第四板塊概率與統(tǒng)計

明明白白知高考

概率與統(tǒng)計、統(tǒng)計案例是高考的重點內(nèi)容，從近兩年高考來看，本板塊內(nèi)容在難度上

略有下降，但在創(chuàng)新上繼續(xù)保持.

1.從題型題量上看：題型以選擇、填空、解答為主，二年四卷均以“2小1大”的形

式出現(xiàn)，總分約22分，解答題綜合性難度上略有增加.如2021年fl卷中出現(xiàn)與導數(shù)結(jié)合的

問題.

2.從考查內(nèi)容上看：本板塊內(nèi)容在選擇題、填空題中主要考查抽樣方法、古典概型、

用樣本估計總體、正態(tài)分布等，此板塊易設置多選題，要注意對多選題的訓練；解答題常

利用排列、組合以及生產(chǎn)、生活真實情境為背景考查離散型隨機變量的分布列、期望、方

差、二項分布和正態(tài)分布、統(tǒng)計案例等問題，注重閱讀理解與處理信息能力的考查.

融會貫通串知識

一、主干知識?以點帶面

領(lǐng)域主干知識點

兩種抽樣方法簡單隨機抽樣、分層抽樣

頻率分布表、頻率分布直方圖、條形圖、折線

五個樣本頻率分布圖表

統(tǒng)計圖、扇形圖

四個數(shù)字特征眾數(shù)、中位數(shù)、平均數(shù)（期望）、方差和標準差

三種統(tǒng)計推斷用樣本估計總體、獨立性檢驗、回歸分析

三類事件互斥事件、對立事件、相互獨立事件

概率兩種概型古典概型、條件概型

四種特殊分布及期望超幾何分布、二項分布與兩點分布、正態(tài)分布

二'常用結(jié)論?記清用活

1.兩個變量的相關(guān)關(guān)系

線性回歸方程y=bx+a必過定點（x,y）,其中

-1n_1n

i=l

2.方差與標準差

（1）一組數(shù)據(jù)Xl，X29*3，…，Xn,它們的方差為

2222

2=\[(X1-X)+(X2—X)+(X3—X)H------F(XW—X)2]=：t(XLX),標準差為<7=

i=l

1n——

(Xi-X)2.

i=l

(2)兩組數(shù)據(jù)Xi,X2,X3，X”與yi,L，%，???，力，其中M=OTi+A,1=1,2,3,???,

〃，則)=。%+兒它們的方差滿足巧=。2靜，標準差滿足與=|〃kr.

一1n一1n

其中X=~pCi,y

i=l

3.條件概率P(5|A)=需1的性質(zhì)

(1)OWP(B|A)W1.

(2)若〃和C是兩個互斥事件，則P(BVJC\A)=P(B\A)+P(C\A).

(3)若A,8相互獨立，則尸(B|A)=P(B).

4.隨機變量的期望與方差

(1)E(萌+b)=aE?+b；

(2)D(a^+b)=a2D(^).

5.二項分布X?8(“，p)的期望與方差

⑴E(㈤=叩；

⑵O(X)="p(l—p).

6.正態(tài)曲線的特點

⑴曲線位于x軸上方，與x軸不相交;

⑵曲線與X軸之間的面積為1：

⑶曲線是單峰的，它關(guān)于直線x=〃對稱;

(4)曲線在x=〃處達到峰值不樂;

⑸當僅|無限增大時，曲線無限接近x軸.

三'易錯易誤?注意防范

1.公式模糊，計算出錯

⑴計算方差漏乘%

(2)求回歸直線方程系數(shù)2,2錯誤；

⑶獨立性檢驗中計算心錯誤；

(4)頻率分布直方圖中把縱坐標當成頻率.

2.概念理解不到位

（1）互斥事件與對立事件關(guān)系模糊；

（2）對樣本的數(shù)字特征認識不到位；

⑶條件概率與二項分布問題理解有誤.

3.求離散型隨機變量的分布列時忽視所有事件的概率和為1.

小題考法概率與統(tǒng)計

命題點（一）/用樣本估計總體（自主練通）

1.（多選）（2021?新高考I卷）有一組樣本數(shù)據(jù)X”X2,…，X”,由這組數(shù)據(jù)得到新樣本數(shù)

據(jù)山，山，…，y,u其中yi=?+c（i=l,2,…，"），c為非零常數(shù)，貝（J（）

A.兩組樣本數(shù)據(jù)的樣本平均數(shù)相同

B.兩組樣本數(shù)據(jù)的樣本中位數(shù)相同

C.兩組樣本數(shù)據(jù)的樣本標準差相同

D.兩組樣本數(shù)據(jù)的樣本極差相同

解析：選CD設Xi,X2,,,,,X"的平均數(shù)、中位數(shù)、標準差和極差分別為x,m,s,

Xl+c+xz+cH-----l-X"+cXl+xzH------l-X"+"C

t,則yi,yz,yn的平均數(shù)為—X+c,

中住數(shù)為m+c.由標準差和極差的性質(zhì)可知yi,>2,…，刻的標準差為s,極差為故選C、

D.

2.（2021?全國甲卷）為了解某地農(nóng)村經(jīng)濟情況，對該地農(nóng)戶家庭年收入進行抽樣調(diào)查,

將農(nóng)戶家庭年收入的調(diào)查數(shù)據(jù)整理得到如下頻率分布直方圖：

根據(jù)此頻率分布直方圖，下面結(jié)論中不正確的是（）

A.該地農(nóng)戶家庭年收入低于4.5萬元的農(nóng)戶比率估計為6%

B.該地農(nóng)戶家庭年收入不低于10.5萬元的農(nóng)戶比率估計為10%

C.估計該地農(nóng)戶家庭年收入的平均值不超過6.5萬元

D.估計該地有一半以上的農(nóng)戶，其家庭年收入介于4.5萬元至8.5萬元之間

解析：選C由頻率分布直方圖可知，該地農(nóng)戶家庭年收入低于4.5萬元的農(nóng)戶比率約

為0.02+0.04=0.06,所以A正確；該地農(nóng)戶家庭年收入不低于10.5萬元的農(nóng)戶比率約為

0.02+0.02+0.02+0.04=0.10,所以B正確；由頻率分布直方圖可知，該地農(nóng)戶家庭年收入

的平均值約為3X0.02+4X0.04+5X0.1+6X0.14+7X0.2+8X0.2+9X0.1+10X0.1+

11X0.04+12X0.02+13X0.02+14X0.02=7.68>6.5,所以C不正確；該地農(nóng)戶家庭年收

入介于4.5萬元至8.5萬元之間的比率約為0.1+0.14+0.2+0.2=0.64>0.5,所以D正確.故

選C.

3.已知某樣本的容量為50,平均數(shù)為70,方差為75.現(xiàn)發(fā)現(xiàn)在收集這些數(shù)據(jù)時，其中

的兩個數(shù)據(jù)記錄有誤，一個錯將80記錄為60,另一個錯將70記錄為90.在對錯誤的數(shù)據(jù)進

行更正后，重新求得樣本的平均數(shù)為三，方差為$2,貝!|()

A.T=70,s2<75B.T=70,s2>75

C.T>70,s2<75D.T<70,s2>75

解析：選A由題意，根據(jù)平均數(shù)的計算公式，可得三=―5。+8與6。+7。-9。=

70.

設收集的48個準確數(shù)據(jù)分別為X2,?,,,X48,

則75=^[(XI-70)2+(X2-70)2+...+(X48-70)2+(60-70)2+(90-70)2]=^[(XI-70)2+

(X2—70)2+…+(X48—70)2+500],

22222

s=^[(xi-70)2,|,(X2-70)2+…+@48—70)+(80-70)+(70—70)]=表[(如-70)+(x2

-70)2+...+(X48-70)2+100]<75,故s2<75.

4.(多選)某人退休前后各類支出情況如下，已知退休前工資收入為800()元/月，退休

后每月儲蓄的金額比退休前每月儲蓄的金額少1500元，則下面結(jié)論中正確的是()

o0

.

.s55

o

.40

o

.35

o

.0

o5

.32

o0

.2

O5

.U

O0

.

65

090

.C

A.該教師退休前每月儲蓄支出2400元

B.該教師退休后的旅行支出是退休前旅行支出的3倍

C.該教師退休后工資收入為6000元/月

D.該教師退休后的其他支出比退休前的其他支出少

解析：選ACD?.,退休前工資收入為8000元/月，每月儲蓄的金額占30%,則該教師

退休前每月儲蓄支出8000義30%=2400元，故A正確；

該教師退休后每月儲蓄的金額比退休前每月儲蓄的金額少1500元，

則該教師退休后每月儲蓄的金額為900元，設該教師退休工資收入為x元/月，則匯15%

=900,即x=6000元/月，故C正確；

該教師退休前的旅行支出為8000X5%=400元，退休后的旅行支出為6000X15%=

900元，

該教師退休后的旅行支出是退休前旅行支出的2.25倍，故B錯誤；

該教師退休前的其他支出為8000X20%=1600元，退休后的其他支出為6000X25%

=1500元，

...該教師退休后的其他支出比退休前的其他支出少，故D正確.

［提分技巧］

1.數(shù)字特征的意義

平均數(shù)與方差都是重要的數(shù)字特征，是對數(shù)據(jù)的一種簡明描述，它們所反映的情況有

著重要的實際意義.平均數(shù)、中位數(shù)、眾數(shù)描述數(shù)據(jù)的集中趨勢，方差和標準差描述數(shù)據(jù)

的波動大小.

2.頻率分布直方圖中常見問題及解題策略

（1）已知頻率分布直方圖中的部分數(shù)據(jù)求其他數(shù)據(jù).可根據(jù)頻率分布直方圖中的數(shù)據(jù)求

出樣本與整體的關(guān)系，利用頻率和等于1就可以求出其他數(shù)據(jù).

（2）已知頻率分布直方圖，求某個范圍內(nèi)的數(shù)據(jù).可利用圖形及某范圍結(jié)合求解.

命題點G2/古典概型

［講評提能］

［典例1］（2021?常德一模）某學校高一年級星期五隨機安排6節(jié)課，上午安排數(shù)學2節(jié)，

語文和音樂各1節(jié)，下午安排英語、體育各1節(jié)，則2節(jié)數(shù)學恰好相鄰的概率為（）

A，B1

A?42

C,3D4

［解析］樣本點總數(shù)n=AiA?=48,

其中2節(jié)數(shù)學恰好相鄰包含的樣本點個數(shù);?=AU^A?=24,

則2節(jié)數(shù)學恰好相鄰的概率為P=~=^=\-

flITO/

［答案］B

［典例2］（2021?稚禮中學高三月者）十二生肖，又稱十二屬相，與中國傳統(tǒng)文化中的十

二地支呈現(xiàn)一一對應關(guān)系，分別為子鼠、丑牛、寅虎、卯兔、辰龍、巳蛇、午馬、未羊、

申猴、酉雞、戌狗、亥豬.現(xiàn)有十二生肖吉祥物各一件，甲、乙、丙三位同學分別隨機抽

取一件作為禮物.甲同學喜歡馬、牛，乙同學喜歡馬、龍、狗，丙同學除了鼠不喜歡外其

他的都喜歡，則這三位同學恰好都抽到各自喜歡的禮物的概率是（）

,3?3

A?麗B44

CiD2

jo%

［解題微"點”］

分類討論所求概率的事件所包含的樣本點數(shù)，即分為“甲同學選馬”與“甲同學

切入點

選?！眱煞N情況

隱藏點當甲同學選馬時，乙同學只有兩種選擇

［解析］依題意可分類：①甲同學選馬，則有cia=i8種情況符合要求.②甲同學選

牛，則有C1C4=27種情況符合要求.三位同學抽取禮物的所有情況有A12種，則這三位同

18+274

學恰好都抽到各自喜歡的禮物的概率尸=^^一=費.

［答案］A

［提分技巧］

（1）解決古典概型問題的關(guān)鍵是求基本事件個數(shù)，其常用方法有：枚舉法、樹狀圖法，

利用排列組合知識計算.

（2）對于較復雜的事件所包含的基本事件個數(shù)的計算，要利用分類討論思想、正難則反

的思想方法求解.

【過關(guān)訓練］

1.（2021?哈爾濱三中高三一棋）將甲、乙等4名交警隨機分配到兩個不同路口疏導交

通，每個路口兩人，則甲和乙不在同一路口的概率為（）

A-2B-3

21

CL.一3D17.一4

解析：選c將4名交警隨機分配到兩個不同路口疏導交通，方法數(shù)有C3G=6種，其

42

中甲和乙不在同一路口的方法數(shù)有（C!C［）的=4種，故所求概率為產(chǎn)?

2.（2021?寶將一模）某“防震減災科普示范學?！苯M織4名男生、6名女生志愿者到社區(qū)

進行防震減災圖片宣講，若這些選派學生只考慮性別，則派往甲社區(qū)宣講的3人中至少有2

名男生的概率為

Cj+Cj-C^401

解析：派往甲社區(qū)宣講的3人中至少有2名男生的概率為P=cC-=i20=y

答案《

命題點（三）/相互獨立事件的概率與條件概率

［講評提能］

［典例］（1）某地區(qū)空氣質(zhì)量監(jiān)測資料表明，一天的空氣質(zhì)量為優(yōu)良的概率是（）.75,連續(xù)

兩天為優(yōu)良的概率是0.6,已知某天的空氣質(zhì)量為優(yōu)良，則隨后一天的空氣質(zhì)量為優(yōu)良的概

率是（）

A.0.8B.0.75

C.0.6D.0.45

（2）（2021?新高考I卷）有6個相同的球，分別標有數(shù)字1,234,5,6,從中有放回的隨機取

兩次，每次取1個球.甲表示事件“第一次取出的球的數(shù)字是1"，乙表示事件“第二次取

出的球的數(shù)字是2”，丙表示事件”兩次取出的球的數(shù)字之和是8”，丁表示事件“兩次取

出的球的數(shù)字之和是7"，貝"）

A.甲與丙相互獨立B.甲與丁相互獨立

C.乙與丙相互獨立D.丙與丁相互獨立

|解析|（1）記A="一天的空氣質(zhì)量為優(yōu)良”，B="第二天空氣質(zhì)量也為優(yōu)良”，由

P（AB）

題意可知P（A）=0.75,P（AB）=0.6,所以「（8|A）=微床2=0.8,故選A.

⑵由題意知P（甲）=*,尸（乙）=1x!+［xl=1,p（丙）=］x：X5=a，P（T）=1x1x6

ooooooooJooo

=1.p（甲n丙）=owp（甲）p（丙），故A項錯誤；P（甲n?。?*x：=：=p（甲）p（?。?，故B項正

確；p（乙n丙（乙）p（丙），故c項錯誤；p（丙n?。?OWP（丙）尸（?。?，故D項

錯誤.選B.

［答案］（1）A（2）B

［提分技巧］

1.求獨立事件概率的關(guān)鍵點

（1）緊扣定義，正確判斷相互獨立事件；

（2）能分解獨立事件為幾個互斥事件的和；

（3）能正確運用公式P（AB）=P（A）P（B）.

2.條件概率的求法

分別求尸(和得—錯1.這是通用的求條件概率的方法

利用定義4)P(AB),P(B|A)

借助古典先求事件A包含的樣本點總數(shù)〃(A),再在事件A發(fā)生的條件下求事件B包含

概型概率

的樣本點個數(shù)，即"(43),得尸(3以)一暇1

公式

［過關(guān)訓練］

74

1.(2021?哈爾濱三中高三一棋)已知某種產(chǎn)品的合格率是合格品中的一級品率是不則

這種產(chǎn)品的一級品率為()

,28?35

A,45B,36

C.gD.1

74

解析：選A設事件A為合格品，事件3為一級品，則尸(A)=§,P(B|A)=g,

7428

則P(B)=P(A)P(B\A)=^X-=—.

2.(多選)從甲袋中摸出一個紅球的概率是:，從乙袋中摸出一個紅球的概率是:，從兩

袋各摸出一個球，下列結(jié)論正確的是()

A.2個球都是紅球的概率為上

B.2個球不都是紅球的概率為:

C.至少有1個紅球的概率為:

D.2個球中恰有1個紅球的概率*

解析：選ACD設“從甲袋中摸出一個紅球”為事件小，“從乙袋中摸出一個紅球”

為事件A2,則尸(4)=［,尸(4)=；,且4,4相互獨立.2個球都是紅球為4也，其概率為!

x1=1,A正確;

“2個球不都是紅球”是“2個球都是紅球”的對立事件，其概率為去B錯誤；

———212

2個球中至少有1個紅球的概率為1—P(A)P(B)=1—C正確；

jj

2個球中恰有1個紅球的概率為:X；+：X；=；,D正確.故選A、C>D.

3DN/

電題電（四L/二項分布與正態(tài)分布

［講評提能］

［典例］（1）山東煙臺蘋果因“果形端正、色澤艷麗、果肉甜脆、香氣濃郁”享譽國內(nèi)

外.據(jù)統(tǒng)計，煙臺蘋果（把蘋果近似看成球體）的直徑（單位：mm）服從正態(tài)分布M80,52）,則

直徑在［75,90］內(nèi)的概率為（）

附：若X?N（",，），則P（"-<TWXWM+（T）=0.6827,P（"-2<TWXWM+2（T）=0.9545.

A.0.6827B.0.8414

C.0.8186D.0.9545

（2）（多選）游樂場有一個游戲項目，在一輪游戲中，游戲者有4次機會向目標射擊，最終

命中的次數(shù)作為該游戲者本輪游戲的積分.某次活動期間，為了回饋顧客，游樂場臨時補

充新規(guī)則如下：①若游戲者在一輪游戲中命中2次或3次，則所得積分為原規(guī)則下積分的2

倍；②若游戲者在一輪游戲中4次全部命中，則所得積分為原規(guī)則下積分的3倍；③若游戲

者在一輪游戲中未命中或命中一次，則為按原規(guī)則下的積分.已知某人每次射擊命中目標

的概率為看在一輪游戲中，他在原規(guī)則下的積分與新規(guī)則下的積分分別為隨機變量X,

Y,則下列說法正確的是（）

A.X服從二項分布B.y服從二項分布

C.2W第<3D-4嚅《

［解析］（1）由題意，〃=80,。=5,則尸(75WXW85)=0.6827,尸(70WXW90)=0.954

5,所以P(85<X<90)=gx(0.9545-0.6827)=0.1359,P(75<X<90)=0.6827+0.1359=

0.8186.故果實直徑在［75,90］內(nèi)的概率為0.8186.

（2）設該玩家在一輪游戲中命中次數(shù)為隨機變量W,顯然W?5（4,且W,X,y滿

足：

W01234

X01234

Y014612

14641

P

1616161616

顯然X服從二項分布《4,0,y不服從二項分布，因此選項A正確，B錯誤.

由X?44,。得E⑶=4X；=2,Z)(X)=4x|x1=L計算得E(F)=4,Z)(Y)=學

故第=2G［2,3］,株=%［4,6］,因此選項C正確，D錯誤.

［答案］(1)C(2)AC

［提分技巧］

1.二項分布的判斷與概率公式

(1)對于公式P(X=")=C￡p*(l—p)L*優(yōu)=0,1,2,???,〃)必須在滿足“獨立重復試驗”

時才能運用，否則不能應用該公式.

(2)判斷一個隨機變量是否服從二項分布，關(guān)鍵是有兩點：一是對立事件，即一次試驗

中，事件發(fā)生與否兩者必有其一；二是重復性，即試驗獨立重復地進行了〃次.

2.解決與正態(tài)分布有關(guān)問題的關(guān)鍵

解決與正杰分布有關(guān)的問題的關(guān)鍵是利用對稱軸x=fi確定所求概率對應的隨機變量的

區(qū)間與已知概率對應的隨機變量的區(qū)間的關(guān)系，必要時借助圖形進行判斷求解.

［過關(guān)訓練］

1.某市為弘揚我國優(yōu)秀的傳統(tǒng)文化，組織全市10萬中小學生參加網(wǎng)絡古詩詞知識答題

比賽，總分100分，經(jīng)過分析比賽成績，發(fā)現(xiàn)成績X服從正態(tài)分布M82,16),請估計比賽成

績不小于90分的學生人數(shù)約為()

參考數(shù)據(jù)：尸(〃一“<XW"+<T)=0.683,P(/I-2<T<X^+2<r)=0.954,尸

3CT)=0.997.

A.2300B.3170

C.3415D.460

解析：選A依題意知，”=82,<r=4,所以P(74<XW90)=0.954,則P(X》90)=(l-

0.954)X^=0.023,所以比賽成績不小于90分的學生人數(shù)約為1()()000X0.023=2300.

2.某單位舉行詩詞大會比賽，給每位參賽者設計了“保留題型”“升級題型"''創(chuàng)新

題型”三類題型，每類題型中均指定一道題讓參賽者回答.已知某位參賽者答對每道題的

概率均為小且各次答對與否相互獨立，則該參賽者答完三道題，其中至少兩道題答對的概

率為()

解析：選A法一：設事件M為“該參賽者答完三道題，其中至少兩道題答對”.依

題意得PM=6＞+C期⑨=段故選A.

法二：設事件M為“該參賽者答完三道題，其中至少兩道題答對”，依題意得尸(M)=

Y)Y騙)?■嚙?故選A.

3.一個袋中有大小、形狀相同的小球，其中紅球1個、黑球2個，現(xiàn)隨機等可能取出

小球，當有放回依次取出兩個小球時，記取出的紅球數(shù)為卻；當無放回依次取出兩個小球

時，記取出的紅球數(shù)為基，貝！1()

A.E楂l)＜E(42),0(卻)＜。(聶)

B.E(S=E(&),。4)＞。心)

C.EC)=E0),砥)＜。?)

D.EGAE?),

解析：選B酊的可能取值為0,1,2,卻?8(2,￡),E(ei)=2x|=|,D(Q)=2X|X|=

42

--11211221

932=y^2=1)=3X2+3X2=3,???以《2)=0'§+

1X3=3*O(6)=(o-|)2x|+(l-1)Xl=j.

：.E(^)=E^2),。(前)＞。C2).故選B.

導課堂訓練一精選好題?做一當十

1.(與生產(chǎn)、生活相結(jié)合)(多選)某生活超市2020年第四季度各區(qū)域營業(yè)收入占比和凈

利潤占比如下表所示：

生鮮區(qū)熟食區(qū)乳制品區(qū)日用品區(qū)其他類

營業(yè)收入占比48.6%15.8%20.1%10.8%4.7%

凈利潤占比65.8%-4.3%16.5%20.2%1.8%

該生活超市本季度的總營業(yè)利潤率為32.5%(營業(yè)利潤率是凈利潤占營業(yè)收入的百分

比)，貝！1()

A.本季度此生活超市營業(yè)收入最低的是熟食區(qū)

B.本季度此生活超市的營業(yè)凈利潤超過一半來自生鮮區(qū)

C.本季度此生活超市營業(yè)利潤最高的是日用品區(qū)

D.本季度此生活超市生鮮區(qū)的營業(yè)利潤率超過50%

解析：選BC由題中數(shù)據(jù)知，營業(yè)收入最低的是其他類，A錯誤；生鮮區(qū)的凈利潤占

比為65.8%>彳，故B正確；生鮮區(qū)的營業(yè)利潤率為啟Z/X32.5%<50%,故D錯誤；同理

Z4o.OZo

2（）2%

可計算其他各區(qū)的營業(yè)利潤率，顯然日用品區(qū)為番舒X32.5%,最高，故C正確.

Iv.o/o

2.（體現(xiàn)數(shù)學應用）（多選）5G技術(shù)的運營不僅僅提高了傳輸速度，更拓寬了網(wǎng)絡資源的

服務范圍，目前，我國加速了5G技術(shù)的融合與創(chuàng)新，前景美好！某手機商場統(tǒng)計了5個月

的5G手機銷量，如下表所示：

月份2020年6月2020年7月2020年8月2020年9月2020年10月

月份編號X12345

銷量W部5295a185227

若y與x線性相關(guān)，由表中數(shù)據(jù)求得線性回歸方程為（=44x+10,則下列說法正確的是

（）

A.5G手機的銷量逐月增加，平均每個月增加約10部

B.a=151

C.y與x正相關(guān)

D.預計12月份該手機商場的5G手機銷量約為318部

解析：選BCD由，=44x+10知，y與x正相關(guān)，5G手機的銷量逐月增加，平均每個

月增加約44部，故A錯誤，C正確；由表中數(shù)據(jù)可知工=3,代入回歸方程知丁=142,于

是a=151,B正確；將x=7代入回歸方程得j=318,D正確.故選B、C、D.

3.（滲透“五育”樹人）甲、乙兩人進行飛鏢比賽，規(guī)定命中6環(huán)以下（含6環(huán)）得2分，

命中7環(huán)得4分，命中8環(huán)得5分，命中9環(huán)得6分，命中10環(huán)得10分（兩人均會命中），

比賽三場，每場兩人各投鏢一次，累計得分最高者獲勝.已知甲命中6環(huán)以下（含6環(huán)）的概

率為;，命中7環(huán)的概率為;，命中8環(huán)的概率為/命中9環(huán)的概率為上命中10環(huán)的概率

為《,乙命中各環(huán)的概率與甲相同，且甲、乙比賽互不干擾.若第一場比賽甲得2分，乙得

4分，第二場比賽甲、乙均得5分，則三場比賽結(jié)束時，乙獲勝的概率為（）

A型B&C1D?

A（44U169U.18

解析：選B比賽結(jié)束，若乙獲勝，則第三場比賽乙至多比甲低一分.

第三場比賽中，當乙得2分時，甲得2分，概率為;X；=";當乙得4分時，甲可得2

分、4分、5分，概率為;*（；+：+/）=已

當乙得5分時，甲可得2分、4分、5分、6分，概率為3@+：+2+0=熱

當乙得6分時，甲可得2分、4分、5分、6分，概率為

當乙得10分時，甲可得2分、4分、5分、6分、10分，概率為+Xl==.

故乙獲勝的概率為尸=[+磊+非+非+\=1|.故選B.

y10727Z1Z10

4.（體現(xiàn)數(shù)學應用）夏、秋兩季，生活在長江口外淺海域的中華魚洞游到長江，歷經(jīng)三

千多公里的溯流搏擊，回到金沙江一帶產(chǎn)卵繁殖，產(chǎn)后待幼魚長到15厘米左右，又攜帶它

們旅居外海.一個環(huán)保組織曾在金沙江中放生一批中華魚魚苗，該批魚苗中的雌性個體能

長成熟的概率為0.15,雌性個體長成熟又能成功溯流產(chǎn)卵繁殖的概率為0.05,若該批魚苗中

的一個雌性個體在長江口外淺海域已長成熟，則其能成功溯流產(chǎn)卵繁殖的概率為

解析：設事件A為魚苗中的一個雌性個體在長江口外淺海域長成熟，事件8為該雌性個

體成功溯流產(chǎn)卵繁殖，由題意可知尸（4）=0.15,P（A5）=（）.O5,則P（8|A）=3郡=罌=；.

答案”

[專題跟蹤檢測I

1.某學院A,B,C三個專業(yè)共有1200名學生，為了調(diào)查這些學生勤工儉學的情況，

擬采用分層抽樣的方法抽取一個容量為120的樣本，已知該學院的A專業(yè)有380名學生，B

專業(yè)有420名學生，則應在該學院的C專業(yè)抽取的學生人數(shù)為（）

A.30B.40

C.50D.60

解析：選BC專業(yè)的學生有1200—380—420=400名，由分層抽樣知應抽取

120X蘭南=40名.故選B.

2.（2021?置慶二模）已知一組數(shù)據(jù)1,2,a,b,5,8的平均數(shù)和中位數(shù)均為4,其中a,bG

N*,在去掉其中的一個最大數(shù)后，該組數(shù)據(jù)的（）

A.平均數(shù)不變B.中位數(shù)不變

C.眾數(shù)不變D.標準差不變

解析：選C由平均數(shù)為4知，a+b=8,由中位數(shù)為4,則a=b=4或a=3,b=5,

去掉最大數(shù)8后，根據(jù)平均數(shù)與標準差的意義，知平均數(shù)和標準差均變小，中位數(shù)可能是

4,也可能是3.當a=Z>=4時，眾數(shù)與原來一致，都為4;當”=3,6=5時，眾數(shù)也與原來

一致，都為5,故選C.

3.（多選）某大學生暑假到工廠參加生產(chǎn)勞動，生產(chǎn)了100件產(chǎn)品，質(zhì)檢人員測量其長

度（單位：厘米），將所得數(shù)據(jù)分成6組：［90,91）,［91,92）,［92,93）,［93,94）,［94,95）,

［95,961，得到如圖所示的頻率分布直方圖，則對這100件產(chǎn)品，下列說法中正確的是（）

頻率

0.15

0.1

0.05

Ov90919293949596

長度/厘米

A.6=0.25

B.長度落在區(qū)間［93,94）內(nèi)的件數(shù)為35

C.長度的眾數(shù)一定落在區(qū)間［93,94）內(nèi)

D.長度的中位數(shù)一定落在區(qū)間［93,94）內(nèi)

解析：選ABCD由0.1+0.1+b+0.35+0.15+0.05=l,解得力=0.25,所以選項A正

確；長度落在區(qū)間［93,94）內(nèi)的件數(shù)為0.35X100=35,所以選項B正確；因為長度落在區(qū)間

［93,94）內(nèi)的頻率最高，所以選項C正確；因為長度落在區(qū)間［90,93）內(nèi)的頻率為0.1+0.1+

0.25=0.45<0,5,而長度落在區(qū)間［90,94）內(nèi)的頻率為0.1+0.1+0.25+0.35=0.8>0.5,所以長

度的中位數(shù)一定落在區(qū)間［93,94）內(nèi)，所以選項D正確.故選A、B、C、D.

4.（2021?安森模擬）某公司由于改進了經(jīng)營模式，經(jīng)濟效益與日俱增.統(tǒng)計了2020年10

月到2021年4月的純收益y（單位：萬元）的數(shù)據(jù)，如下表：

月份十十一十二一二三四

月份代號f3456789

純收益y66697381899091

得到J關(guān)于t的線性回歸方程為￡=4.75f+51.36.請預測該公司2021年6月的純收益為

（）

A.94.11萬元B.98.86萬元

C.103.61萬元D.108.36萬元

解析：選C將2021年6月的代號f=11帶入題中的線性回歸方程，得（=4.75X11+

51.36=103.61.

5.（多選）（2021?青島三橫）某漁業(yè)養(yǎng)殖場新進1000尾魚苗，測量其體長（單位：毫米）,

將所得數(shù)據(jù)分成6組，其分組及頻數(shù)情況如下表:

分組

[70,75)[75,80)[80,85)[85,90)[90,95)[95,100]

（單位：毫米）

頻數(shù)100100m350150n

已知在按以上6個分組做出的頻率分布直方圖中，［95,100］分組對應小矩形的高為

0.01,則下列說法正確的是（）

A./n=250

B.魚苗體長在［90,100］上的頻率為0.16

C.魚苗體長的中位數(shù)一定落在區(qū)間［85,90）內(nèi)

D.從這批魚苗中有放回地連續(xù)抽取50次，每次一條，則所抽取魚苗體長落在區(qū)間

［80,90）上的次數(shù)的期望為30

解析：選ACD因為［95,100］分組對應小矩形的高為0.01,組距為5,

所以［95,100］分組對應的頻率為0.01X5=0.05,?=1000X0.05=50,

則m=1000-100-100-350-150-50=250,A正確；

魚苗體長在［90,100］上的頻率為端鎮(zhèn)=0.2,B錯誤；

因為魚苗的總數(shù)為1000,100+100+250=450,100+100+250+350=800,

所以魚苗體長的中位數(shù)一定落在區(qū)間［85,90）內(nèi)，C正確；

由表中數(shù)據(jù)易知，魚苗體長落在區(qū)間［80,90）上的概率尸=2*；。=0.6,

設所抽取魚苗體長落在區(qū)間［80,90）上的次數(shù)為X,

則X服從二項分布，即X?5（50,0.6）,則E（X?=50X0.6=30,D正確，故選A、C、D.

6.（2021?衡陽一模）某市在創(chuàng)建“全國衛(wèi)生文明城市”活動中，大力加強垃圾分類投放

宣傳.某居民小區(qū)設有“廚余垃圾”“可回收垃圾”“其他垃圾”三種不同的垃圾桶.一

天，居民小賢提著上述分好類的垃圾各一袋，隨機每桶投一袋，則恰好有一袋垃圾投對的

概率為（）

A.9%

八11

C,3D,2

解析：選D3袋垃圾中恰有1袋投放正確的情況有CU1=3種，由古典概型計算公式

得三袋垃圾恰投對一袋的概率為尸=等=/故選D.

7.（多選）某綜藝節(jié)目為比較甲、乙兩名選手的各項能力（指標值滿分為5分，分值高者

為優(yōu)），分別繪制了如圖所示的六維能力雷達圖，圖中點4表示甲的創(chuàng)造力指標值為4,點8

表示乙的空間能力指標值為3,則下列敘述正確的是(

推理能力推理能力

創(chuàng)造計算創(chuàng)造

能力能力能力

空間觀察空間觀察

能力能力能力能力

記憶能力記憶能力

甲的雷達圖乙的雷達圖

A.甲的六大能力中推理能力最差

B.甲的空間能力優(yōu)于計算能力

C.乙的創(chuàng)造能力優(yōu)于甲的創(chuàng)造能力

D.乙的六大能力整體水平低于甲

解析：選ABD由六維能力雷達圖，可得：對于A中，甲的推理能力為3比其他能力

都低，所以A正確；對于B中，甲的空間想象能力是5,計算能力是4,故甲的空間能力優(yōu)

于計算能力，所以B正確；對于C中，乙的創(chuàng)造能力為3,甲的創(chuàng)造能力為4,所以乙的創(chuàng)

造能力低于甲的創(chuàng)造能力，所以C不正確；對于D中，乙的六大能力整體水平為三匕=/5

+5+4+4+3+3)=4,甲的六大能力整體水平為x,弋(3+4+4+5+5+4)=手可得x

c<Tr,即乙的六大能力整體水平低于甲，所以D正確.

8.(2021?漢中一模)五聲音階是中國古樂的基本音階，故有成語“五音不全”，中國古

樂中的五聲音階依次為：宮、商、角、徵、羽.如果從這五個音階中任取兩個音階，排成

一個音序，則這個音序中宮和羽至少有一個的概率為()

A,2B10

C2D史

20

解析：選B設從這五個音階中任取兩個音階，排成一個音序，這個音序中宮和羽至少

有一個為事件A,則X表示這個音序中不含宮和羽這兩個音階，

—C43X27

??.P(4)=LP(A)=1一云=1一熱=而

9.(多選)下列說法正確的是()

A.已知隨機變量產(chǎn)服從正態(tài)分布N(2,4)，尸(聲4)=0.84,則P(2<R4)=0.16

B,以模型y=ce*，去擬合一組數(shù)據(jù)時，為了求出回歸直線方程，設z=lny,將其變換

后得到線性方程z=0.3x+4,則c,"的值分別是小和0.3

C.已知兩個變量具有線性相關(guān)關(guān)系，其回歸直線的方程為y=a+Bx,若b=2,x=

1,y=3,則a=\

D.若樣本數(shù)據(jù)xi,x2,xio的方差為2,則數(shù)據(jù)2xi—1,2*2—1,…，2XIL1的方差

為16

解析：選BC?隨機變量服從正態(tài)分布M2,/),尸(聲4)=0.84,.,.P(2<^<4)=

P(R4)—0.5=0.84-0.5=0.3400.16,AA錯誤；

"'y=cekx,二lny=ln(ce")=Ax+lnc,

；z=0.3x+4,/.Inj=0.3x+4,從而A=0.3,Inc=4,.,.左=0.3,c=e4,.'.B正確；

,直線y=a+fer過點(x,y),.*.3=a+/>,

,:b=2,：.a=\,，C正確；

,樣本數(shù)據(jù)xi,xi,xio的方差為2,.,.數(shù)據(jù)2xi—1,2x2—1,…，2xio—1的方差為

2X22=8,，D錯誤.故選B、C.

10.(多選)某市有4,B,C,。四個景點，一位游客來該市游覽，已知該游客游覽A景

點的概率為彳2，游覽B,C,D景點的概率都是1;，且該游客是否游覽這四個景點相互獨

立.用隨機變量X表示該游客游覽的景點的個數(shù)，下列結(jié)論正確的是()

A.游客至多游覽一個景點的概率為:

B.P(X=2)=l

O

c.P(X=4)=古

D.E(X)=^r

o

解析：選ABD已知游客游覽i個景點為事件Aiti=0,l,則P(Ao)=fl-1)xfl-￡)

2

X-32

3(_i—0+(^i—1)xcix|x^i-0=^,所以該游客至

多游覽一個景點的概率為P(Ao)+