第8講函數(shù)與方程、函數(shù)模型及其應(yīng)用1/40最新考綱

1.了解函數(shù)零點(diǎn)概念，掌握連續(xù)函數(shù)在某個區(qū)間上存在零點(diǎn)判定方法；2.了解指數(shù)函數(shù)、對數(shù)函數(shù)、冪函數(shù)增加特征，結(jié)合詳細(xì)實(shí)例體會直線上升、指數(shù)增加、對數(shù)增加等不一樣函數(shù)類型增加含義；3.了解函數(shù)模型(如指數(shù)函數(shù)、對數(shù)函數(shù)、冪函數(shù)、分段函數(shù)等在社會生活中普遍使用函數(shù)模型)廣泛應(yīng)用.2/40知

識

梳

理1.函數(shù)零點(diǎn) (1)函數(shù)零點(diǎn)概念

對于函數(shù)y＝f(x)，把使________實(shí)數(shù)x叫做函數(shù)y＝f(x)零點(diǎn). (2)函數(shù)零點(diǎn)與方程根關(guān)系

方程f(x)＝0有實(shí)數(shù)根?函數(shù)y＝f(x)圖象與____有交點(diǎn)?函數(shù)y＝f(x)有____. (3)零點(diǎn)存在性定理

假如函數(shù)y＝f(x)滿足：①在區(qū)間[a，b]上圖象是連續(xù)不停一條曲線；②__________；則函數(shù)y＝f(x)在(a，b)上存在零點(diǎn)，即存在c∈(a，b)，使得f(c)＝0，這個c也就是方程f(x)＝0根.f(x)＝0x軸零點(diǎn)f(a)·f(b)<03/402.二次函數(shù)y＝ax2＋bx＋c(a>0)圖象與零點(diǎn)關(guān)系Δ＝b2－4acΔ>0Δ＝0Δ<0二次函數(shù)y＝ax2＋bx＋c(a>0)圖象與x軸交點(diǎn)______________________無交點(diǎn)零點(diǎn)個數(shù)210(x1，0)，(x2，0)(x1，0)4/40kx＋b(k≠0)5/404.指數(shù)、對數(shù)、冪函數(shù)模型性質(zhì)比較函數(shù)性質(zhì)y＝ax(a>1)y＝logax(a>1)y＝xn(n>0)在(0，＋∞)上增減性單調(diào)_____單調(diào)____單調(diào)遞增增加速度越來越快越來越慢相對平穩(wěn)圖象改變隨x增大逐步表現(xiàn)為與_____平行隨x增大逐步表現(xiàn)為與____平行隨n值改變而各有不一樣值比較存在一個x0，當(dāng)x>x0時，有l(wèi)ogax<xn<ax遞增遞增y軸x軸6/40診

斷

自

測1.判斷正誤(在括號內(nèi)打“√”或“×”)7/40解析

(1)f(x)＝lgx零點(diǎn)是1，故(1)錯.(2)f(a)·f(b)＜0是連續(xù)函數(shù)y＝f(x)在(a，b)內(nèi)有零點(diǎn)充分無須要條件，故(2)錯.答案

(1)×

(2)×

(3)√

(4)√8/402.(必修1P88例1改編)函數(shù)f(x)＝ex＋3x零點(diǎn)個數(shù)是(

) A.0 B.1 C.2 D.3答案B9/403.(·安徽卷)以下函數(shù)中，既是偶函數(shù)又存在零點(diǎn)是(

) A.y＝cosx B.y＝sinx C.y＝lnx D.y＝x2＋1解析由函數(shù)是偶函數(shù)，排除選項(xiàng)B、C，又選項(xiàng)D中函數(shù)沒有零點(diǎn)，排除D，y＝cosx為偶函數(shù)且有零點(diǎn).答案A10/404.已知某種動物繁殖量y(只)與時間x(年)關(guān)系為y＝alog3(x＋1)，設(shè)這種動物第2年有100只，到第8年它們發(fā)展到(

) A.100只 B.200只 C.300只 D.400只

解析由題意知100＝alog3(2＋1)，∴a＝100，

∴y＝100log3(x＋1)，當(dāng)x＝8時，y＝100log39＝200.

答案B11/405.函數(shù)f(x)＝ax＋1－2a在區(qū)間(－1，1)上存在一個零點(diǎn)，則實(shí)數(shù)a取值范圍是________.12/40解析依據(jù)題意得：f(－2)＝(－2)2＝4，則f(f(－2))＝f(4)＝24－2＝16－2＝14；令f(x)＝0，得到2x－2＝0，解得：x＝1，則函數(shù)f(x)零點(diǎn)個數(shù)為1.答案

14

113/40考點(diǎn)一函數(shù)零點(diǎn)所在區(qū)間判斷【例1】(1)若a<b<c，則函數(shù)f(x)＝(x－a)(x－b)＋(x－b)(x－c)＋(x－c)(x－a)兩個零點(diǎn)分別位于區(qū)間(

) A.(a，b)和(b，c)內(nèi) B.(－∞，a)和(a，b)內(nèi) C.(b，c)和(c，＋∞)內(nèi) D.(－∞，a)和(c，＋∞)內(nèi) (2)設(shè)f(x)＝lnx＋x－2，則函數(shù)f(x)零點(diǎn)所在區(qū)間為(

) A.(0，1) B.(1，2) C.(2，3) D.(3，4)14/40解析(1)∵a<b<c，∴f(a)＝(a－b)(a－c)>0，f(b)＝(b－c)(b－a)<0，f(c)＝(c－a)(c－b)>0，由函數(shù)零點(diǎn)存在性定理可知：在區(qū)間(a，b)，(b，c)內(nèi)分別存在零點(diǎn)，又函數(shù)f(x)是二次函數(shù)，最多有兩個零點(diǎn)；所以函數(shù)f(x)兩個零點(diǎn)分別位于區(qū)間(a，b)，(b，c)內(nèi)，故選A.(2)法一

函數(shù)f(x)零點(diǎn)所在區(qū)間可轉(zhuǎn)化為函數(shù)g(x)＝lnx，h(x)＝－x＋2圖象交點(diǎn)橫坐標(biāo)所在取值范圍.作圖以下：15/40可知f(x)零點(diǎn)所在區(qū)間為(1，2).法二

易知f(x)＝lnx＋x－2在(0，＋∞)上為增函數(shù)，且f(1)＝1－2＝－1<0，f(2)＝ln2>0.所以依據(jù)函數(shù)零點(diǎn)存在性定理可知在區(qū)間(1，2)內(nèi)函數(shù)存在零點(diǎn).答案(1)A

(2)B16/40規(guī)律方法確定函數(shù)f(x)零點(diǎn)所在區(qū)間慣用方法(1)利用函數(shù)零點(diǎn)存在性定理：首先看函數(shù)y＝f(x)在區(qū)間[a，b]上圖象是否連續(xù)，再看是否有f(a)·f(b)<0.若有，則函數(shù)y＝f(x)在區(qū)間(a，b)內(nèi)必有零點(diǎn).(2)數(shù)形結(jié)正當(dāng)：經(jīng)過畫函數(shù)圖象，觀察圖象與x軸在給定區(qū)間上是否有交點(diǎn)來判斷.17/40答案C18/40考點(diǎn)二函數(shù)零點(diǎn)個數(shù)判斷19/40答案(1)2

(2)B20/40規(guī)律方法函數(shù)零點(diǎn)個數(shù)判斷方法：(1)直接求零點(diǎn)，令f(x)＝0，有幾個解就有幾個零點(diǎn)；(2)零點(diǎn)存在性定理，要求函數(shù)在區(qū)間[a，b]上是連續(xù)不停曲線，且f(a)·f(b)<0，再結(jié)合函數(shù)圖象與性質(zhì)確定函數(shù)零點(diǎn)個數(shù)；(3)利用圖象交點(diǎn)個數(shù)，作出兩函數(shù)圖象，觀察其交點(diǎn)個數(shù)即得零點(diǎn)個數(shù).21/40解析f(x)＝2sinxcosx－x2＝sin2x－x2，則函數(shù)零點(diǎn)即為函數(shù)y＝sin2x與函數(shù)y＝x2圖象交點(diǎn)，如圖所表示，兩圖象有2個交點(diǎn)，則函數(shù)有2個零點(diǎn).答案222/40考點(diǎn)三函數(shù)零點(diǎn)應(yīng)用【例3】

(·昆明調(diào)研)已知定義在R上偶函數(shù)f(x)滿足f(x－4)＝f(x)，且在區(qū)間[0，2]上f(x)＝x，若關(guān)于x方程f(x)＝logax有三個不一樣實(shí)根，求a取值范圍.解由f(x－4)＝f(x)知，函數(shù)周期T＝4.又f(x)為偶函數(shù)，∴f(x)＝f(－x)＝f(4－x)，所以函數(shù)y＝f(x)圖象關(guān)于x＝2對稱.又f(2)＝f(6)＝f(10)＝2.要使方程f(x)＝logax有三個不一樣實(shí)根.由函數(shù)圖象(如圖)，23/40規(guī)律方法已知函數(shù)有零點(diǎn)(方根有根)求參數(shù)值慣用方法：(1)直接法，直接求解方程得到方程根，再經(jīng)過解不等式確定參數(shù)范圍；(2)分離參數(shù)法，先將參數(shù)分離，轉(zhuǎn)化成求函數(shù)值域問題加以處理；(3)數(shù)形結(jié)合，先對解析式變形，在同一平面直角坐標(biāo)系中，畫出函數(shù)圖象，然后觀察求解.24/4025/40(2)在同一坐標(biāo)系中，作y＝f(x)與y＝b圖象.當(dāng)x>m時，x2－2mx＋4m＝(x－m)2＋4m－m2，∴要使方程f(x)＝b有三個不一樣根，則有4m－m2<m，即m2－3m>0.又m>0，解得m>3.答案(1)D

(2)(3，＋∞)26/40考點(diǎn)四構(gòu)建函數(shù)模型處理實(shí)際問題(易錯警示)【例4】(1)(·四川卷)某企業(yè)為激勵創(chuàng)新，計(jì)劃逐年加大研發(fā)資金投入，若該企業(yè)年整年投入研發(fā)資金130萬元，在此基礎(chǔ)上，每年投入研發(fā)資金比上一年增加12%，則該企業(yè)整年投入研發(fā)資金開始超出200萬元年份是(參考數(shù)據(jù)：lg1.12≈0.05，lg1.3≈0.11，lg2≈0.30)(

) A.年 B.年 C.年 D.年27/4028/40答案B29/4030/4031/40(2)解函數(shù)應(yīng)用題程序是：①審題；②建模；③解模；④還原.易錯警示求解過程中不要忽略實(shí)際問題是對自變量限制.32/40【訓(xùn)練4】(1)(·成都調(diào)研)某食品保鮮時間y(單位：小時)與儲備溫度x(單位：℃)滿足函數(shù)關(guān)系y＝ekx＋b(e＝2.718…為自然對數(shù)底數(shù)，k，b為常數(shù)).若該食品在0℃保鮮時間是192小時，在22℃保鮮時間是48小時，則該食品在33℃保鮮時間是________小時.(2)提升過江大橋車輛通行能力可改進(jìn)整個城市交通情況.在普通情況下，大橋上車流速度v(單位：千米/時)是車流密度x(單位：輛/千米)函數(shù).當(dāng)橋上車流密度到達(dá)200輛/千米時，造成堵塞，此時車流速度為0；當(dāng)車流密度不超出20輛/千米時，車流速度為60千米/時.研究表明：當(dāng)20≤x≤200時，車流速度v是車流密度x一次函數(shù).33/40①當(dāng)0≤x≤200時，求函數(shù)v(x)表示式；②當(dāng)車流密度x為多大時，車流量(單位時間內(nèi)經(jīng)過橋上某觀察點(diǎn)車輛數(shù)，單位：輛/時)f(x)＝x·v(x)能夠到達(dá)最大，并求出最大值(準(zhǔn)確到1輛/時).答案

2434/4035/4036/4037/40[思想方法]1.轉(zhuǎn)化思想在函數(shù)零點(diǎn)問題中應(yīng)用

方程解個數(shù)問題可轉(zhuǎn)化為兩個函數(shù)圖象交點(diǎn)個數(shù)問題；已知方程有解求參數(shù)范圍問題可轉(zhuǎn)化為函數(shù)值域問題.2.判斷函數(shù)零點(diǎn)個數(shù)慣用方法 (1)經(jīng)過解方程來判斷. (2)依據(jù)零點(diǎn)存在性定理，結(jié)合函數(shù)性質(zhì)來判斷. (3)將函數(shù)y＝f(x)－g(x)零點(diǎn)個數(shù)轉(zhuǎn)化為函數(shù)y＝f(x)與y＝g(x)圖象公共點(diǎn)個數(shù)來判斷.38/403.求解函數(shù)應(yīng)用問題步驟： (1)審題：搞清題意，分清條件和結(jié)論，理順數(shù)量關(guān)系，初步選擇數(shù)學(xué)模型； (2)建模：將自然語言轉(zhuǎn)化為數(shù)學(xué)語言，將文字語言轉(zhuǎn)化為符號語言，利用數(shù)學(xué)知識，建立對應(yīng)數(shù)學(xué)模型； (