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文檔簡介

第八章

多元函數(shù)微積分一、二元函數(shù)的定義

定義1設(shè)有三個變量x、y、z,

如果當自變量

x和y,在一定范圍內(nèi)任意取定一組數(shù)值

、

時,按照一定的對應(yīng)法則

,變量z總有唯一確定的數(shù)值

與之對應(yīng),那么就稱變量z是變量x,y的二元函數(shù).記作:

.

其中,稱

x,y為自變量,稱z為因變量,z在

處的函數(shù)值

也可以記為

.

定義2

類似地,可以定義三元函數(shù),四元函數(shù)及n元函數(shù),它們和二元函數(shù)一起統(tǒng)稱為多元函數(shù).第一節(jié)

二元函數(shù)的基本概念二、二元函數(shù)的定義域

定義3使二元函數(shù)的解析式

有意義的點

作成的集合稱為二元函數(shù)

的定義域,即:

有意義

。NOTE：ⅰ一般地,二元函數(shù)的定義域是坐標平面上的一個區(qū)域.ⅱ二元函數(shù)的定義域一般都是用含有x和y的不等式或不等式組表示的.例1求下列函數(shù)的定義域并作出圖形.(1)

解：(1)(2)(2)yx0a-ayx0二元函數(shù)的圖像是空間的一張曲面，其定義域是該曲面在xoy坐標平面上的投影。三、二元函數(shù)的極限

定義4設(shè)函數(shù)

在平面區(qū)域D內(nèi)點

的鄰域有定義(在點

可以無定義).如果當點

無限接近點

(但不達到)時,函數(shù)值

無限接近于某一常數(shù)A,那么就稱常數(shù)A為函數(shù)

當

時的極限,記作:

或

.例2求下列二元函數(shù)的極限.(1)(2)

解：(1)

(2)設(shè)

，則

例3討論函數(shù)

當

的極限的存在性

.解：

(1)當沿曲線趨向于時,

結(jié)果會隨著k的取值不同而改變，因此極限不存在！

例4求.

解：

四、二元函數(shù)的連續(xù)性

定義

設(shè)

在點

的某個領(lǐng)域內(nèi)有定義，若則稱

在點

處連續(xù)的.1.一元函數(shù)的連續(xù)性

2.二元函數(shù)的連續(xù)性

定義5設(shè)

在點

的某個領(lǐng)域內(nèi)有定義，若則稱

在點

處連續(xù)的.定義6如果函數(shù)

在平面區(qū)域D內(nèi)的每一點都連續(xù),

那么就稱函數(shù)

是平面區(qū)域D內(nèi)的連續(xù)函數(shù).定義7如果函數(shù)

在點

處是不連續(xù)的,則稱點

為函數(shù)

的一個間斷點.例5求.

解：因為函數(shù)

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