直線的兩點(diǎn)式方程情境導(dǎo)入知識(shí)海洋直線的兩點(diǎn)式方程

經(jīng)過兩點(diǎn)

P1(x1,y1),

P2(x2,y2)

(其中其中x1≠x2,y1≠y2)的直線方程為

，稱這個(gè)方程為直線的兩點(diǎn)式方程，簡稱兩點(diǎn)式.

要點(diǎn)詮釋：1.這個(gè)方程由直線上兩點(diǎn)確定；2.當(dāng)直線沒有斜率

(x1=x2)或斜率為0

(y1=y2)時(shí)，不能用兩點(diǎn)式求出它的方程.3.直線方程的表示與

P1(x1,y1),P2(x2,y2)選擇的順序無關(guān).

4.在應(yīng)用兩點(diǎn)式求直線方程時(shí)，往往把分式形式

(x1≠x2,y1≠y2)通過交叉相乘轉(zhuǎn)化為整式形式

(y－y1)(x2－x1)＝(y2－y1)(x－x1)

，從而得到的方程中，包含了x1=x2或

y1=y2的情況，但此轉(zhuǎn)化過程不是一個(gè)等價(jià)的轉(zhuǎn)化過程，不能因此忽略由

x1、x2和

y1、y2是否相等引起的討論．要避免討論，可直接假設(shè)兩點(diǎn)式的整式形式．應(yīng)用探究【例】（1）若點(diǎn)P(3,m)在過點(diǎn)

A(2,－1)，B(－3,4)的直線上，則m＝_____.解：由直線方程的兩點(diǎn)式得∴直線

AB的方程為

y＋1＝－x＋2，∵點(diǎn)

P(3,m)在直線

AB上，則

m＋1＝－3＋2，得

m＝－2.－2應(yīng)用探究所以AC所在直線的方程是

3x－y＋9＝0.②因?yàn)锽(2,1)，C(－2,3)，線段BC的中點(diǎn)坐標(biāo)是所以BC邊的垂直平分線方程是

y－2＝2(x－0)，整理得2x－y＋2＝0.【例】（2）△ABC的三個(gè)頂點(diǎn)為

A(－3,0)，B(2,1)，C(－2,3)，求：①AC所在直線的方程；②BC邊的垂直平分線的方程.解：①由直線方程的兩點(diǎn)式得知識(shí)海洋若直線l與x軸的交點(diǎn)為A(a，0)，與y軸的交點(diǎn)為B(0，b)，其中a≠0，b≠0，則過AB兩點(diǎn)的直線方程為，這個(gè)方程稱為直線的截距式方程.a叫做直線在x軸上的截距，b叫做直線在y軸上的截距.直線的截距式方程要點(diǎn)詮釋：

1.截距式的條件是a≠0，b≠0，即截距式方程不能表示過原點(diǎn)的直線以及不能表示與坐標(biāo)軸平行的直線.

2.求直線在坐標(biāo)軸上的截距的方法：令x=0得直線在y軸上的截距；令y=0得直線在x軸上的截距.

3.截距相等問題中，勿忽略a=b=0即直線過原點(diǎn)時(shí)的情況.應(yīng)用探究【例】求過定點(diǎn)

P(2,3)且在兩坐標(biāo)軸上的截距相等的直線

l的方程.②當(dāng)

a≠0時(shí)，直線設(shè)為

，即

x＋y＝a，把

P(2,3)代入得

a＝5，∴直線

l的方程為

x＋y＝5.∴直線

l的方程為

3x－2y＝0或

x＋y－5＝0.解：設(shè)直線的兩截距都是a，則有①當(dāng)

a＝0時(shí)，直線設(shè)為

y＝kx，將P(2,3)代入得

k＝

，∴直線

l的方程為

3x－2y＝0；知識(shí)海洋線段的中點(diǎn)坐標(biāo)公式

若點(diǎn)

P1，P2的坐標(biāo)分別為

(x1，y1)，(x2，y2)，設(shè)

P(x，y)是線段

P1P2的中點(diǎn)，應(yīng)用探究【例】過點(diǎn)

P(3，0)作直線

l，使它被兩條相交直線2x－y－2=0和

x+y+3=0所截得的線段

AB恰好被P點(diǎn)平分，求直線

l的方程.解：設(shè)直線

l與直線

2x－y－2=0交于點(diǎn)

A(x1，y1)．∵點(diǎn)P(3，0)是線段AB的中點(diǎn)，由中點(diǎn)坐標(biāo)公式得B點(diǎn)的坐標(biāo)為(6－x1，－y1)，∴

，解得

.由兩點(diǎn)式直線方程得直線

l

的方程為

，即

8x―y―24=0.應(yīng)用探究拓廣探索【例】已知三角形的三個(gè)頂點(diǎn)

A(－5,0)，B(3,－3)，C(0,2)，求BC邊所在直線的方程，以及該邊上中線所在直線的方程.解：如圖，過

B(3,－3)，C(0,2)的兩點(diǎn)式方程為整理得