相似三角形應用舉例授課人：于海波教學目標1.進一步鞏固相似三角形的知識2.能夠運用三角形相似的知識解決不能直接測量物體的長度和高度3.通過把實際問題轉化成有關相似三角形的數學模型1.判斷兩個三角形相似有哪些方法？1.定義2.定理（平行法）3.判定定理一（邊邊邊）4.判定定理二（邊角邊）5.判定定理三（角角）2.相似三角形有什么性質？世界上最高的樹——紅杉怎樣測量這些非常高大物體的高度？世界上最高的樓——臺北101大樓怎樣測量這些非常高大物體的高度？世界上最寬的河——亞馬孫河怎樣測量河寬？例：據史料記載，古希臘數學家、天文學家泰勒斯曾利用相似三角形的原理，在金字塔影子的頂部立一根木桿，借助太陽光線構成兩個相似三角形，來測量金字塔的高度。如圖27．2-8，如果木桿EF長2m，它的影長FD為3m，測得OA為201m，求金字塔的高度BOOBA(F)EDDEA(F)BO2m3m201m解：太陽光是平行線，因此∠BAO=∠EDF又∠AOB=∠DFE=90°∴△ABO∽△DEFBOEF=BO==134（m）OAFDOA·EFFD=201×23∴∴

例：如圖27．2-8，如果木桿EF長2m，它的影長FD為3m，測得OA為201m，求金字塔的高度BOAFEBO┐┐還可以有其他方法測量嗎？一題多解OBEF=OAAF△ABO∽△AEFOB=OA·EFAF平面鏡ACBDE┐┐怎樣測量這些非常高大物體的高度？怎樣測量旗桿的高度?搶答ＡＢＯＡ′Ｂ′Ｏ′6m1.2m1.6mＡＢcＡ′Ｂ′c′１、旗桿的高度是線段

；旗桿的高度與它的影長組成什么三角形？（）這個三角形有沒有哪條邊可以直接測量？溫馨提示：BC△ABC6m2、人的高度與它的影長組成什么三角形？（）這個三角形有沒有哪條邊可以直接測量？△A′B′

C′3、△ABC與△A′B′

C′

有什么關系?試說明理由.1.2m1.6m

在陽光下，在同一時刻，物體的高度與物體的影長存在某種關系：物體的高度越高，物體的影長就越長

在平行光線的照射下，不同物體的物高與影長成比例物1高：物2高=影1長：影2長知識要點測高的方法測量不能到達頂部的物體的高度，通常用“在同一時刻物高與影長成正比例”的原理解決。

在同一時刻物體的高度與它的影長成正比例，在某一時刻，有人測得一高為1.8米的竹竿的影長為3米，某一高樓的影長為60米，那么高樓的高度是多少米？解:設高樓的高度為x米，則答:樓高36米.跟蹤訓練：STPQRba例2為了估算河的寬度,我們可以在河對岸選定一個目標點P,在近岸取點Q和S,使點P、Q、S共線且直線PS與河垂直，接著在過點S且與PS垂直的直線a上選擇適當的點T,確定PT與過點Q且垂直PS的直線b的交點R.如果測得QS=45m,ST=90m,QR=60m,

求河的寬度PQ.

∠P=∠P分析：∵∠PQR=∠PST=90°STPQRba得PQ=90例題求河寬?∴

△PQR∽△PST∴45m60m90m∴知識要點測距的方法測量不能到達兩點間的距離,常構造相似三角形求解。

.為了估算河的寬度，我們可以在河對岸選定一個目標作為點A，再在河的這一邊選點B和C，使AB⊥BC，然后，再選點E，使EC⊥BC，用視線確定BC和AE的交點D．此時如果測得BD＝120米，DC＝60米，EC＝50米，求兩岸間的大致距離AB．AEDCB跟蹤訓練例3：已知左，右并排的兩棵大樹的高分別是AB=8m和CD=12m，兩樹的根部的距離BD=5m。一個身高1.6m的人沿著正對著兩棵樹的一條水平直路從左向右前進，當他與左邊較低的樹的距離小于多少時，就不能看見右邊較高的樹的頂端點C？KⅡ盲區(qū)觀察者看不到的區(qū)域。仰角：視線在水平線以上的夾角。水平線視線視點觀察者眼睛的位置。(1)FBCDHGlAK(1)FBCDHGlAⅠKFABCDHGKⅠⅡl(2)分析：假設觀察者從左向右走到點E時，他的眼睛的位置點F與兩顆樹的頂端點A、C恰在一條直線上,如果觀察者繼續(xù)前進，由于這棵樹的遮擋，右邊樹的頂端點C在觀察者的盲區(qū)之內，觀察者看不到它。E由題意可知，AB⊥L，CD⊥L，∴AB∥CD，△AFH∽△CFK∴FHFK=AHCK即FHFH+5=8-1.612-1.6解得FH=8∴當他與左邊的樹的距離小于8m時，由于這棵樹的遮擋，右邊樹的頂端點C在觀察者的盲區(qū)之內，就不能看見右邊較高的樹的頂端點CFABCDHGKⅠⅡl(2)1、如圖,鐵道口的欄桿短臂長1m,長臂長16m,當短臂端點下降0.5m時,長臂端點升高

m。

OBDCA┏┛8給我一個支點我可以撬起整個地球!---阿基米德1m16m0.5m？跟蹤訓練

(1)小明測得長為1米的竹竿影長為0.9米，同時，小李測得一棵樹的影長為5.4米，請計算小明測量這棵樹的高;(2)同時小王在測另一棵樹時，發(fā)現(xiàn)樹影的一部分在地面上，而另一部分在墻上，他測得地面上的影長為2.7米，留在墻上部分的影長為1.2米.請計算小王測量的這棵樹的高.2.7m1.2mBACD2.測量樹高由相似三角形的性質得:

BE12.70.9

(1)小明測得長為1米的竹竿影長為0.9米，同時，小李測得一棵樹的影長為5.4米，請計算小明測量這棵樹的高;(2)同時小王在測另一棵樹時，發(fā)現(xiàn)樹影的一部分在地面上，而另一部分在墻上，他測得地面上的影長為2.7米，留在墻上部分的影長為1.2米.請計算小王測量的這棵樹的高.2.7m1.2m解法一：如圖，過點D畫DE∥AC交AB于E點，由平行四邊形ACDE得AE=CD=1.2，BADCE∴BE=3，AB=BE+AE=4.2

答:這棵樹高有4.2米.2.測量樹高

(1)小明測得長為1米的竹竿影長為0.9米，同時，小李測得一棵樹的影長為5.4米，請計算小明測量這棵樹的高;(2)同時小王在測另一棵樹時，發(fā)現(xiàn)樹影的一部分在地面上，而另一部分在墻上，他測得地面上的影長為2.7米，留在墻上部分的影長為1.2米.請計算小王測量的這棵樹的高.2.7m1.2mBAC解法二:延長AC交BD延長線于G，

由相似三角形的性質得:

CD:DG=1:0.9

∴DG=0.9CD=1.08

BG=BD+DG=3.78

由CD:AB=DG:BG得

AB=4.2

答:這棵樹的高為4.2米.DG2.測量樹高(3)小明﹑小李二位同學再想利用樹影測量樹高.小明測得長為1米的竹竿影長為2米，同時，小李測量一棵樹時發(fā)現(xiàn)樹影的一部分在地面上，另一部分在斜坡的坡面上，測得在地面影長為10米，在斜坡上影長為4米，斜坡的傾斜角為30°，請計算這棵樹的高．

10mBACD4m30°2.測量樹高10mBAC解法一:畫CG⊥AB于G點，畫CE⊥BD于E，則CE=CD=2，DE=2∴BG=CE=2，

BE=BD+DE=10+2

答:這棵樹的高為(7+)米.DG由相似三角形的性質得:

AG:GC=1:2

∴AG=5+

AB=BG+AG=7+4mE30°

(3)小明測得長為1米的竹竿影長為2米，同時，小李測量一棵樹時發(fā)現(xiàn)樹影的一部分在地面上，另一部分在斜坡的坡面上，測得在地面影長為10米，在斜坡上影長為4米，斜坡的傾斜角為30°，請計算這棵樹的高．

(3)小明測得長為1米的竹竿影長為2米，同時，小李測量一棵樹時發(fā)現(xiàn)樹影的一部分在地面上，另一部分在斜坡的坡面上，測得在地面影長為10米，在斜坡上影長為4米，斜坡的傾斜角為30°，請計算這棵樹的高．10mBACDG4mE30°解法二(3)小明測得長為1米的竹竿影長為2米，同時，小李測量一棵樹時發(fā)現(xiàn)樹影的一部分在地面上，另一部分在斜坡的坡面上，測得在地面影長為10米，在斜坡上影長為4米，斜坡的傾斜角為30°，請計算這棵樹的高．10mBACD4mEF30°解法三1、小明把手臂水平向前伸直，手持長為EF的小尺豎直，瞄準小尺的兩端E、F，不斷調整站立的位置，使站在點D處正好能看到旗桿的頂部和底部，如果小明的手臂長=40㎝，小尺長EF=20㎝，點D到旗桿底部的距離AD=40m，求旗桿的高度。CDEFAB當堂檢測2.如圖，一條河的兩岸有一段是平行的，在河的南岸邊每隔5米有一棵樹，在北岸邊每隔50米有一根電線桿．小麗站在離南岸邊15米的點處看北岸，發(fā)現(xiàn)北岸相鄰的兩根電線桿恰好被南岸的兩棵樹遮住，并且在這兩棵樹之間還有三棵樹，則河寬為

米．3.為了測量路燈（OS）的高度,把一根長1.5米的竹竿（AB）豎直立在水平地面上,測得竹竿的影子（BC）長為1米,然后拿竹竿向遠離路