課程基本信息

第一學(xué)

課例編號2020QJ10SXRA028學(xué)科數(shù)學(xué)年級高一學(xué)期

期

課題指數(shù)函數(shù)的圖象和性質(zhì)

書名：普通高中教科書數(shù)學(xué)必修第一冊A版

教科書

出版社：人民教育出版社出版日期：2019年6月

教學(xué)人員

姓名單位

授課教師王建光北京市第二中學(xué)教育集團

指導(dǎo)教師李穎北京市東城區(qū)教師研修中心

教學(xué)目標

教學(xué)目標：（1）借助描點法、信息技術(shù)畫出一些具體指數(shù)函數(shù)的圖象，了解指數(shù)函數(shù)的

基本性質(zhì)；

（2）通過指數(shù)函數(shù)的研究，進一步體會函數(shù)研究的基本方法；

（3）通過指數(shù)函數(shù)的圖象和性質(zhì)，發(fā)展直觀想象和思想抽象的素養(yǎng)．

教學(xué)重點：利用指數(shù)函數(shù)的圖象研究指數(shù)函數(shù)的性質(zhì)．

教學(xué)難點：根據(jù)圖象抽象歸納、概括出指數(shù)函數(shù)的性質(zhì)．

教學(xué)過程

時

教學(xué)環(huán)節(jié)主要師生活動

間

問題1：上節(jié)課我們學(xué)習(xí)了一個新的函數(shù)——指數(shù)函數(shù)，你能復(fù)述

一下指數(shù)函數(shù)的概念和指數(shù)函數(shù)解析式的特征么？

問題2：根據(jù)冪函數(shù)的學(xué)習(xí)經(jīng)驗，我們接下來要研究什么？如何研

究？

師生活動：教師提出問題，引導(dǎo)學(xué)生復(fù)習(xí)指數(shù)函數(shù)的概念，指數(shù)函

2（一）復(fù)數(shù)解析式的特征，指數(shù)函數(shù)的定義域．學(xué)生類比冪函數(shù)的學(xué)習(xí)經(jīng)驗，引

分習(xí)概念，

鐘導(dǎo)入新課出本節(jié)課的主題：指數(shù)函數(shù)的圖象和性質(zhì)，以及研究指數(shù)函數(shù)的圖象和

性質(zhì)的方法．

類比已有的學(xué)習(xí)經(jīng)驗是一個好方法，引導(dǎo)學(xué)生回憶冪函數(shù)的學(xué)習(xí)過

程，可知對于具體的函數(shù)，我們一般按照“概念—圖象—性質(zhì)”的過程進

行研究．前面我們學(xué)習(xí)了指數(shù)函數(shù)的概念，接下來就要研究它的圖象和

性質(zhì)．我們先從具體的指數(shù)函數(shù)入手．

設(shè)計意圖：通過類比已有的研究函數(shù)圖象和性質(zhì)的內(nèi)容和方法，提

出研究指數(shù)函數(shù)的圖象和性質(zhì)的研究內(nèi)容和研究方法．首先先畫出指數(shù)

函數(shù)的圖象，再借助圖象研究指數(shù)函數(shù)的性質(zhì)．

問題3：我們先從簡單的函數(shù)y2x入手．請同學(xué)們畫出指數(shù)函數(shù)

y2x的圖象．觀察函數(shù)的圖象，分析函數(shù)的性質(zhì)．

師生活動：從簡單的函數(shù)y2x入手，教師引導(dǎo)學(xué)生分析函數(shù)的性

質(zhì)，包括定義域，值域，奇偶性，單調(diào)性．由概念知定義域為R，根據(jù)

指數(shù)運算，分析值域為(0,)，進而分析出函數(shù)的圖象應(yīng)該都在x軸

上方．通過特殊點的分析，得出函數(shù)不具有奇偶性．單調(diào)性需要借助圖

12（二）繪象研究．學(xué)生在列表時，分析x的取值，要兼顧正值和負值，在性質(zhì)指

分制圖象，導(dǎo)下畫出函數(shù)的圖象．

鐘自主探究

1

問題4：請同學(xué)們畫出指數(shù)函數(shù)y()x的圖象，觀察函數(shù)的圖象，

2

分析函數(shù)的性質(zhì)．

1

函數(shù)y2xy()x

2

定義域RR

值域(0,)(0,)

單調(diào)性增函數(shù)減函數(shù)

師生活動：教師布置任務(wù)，學(xué)生自己選擇方法作圖，觀察圖象，探

究函數(shù)的性質(zhì)．

1

問題5：你是如何畫出函數(shù)y()x的圖象？描點法還是利用對稱

2

性？請講出選擇的理由．

師生活動：教師詢問學(xué)生作圖的方法，學(xué)生反饋自己用的是描點法

1

還是利用了函數(shù)之間的對稱性．因為y()x2x，點(x，y)與點(-x，

2

y)關(guān)于y軸對稱，所以函數(shù)y2x圖象上任意一點P(x,y)關(guān)于y軸的對

1

稱點P(x,y)都在函數(shù)y()x的圖象上，反之亦然．根據(jù)這種對稱性，

12

1

可以利用函數(shù)y2x的圖象，畫出y()x的圖象．并將此結(jié)論推廣：

2

底數(shù)互為倒數(shù)的兩個指數(shù)函數(shù)的圖象關(guān)于y軸對稱，所以利用這種對稱

性，可以由一個函數(shù)的圖象得到另一個函數(shù)的圖象．

設(shè)計意圖：根據(jù)函數(shù)的解析式先初步分析函數(shù)的性質(zhì)，再選擇合適

的點，利用描點法畫出函數(shù)的圖象，然后由圖象概括出函數(shù)的性質(zhì)，這

是我們研究具體函數(shù)的過程．讓學(xué)生觀察兩個具體的指數(shù)函數(shù)的圖象，

對指數(shù)函數(shù)的圖象和性質(zhì)有一個初步的認知．學(xué)生在作圖的過程中得出

結(jié)論：底數(shù)互為倒數(shù)的兩個指數(shù)函數(shù)的圖象關(guān)于y軸對稱．根據(jù)這種對

稱性，我們將指數(shù)函數(shù)yax的圖象按底數(shù)a的取值，分作a1和

0a1兩種類型進行研究．讓學(xué)生學(xué)會用聯(lián)系的觀點看待問題．

問題6：我們將指數(shù)函數(shù)yax的圖象按底數(shù)a的取值，分作a1

和0a1兩種類型進行研究．為了得到指數(shù)函數(shù)yax的性質(zhì)，我們

還需要畫出更多的具體的指數(shù)函數(shù)的圖象進行觀察．

問題7：畫出指數(shù)函數(shù)y3x和y4x的圖象，分析它們的性質(zhì)．畫

11

出指數(shù)函數(shù)y()x和y()x的圖象，分析它們的性質(zhì)．

34

師生活動：學(xué)生動手操作，觀察分析，師生共同評價．

教師指導(dǎo)學(xué)生先研究底數(shù)a1的情況，可追問學(xué)生在a1的范圍

內(nèi)是否還需要進一步分類，為什么？引導(dǎo)學(xué)生還是要從具體的指數(shù)函數(shù)

進行研究．學(xué)生畫出指數(shù)函數(shù)y3x和y4x的圖象，教師也可借助幾

何畫板呈現(xiàn)多個函數(shù)的圖象．同學(xué)們觀察圖象，分析它們的性質(zhì)，并將

它們跟函數(shù)y2x的圖象進行對比，尋找它們的共性，概括yax

1

（a1）的值域和性質(zhì)．然后根據(jù)對稱性，學(xué)生畫出函數(shù)y()x和

3

1

y()x的圖象，尋找它們的共性，概括yax（0a1）的值域和

4

性質(zhì)．

1

設(shè)計意圖：再研究了y2x和y()x這一對函數(shù)之后，再研究具

2

有類似對稱關(guān)系的其他幾對函數(shù)，概括它們的共同特征．通過選取底數(shù)

a（a＞0，且a≠1）的若干個不同的值，在同一直角坐標系內(nèi)畫出相應(yīng)

的指數(shù)函數(shù)的圖象．觀察這些圖象的位置、公共點和變化趨勢，尋找它

們的共性，概括出指數(shù)函數(shù)yax（a＞0，且a≠1）的性質(zhì)．

問題8：觀察以上這些圖象的位置、公共點和變化趨勢，你能尋找

它們的共性？

師生活動：學(xué)生合作學(xué)習(xí)，探究性質(zhì)，師生互動總結(jié)．

教師將以上函數(shù)的圖象放置于同一直角坐標系內(nèi)，引導(dǎo)學(xué)生以小組

為單位，觀察函數(shù)的圖象，歸納指數(shù)函數(shù)的性質(zhì)，尋找共性．

（1）這些函數(shù)的圖象都過點(0,1)．

（2）函數(shù)的定義域都是(,)，值域都是(0,)．

（3）當0a1時，函數(shù)圖象均呈下降趨勢，即函數(shù)為減函數(shù)；

當a1時，函數(shù)圖象均呈上升趨勢，即函數(shù)為增函數(shù)．

6（三）觀問題9：這幾個函數(shù)的圖象是否能代表一般的指數(shù)函數(shù)的圖象？我

分察歸納，們得到的性質(zhì)是否推廣到一般的指數(shù)函數(shù)的性質(zhì)？

鐘概括性質(zhì)

師生活動：依靠信息技術(shù)，教師根據(jù)指數(shù)函數(shù)的解析式直接作圖，

并對指數(shù)函數(shù)yax（a＞0，且a≠1）中的底數(shù)a進行任意取值，追

蹤函數(shù)圖象的變化．學(xué)生通過觀察大量指數(shù)函數(shù)的圖象，歸納的函數(shù)的

性質(zhì)．

設(shè)計意圖：畫出幾個特殊函數(shù)的圖象，觀察這幾個函數(shù)的圖象來討

論函數(shù)的性質(zhì)．這會帶來一系列問題：為什么這幾個函數(shù)的圖象就可以

代表一般的指數(shù)函數(shù)的圖象？由此得到的性質(zhì)是否可靠？為什么要把

底數(shù)a分為0a1和a1兩類？利用信息技術(shù)，作圖更加方便，學(xué)

生能夠通過大量的函數(shù)圖象看到其共性，實現(xiàn)“由特殊到一般”的歸納過