矩陣的滿秩分解6.2矩陣的滿秩分解就是將矩陣分解為一個(gè)列滿秩矩陣與一個(gè)行滿秩矩陣的乘積，這在后面的廣義逆矩陣的問題中也非常重要．任意一個(gè)矩陣,其秩為

，都可以經(jīng)過有限次初等變換，化為它的等價(jià)標(biāo)準(zhǔn)形即總存在階可逆矩陣和階可逆矩陣，使得

也即矩陣可以分解為

矩陣的滿秩分解定義6．2設(shè)若存在秩為的矩陣，使得

則稱其為的一個(gè)滿秩分解.注：（1）為列滿秩矩陣，即列數(shù)等于其秩；為行滿秩矩陣，即行數(shù)等于其秩．（2）矩陣的滿秩分解不唯一，對任意階可逆方陣,都有

其中且矩陣的滿秩分解矩陣的滿秩分解定義

矩陣的滿秩分解定理6．4任何非零矩陣都存在滿秩分解．證：設(shè)采用構(gòu)造性證明方法．由矩陣的初等變換理論知，則存在階初等矩陣，使化為階梯形矩陣，即

其中是行滿秩矩陣．記,則可逆，于是并把寫成下面的分塊形式

其中,即是列滿秩矩陣．因此可得的一個(gè)滿秩分解

矩陣的滿秩分解定理的證明過程表明，可以使用矩陣的初等變換求解滿秩分解，具體總結(jié)如下：因?yàn)橐虼擞锌赡婢仃?，使?/p>

從而

行滿秩矩陣和可逆矩陣可通過下面的初等變換求得：

其中，為的前列，是矩陣化為階梯形矩陣中的非零行，進(jìn)而得.

矩陣的滿秩分解例6.4求矩陣的滿秩分解解矩陣的滿秩分解求得取的前兩列構(gòu)成，則定理6.4雖然能夠求出的滿秩分解，但需要求，進(jìn)而得到，而求逆矩陣有時(shí)是比較麻煩的，為此，介紹另一種滿秩分解的方法．設(shè)則有個(gè)線性無關(guān)的列向量，不妨設(shè)前個(gè)列向量線性無關(guān)．于是后個(gè)列向量均可以表示為前個(gè)列向量線性組合．用分塊矩陣表示就是（6-5）其中是的前個(gè)列向量構(gòu)成的列滿秩矩陣，是一個(gè)階矩陣，于是（6-6）其中，是行滿秩矩陣．具體分解方法總結(jié)如下：對進(jìn)行初等行變換化為行最簡型矩陣，再跟據(jù)中單位矩陣對應(yīng)的列，找出矩陣中對應(yīng)列向量令，則列滿秩.則

就是的一個(gè)滿秩分解．矩陣的滿秩分解矩陣行最簡形求滿秩分解矩陣的滿秩分解例6.5求矩陣的一個(gè)滿秩分解解矩陣的滿秩分解故，的前兩列構(gòu)成單位矩陣，因此的前兩列構(gòu)成矩陣，取

因此的滿秩分解為

矩陣的滿秩分解定理6.5設(shè)則下列結(jié)論成立（1）與都是半正定Hermite

矩陣；（2）證明因?yàn)樗允荋ermite矩陣，并且都有

故是半正定矩矩陣．同理可證也是半正定矩陣．（2）只要證明即可.這只需要證明線性方程組與同解就可．事實(shí)上，設(shè)是的解，顯然也是的解．反之，設(shè)

是的解，則，從而，即，故，即是的解．所以線性方程組與的基礎(chǔ)解系所含向量的個(gè)數(shù)相等，故，從而同理可證矩陣的滿秩分解行滿秩矩陣或列滿秩矩陣的性質(zhì)推論6.3

設(shè)，則當(dāng)且僅當(dāng)證明:充分性顯然．必要性因?yàn)?，則由定理6.5中的(2)可得,故.

推論6.4設(shè)，則下列結(jié)論成立（1）若列滿秩，則可逆，從而方程組有