課程基本信息

課例編號2020QJ10SXRA032學科數(shù)學年級高一學期第一學期

課題對數(shù)的運算（2）

書名：普通高中教科書數(shù)學必修第一冊A版

教科書

出版社：人民教育出版社出版日期：2019年6月

教學人員

姓名單位

授課教師李晶北京市第十一中學

指導教師李穎北京市東城區(qū)教師研修中心

教學目標

教學目標：

1.經(jīng)歷換底公式的探究，證明過程，初步理解換底公式，并能利用公式實現(xiàn)其他底數(shù)的對數(shù)的運

算；

2.在換底公式的證明中，體會指數(shù)與對數(shù)的內(nèi)在聯(lián)系，提升轉(zhuǎn)化與化歸思想方法的認識與應用；

3.利用換底公式完成對數(shù)計算中，感受對數(shù)運算的意義，提升數(shù)學運算的素養(yǎng).

教學重點：換底公式的認識和初步應用。

教學難點：換底公式的推導

教學過程

時間教學環(huán)節(jié)主要師生活動

1分

一.確復

鐘問題1：請回憶對數(shù)的運算性質(zhì)

習回顧

如果a0,且a1，M0,N0,那么

（1）loga(MN)logMlogN；

M

loglogMlogN

（2）aN;

二．探索

（3）n

logaMnlogaM(nR).

新知

5分

【教師講解】

鐘

數(shù)學史上,人們經(jīng)過大量的努力,制作了常用對數(shù)表和自然對數(shù)表,只

要通過表就能求出任意正數(shù)的常用對數(shù)或自然對數(shù),現(xiàn)在,利用計算工具,

也可以直接求出任意正數(shù)的常用對數(shù)或自然對數(shù),這樣,如果能將其他底

的對數(shù)轉(zhuǎn)換為以10或e為底的對數(shù)，就能方便地求出這些對數(shù)。

探究：

（１）利用計算工具求ln2，ln3的近似值；

（２）根據(jù)對數(shù)的定義，你能利用ln2，ln3的值

求的值嗎？

log23

【師生互動】需要將此式進行變形，請問變形的方向是什么呢？

根據(jù)要求，我們要構(gòu)造ln2和ln3，需要把2或3分離出來。

設(shè)，則x，我們就可以把3分離出來了

log23x23

于是ln2xln3，即xln2ln3，這樣就出現(xiàn)已知中的ln3和ln2了。

ln3

則xlog31.585.

2ln2

3．根據(jù)對數(shù)的定義，你能用和來表示(且

logcalogcblogaba0

a1;b0;c0且c1)嗎？

類比上述變形過程，由特殊到一般進行推導

設(shè)，則x，

logabxab

于是x，即，則

logcalogcbxlogcalogcb

logb

c，且；；且

logab(a0a1b0c0c1)

logca

對數(shù)的換底公式

問題：你可以用自然語言描述嗎？

一個對數(shù)的值等于兩個同底的對數(shù)的商，其中分子是真數(shù)的對數(shù)，

分母是以原對數(shù)的底數(shù)為真數(shù)的對數(shù)。（真數(shù)在上去分子，底數(shù)在下去分

母）。逆應用時，可以將同底的兩個對數(shù)的商轉(zhuǎn)化為一個對數(shù)值。

思考：能利用，表示嗎？

lg2lg3log23

lg3

可以利用換底公式log31.585.

2lg2

log3?

思考：log23

log3?

也可以換為以任意大于零且不等于１的實數(shù)為底的對數(shù)。比如，可

以換位以３為底的對數(shù)，看看能得到什么結(jié)果？

應用1求值:：

log23log34log45log52

三．應用追問：猜想=？并證明

logablogbclogca

舉例

你還能得到哪些結(jié)論？

應用2：在4.2.1的問題1中，通過指數(shù)冪運算，

我們得到y(tǒng)1.11x的關(guān)系，如果求經(jīng)過多少年B地

景區(qū)的游客人次是2001年的2倍，該如何計算呢？

解：在此問題中，其實就是計算的值。由換底公式，可得

xlog1.112

lg2

xlog2

1.11lg1.11

lg2

利用計算工具，可得x6.647

lg1.11

由此可得，大約經(jīng)過7年，B地景區(qū)的游客人次就達到2001年的2倍。

類似地，可以求出游客人次是2001年的3倍，4倍，…所需要的年份

應用2：盡管目前人類還無法準確預報地震，但科學家通過研究，已經(jīng)對

地震有所了解，例如，地震時釋放出的能量E（單位：焦耳）與地震里氏

震級M之間的關(guān)系為lgE4.81.5M.2011年3月11日，日本東北部海域

發(fā)生里氏9.0級地震，它所釋放出來的能量是2008年5月12日我國汶川

發(fā)生里氏8.0級地震的多少倍（精確到1）？

[教師講解]

思考：本題的研究求解對象是什么?如何將此對象與已知條件建立關(guān)系?

答;這是關(guān)于地震的能量與里氏震級之間關(guān)系的問題。

本題的求解對象是地震釋放能量的倍數(shù),即E的比值,條

件中的E存在于常用對數(shù)的真數(shù)位置,若對此比值取常用對

數(shù),可借助對數(shù)運算性質(zhì)轉(zhuǎn)化為各自對數(shù)之差的形式.

解：

19.08.0.

法：設(shè)里氏級和級地震的能量分別E1和E2

由lgE4.81.5M,

可得lgE14.81.59.0，lgE24.81.58.0

E1

于是lglgE1lgE2

E2

(4.81.59.0)(4.81.58.0)1.5

E

利用計算工具可得，1101.532。

E2

法2：9.08.0.

設(shè)里氏級和級地震的能量分別E1和E2

由lgE4.81.5M,

可得lgE14.81.59.0，lgE24.81.58.0

4.81.59.0，4.81.58.0

E110E210

E

利用計算工具可得，1101.532。

E2

雖然里氏9.0級地震與里氏8.0級地震僅相差1級,但前者釋放出來

的能量卻是后者的約32倍.

想一想：為什么兩次地震的里氏震級僅差1級,為何釋放出來的能量卻相

差那么多呢？

地震中能量是很大的數(shù)值，進行對數(shù)運算后其數(shù)值就變得非

常小。這其實相當于把指數(shù)冪運算中冪的結(jié)果反映在指數(shù)

上，也就是說，在以10為底的指數(shù)冪運算中，指數(shù)每增加

1，其冪的值就是原來的10倍；每增加2，其冪的值就是

原來的100倍；

10x11010x，10x210010x

反之，在以10為底的對數(shù)運算中，真數(shù)是原來的10倍，對

數(shù)值就增加1；真數(shù)是原來的100倍，對數(shù)值就增加2.

lg(1010x)1lg10x，lg(10010x)2lg10x

所以在指數(shù)冪運算中，“指數(shù)增長”的