第=page11頁，共=sectionpages11頁2025年河北省秦皇島市山海關(guān)區(qū)高考數(shù)學(xué)二模試卷一、單選題：本題共8小題，每小題5分，共40分。在每小題給出的選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的。1.已知復(fù)數(shù)z=1+i(1?i)2，則zA.?12 B.12 C.?2.設(shè)向量a=(x,2)，b=(6,3).若a//b，則A.4 B.3 C.2 D.13.下列函數(shù)中，以π2為周期且在區(qū)間(π4,A.y=sin4x B.y=cos4x C.y=tanx D.y=?tan2x4.已知數(shù)列{an}是首項(xiàng)為a1，公差為d的等差數(shù)列，前n項(xiàng)和為Sn，滿足2A.35 B.40 C.45 D.505.函數(shù)f(x)=3x3+xA. B.

C. D.6.雙曲線x2a2?y2b2(a>0,b>0)的左、右焦點(diǎn)分別為F1、F2.過FA.x28?y24=1 B.7.如圖，三棱錐V?ABC中，VA⊥底面ABC，∠BAC=90°，AB=AC=AV=2，則該三棱錐的內(nèi)切球和外接球的半徑之比為(

)A.(2?3)：1

B.(23?3)：1

8.已知函數(shù)f(x)=x2?x,x≤0x?alnx,x>0，若?x1≤0，?xA.(?∞,0)∪[e，+∞) B.[e,+∞)

C.(0,e] D.[0,e]二、多選題：本題共3小題，共18分。在每小題給出的選項(xiàng)中，有多項(xiàng)符合題目要求。9.已知集合M={x|x=m+12,m∈Z},N={x|x=2n?3A.N?P B.P?M C.N?M D.M?N10.已知函數(shù)f(x)=x3?x+1，則A.f(x)有兩個極值點(diǎn) B.f(x)有一個零點(diǎn)

C.點(diǎn)(0,1)是曲線y=f(x)的對稱中心 D.直線y=2x是曲線y=f(x)的切線11.設(shè)焦點(diǎn)為F的拋物線Γ：y2=2px(p>0)的準(zhǔn)線為l1，A(12,λ)為Γ上一點(diǎn)，|AF|=52，過點(diǎn)F的直線l2與A.p=4

B.|BC|的最小值為8

C.以BF為直徑的圓與l1相切

D.l1上存在點(diǎn)P，使得三、填空題：本題共3小題，每小題5分，共15分。12.二項(xiàng)式(2x?113.已知α，β均為銳角，且sinα=45，tan(α+β)=?2，則cos2β=14.有一種珍惜物種，對于其每個個體，每天都會發(fā)生如下事件：有p(0≤p≤1)的概率消失，有1?P2的概率保持不變，有1?P2的概率分裂成兩個，對所有新產(chǎn)生的生物每天也會發(fā)生上述事件，假設(shè)開始只有一個這樣的珍惜生物，若希望最終這種生物滅絕的概率不超過12，則p四、解答題：本題共5小題，共77分。解答應(yīng)寫出文字說明，證明過程或演算步驟。15.(本小題13分)

為了調(diào)查學(xué)生喜歡跑步是否與性別有關(guān)，高三年級特選取了200名學(xué)生進(jìn)行了問卷調(diào)查，得到如下的2×2列聯(lián)表：喜歡跑步不喜歡跑步合計男生80女生20合計已知在這200名學(xué)生中隨機(jī)抽取1人抽到喜歡跑步的概率為0.6．

(1)判斷：是否有90%的把握認(rèn)為喜歡跑步與性別有關(guān)？

(2)從上述不喜歡跑步的學(xué)生中用分層抽樣的方法抽取8名學(xué)生，再在這8人中抽取3人調(diào)查其喜歡的運(yùn)動，用X表示3人中女生的人數(shù)，求X的分布及數(shù)學(xué)期望．

附：χ2=n(ad?bc)α0.150.100.050.0250.0100.001x2.0722.7063.8415.0246.63510.82816.(本小題15分)

如圖所示，在三棱柱ABC?A1B1C1中，CC1⊥平面ABC，AC⊥BC，AC=BC=2，CC1=3，點(diǎn)D，E分別在棱AA1和棱CC1上，且AD=1，CE=2，點(diǎn)M為棱A17.(本小題15分)

已知P為圓M：(x+1)2+y2=16上任意一點(diǎn)，點(diǎn)N(1,0)，線段PN的垂直平分線與PM交于點(diǎn)Q，記點(diǎn)Q的軌跡為C．

(1)求C的方程；

(2)過點(diǎn)N作直線l(與x軸不重合)與C相交于點(diǎn)D，E，直線l與y軸交于點(diǎn)B18.(本小題17分)

已知函數(shù)f(x)=lnx?2ax(其中a∈R)．

(1)當(dāng)a=2時，求函數(shù)f(x)的圖象在x=1處的切線方程；

(2)若f(x)≤2恒成立，求a的取值范圍；

(3)設(shè)g(x)=f(x)+12x2，且函數(shù)g(x)有極大值點(diǎn)x019.(本小題17分)

定義：對于數(shù)列{an}若存在常數(shù)t，對任意的n∈N?都有|an+1?an|+|an?an?1|+…+|a2?a1|≤t，則稱數(shù)列{an}為和諧數(shù)列．

(1)已知數(shù)列an=(參考答案1.A

2.A

3.B

4.C

5.A

6.D

7.C

8.A

9.AC

10.ABC

11.BD

12.60

13.?314.1515.解：(1)易知從200名學(xué)生中隨機(jī)抽取1人抽到喜歡跑步的概率為0.6，

所以喜歡跑步的人有200×0.6=120(人)，不喜歡跑步的人有200?120=80(人)，

列聯(lián)表如下所示：喜歡跑步不喜歡跑步合計男生8060140女生402060合計12080200則χ2=200×(80×20?40×60)2120×80×140×60≈1.587<2.706，

所有沒有90%把握認(rèn)為喜歡跑步與性別有關(guān)；

(2)若按分層抽樣，

設(shè)女生x名，男生y名，

此時880=x20=y60，

解得x=2，y=6，

所以從不喜歡跑步的學(xué)生中抽取女生2名，男生6名，

易知X的所有可能取值為0，1，2X012P5153故E(X)=0×51416.(1)證明：建系如圖，C(0,0,0)，A(2,0,0)，

B(0,2,0)，C1(0,0,3)，

A1(2,0,3)，B1(0,2,3)，D(2,0,1)，E(0,0,2)，M(1,1,3)，

C1M=(1,1,0),B1D=(2,?2,?2)，ED=(2,0,?1)，

設(shè)n為平面DB1E的法向量，

因?yàn)锽1D?n=0，ED?n=0，

所以n=(1,?1,2)為平面DB1E的法向量，

因?yàn)镃1M?n=0，C1M?平面DB1E，

17.解：(1)由題意可知：M：(x+1)2+y2=16的圓心為M(?1,0)，半徑為4，且|QP|=|QN|，

則|QM|+|QN|=|QM|+|QP|=|PM|=4>2=|MN|，

可知點(diǎn)Q的軌跡是以M，N為焦點(diǎn)的橢圓，

則a=2,c=1,b=a2?c2=3，所以C的方程為x24+y23=1；

(2)因?yàn)辄c(diǎn)N(1,0)在橢圓內(nèi)部，可知直線l與橢圓必相交，

設(shè)直線l：x=my+1(m≠0)，D(x1,y1)，E(x2,y2)，則B(0,?1m)，

聯(lián)立方程x=my+1x18.解：(1)當(dāng)a=2時，f(x)=lnx?4x，則f′(x)=1x?4(x>0)，

∴f(1)=?4，f′(1)=?3，

∴函數(shù)f(x)的圖象在x=1處的切線方程為y?(?4)=?3(x?1)，

即3x+y+1=0.

(2)不等式f(x)≤2，即lnx?2ax≤2，∴2ax≥lnx?2，

∵x>0，∴2a≥lnx?2x恒成立，

令φ(x)=lnx?2x(x>0)，則φ′(x)=3?lnxx2，

當(dāng)0<x<e3時，φ′(x)>0，φ(x)單調(diào)遞增，

當(dāng)x>e3時，φ′(x)<0，φ(x)單調(diào)遞減，

∴當(dāng)x=e3時，φ(x)取得極大值，也為最大值，

故φ(x)max=φ(e3)=1e3，

由2a≥1e3，得a≥12e3，

∴實(shí)數(shù)a的取值范圍是[12e3,+∞).

(3)證明：由g(x)=f(x)+12x2=12x2?2ax+lnx，

得g′(x)=x+1x?2a=x2?2ax+1x，

①當(dāng)?1≤a≤1時，g′(x)≥0，g(x)單調(diào)遞增無極值點(diǎn)，不符合題意；

②當(dāng)a>1或a<?1時，令g′(x)=0，設(shè)x2?2ax+1=0的兩根為x0和x′，

∵x0為函數(shù)g(x)的極大值點(diǎn)，

∴0<x0<x′，

由x0·x′=1，x19.(1)解：{an}是和諧數(shù)列，理由如下：|(12)n+1?