.①p；3是偶數(shù),q：4是奇數(shù);②p:3+2=6,q:③p:ae(a,b),q:{a}Z{a,b};④p:Q^R,

q:N=Z.

3.當(dāng)|x-2|<a時，不等式|x2-4|<1成立，則正數(shù)a的取值范圍是.

4.不等式ax2+(ab+1)x+b>0的解是1<x<2,貝Ua,b的值是.

5.x。1且x*2是x-1*&-1的條件，而-2<m<0且0<n<1是關(guān)于x的方程x2+mx+n=0

有兩個小于1的正根的條件.

6.命題“垂直于同一條直線的兩條直線互相平行”的逆命題是.

7.若S={x|mx2+5x+2=0}的子集至多有2個，則m的取值范圍是.

8.R為全集，A={x|3-x24},B=1x+2J,貝iJ(CRA)nB=.

9.設(shè)a,b是整數(shù)，集合A={(x,y)|(x-a)2+3bW6y。點(2,1)eA,但點(1,0)任A,(3,2)任A則

a,b的值是.

10.設(shè)集合A={x||x|<4},B={x|x2-4x+3>0},則集合{x|xeA且xeACB}=.

11.求使不等式ax2+4x-1>-2x2-a對任意實數(shù)x恒成立的a的取值范圍。

x~-2kx+k—4<0

<

12.對任意xe[0,1],有一日-"+3>°①②成立，求k的取值范圍。

四、高考水平訓(xùn)練題

1.若不等式|x-a|<x的解集不空，則實數(shù)a的取值范圍是.

2.使不等式x2+(x-6)x+9>0當(dāng)|a|W1時恒成立的x的取值范圍是.

3.若不等式-x2+kx-4<0的解集為R,則實數(shù)k的取值范圍是.

4.若集合A={x||x+7|>10},B={x||x-5|<k},且ACB=B,則k的取值范圍是.

5.設(shè)a1、a2,b1、b2,c1、c2均為非零實數(shù)，不等式a1x2+b1x+c1>0和a2x2+b2x+c2>0解集分別為

幺=九=￡1_

M和N,那么““2b2C2?是“M=N”的條件。

6.若下列三個方程x2+4ax-4a+3=0,x2+(a-1)x+a2=0,x2+2ax-2a=0中至少有一個方程有實根，則實數(shù)

a的取值范圍是.

7.己知p,q都是r的必要條件，s是r的充分條件，q是s的充分條件，則r是q的條件。

x-1

8.已知p:|1-3|W2,q:x2-2x+1-m2W0(m>0),若非p是非q的必要不充分條件，則實數(shù)m的取值

范圍是.

9.已知a>0,f(x)=ax2+bx+c,對任意xeR有f(x+2)=f(2-x),若f(1-2x2)<f(1+2x-x2),求x的取值范圍。

10.已知a,b,ccR,f(x)=ax2+bx+c,g(x)=ax+b,當(dāng)|x|<1時，|f(x)|<1,

⑴求證:|c|W1;

(2)求證:當(dāng)|x￡1時,|g(x)|<2;

(3)當(dāng)a>0且岡W1時,g(x)最大值為2,求f(x).

abc

-----------1------------1-----

11.設(shè)實數(shù)a,b,c,m滿足條件：機(jī)+2m+\m=0,且a>0,m>0,求證：方程ax2+bx+c=0有一根

x0滿足0<x0<1.

五、聯(lián)賽一試水平訓(xùn)練題

1.不等式|x|3-2x2-4|x|+3<0的解集是.

x+2y>0

<x-2y>0

2.如果實數(shù)X,v滿足：一4/=4,那么|xHy|的最小值是.

3.已知二次函數(shù)f(x尸ax2+bx+c的圖象經(jīng)過點(1,1),(3,5),f(0)>0,當(dāng)函數(shù)的最小值取最大值時,

a+b2+c3=.

j_

4.已知f(x)=|1-2x|,xe[0,1],方程f(f(f)(x)))=2x有個實根。

5.若關(guān)于x的方程4x2dx+m=0在[-1,1]上至少有一個實根，則m取值范圍是.

6.若f(x)=x4+px3+qx2+x對一切xeR都有f(x)Nx且f(1)=1,貝Up+q2=.

o+b+c

7.對一切xeR,f(x)=ax2+bx+c(a<b)的值恒為非負(fù)實數(shù)，則h~a的最小值為.

2

8.函數(shù)f(x)=ax2+bx+c的圖象如圖，^＜b-4ac=b.2ac.那么b2-4ac4.(填＞、=、＜)

9.若a<b〈c〈d,求證：對任意實數(shù)t*-1,關(guān)于x的方程(x-a)(x-c)+t(x-b)(x-d)=O都有兩個不等的實根。

10.某人解二次方程時作如下練習(xí)：他每解完一個方程，如果方程有兩個實根，他就給出下一個二次方

程：它的常數(shù)項等于前一個方程較大的根，x的系數(shù)等于較小的根，二次項系數(shù)都是1。證明：這種練

習(xí)不可能無限次繼續(xù)卜去，并求最多能延續(xù)的次數(shù)。

11.已知f(x)=ax2+bx+c在［0,1］上滿足|f(x)|<1,試求|a|+|b|+|c|的最大值。

六、聯(lián)賽二試水平訓(xùn)練題

1.設(shè)f(x)=ax2+bx+c,a.b,ceR,a>100,試問滿足|f(x)|W50的整數(shù)x最多有幾個?

2.設(shè)函數(shù)f(x)=ax2+8x+3(a<0),對于給定的負(fù)數(shù)a,有一個最大的正數(shù)1(a),使得在整個區(qū)間［0,1(a)］

上，不等式|f(x)|W5都成立。求1(a)的最大值及相應(yīng)a的值。

3.設(shè)x1,x2,…,xn《［a,a+1］,且設(shè)x="i,y=>=l，求f=y-x2的最大值。

4.F(x)=ax2+bx+c,a.b,ceR,且|F(0)|W1,|F(1)|W1,|F(-1)］這1,則對于岡,求|F(x)|的最大值。

5.已知f(x)=x2+ax+b,若存在實數(shù)m,使得|f(m)|W4,|f(m+1)|W4,求△=a2-4b的最大值和最小值。

6.設(shè)二次函數(shù)f(x)=ax2+bx+c(a,b,ceR,a#0)滿足下列條件：

1)當(dāng)XWR時,f(x-4)=f(2-x),且f(x)》x；

2)當(dāng)xG(0,2)時,f(x)W12

3)f(x)在R上最小值為0。

求最大的m(m>1)使得存在teR,只要xe［1,m］就有f(x+t)Wx.

7.求證：方程3ax2+2bx-(a+b)=0(/0)在(0,1)內(nèi)至少有一個實根。

8.設(shè)a,b,A,BAR+,a〈A,b<B,若n個正數(shù)a1,a2,…,an位于a與A之間，n個正數(shù)b1,b2,…,bn位于

b與B之間，求證：

(q-++…+q：■<---卜b；)

回仇+a2b2+???+%〃產(chǎn)

2

9.設(shè)a,b,c為實數(shù)，g(x)=ax2+bx+c,|x|^1,求使下列條件同時滿足的a,b,c的值:

g出

(i)1々=381;

(ii)g(x)max=444;

(iii)g(x)min=364.

復(fù)數(shù)

-、基礎(chǔ)知識

1.復(fù)數(shù)的定義：設(shè)i為方程x2=-1的根，i稱為虛數(shù)單位，由i與實數(shù)進(jìn)行加、減、乘、除等運算。便產(chǎn)

生形如a+bi(a,beR)的數(shù)，稱為復(fù)數(shù)。所有復(fù)數(shù)構(gòu)成的集合稱復(fù)數(shù)集。通常用C來表示。

2.復(fù)數(shù)的幾種形式。對任意復(fù)數(shù)z=a+bi(a,b《R),a稱實部記作Re(z),b稱虛部記作lm(z).z=ai稱為

代數(shù)形式，它由實部、虛部兩部分構(gòu)成；若將(a,b)作為坐標(biāo)平面內(nèi)點的坐標(biāo)，那么z與坐標(biāo)平面唯—

個點相對應(yīng)，從而可以建立復(fù)數(shù)集與坐標(biāo)平面內(nèi)所有的點構(gòu)成的集合之間的一一映射。因此復(fù)數(shù)可以用

點來表示，表示復(fù)數(shù)的平面稱為復(fù)平面，x軸稱為實軸，y軸去掉原點稱為虛軸，點稱為復(fù)數(shù)的幾何形式；

如果將(a,b)作為向量的坐標(biāo)，復(fù)數(shù)z又對應(yīng)唯一一個向量。因此坐標(biāo)平面內(nèi)的向量也是復(fù)數(shù)的一種表示

形式，稱為向量形式；另外設(shè)z對應(yīng)復(fù)平面內(nèi)的點Z,見圖15-1,連接0Z,設(shè)/xOZ=。，|OZ|=r,則

a=rcoso,b=rsino,所以z=r(coso+isino),這種形式叫做三角形式。若z=r(coso+isin()),則。稱為z

的輻角。若0W?<2”，則。稱為z的輻角主值，記作。=Arg(z).I■稱為z的模，也記作|z|,由勾股定理

知|z|=J〃.如果用ei0表示cos0+isin9,貝ijz=rei9,稱為復(fù)數(shù)的指數(shù)形式。

3.共扼與模，若z=a+bi,(a,beR)^ijz=a-bi稱為z的共轉(zhuǎn)復(fù)數(shù)。模與共輒的性質(zhì)有：(1)

ZiZ|

z?±z2=Z]±z2(2)z]、z)=Z]?z].(3)z，z-IzI~Z

2