第十三屆全國大學(xué)生數(shù)學(xué)競賽預(yù)賽試卷參考答案(數(shù)學(xué)B類,2021年)姓名:姓名:準(zhǔn)考證號(hào):所在院校:考場號(hào):座位號(hào):專業(yè):,考試形式:閉卷考試時(shí)間:150分鐘滿分:100分,題號(hào)一二三四五六總分滿分2020得分注意:1.所有答題都須寫在標(biāo)準(zhǔn)答題紙上,寫在本試卷或其它紙上均無效.2.密封線左邊請(qǐng)勿答題,密封線外不得有姓名及相關(guān)標(biāo)記.3.如答題空白不夠,可寫在當(dāng)頁背面,并標(biāo)明題號(hào).,密封線答題時(shí)不要超過此線密封線答題時(shí)不要超過此線得分評(píng)閱人一、(本題15分)設(shè)球面S:x2+y2+z2=1,求以程得分評(píng)閱人解答.解法一:設(shè)L為過頂點(diǎn)M0(0,0,a),方向?yàn)閟=(l,m,n)→,與S相切的錐面上的任母線,則對(duì)于L上任意一點(diǎn)M(x,y,z),L的方程可以表示為,其中l(wèi),m,n∈R不全為零.設(shè)L的參數(shù)方程為,其中t∈R為參數(shù).將直線的參數(shù)方程(1)代入S中可得(l2+m2+n2)t2+2ant+a2-1=0.由直線L與球面S相切的條件可知,(2an)2-4(l2+m2+n2)(a2-1)=0,1,2亦即(l2+m2)a2=(l2+m2+n2).(2) (12分)由(1)和(2)消去參數(shù)t可得錐面方程(a21)(x2+y2)(za)2=0,解法二:設(shè)O(0,0,0)為球心坐標(biāo),M(x,y,z)為切錐面與球面的切點(diǎn),半頂角為Q=注意到222Q,注意到得到即(a21)(x2+y2)(za)2=0,姓名:準(zhǔn)考證號(hào):所在院校:考場號(hào):座位號(hào):專業(yè):得分評(píng)閱人,二、(本題15分)設(shè)B?Rn(n≥2)是單位開球,函數(shù)u,v在B上連續(xù),姓名:準(zhǔn)考證號(hào):所在院校:考場號(hào):座位號(hào):專業(yè):得分評(píng)閱人,2(x)+v2(x)≤1(8x∈B).證明.記w=w(x)=u2(x)+v2(x),則w滿足問題密封線答題時(shí)不要超過此線,密封線答題時(shí)不要超過此線,顯然,w(x)∈C2(B)∩C(B).所以,w(x)必然在B上達(dá)到最大值.設(shè)最大值點(diǎn)為x1.若x11)=0,?△w(x1)≥0.于是由(1)得到,在x1處,0≤?△w≤2(1?w)w?2(j▽uj2+j▽uj2)≤2(1?w)w.,而w(x1)≥0,故上式表明w(x1)≤1.若x1),w(x1)=0.綜合之,恒有0≤w≤1,x∈B.,3(12分)(15分)24得分評(píng)閱人三、(本題15分)設(shè)f(x)=x2021+a2020x2020+a2019x2019+···+a2x2+a1x+a0為整系數(shù)多項(xiàng)式,a00.可能全為實(shí)數(shù).得分評(píng)閱人證明.設(shè)f(x)=0的2021個(gè)根分別為x1,x2,...,x2021.由于a00,所以xi0,=x2021f=a0x2021+a1x2020+a2x2019+···+a2019x2+a2020x+1的根.繼續(xù)由Vieta定理,所以2姓名:準(zhǔn)考證號(hào):姓名:準(zhǔn)考證號(hào):所在院校:考場號(hào):座位號(hào):專業(yè):得分評(píng)閱人四、(本題20分)設(shè)R={0,1,-1},S為R上的3階行列式全體,即S={det(aij)3×3|aij∈R}.證明:S={-4,-3,-2,-1,0,1,2,3,4}.解答.首先,通過直接檢驗(yàn)可知,密封線答題時(shí)不要超過此線其次,由于交換兩行,行列式值改變符號(hào),因此有Γ彐{-4,-3,-2,-1,0,1,2,3,4}.密封線答題時(shí)不要超過此線第三,我們證明:?(aij)3×3,aij∈R,總有|det(aij)|≤4.事實(shí)上,由對(duì)角線法則可知det(aij)=a11a22a33+a12a23a31+a13a32a21-a13a22a31-a12a21a33-a11a32a23記3=a13a32a21,4=-a13a22a31,b5=-a12a21a33,b6=-a11a32a23.,直接觀察可知:每個(gè)aij在單項(xiàng)b1,b2,b3,b4,b5,b6中共出現(xiàn)兩次,且23456=-aaaaaaa1a2a3.因此立即可得:若有某個(gè)aij=0,則b1,...,b6中至少有兩個(gè)為0,從而|det(aij)|≤4.倘若每個(gè)aij都不等于0,則由aij=±1得b1,...,b6之積=-1,從而至少有一個(gè)bi為-1,同時(shí)也至少有一個(gè)bj為1,否則與b1b2b3b4b5b6=-1矛盾.結(jié)果bi與bj互相抵消,仍有|det(aij)|≤4.至此,綜上所得,Γ={-4,-3,-2,-1,0,1,2,3,4},Γ共由9個(gè)元素所組成.,56五、(本題15分)設(shè)函數(shù)f在[-1,1]內(nèi)有定義,在得分評(píng)閱人x=0的某鄰域內(nèi)連續(xù)可導(dǎo),且五、(本題15分)設(shè)函數(shù)f在[-1,1]內(nèi)有定義,在得分評(píng)閱人證明=a>0,知x=0"又f在x=0的某鄰域內(nèi)連續(xù)可導(dǎo),則f(0)=limf(x)=0.x→0+于是0<a=x.由于f,在x=0的某鄰域內(nèi)連續(xù),存在正數(shù)δ>0,使得8x∈[0,δ],有f,(x)>0因此,在[0,δ]上f(x)單調(diào)增加.于是存在正整數(shù),當(dāng)n>N時(shí),f>0且f由=0,知=0,且為交錯(cuò)級(jí)數(shù),由萊布尼茲判別法,級(jí)數(shù)收斂,故級(jí)數(shù)收斂.由于級(jí)數(shù)發(fā)散,而=a>0,故發(fā)散.姓名:準(zhǔn)考證號(hào):所在院校:考場號(hào):座位號(hào):專業(yè):得分評(píng)閱人,六姓名:準(zhǔn)考證號(hào):所在院校:考場號(hào):座位號(hào):專業(yè):得分評(píng)閱人,在(-∞,0)內(nèi)為嚴(yán)格凸的,并且對(duì)任意ξ∈(-∞,0),存在x1,x2∈(-∞,0)使得S(Qx+(1-Q)y)<QS(x)+(1-Q)S(y).)證明我們有,又因?yàn)?密封線答題時(shí)不要超過此線密封線答題時(shí)不要超過此線于是于是由Hlder不等式從而函數(shù)f(x)為嚴(yán)格凸的.,記h(x)=f(x)-(f(ξ)+f,(ξ)(x-ξ)).則h,,(x)>0及h,(ξ)=h(ξ)=0.于是函數(shù)h(x)在(-∞,ξ)上嚴(yán)格遞減,在(ξ,0)上嚴(yán)格增加.任取a∈(-∞,ξ),b∈(ξ,0).,