第=page11頁，共=sectionpages11頁湖北省十堰市房縣一中2025年高考數(shù)學模擬試卷（4月份）一、單選題：本題共8小題，每小題5分，共40分。在每小題給出的選項中，只有一項是符合題目要求的。1.已知集合A={x|x?4x?5≤0}，集合B={x||x?4|≤1}，則A∩B=A.(3,5) B.[3,5) C.[4,5] D.[4,5)2.已知a，b∈R，下列選項中，使ab>0成立的一個充分不必要條件是(

)A.a>0或b>0 B.a>10且b>2

C.a，b同號且不為0 D.a+b>0或ab>03.已知數(shù)列{an}為遞增數(shù)列，前n項和Sn=nA.(?∞,2] B.(?∞,2) C.(?∞,0] D.(?∞,0)4.已知sinα=255,α為鈍角，tanA.57 B.?57 C.75.已知函數(shù)f(x)=lnx,x>0ex+32,x≤0，若關于x的方程A.(32,+∞) B.(?∞,32]∪(6.已知a，b均為正數(shù)，且a+2b=1，則2a+4a+bbA.11 B.13 C.10 D.127.已知正方體ABCD?A1B1C1D1的棱長為4，E，F(xiàn)分別為BC1和C1D1的中點，P為線段BD1上的動點，Q為上底面A1B1C1D1內(nèi)的動點，下列判斷正確的是(

)

①三棱錐P?BA.①② B.②③ C.①③ D.①②③8.已知橢圓C：x2a2+y2b2=1(a>b>0)的左右焦點為F1，F(xiàn)2，過F1的直線與C交于M，N兩點，若滿足|MA.34 B.33 C.二、多選題：本題共3小題，共18分。在每小題給出的選項中，有多項符合題目要求。9.設A?，B?分別為隨機事件A，B的對立事件，已知0<P(A)<1，0<P(B)<1，則下列說法正確的是(

)A.P(B|A)+P(B?|A)=1

B.P(B|A)+P(B|A?)=0

C.若A，B是相互獨立事件，則P(A|B)=P(A)

D.10.已知A(1,?4)，M，N是拋物線C：y2=2px上三個不同的點，C的焦點F是△AMN的重心，則(

)A.C的準線方程是x=?4 B.過C的焦點的最短弦長為8

C.以MN為直徑的圓與準線相離 D.線段MN的長為1911.如果一個人爬樓梯的方式只有兩種，一次上一級臺階或一次上兩級臺階，設爬上n級臺階的方法數(shù)為an，則下列結(jié)論正確的有(

)A.a6=13 B.an+2=an三、填空題：本題共3小題，每小題5分，共15分。12.已知(x?12x2)n的二項展開式中只有第513.設x=θ是函數(shù)f(x)=3sinx?cosx的一個極值點，則sin2θ+2cos2θ=14.如圖，一塊邊長為10m的正方形鐵片上有四塊陰影部分，將這些陰影部分裁下來，然后用余下的四個全等的等腰三角形加工成一個正四棱錐容器，則該容器的最大容積為______m3．四、解答題：本題共5小題，共60分。解答應寫出文字說明，證明過程或演算步驟。15.(本小題12分)

已知正項數(shù)列{an}，其前n項和Sn滿足an(2Sn?an)=n,n∈16.(本小題12分)

如圖，在四棱錐P?ABCD中，底面ABCD為矩形，PA⊥底面ABCD，PA=AB=12BC=1，E為線段PB的中點，F(xiàn)為線段BC上的動點．

(1)求證：平面AEF⊥平面PBC；

(2)試求BF的長，使平面AEF與平面PCD所成的銳二面角為45°17.(本小題12分)

甲、乙兩個盒子中都裝有大小、形狀、質(zhì)地相同的2個黑球和1個白球，現(xiàn)從甲、乙兩個盒子中各任取一個球交換放入另一個盒子中，重復n(n∈N?)次這樣的操作后，記甲盒子中黑球的個數(shù)為Xn，甲盒中恰有2個黑球的概率為pn，恰有3個黑球的概率為qn．

(1)求p1，q1；

(2)設cn=pn18.(本小題12分)

已知函數(shù)f(x)=e2x+(2?2a)ex?a(2x+1)，a∈R．

(1)討論f(x)的單調(diào)性；

(2)設g(x)=mx?lnx+1，若a=1，且對任意x1∈R，19.(本小題12分)

已知雙曲線C：x2a2?y2b2=1的離心率為2，過C上的動點M作曲線C的兩漸近線的垂線，垂足分別為A和B，△ABM的面積為3316．

(1)求曲線C的方程；

(2)如圖，曲線C的左頂點為D，點N位于原點與右頂點之間，過點N的直線與曲線C交于G、R兩點，直線l過N且垂直于x軸，直線DG、DR分別與l交于P、Q兩點，若O

答案和解析1.【答案】D

【解析】解：x?4x?5≤0?(x?4)(x?5)≤0x?5≠0?4≤x<5，

|x?4|<1??1<x?4<1?3<x<5，

所以A=[4,5)，B=[3,5]，

所以A∩B=[4,5)．

故選：D．

解不等式確定集合A2.【答案】B

【解析】解：對于A：a>0或b>0不能夠推出ab>0，故a>0或b>0不是ab>0的充分條件，故A錯誤，

對于B：a>10且b>2，能夠推出ab>0，ab>0不能夠推出a>10且b>2，故a>10且b>2，是ab>0的充分不必要條件，故B正確，

對于C：a，b同號且不為0?ab>0，故a，b同號且不為0是ab>0的充要條件，故C錯誤，

對于D：a+b>0或ab>0與ab>0互相推不出，故a+b>0或ab>0與ab>0是既不充分也不必要條件，故D錯誤．

故選：B．

根據(jù)不等式的關系結(jié)合充分條件和必要條件的定義進行判斷即可．

本題考查了不等式的基本性質(zhì)和充分必要條件的定義．屬于基礎題．3.【答案】B

【解析】解：當n=1時，a1=S1=1+1+λ=2+λ，

當n≥2時，an=Sn?Sn?1=n2+n+λ?(n?1)2?(n?1)?λ=2n，

因為an+1?an=2>0，(n≥2)，

所以當n≥2時，數(shù)列{an}為遞增數(shù)列，

若數(shù)列{an}為遞增數(shù)列，

只需a2>a4.【答案】D

【解析】解：∵sinα=255,α為鈍角，

∴cosα=?1?sin2α=?1?(255)2=?5.【答案】C

【解析】解：關于x的方程m?f(x)=0有兩個不同的實數(shù)根，

即y=m與y=f(x)有兩個不同的交點，

作函數(shù)y=m與函數(shù)y=f(x)的圖象如下，

結(jié)合圖象知，

當y=m與y=f(x)有兩個不同的交點時，32<m≤52；

故選：C．

兩個實數(shù)根可化為函數(shù)y=m與函數(shù)y=f(x)6.【答案】A

【解析】解：2a+4a+bb=2(a+2b)a+4a+bb=3+4(ba+a7.【答案】A

【解析】解：如圖(1)所示：

因為點E為BC1的中點，又由F是C1D1的中點，所以EF/?/BD1，

又點P為BD1上的動點，所以點P到直線EF的距離等于點E到BD1的距離，

所以點P到直線EF的距離等于點C1到直線BD1的距離的一半，

因為正方體的棱長為4，可得C1D1=4,BC1=42,BD1=43，

因為C1D1⊥面BB1C1C，且BC1?面BB1C1C，所以C1D1⊥BC1，

可得點C1到直線BD1的距離為4×4243=463，所以點P到直線EF的距離263，

所以△EFP的面積為S△EFP=12×23×263=22，

由B1E⊥BC1，C1D1⊥B1E，且BC1∩C1D1=C1，

所以B1E⊥平面EFP，且B1E=22，

所以三棱錐P?B1EF的體積為VP?B1EF=VB1?EFP=13×22×22=83，所以①正確；

建系如圖(2)所示：

則D(0,0,0)，B(4,4,0)，8.【答案】B

【解析】解：如圖，

由|MF2|+|MN|+|NF2|=4a|MF2|+|NF2|=2|MN|，得到|MN|=4a3，

設|MF2|=4a3?d，|NF2|=4a3+d，

在△MF2N中，由余弦定理得，

(4a3?d)2+(4a3+d)2?(4a3)2=2(4a39.【答案】AC

【解析】解：P(B|A)+P(B?|A)=P(AB)+P(AB?)P(A)=P(A)P(A)=1，故A正確；

當A，B是相互獨立事件時，P(B|A)+P(B|A?)=2P(B)≠0，故B錯誤；

當A，B是相互獨立事件時，P(AB)=P(A)P(B)，

∴P(A|B)=P(AB)P(B)=P(A)，故C正確；

∵A，B是互斥事件，P(AB)=0，則根據(jù)條件概率公式得P(B|A)=0，

而P(B)∈(0,1)，故D錯誤．10.【答案】AC

【解析】解：已知A(1,?4)是拋物線C：y2=2px上的點，

則16=2p，

即拋物線方程為y2=16x，

對于A，由拋物線方程為y2=16x，

則F(4,0)，準線方程是x=?4，故A正確；

對于B，當過拋物線的焦點且與x軸垂直時弦長最短，

把x=4代入y2=16x，

得|y|=8，

所以此時弦長為16，

故B錯誤；

對于C，D，設M(x1,y1)，N(x2,y2)，

又A(1,?4)，F(xiàn)(4,0)，

由重心的坐標公式得x1+x2+13=4y1+y2?43=0，

即x1+x2=11y1+y2=4，

所以MN的中點坐標為(112,2),|MF|+|NF|=11.【答案】ABD

【解析】解：對于B選項：由于到第n+2級階梯有兩種方法：從第n+1級階梯上一級臺階或者從第n級階梯上兩級臺階，

因此由題意有an+2=an+an+1，故B選項正確；

對于A選項：顯然a1=1，a2=1+1=2，又結(jié)合B選項分析可知an+2=an+an+1，

所以a3=2+1=3，a4=3+2=5，a5=5+3=8，a6=8+5=13，故A選項正確；

對于C選項：由A、B選項分析可知a1=1，a2=1+1=2，a3=2+1=3，a4=3+2=5，

a5=5+3=8，a6=8+5=13，a712.【答案】?7

【解析】解：因為(x?12x2)n的二項展開式中只有第5項的二項式系數(shù)最大，

所以n2+1=5?n=8，

二項式(x?12x2)8的通項公式為Tr+1=C8r?x13.【答案】?2【解析】解：f′(x)=3cosx+sinx，

∴f′(θ)=3cosθ+sinθ=0，∴tanθ=?3．

∴sin2θ+2cos2θ=2sinθcosθ+2cos2θcos2θ+sin14.【答案】1000【解析】解：設正四棱錐的底面邊長為2x，則高為25?x2，

∴該容器的體積V=43x225?x2=4312x15.【答案】(1)解：正項數(shù)列{an}，其前n項和Sn滿足an(2Sn?an)=n,n∈N?．

可得Sn=12(an+nan)，

當n=1時，S1=12(a1+1a1)【解析】(1)當n≥2時，利用an=Sn?Sn?1，可得16.【答案】證明見詳解；

當BF=2?102時，平面AEF與平面PCD所成的銳二面角為【解析】解(1)證明：

∵PA⊥平面ABCD，BC?平面ABCD，

∴PA⊥BC，

∵ABCD為矩形，∴AB⊥BC，

又PA∩AB=A，PA，AB?平面PAB，

∴BC⊥平面PAB，

∵AE?平面PAB，

∴AE⊥BC，∵PA=AB，E為線段PB的中點，

∴AE⊥PB，又PB∩BC=B，PB，BC?平面PBC，

∴AE⊥平面PBC，又AE?平面AEF，

所以平面AEF⊥平面PBC．

(2)以A為坐標原點，AB，AD，AP分別為x軸，y軸，z軸，建立如圖所示的空間直角坐標系A?xyz，

則A(0,0,0)，B(1,0,0)，C(1,2,0)，D(0,2,0)，P(0,0,1)，E(12,0,12)，

∴AE=(12,0,12)，PC=(1,2,?1)，PD=(0,2,?1)，

設F(1,λ,0)(0≤λ≤2)，∴AF=(1,λ,0)，

設平面AEF的一個法向量為n=(x1,y1,z1)，

則n?AE=0n?AF=0，∴x1+z1=0x1+λy1=0，

令y1=1，則x1=?λz1=λ，

∴n=(?λ,1,λ)，

設平面PCD的一個法向量為m=(x2,y2,z2)，

則m?PC=0m?PD=0，17.【答案】解：(1)由題可知：p1=23?23+13?13=59，q1=13?23=29；

證明：(2)n次操作后，甲盒有一個黑球的概率P(Xn=1)=1?pn?qn，由全概率公式知：

P(Xn+1=2)=P(Xn=1)P(Xn+1=2|Xn【解析】(1)交換后甲盒有2黑球，說明兩個盒子相互交換1個白球或者交換1個黑球，若交換后甲盒有3黑球，說明甲給乙白球，乙給甲黑球；

(2)根據(jù)全概率公式進行求解；

(3)根據(jù)(2)的結(jié)論和期望公式進行求解即可．

本題主要考查了全概率公式，考查了期望的定義，屬于中檔題．18.【答案】當a≤0時，f(x)在R上單調(diào)遞增，當a>0時，f(x)在(?∞,lna)上單調(diào)遞減，在(lna,+∞)上單調(diào)遞增；

[1e【解析】解：(1)f′(x)=2e2x+(2?2a)ex?2a=2(ex+1)(ex?a)，

①當a≤0時，因為ex>0，所以f′(x)>0在R上恒成立，所以f(x)在R上單調(diào)遞增；

②當a>0時，令f′(x)=0，得x=lna，

由f′(x)>0?x∈(lna,+∞)，