專題29函數(shù)綜合壓軸題（32題）一、單選題1．（2024·四川廣元·中考真題）如圖，已知拋物線過點與x軸交點的橫坐標分別為，，且，，則下列結論：①；②方程有兩個不相等的實數(shù)根；③；④；⑤．其中正確的結論有（

）A．1個 B．2個 C．3個 D．4個2．（2024·內(nèi)蒙古赤峰·中考真題）如圖，正方形的頂點，在拋物線上，點在軸上．若兩點的橫坐標分別為（），下列結論正確的是（）A． B． C． D．3．（2024·山東濟南·中考真題）如圖1，是等邊三角形，點在邊上，，動點以每秒1個單位長度的速度從點出發(fā)，沿折線勻速運動，到達點后停止，連接．設點的運動時間為，為．當動點沿勻速運動到點時，與的函數(shù)圖象如圖2所示．有以下四個結論：①；②當時，；③當時，；④動點沿勻速運動時，兩個時刻，分別對應和，若，則．其中正確結論的序號是（

）A．①②③

B．①②

C．③④

D．①②④二、填空題4．（2024·湖北武漢·中考真題）拋物線（a，b，c是常數(shù)，）經(jīng)過，兩點，且．下列四個結論：①；②若，則；③若，則關于x的一元二次方程無實數(shù)解；④點，在拋物線上，若，，總有，則．其中正確的是（填寫序號）．5．（2024·江蘇宿遷·中考真題）如圖，在平面直角坐標系中，點A在直線上，且點A的橫坐標為4，直角三角板的直角頂點C落在x軸上，一條直角邊經(jīng)過點A，另一條直角邊與直線交于點B，當點C在x軸上移動時，線段的最小值為．6．（2024·黑龍江大慶·中考真題）定義：若一個函數(shù)圖象上存在縱坐標是橫坐標2倍的點，則把該函數(shù)稱為“倍值函數(shù)”，該點稱為“倍值點”．例如：“倍值函數(shù)”，其“倍值點”為．下列說法不正確的序號為．①函數(shù)是“倍值函數(shù)”；②函數(shù)的圖象上的“倍值點”是和；③若關于x的函數(shù)的圖象上有兩個“倍值點”，則m的取值范圍是；④若關于x的函數(shù)的圖象上存在唯一的“倍值點”，且當時，n的最小值為k，則k的值為．7．（2024·四川巴中·中考真題）若二次函數(shù)的圖象向右平移1個單位長度后關于軸對稱．則下列說法正確的序號為．（少選得1分，錯選得0分，選全得滿分）①②當時，代數(shù)式的最小值為3③對于任意實數(shù)，不等式一定成立④Px1,y1，Qx三、解答題8．（2024·江蘇常州·中考真題）將邊長均為的等邊三角形紙片疊放在一起，使點E、B分別在邊上（端點除外），邊相交于點G，邊相交于點H．(1)如圖1，當E是邊的中點時，兩張紙片重疊部分的形狀是________；(2)如圖2，若，求兩張紙片重疊部分的面積的最大值；(3)如圖3，當，時，與有怎樣的數(shù)量關系？試說明理由．9．（2024·四川資陽·中考真題）已知二次函數(shù)與的圖像均過點和坐標原點，這兩個函數(shù)在時形成的封閉圖像如圖所示，為線段的中點，過點且與軸不重合的直線與封閉圖像交于，兩點．給出下列結論：①；②；③以，，，為頂點的四邊形可以為正方形；④若點的橫坐標為，點在軸上（，，三點不共線），則周長的最小值為．其中，所有正確結論的個數(shù)是（

）A． B． C． D．10．（2024·江蘇常州·中考真題）在平面直角坐標系中，二次函數(shù)的圖像與x軸相交于點A、B，與y軸相交于點C．(1)________；(2)如圖，已知點A的坐標是．①當，且時，y的最大值和最小值分別是s、t，，求m的值；②連接，P是該二次函數(shù)的圖像上位于y軸右側的一點（點B除外），過點P作軸，垂足為D．作，射線交y軸于點Q，連接．若，求點P的橫坐標．11．（2024·北京·中考真題）小云有一個圓柱形水杯（記為1號杯），在科技活動中，小云用所學數(shù)學知識和人工智能軟件設計了一個新水杯，并將其制作出來，新水杯（記為2號杯）示意圖如下，當1號杯和2號杯中都有mL水時，小云分別記錄了1號杯的水面高度（單位：cm）和2號杯的水面高度（單位：cm），部分數(shù)據(jù)如下：/mL040100200300400500/cm02.55.07.510.012.5/cm02.84.87.28.910.511.8(1)補全表格（結果保留小數(shù)點后一位）；(2)通過分析數(shù)據(jù)，發(fā)現(xiàn)可以用函數(shù)刻畫與，與之間的關系.在給出的平面直角坐標系中，畫出這兩個函數(shù)的圖象；(3)根據(jù)以上數(shù)據(jù)與函數(shù)圖象，解決下列問題：①當1號杯和2號杯中都有320mL水時，2號杯的水面高度與1號杯的水面高度的差約為___________cm（結果保留小數(shù)點后一位）；②在①的條件下，將2號杯中的一都分水倒入1號杯中，當兩個水杯的水面高度相同時，其水面高度約為___________cm（結果保留小數(shù)點后一位）．12．（2024·吉林·中考真題）小明利用一次函數(shù)和二次函數(shù)知識，設計了一個計算程序，其程序框圖如圖（1）所示，輸入x的值為時，輸出y的值為1；輸入x的值為2時，輸出y的值為3；輸入x的值為3時，輸出y的值為6．(1)直接寫出k，a，b的值．(2)小明在平面直角坐標系中畫出了關于x的函數(shù)圖像，如圖（2）．Ⅰ．當y隨x的增大而增大時，求x的取值范圍．Ⅱ．若關于x的方程（t為實數(shù)），在時無解，求t的取值范圍．Ⅲ．若在函數(shù)圖像上有點P，Q（P與Q不重合）．P的橫坐標為m，Q的橫坐標為．小明對P，Q之間（含P，Q兩點）的圖像進行研究，當圖像對應函數(shù)的最大值與最小值均不隨m的變化而變化，直接寫出m的取值范圍．13．（2024·四川宜賓·中考真題）如圖，拋物線與x軸交于點和點B，與y軸交于點，其頂點為D．(1)求拋物線的表達式及頂點D的坐標；(2)在y軸上是否存在一點M，使得的周長最?。舸嬖冢蟪鳇cM的坐標；若不存在，請說明理由；(3)若點E在以點為圓心，1為半徑的上，連接，以為邊在的下方作等邊三角形，連接．求的取值范圍．14．（2024·江蘇蘇州·中考真題）如圖①，二次函數(shù)的圖象與開口向下的二次函數(shù)圖象均過點，．(1)求圖象對應的函數(shù)表達式；(2)若圖象過點C0,6，點P位于第一象限，且在圖象上，直線l過點P且與x軸平行，與圖象的另一個交點為Q（Q在P左側），直線l與圖象的交點為M，N（N在M左側）．當時，求點P的坐標；(3)如圖②，D，E分別為二次函數(shù)圖象，的頂點，連接AD，過點A作．交圖象于點F，連接EF，當時，求圖象對應的函數(shù)表達式．15．（2024·黑龍江綏化·中考真題）綜合與探究如圖，在平面直角坐標系中，已知拋物線與直線相交于，兩點，其中點，．(1)求該拋物線的函數(shù)解析式．(2)過點作軸交拋物線于點，連接，在拋物線上是否存在點使．若存在，請求出滿足條件的所有點的坐標；若不存在，請說明理由．（提示：依題意補全圖形，并解答）(3)將該拋物線向左平移個單位長度得到，平移后的拋物線與原拋物線相交于點，點為原拋物線對稱軸上的一點，是平面直角坐標系內(nèi)的一點，當以點、、、為頂點的四邊形是菱形時，請直接寫出點F的坐標．16．（2024·云南·中考真題）已知拋物線的對稱軸是直線．設是拋物線與軸交點的橫坐標，記．(1)求的值；(2)比較與的大小．17．（2024·江蘇常州·中考真題）對于平面內(nèi)有公共點的兩個圖形，若將其中一個圖形沿著某個方向移動一定的距離后與另一個圖形重合，則稱這兩個圖形存在“平移關聯(lián)”，其中一個圖形叫做另一個圖形的“平移關聯(lián)圖形”．(1)如圖，是線段的四等分點．若，則在圖中，線段的“平移關聯(lián)圖形”是________，________（寫出符合條件的一種情況即可）；(2)如圖，等邊三角形的邊長是．用直尺和圓規(guī)作出的一個“平移關聯(lián)圖形”，且滿足（保留作圖痕跡，不要求寫作法）；(3)如圖，在平面直角坐標系中，點的坐標分別是、1,0、0,4，以點為圓心，為半徑畫圓．若對上的任意點，連接所形成的圖形都存在“平移關聯(lián)圖形”，且滿足，直接寫出的取值范圍．18．（2024·江蘇宿遷·中考真題）如圖①，已知拋物線與x軸交于兩點，將拋物線向右平移兩個單位長度，得到拋物線，點P是拋物線在第四象限內(nèi)一點，連接并延長，交拋物線于點Q．(1)求拋物線的表達式；(2)設點P的橫坐標為，點Q的橫坐標為，求的值；(3)如圖②，若拋物線與拋物線交于點C，過點C作直線，分別交拋物線和于點M、N（M、N均不與點C重合），設點M的橫坐標為m，點N的橫坐標為n，試判斷是否為定值．若是，直接寫出這個定值；若不是，請說明理由．19．（2024·山東濟南·中考真題）在平面直角坐標系中，拋物線經(jīng)過點，頂點為；拋物線，頂點為．(1)求拋物線的表達式及頂點的坐標；(2)如圖1，連接，點是拋物線對稱軸右側圖象上一點，點是拋物線上一點，若四邊形是面積為12的平行四邊形，求的值；(3)如圖2，連接，點是拋物線對稱軸左側圖像上的動點（不與點重合），過點作交軸于點，連接，求面積的最小值．20．（2024·湖北·中考真題）在平面直角坐標系中，拋物線與x軸交于點和點B，與y軸交于點C．(1)求b的值；(2)如圖，M是第一象限拋物線上的點，，求點M的橫坐標；(3)將此拋物線沿水平方向平移，得到的新拋物線記為L，L與y軸交于點N．設L的頂點橫坐標為n，的長為d．①求d關于n的函數(shù)解析式；②L與x軸圍成的區(qū)域記為U，U與內(nèi)部重合的區(qū)域（不含邊界）記為W．當d隨n的增大而增大，且W內(nèi)恰好有兩個橫、縱坐標均為整數(shù)的點時，直接寫出n的取值范圍．21．（2024·四川雅安·中考真題）如圖，在平面直角坐標系中，一次函數(shù)的圖象l與反比例函數(shù)的圖象交于，兩點．(1)求反比例函數(shù)及一次函數(shù)的表達式；(2)求的面積；(3)若點P是y軸上一動點，連接．當?shù)闹底钚r，求點P的坐標．22．（2024·四川巴中·中考真題）在平面直角坐標系中，拋物線經(jīng)過，兩點，與軸交于點，點是拋物線上一動點，且在直線的上方．(1)求拋物線的表達式．(2)如圖1，過點作軸，交直線于點，若，求點的坐標．(3)如圖2，連接，與交于點，過點作交于點．記、、的面積分別為．當取得最大值時，求的值．23．（2024·四川雅安·中考真題）在平面直角坐標系中，二次函數(shù)的圖象與x軸交于，兩點，與y軸交于點C．(1)求二次函數(shù)的表達式；(2)如圖①，若點P是線段上的一個動點（不與點B，C重合），過點P作y軸的平行線交拋物線于點Q，當線段的長度最大時，求點Q的坐標；(3)如圖②，在（2）的條件下，過點Q的直線與拋物線交于點D，且．在y軸上是否存在點E，使得為等腰三角形？若存在，直接寫出點E的坐標；若不存在，請說明理由．24．（2024·黑龍江大慶·中考真題）如圖，已知二次函數(shù)的圖象與軸交于，兩點．點坐標為，與軸交于點，點為拋物線頂點，點為AB中點．

(1)求二次函數(shù)的表達式；(2)在直線上方的拋物線上存在點，使得，求點的坐標；(3)已知，為拋物線上不與，重合的相異兩點．①若點與點重合，，且，求證：，，三點共線；②若直線AD，交于點，則無論，在拋物線上如何運動，只要，，三點共線，，，中必存在面積為定值的三角形．請直接寫出其中面積為定值的三角形及其面積，不必說明理由．25．（2024·江蘇無錫·中考真題）已知二次函數(shù)的圖象經(jīng)過點和點．(1)求這個二次函數(shù)的表達式；(2)若點，都在該二次函數(shù)的圖象上，試比較和的大小，并說明理由；(3)點在直線上，點在該二次函數(shù)圖象上．問：在軸上是否存在點，使得以，，，為頂點的四邊形是正方形？若存在，請直接寫出所有滿足條件的點的坐標；若不存在，請說明理由．26．（2024·山東濟寧·中考真題）已知二次函數(shù)的圖像經(jīng)過，兩點，其中a，b，c為常數(shù)，且．(1)求a，c的值；(2)若該二次函數(shù)的最小值是，且它的圖像與x軸交于點A，B（點A在點B的左側），與y軸交于點C．①求該二次函數(shù)的解析式，并直接寫出點A，B的坐標；②如圖，在y軸左側該二次函數(shù)的圖像上有一動點P，過點P作x軸的垂線，垂足為D，與直線交于點E，連接，，．是否存在點P，使？若存在，求此時點P的橫坐標；若不存在，請說明理由．27．（2024·遼寧·中考真題）已知是自變量的函數(shù)，當時，稱函數(shù)為函數(shù)的“升冪函數(shù)”．在平面直角坐標系中，對于函數(shù)圖象上任意一點，稱點為點“關于的升冪點”，點在函數(shù)的“升冪函數(shù)”的圖象上．例如：函數(shù)，當時，則函數(shù)是函數(shù)的“升冪函數(shù)”．在平面直角坐標系中，函數(shù)的圖象上任意一點，點為點“關于的升冪點”，點在函數(shù)的“升冪函數(shù)”的圖象上．(1)求函數(shù)的“升冪函數(shù)”的函數(shù)表達式；(2)如圖1，點在函數(shù)的圖象上，點“關于的升冪點”在點上方，當時，求點的坐標；(3)點在函數(shù)的圖象上，點“關于的升冪點”為點，設點的橫坐標為．①若點與點重合，求的值；②若點在點的上方，過點作軸的平行線，與函數(shù)的“升冪函數(shù)”的圖象相交于點，以，為鄰邊構造矩形，設矩形的周長為，求關于的函數(shù)表達式；③在②的條件下，當直線與函數(shù)的圖象的交點有3個時，從左到右依次記為，，，當直線與函數(shù)的圖象的交點有2個時，從左到右依次記為，，若，請直接寫出的值．28．（2024·四川資陽·中考真題）已知平面直角坐標系中，O為坐標原點，拋物線與x軸交于A，B兩點，與y軸的正半軸交于C點，且B4,0，．(1)求拋物線的解析式；(2)如圖1，點P是拋物線在第一象限內(nèi)的一點，連接，過點P作軸于點D，交于點K．記，的面積分別為，，求的最大值；(3)如圖2，連接，點E為線段的中點，過點E作交x軸于點F．拋物線上是否存在點Q，使？若存在，求出點Q的坐標；若不存在，說明理由．29．（2024·甘肅蘭州·中考真題）在平面直角坐標系中，給出如下定義：點P是圖形W外一點，點Q在的延長線上，使得，如果點Q在圖形W上，則稱點P是圖形W的“延長2分點”，例如：如圖1，是線段外一點，在的延長線上，且，因為點Q在線段上，所以點P是線段的“延長2分點”．(1)如圖1，已知圖形：線段，，，在中，______是圖形的“延長2分點”；(2)如圖2，已知圖形：線段，，，若直線上存在點P是圖形的“延長2分點”，求b的最小值：(3)如圖3，已知圖形：以為圓心，半徑為1的，若以，，為頂點的等腰直角三角形上存在點P，使得點P是圖形的“延長2分點”．請直接寫出t的取值范圍．30．（2024·吉林長春·中考真題）在平面直角坐標系中，點是坐標原點，拋物線（是常數(shù)）經(jīng)過點．點、是該拋物線上不重合的兩點，橫坐標分別為、，點的橫坐標為，點的縱坐標與點的縱坐標相同，連結、．(1)求該拋物線對應的函數(shù)表達式；(2)求證：當取不為零的任意實數(shù)時，的值始終為2；(3)作的垂直平分線交直線于點，以為邊、為對角線作菱形，連結．①當與此拋物線的對稱軸重合時，求菱形的面積；②當此拋物線在菱形內(nèi)部的點的縱坐標隨的增大而增大時，直接寫出的取值范圍．31．（2024·湖北武漢·中考真題）拋物線交軸于，兩點（在的右邊），交軸于點．(1)直接寫出點，，的坐標；(2)如圖（1），連接，，過第三象限的拋物線上的點作直線，交y軸于點．若平分線段，求點的坐標；(3)如圖（2），點與原點關于點對稱，過原點的直線交拋物線于，兩點（點在軸下方），線段交拋物線于另一點，連接．若，求直線的解析式．32．（2024·山東東營·中考真題）如圖，在平面直角坐標系中，已知拋物線與軸交于，兩點，與軸交于點，點是拋物線上的一個動點．

(1)求拋物線的表達式；(2)當點在直線下方的拋物線上時，過點作軸的平行線交于點，設點的橫坐標為t，的長為，請寫出關于的函數(shù)表達式，并寫出自變量的取值范圍；(3)連接，交于點，求的最大值．專題29函數(shù)綜合壓軸題（32題）一、單選題1．（2024·四川廣元·中考真題）如圖，已知拋物線過點與x軸交點的橫坐標分別為，，且，，則下列結論：①；②方程有兩個不相等的實數(shù)根；③；④；⑤．其中正確的結論有（

）A．1個 B．2個 C．3個 D．4個【答案】C【分析】本題考查的是二次函數(shù)的圖象與性質(zhì)，熟練的利用數(shù)形結合的方法解題是關鍵；由當時，，可判斷①，由函數(shù)的最小值，可判斷②，由拋物線的對稱軸為直線，且，可判斷③，由時，，當時，，可判斷④，由根與系數(shù)的關系可判斷⑤；【詳解】解：①拋物線開口向上，，，∴當時，，故①不符合題意；②∵拋物線過點，∴函數(shù)的最小值，∴有兩個不相等的實數(shù)根；∴方程有兩個不相等的實數(shù)根；故②符合題意；③∵，，∴拋物線的對稱軸為直線，且，∴，而，∴，∴，故③不符合題意；④∵拋物線過點，∴，∵時，，即，當時，，∴，∴，∴，故④符合題意；⑤∵，，∴，由根與系數(shù)的關系可得：，，∴∴，∴，故⑤符合題意；故選：C．2．（2024·內(nèi)蒙古赤峰·中考真題）如圖，正方形的頂點，在拋物線上，點在軸上．若兩點的橫坐標分別為（），下列結論正確的是（）A． B． C． D．【答案】B【分析】本題主要考查了二次函數(shù)的圖象與性質(zhì)、正方形的性質(zhì)、全等三角形的判定與性質(zhì)，解題時要熟練掌握并能靈活運用是關鍵．依據(jù)題意，連接、交于點，過點作軸于點，過點作于點，先證明．可得，．點、的橫坐標分別為、，可得，．，，，設，則，，，，，．再由，進而可以求解判斷即可．【詳解】解：如圖，連接、交于點，過點作軸于點，過點作于點，四邊形是正方形，、互相平分，，，，，．，，．，．點、的橫坐標分別為、，，．，，，設，則，，，，，．又，，，．．．．點、在軸的同側，且點在點的右側，．．故選：B．3．（2024·山東濟南·中考真題）如圖1，是等邊三角形，點在邊上，，動點以每秒1個單位長度的速度從點出發(fā)，沿折線勻速運動，到達點后停止，連接．設點的運動時間為，為．當動點沿勻速運動到點時，與的函數(shù)圖象如圖2所示．有以下四個結論：①；②當時，；③當時，；④動點沿勻速運動時，兩個時刻，分別對應和，若，則．其中正確結論的序號是（

）A．①②③

B．①②

C．③④

D．①②④【答案】D【分析】由圖知當動點沿勻速運動到點時，，作于點，利用解直角三角形和勾股定理，即可得到，即可判斷①，當時，證明是等邊三角形，即可判斷②，當時，且時，最小，求出最小值即可判斷③，利用勾股定理分別表示出和進行比較，即可判斷④．【詳解】解：由圖知當動點沿勻速運動到點時，，作于點，是等邊三角形，點在邊上，，，，，，，，故①正確；當時，，，，是等邊三角形，，，故②正確；當時，且時，最小，，，，最小為，即能取到，故③錯誤；動點沿勻速運動時，，，，，，當時，，；當時，，，；，；同理，當時，，，，，；故④正確；綜上所述，正確的有①②④，故選：D．【點睛】本題考查了二次函數(shù)綜合，等邊三角形性質(zhì)，解直角三角形，勾股定理，涉及到動點問題、讀懂函數(shù)圖象、正確理解題意，利用數(shù)形結合求解是解本題的關鍵．二、填空題4．（2024·湖北武漢·中考真題）拋物線（a，b，c是常數(shù)，）經(jīng)過，兩點，且．下列四個結論：①；②若，則；③若，則關于x的一元二次方程無實數(shù)解；④點，在拋物線上，若，，總有，則．其中正確的是（填寫序號）．【答案】②③④【分析】本題考查了二次函數(shù)的性質(zhì)，根據(jù)題意可得拋物線對稱軸，即可判斷①，根據(jù)?1,1，兩點之間的距離大于，即可判斷②，根據(jù)拋物線經(jīng)過?1,1得出，代入頂點縱坐標，求得縱坐標的最大值即可判斷③，根據(jù)④可得拋物線的對稱軸，解不等式，即可求解．【詳解】解：∵（a，b，c是常數(shù)，）經(jīng)過?1,1，兩點，且．∴對稱軸為直線，，∵，∴，故①錯誤，∵∴，即?1,1，兩點之間的距離大于又∵∴時，∴若，則，故②正確；③由①可得，∴，即，當時，拋物線解析式為設頂點縱坐標為∵拋物線（a，b，c是常數(shù)，）經(jīng)過?1,1，∴∴∴∵，，對稱軸為直線，∴當時，取得最大值為，而，∴關于x的一元二次方程無解，故③正確；④∵，拋物線開口向下，點Ax1,y1，Bx2,又，∴點Ax1,∴對稱軸解得：，故④正確．故答案為：②③④．5．（2024·江蘇宿遷·中考真題）如圖，在平面直角坐標系中，點A在直線上，且點A的橫坐標為4，直角三角板的直角頂點C落在x軸上，一條直角邊經(jīng)過點A，另一條直角邊與直線交于點B，當點C在x軸上移動時，線段的最小值為．【答案】【分析】利用一次函數(shù)求出點A的坐標，利用勾股定理求出，當點C在x軸上移動時，作與關于對稱，且交x軸于點，由對稱性質(zhì)可知，，，當軸于點時，最短，記此時點C所在位置為，作于點，有，設，則，利用銳角三角函數(shù)建立等式求出，證明，再利用相似三角形性質(zhì)求出，最后根據(jù)求解，即可解題．【詳解】解：點A在直線上，且點A的橫坐標為4，點A的坐標為，，當點C在x軸上移動時，作與關于對稱，且交x軸于點，由對稱性質(zhì)可知，，當軸于點時，最短，記此時點C所在位置為，由對稱性質(zhì)可知，，作于點，有，設，則，，，解得，經(jīng)檢驗是方程的解，，，，，，，，解得，．故答案為：．【點睛】本題考查了軸對稱性質(zhì)，勾股定理，銳角三角函數(shù)，相似三角形性質(zhì)和判定，角平分線性質(zhì)，垂線段最短，一次函數(shù)圖象上點的坐標特征，解題的關鍵是根據(jù)軸對稱性質(zhì)和垂線段最短找出最短的情況．6．（2024·黑龍江大慶·中考真題）定義：若一個函數(shù)圖象上存在縱坐標是橫坐標2倍的點，則把該函數(shù)稱為“倍值函數(shù)”，該點稱為“倍值點”．例如：“倍值函數(shù)”，其“倍值點”為．下列說法不正確的序號為．①函數(shù)是“倍值函數(shù)”；②函數(shù)的圖象上的“倍值點”是和；③若關于x的函數(shù)的圖象上有兩個“倍值點”，則m的取值范圍是；④若關于x的函數(shù)的圖象上存在唯一的“倍值點”，且當時，n的最小值為k，則k的值為．【答案】①③④【分析】本題考查了新定義問題，二次函數(shù)的圖象與系數(shù)的關系，二次函數(shù)圖象上點的坐標特征，二次函數(shù)的性質(zhì)，二次函數(shù)的最值問題．根據(jù)“倍值函數(shù)”的定義，逐一判斷即可．【詳解】解：①函數(shù)中，令，則，無解，故函數(shù)不是“倍值函數(shù)”，故①說法錯誤；②函數(shù)中，令，則，解得或，經(jīng)檢驗或都是原方程的解，故函數(shù)的圖象上的“倍值點”是和，故②說法正確；③在中，令，則，整理得，∵關于x的函數(shù)的圖象上有兩個“倍值點”，∴且，解得且，故③說法錯誤；④在中，令，則，整理得，∵該函數(shù)的圖象上存在唯一的“倍值點”，∴，整理得，∴對稱軸為，此時n的最小值為，根據(jù)題意分類討論，，解得；，無解；，解得或（舍去），綜上，k的值為0或，故④說法錯誤；故答案為：①③④．7．（2024·四川巴中·中考真題）若二次函數(shù)的圖象向右平移1個單位長度后關于軸對稱．則下列說法正確的序號為．（少選得1分，錯選得0分，選全得滿分）①②當時，代數(shù)式的最小值為3③對于任意實數(shù)，不等式一定成立④Px1,y1，Qx【答案】①③④【分析】本題考查的是二次函數(shù)的圖象與性質(zhì)，拋物線的平移，拋物線的增減性的應用，利用的應用二次函數(shù)的性質(zhì)是解本題的關鍵．由二次函數(shù)的圖象向右平移1個單位長度后關于軸對稱．可得，可得①符合題意；由，可得，結合，可得②不符合題意；由對稱軸為直線，結合，可得③符合題意；分三種情況分析④當時，當時，滿足，當時，不滿足，不符合題意，舍去，可得④符合題意；【詳解】解：∵二次函數(shù)的圖象的對稱軸為直線，而二次函數(shù)的圖象向右平移1個單位長度后關于軸對稱．∴，∴，故①符合題意；∴，∴，，∵，∴當時，取最小值，故②不符合題意；∵，∴對稱軸為直線，∵，當時，函數(shù)取最小值，當時，函數(shù)值為，∴，∴對于任意實數(shù)，不等式一定成立，故③符合題意；當時，∵，∴，∴，當時，滿足，∴，∴，當時，不滿足，不符合題意，舍去，故④符合題意；綜上：符合題意的有①③④；故答案為：①③④．三、解答題8．（2024·江蘇常州·中考真題）將邊長均為的等邊三角形紙片疊放在一起，使點E、B分別在邊上（端點除外），邊相交于點G，邊相交于點H．(1)如圖1，當E是邊的中點時，兩張紙片重疊部分的形狀是________；(2)如圖2，若，求兩張紙片重疊部分的面積的最大值；(3)如圖3，當，時，與有怎樣的數(shù)量關系？試說明理由．【答案】(1)菱形(2)(3)，理由見解析【分析】（1）連接，由等邊三角形的性質(zhì)可得，則四點共圓，由三線合一定理得到，則為過的圓的直徑，再由，得到為過的圓的直徑，則點H為圓心，據(jù)此可證明，推出四邊形是平行四邊形，進而可證明四邊形是菱形，即兩張紙片重疊部分的形狀是菱形；（2）由等邊三角形的性質(zhì)得到，，則由平行線的性質(zhì)可推出，進而可證明四邊形是平行四邊形，再證明是等邊三角形，則可設，則，，由勾股定理得到，可得，則當時，有最大值，最大值為；（3）過點B作于M，過點E作于N，連接，則，，，證明，進而可證明，得到，則，即．【詳解】（1）解：如圖所示，連接∵都是等邊三角形，∴，∴四點共圓，∵點E是的中點，∴，∴為過的圓的直徑，又∵，∴為過的圓的直徑，∴點H為圓心，∴，∴，∴，∴，∴四邊形是平行四邊形，又∵，∴四邊形是菱形，∴兩張紙片重疊部分的形狀是菱形；（2）解：∵都是等邊三角形，∴，，∵，∴，∴，∴，∴四邊形是平行四邊形，∵，∴是等邊三角形，過點E作，∴設，則，，∴，∴，∵，∴當時，有最大值，最大值為；（3）解：，理由如下：如圖所示，過點B作于M，過點E作于N，連接，∵都是邊長為的等邊三角形，∴，，∴由勾股定理可得，，∴，又∵，∴，∴，∴，即．【點睛】本題主要考查了二次函數(shù)的應用，等邊三角形的性質(zhì)與判定，平行四邊形的性質(zhì)與判定，全等三角形的性質(zhì)與判定，勾股定理，四點共圓，正確作出輔助線是解題的關鍵．9．（2024·四川資陽·中考真題）已知二次函數(shù)與的圖像均過點和坐標原點，這兩個函數(shù)在時形成的封閉圖像如圖所示，為線段的中點，過點且與軸不重合的直線與封閉圖像交于，兩點．給出下列結論：①；②；③以，，，為頂點的四邊形可以為正方形；④若點的橫坐標為，點在軸上（，，三點不共線），則周長的最小值為．其中，所有正確結論的個數(shù)是（

）A． B． C． D．【答案】D【分析】根據(jù)題意可得兩個函數(shù)的對稱軸均為直線，根據(jù)對稱軸公式即可求出，可判斷①正確；過點作交軸于點，過點作交軸于點，證明，可得，可判斷②正確；當點、分別在兩個函數(shù)的頂點上時，，點、的橫坐標均為，求出的長度，得到，可判斷③正確；作點關于軸的對稱點，連接交軸于點，此時周長的最小，小值為，即可判斷④．【詳解】解：①二次函數(shù)與的圖像均過點和坐標原點，為線段的中點，，兩個函數(shù)的對稱軸均為直線，即，解得：，故①正確；②如圖，過點作交軸于點，過點作交軸于點，，由函數(shù)的對稱性可知，在和中，，，，故正確②；③當點、分別在兩個函數(shù)的頂點上時，，點、的橫坐標均為，由①可知兩個函數(shù)的解析式分別為，，，，，點，，，由，此時以，，，為頂點的四邊形為正方形，故③正確；④作點關于軸的對稱點，連接交軸于點，此時周長的最小，最小值為，點的橫坐標為，，點的橫坐標為，，，，，周長的最小值為，故正確④；故選：D．【點睛】本題是二次函數(shù)的綜合題，涉及二次函數(shù)的圖像與性質(zhì)，全等三角形的判定與性質(zhì)，正方形的判定，對稱中的最值問題等知識，解題的關鍵是靈活運用這些知識．10．（2024·江蘇常州·中考真題）在平面直角坐標系中，二次函數(shù)的圖像與x軸相交于點A、B，與y軸相交于點C．(1)________；(2)如圖，已知點A的坐標是．①當，且時，y的最大值和最小值分別是s、t，，求m的值；②連接，P是該二次函數(shù)的圖像上位于y軸右側的一點（點B除外），過點P作軸，垂足為D．作，射線交y軸于點Q，連接．若，求點P的橫坐標．【答案】(1)3(2)①；②1或或【分析】（1）當時，，即；（2）①先求出解析式為，可知對稱軸為直線：，當，且時，y隨著x的增大而減小，故當，，當時，，由得，，解得；②在中，可求，由題意得，，，四邊形為平行四邊形或等腰梯形，當點P在x軸上方，四邊形為平行四邊形時，則，則，設，則，則，故，則，將點代入，得，解得，故；當四邊形為等腰梯形時，則，過點P作軸于點E，則，由，得，則，設，則，故，解得，即；當點P在x軸下方拋物線上時，此時四邊形為平行四邊形，則，設，則，而，故，即，可得，將點P代入，得，解得或（舍），因此，綜上：點P的橫坐標為1或或．【詳解】（1）解：當時，，即；（2）解：①將點A代入得，，解得：，∴解析式為：，而，∴對稱軸為直線：，當，且時，∴y隨著x的增大而減小，∴當，，當時，，由得，，解得：或（舍）∴；②在中，，由題意得，，，∴四邊形為平行四邊形或等腰梯形，當點P在x軸上方，四邊形為平行四邊形時，則，∵軸，∴，∵，∴，∵，∴設，則，∴，∴，∴，將點代入，得：，解得：或（舍），∴；當四邊形為等腰梯形時，則，過點P作軸于點E，∵軸，∴，∴，∴，∴，∴，∵，∴，∴設，則，∴，∴，即；當點P在x軸下方拋物線上時，此時四邊形為平行四邊形，則，∵∴，設，∴，∴，∴，∴，∴，將點P代入，得：，解得：或，而當時，，故舍，∴，綜上：點P的橫坐標為1或或．【點睛】本題考查了二次函數(shù)的綜合問題，待定系數(shù)法求函數(shù)解析式，二次函數(shù)的圖像與性質(zhì)，圖像與坐標軸的交點，平行四邊形的性質(zhì)，等腰梯形的性質(zhì)等，熟練掌握知識點是解題的關鍵．11．（2024·北京·中考真題）小云有一個圓柱形水杯（記為1號杯），在科技活動中，小云用所學數(shù)學知識和人工智能軟件設計了一個新水杯，并將其制作出來，新水杯（記為2號杯）示意圖如下，當1號杯和2號杯中都有mL水時，小云分別記錄了1號杯的水面高度（單位：cm）和2號杯的水面高度（單位：cm），部分數(shù)據(jù)如下：/mL040100200300400500/cm02.55.07.510.012.5/cm02.84.87.28.910.511.8(1)補全表格（結果保留小數(shù)點后一位）；(2)通過分析數(shù)據(jù)，發(fā)現(xiàn)可以用函數(shù)刻畫與，與之間的關系.在給出的平面直角坐標系中，畫出這兩個函數(shù)的圖象；(3)根據(jù)以上數(shù)據(jù)與函數(shù)圖象，解決下列問題：①當1號杯和2號杯中都有320mL水時，2號杯的水面高度與1號杯的水面高度的差約為___________cm（結果保留小數(shù)點后一位）；②在①的條件下，將2號杯中的一都分水倒入1號杯中，當兩個水杯的水面高度相同時，其水面高度約為___________cm（結果保留小數(shù)點后一位）．【答案】(1)1.0(2)見詳解(3)1.2，8.5【分析】本題考查了函數(shù)的圖像與性質(zhì)，描點法畫函數(shù)圖像，求一次函數(shù)解析式，已知函數(shù)值求自變量，正確理解題意，熟練掌握知識點是解題的關鍵．（1）設V與的函數(shù)關系式為：，由表格數(shù)據(jù)得：，則可求，代入即可求解；（2）畫與之間的關系圖象時，描點，連線即可，畫與的關系圖像時，由于是正比例函數(shù)，故只需描出兩點即可；（3）①當時，，由圖象可知高度差；②在左右兩側找到等距的體積所對應的高度相同，大致為．【詳解】（1）解：由題意得，設V與的函數(shù)關系式為：，由表格數(shù)據(jù)得：，解得：，∴，∴當時，，∴；（2）解：如圖所示，即為所畫圖像，（3）解：①當時，，由圖象可知高度差，故答案為：1.2；②由圖象可知當兩個水杯的水面高度相同時，估算高度約為，故答案為：．12．（2024·吉林·中考真題）小明利用一次函數(shù)和二次函數(shù)知識，設計了一個計算程序，其程序框圖如圖（1）所示，輸入x的值為時，輸出y的值為1；輸入x的值為2時，輸出y的值為3；輸入x的值為3時，輸出y的值為6．(1)直接寫出k，a，b的值．(2)小明在平面直角坐標系中畫出了關于x的函數(shù)圖像，如圖（2）．Ⅰ．當y隨x的增大而增大時，求x的取值范圍．Ⅱ．若關于x的方程（t為實數(shù)），在時無解，求t的取值范圍．Ⅲ．若在函數(shù)圖像上有點P，Q（P與Q不重合）．P的橫坐標為m，Q的橫坐標為．小明對P，Q之間（含P，Q兩點）的圖像進行研究，當圖像對應函數(shù)的最大值與最小值均不隨m的變化而變化，直接寫出m的取值范圍．【答案】(1)(2)Ⅰ：或；Ⅱ：或；Ⅲ：或【分析】本題考查了二次函數(shù)與一次函數(shù)的圖像與性質(zhì)，待定系數(shù)法求函數(shù)解析式，一元二次方程的解，正確理解題意，利用數(shù)形結合的思想是解決本題的額關鍵．（1）先確定輸入x值的范圍，確定好之后將x，y的值代入所給的y關于x的函數(shù)解析式種解方程或方程組即可；（2）Ⅰ：可知一次函數(shù)解析式為：，二次函數(shù)解析式為：，當時，，對稱為直線，開口向上，故時，y隨著x的增大而增大；當時，，，故時，y隨著x的增大而增大；Ⅱ：問題轉化為拋物線與直線在時無交點，考慮兩個臨界狀態(tài)，當時，拋物線與直線在時正好一個交點，因此當時，拋物線與直線在時沒有交點；當，，故當時，拋物線與直線在時正好一個交點，因此當時，拋物線與直線在時沒有交點，當或時，拋物線與直線在時沒有交點，即方程無解；Ⅲ：可求點P、Q關于直線對稱，當，，當時，，當圖像對應函數(shù)的最大值與最小值均不隨m的變化而變化，而當時，，時，，故①當，由題意得：，則；②當，由題意得：，則，綜上：或．【詳解】（1）解：∵，∴將，代入，得：，解得：，∵，∴將，代入得：，解得：；（2）解：Ⅰ，∵，∴一次函數(shù)解析式為：，二次函數(shù)解析式為：當時，，對稱為直線，開口向上，∴時，y隨著x的增大而增大；當時，，，∴時，y隨著x的增大而增大，綜上，x的取值范圍：或；Ⅱ，∵，∴，在時無解，∴問題轉化為拋物線與直線在時無交點，∵對于，當時，∴頂點為，如圖：∴當時，拋物線與直線在時正好一個交點，∴當時，拋物線與直線在時沒有交點；當，，∴當時，拋物線與直線在時正好一個交點，∴當時，拋物線與直線在時沒有交點，∴當或時，拋物線與直線在時沒有交點，即：當或時，關于x的方程（t為實數(shù)），在時無解；Ⅲ：∵，∴，∴點P、Q關于直線對稱，當，，當時，，∵當圖像對應函數(shù)的最大值與最小值均不隨m的變化而變化，而當時，，時，，∴①當，如圖：由題意得：，∴；②當，如圖：由題意得：，∴，綜上：或．13．（2024·四川宜賓·中考真題）如圖，拋物線與x軸交于點和點B，與y軸交于點，其頂點為D．(1)求拋物線的表達式及頂點D的坐標；(2)在y軸上是否存在一點M，使得的周長最?。舸嬖?，求出點M的坐標；若不存在，請說明理由；(3)若點E在以點為圓心，1為半徑的上，連接，以為邊在的下方作等邊三角形，連接．求的取值范圍．【答案】(1)拋物線的表達式為，頂點D的坐標為；(2)點M的坐標為；(3)的取值范圍為．【分析】（1）利用待定系數(shù)法求解即可；（2）作點B關于原點的對稱點，連接交軸于點M，此時的周長最小，利用待定系數(shù)法求得直線的解析式，據(jù)此求解即可；（3）以為邊在的下方作等邊三角形，得到點在以為圓心，1為半徑的上，據(jù)此求解即可．【詳解】（1）解：由于拋物線經(jīng)過點和點，∴，∴，∴拋物線的表達式為，∴頂點D的坐標為；（2）解：∵點，對稱軸為直線，∴點，∵，，∴長為定值，作點B關于原點的對稱點，則，連接交軸于點M，則，∴，此時的周長最小，設直線的解析式為，則，解得，，∴直線的解析式為，令，則，∴點M的坐標為；（3）解：以為邊在的下方作等邊三角形，作軸于點，連接，，∵等邊三角形，∴，，，∴，∴，，，∵，∴，∴點在以為圓心，1為半徑的上，，當點在線段上時，有最小值為；當點在射線上時，有最大值為；∴的取值范圍為．【點睛】本題是一道二次函數(shù)的綜合題，主要考查了二次函數(shù)圖象的性質(zhì)，待定系數(shù)法確定函數(shù)的解析式，一次函數(shù)圖象的性質(zhì)，拋物線上點的坐標的特征，一次函數(shù)圖象上點的坐標的特征，利用點的坐標表示出相應線段的長度是解題的關鍵．14．（2024·江蘇蘇州·中考真題）如圖①，二次函數(shù)的圖象與開口向下的二次函數(shù)圖象均過點，．(1)求圖象對應的函數(shù)表達式；(2)若圖象過點C0,6，點P位于第一象限，且在圖象上，直線l過點P且與x軸平行，與圖象的另一個交點為Q（Q在P左側），直線l與圖象的交點為M，N（N在M左側）．當時，求點P的坐標；(3)如圖②，D，E分別為二次函數(shù)圖象，的頂點，連接AD，過點A作．交圖象于點F，連接EF，當時，求圖象對應的函數(shù)表達式．【答案】(1)(2)點P的坐標為(3)【分析】（1）運用待定系數(shù)法求函數(shù)解析式即可；（2）可求對應的函數(shù)表達式為：，其對稱軸為直線．作直線，交直線l于點H．（如答圖①）由二次函數(shù)的對稱性得，，，由，得到，設，則點P的橫坐標為，點M的橫坐標為，，，故有，解得，（舍去），故點P的坐標為；（3）連接DE，交x軸于點G，過點F作于點I，過點F作軸于點J，（如答圖②），則四邊形為矩形，設對應的函數(shù)表達式為，可求，，則，，，而，則．設，則，，，即，可得，故，則，則①，由點F在上，得到，化簡得②，由①，②可得，解得m=85，因此，故的函數(shù)表達式為．【詳解】（1）解：（1）將，代入，得，，解得：對應的函數(shù)表達式為：；（2）解：設對應的函數(shù)表達式為，將點C0,6代入得：，解得：．對應的函數(shù)表達式為：，其對稱軸為直線．又圖象的對稱軸也為直線，作直線，交直線l于點H（如答圖①）由二次函數(shù)的對稱性得，，∴．又，而．設，則點P的橫坐標為，點M的橫坐標為．將代入，得，將代入，得．，，即，解得，（舍去）．點P的坐標為；（3）解：連接DE，交x軸于點G，過點F作于點I，過點F作軸于點J．（如答圖②），軸，軸，四邊形為矩形，，．設對應的函數(shù)表達式為，點D，E分別為二次函數(shù)圖象，的頂點，將分別代入，得，∴，，，，．在中，．，．又，．．設，則，．，．，．，．又，，①點F在上，，即．，②由①，②可得．解得（舍去），，．的函數(shù)表達式為．【點睛】本題考查了二次函數(shù)的圖象與性質(zhì)，待定系數(shù)法求函數(shù)解析式，二次函數(shù)的對稱性，矩形的判定與性質(zhì)，解直角三角形的相關運算，熟練掌握知識點，正確添加輔助線是解決本題的關鍵．15．（2024·黑龍江綏化·中考真題）綜合與探究如圖，在平面直角坐標系中，已知拋物線與直線相交于，兩點，其中點，．(1)求該拋物線的函數(shù)解析式．(2)過點作軸交拋物線于點，連接，在拋物線上是否存在點使．若存在，請求出滿足條件的所有點的坐標；若不存在，請說明理由．（提示：依題意補全圖形，并解答）(3)將該拋物線向左平移個單位長度得到，平移后的拋物線與原拋物線相交于點，點為原拋物線對稱軸上的一點，是平面直角坐標系內(nèi)的一點，當以點、、、為頂點的四邊形是菱形時，請直接寫出點F的坐標．【答案】(1)(2)存在，點坐標為，，補圖見解析(3)、、、【分析】（1）待定系數(shù)法求解析式即可求解；（2）根據(jù)平行線的性質(zhì)可得，求得，進而分別求得，，根據(jù)可得，設直線交軸于點，則，．進而可得，的解析式為，，連接交拋物線于，連接交拋物線于，進而聯(lián)立拋物線與直線解析式，解方程，即可求解．（3）①以BD為對角線，如圖作BD的垂直平分線交BD于點交直線于，設，根據(jù)兩點距離公式可得，根據(jù)中點坐標公式可得，②以BD為邊，如圖以為圓心，BD為半徑畫圓交直線于點，；連接，，根據(jù)勾股定理求得，進而得出，，根據(jù)平移的性質(zhì)得出，，③以BD為邊，如圖以點為圓心，BD長為半徑畫圓交直線于點和，連接，，則，過點作于點，則，在和中，由勾股定理得，則、，根據(jù)，可得，過點作，過作，和相交于點，的中點．根據(jù)中點坐標公式可得；【詳解】（1）解：∵把點，代入得，解得，∴．（2）存在．理由：∵軸且，∴，∴（舍去），，∴．過點作于點，在中，∵，∴，∵，∴．設直線交軸于點，，，∴，．連接交拋物線于，連接交拋物線于，∴，的解析式為，，∴，解得，或，解得．∴把，代入得，，∴，．綜上所述，滿足條件的點坐標為，．（3）、、、．方法一：①以BD為對角線，如圖作BD的垂直平分線交BD于點交直線于∵，D1,4，∴．設，∵，∴，∴，∴，∵是的中點，．②以BD為邊如圖以為圓心，BD為半徑畫圓交直線于點，；連接，，過點作，過點作，和相交于點，同理可得，D1,4，，．過點作直線于點，則；在和中，由勾股定理得，，，．點是由點向右平移個單位長度，再向上平移個單位長度得到的，，，③以BD為邊如圖以點為圓心，BD長為半徑畫圓交直線于點和，連接，，則，過點作于點，則，在和中，由勾股定理得，，、，，，、、三點共線，過點作，過作，和相交于點，∵、，的中點．D1,4，點為的中點，．綜上所述：、、、．16．（2024·云南·中考真題）已知拋物線的對稱軸是直線．設是拋物線與軸交點的橫坐標，記．(1)求的值；(2)比較與的大?。敬鸢浮?1)(2)當時，；當時，．【分析】（1）由對稱軸為直線直接求解；（2）當時，；當時，．【詳解】（1）解：∵拋物線的對稱軸是直線，∴，∴；（2）解：∵是拋物線與軸交點的橫坐標，∴，∴，∴，∴，而代入得：，∴，∴，∵，解得：，當時，∴；當時，，∴．【點睛】本題考查了二次函數(shù)的對稱軸公式，與x軸交點問題，解一元二次方程，無理數(shù)的大小比較，解題的關鍵是對進行降次處理．17．（2024·江蘇常州·中考真題）對于平面內(nèi)有公共點的兩個圖形，若將其中一個圖形沿著某個方向移動一定的距離后與另一個圖形重合，則稱這兩個圖形存在“平移關聯(lián)”，其中一個圖形叫做另一個圖形的“平移關聯(lián)圖形”．(1)如圖，是線段的四等分點．若，則在圖中，線段的“平移關聯(lián)圖形”是________，________（寫出符合條件的一種情況即可）；(2)如圖，等邊三角形的邊長是．用直尺和圓規(guī)作出的一個“平移關聯(lián)圖形”，且滿足（保留作圖痕跡，不要求寫作法）；(3)如圖，在平面直角坐標系中，點的坐標分別是、1,0、0,4，以點為圓心，為半徑畫圓．若對上的任意點，連接所形成的圖形都存在“平移關聯(lián)圖形”，且滿足，直接寫出的取值范圍．【答案】(1)，(2)圖見解析（答案不唯一）(3)或【分析】（）根據(jù)平移的性質(zhì)，進行求解即可；（）延長，在射線上截取線段，分別以為圓心，的長為半徑畫弧，兩弧交于點，連接，即為所求；（）分在圓內(nèi)和圓外兩種情況，進行求解即可．【詳解】（1）解：∵是線段的四等分點．，∴，∴，∴線段的平移圖形是，；故答案為：，；（2）解：如圖所示，即為所求；由作圖可知：，∴四邊形為菱形，∴，∵，∴四邊形為菱形，∴，∴即為所求；（3）∵點的坐標分別是、1,0、0,4，∴，∵對上的任意點，連接所形成的圖形都存在“平移關聯(lián)圖形”，且滿足，且，∴，當在圓外，點在軸上，時，∴，，∴，當在圓內(nèi)，點在軸上，時，∴，，∴，綜上：或．【點睛】本題考查圖形的平移，點到圓上一點的最值，坐標與圖形，勾股定理，菱形的判定，尺規(guī)作圖等知識點，熟練掌握相關知識點，理解新定義，是解題的關鍵．18．（2024·江蘇宿遷·中考真題）如圖①，已知拋物線與x軸交于兩點，將拋物線向右平移兩個單位長度，得到拋物線，點P是拋物線在第四象限內(nèi)一點，連接并延長，交拋物線于點Q．(1)求拋物線的表達式；(2)設點P的橫坐標為，點Q的橫坐標為，求的值；(3)如圖②，若拋物線與拋物線交于點C，過點C作直線，分別交拋物線和于點M、N（M、N均不與點C重合），設點M的橫坐標為m，點N的橫坐標為n，試判斷是否為定值．若是，直接寫出這個定值；若不是，請說明理由．【答案】(1)；(2)；(3)是定值，．【分析】此題是二次函數(shù)綜合題，考查了待定系數(shù)法求函數(shù)解析式、函數(shù)圖象的交點問題、一元二次方程根與系數(shù)關系等知識，準確利用待定系數(shù)法求函數(shù)解析式是解題的關鍵．（1）利用待定系數(shù)法求出，再根據(jù)平移規(guī)律即可求出拋物線的表達式；（2）設點P的坐標為，待定系數(shù)法求出直線的解析式為，聯(lián)立與得到，解得，即可求出答案；（3）由（1）可得，，與聯(lián)立得到，求出點C的坐標為，又由點M的坐標為，利用待定系數(shù)法求出直線的解析式為，與聯(lián)立得到，則，得到，即可得到，得到定值．【詳解】（1）解：∵拋物線與x軸交于兩點，∴，解得，∴，∵拋物線向右平移兩個單位長度，得到拋物線，∴即（2）解：設點P的坐標為，設直線的解析式為，把點A和點P的坐標代入得到，則解得，∴直線的解析式為，聯(lián)立與得到，解得，則（3）解：由（1）可得，，與聯(lián)立得到，，解得，此時∴點C的坐標為，∵點M的橫坐標為m，且在上，∴即點M的坐標為設直線的解析式為，把點C和點M的坐標代入得到，則解得，∴直線的解析式為，與聯(lián)立得到，，整理得到，則，即，即，即為定值．19．（2024·山東濟南·中考真題）在平面直角坐標系中，拋物線經(jīng)過點，頂點為；拋物線，頂點為．(1)求拋物線的表達式及頂點的坐標；(2)如圖1，連接，點是拋物線對稱軸右側圖象上一點，點是拋物線上一點，若四邊形是面積為12的平行四邊形，求的值；(3)如圖2，連接，點是拋物線對稱軸左側圖像上的動點（不與點重合），過點作交軸于點，連接，求面積的最小值．【答案】(1)，(2)(3)【分析】（1）利用待定系數(shù)法求解出拋物線的解析式，再轉化為頂點式，即可得到頂點坐標；（2）連接，過點作軸，交延長線于點，過點作，垂足為，與軸交于，設點的橫坐標為．設直線的表達式為，解方程組得到直線的表達式為，則，求得，求得于是得到，解方程得到，根據(jù)平移的性質(zhì)得到，將代入，解方程即可；（3）過作軸，垂足為，過點作軸，過點作軸，與交于點，設且，求得拋物線的頂點，得到，推出，解方程得到當時，，根據(jù)三角形的面積公式即可得到結論．【詳解】（1）解：拋物線過點得解得拋物線的表達式為頂點；（2）解：如圖，連接，過點作軸，交延長線于點，過點作，垂足為，與軸交于，設點的橫坐標為．設直線的表達式為由題意知解得直線的表達式為的面積為12，，解得（舍）點先向右平移1個單位長度，再向下平移1個單位長度，得到點將代入得解得．（3）解：如圖，過作軸，垂足為，過點作軸，過點作軸，與交于點，設且拋物線的頂點，易得當時，點橫坐標最小值為，此時點到直線距離最近，的面積最小最近距離即邊上的高，高為：面積的最小值為．【點睛】本題是二次函數(shù)的綜合題，考查了待定系數(shù)法求函數(shù)的解析式，平行四邊形的性質(zhì)，平移的性質(zhì)，等腰三角形的判定和性質(zhì)，三角形的面積的計算，正確地找出輔助線是解題的關鍵．20．（2024·湖北·中考真題）在平面直角坐標系中，拋物線與x軸交于點和點B，與y軸交于點C．(1)求b的值；(2)如圖，M是第一象限拋物線上的點，，求點M的橫坐標；(3)將此拋物線沿水平方向平移，得到的新拋物線記為L，L與y軸交于點N．設L的頂點橫坐標為n，的長為d．①求d關于n的函數(shù)解析式；②L與x軸圍成的區(qū)域記為U，U與內(nèi)部重合的區(qū)域（不含邊界）記為W．當d隨n的增大而增大，且W內(nèi)恰好有兩個橫、縱坐標均為整數(shù)的點時，直接寫出n的取值范圍．【答案】(1)(2)點M的橫坐標為(3)①；②或【分析】（1）用待定系數(shù)法求解即可；（2）設，作軸于點，構造直角三角形，利用銳角三角函數(shù)或者相似建立關于的方程求解即可；（3）①由二次函數(shù)平移可得出圖象的解析式為，從而得到，再分類討論去絕對值即可；②根據(jù)題干條件得出整數(shù)點，，，再分別兩兩進行分類討論，建立二次函數(shù)不等式即可解決．【詳解】（1）解：二次函數(shù)與軸交于，，解得：；（2），二次函數(shù)表達式為：，令，解得或，令得，，，，設，作軸于點，如圖，，，即，解得或（舍去），的橫坐標為；（3）①將二次函數(shù)沿水平方向平移，縱坐標不變?yōu)?，圖象的解析式為，，，；②由①得，畫出大致圖象如下，隨著增加而增加，或，中含，，三個整點（不含邊界），當內(nèi)恰有2個整數(shù)點，時，當時，，當時，，，，或，，或，；當內(nèi)恰有2個整數(shù)點，時，當時，，當時，，，或，，，或，；當內(nèi)恰有2個整數(shù)點，時，此種情況不存在，舍去．綜上所述，的取值范圍為或．【點睛】本題主要考查了二次函數(shù)綜合，包括用待定系數(shù)法求二次函數(shù)表達式及二次函數(shù)與線段交點的問題，也考查了二次函數(shù)與不等式，相似三角形的判定和性質(zhì)，熟練掌握二次函數(shù)的圖象和性質(zhì)以及數(shù)形結合法是解題關鍵．21．（2024·四川雅安·中考真題）如圖，在平面直角坐標系中，一次函數(shù)的圖象l與反比例函數(shù)的圖象交于，兩點．(1)求反比例函數(shù)及一次函數(shù)的表達式；(2)求的面積；(3)若點P是y軸上一動點，連接．當?shù)闹底钚r，求點P的坐標．【答案】(1)一次函數(shù)的表達式為，反比例函數(shù)表達式為(2)(3)【分析】本題主要考查了反比例函數(shù)與一次函數(shù)的交點問題，解題時要熟練掌握并能靈活運用反比例函數(shù)的性質(zhì)是關鍵．（1）依據(jù)題意，由在反比例函數(shù)上，可得的值，進而求出反比例函數(shù)，再將代入求出的坐標，最后利用待定系數(shù)法求出一次函數(shù)的解析式；（2）依據(jù)題意，設直線交軸于點，交軸于點，由直線為，可得，故，再由，進而計算可以得解；（３）依據(jù)題意，作點關于軸的對稱點，連接交軸于點，則的最小值等于的長，結合)與關于軸對稱，故為，又，可得直線為，再令，則，進而可以得解．【詳解】（1）解：由題意，∵在反比例函數(shù)上，∴．∴反比例函數(shù)表達式為．又在反比例函數(shù)上，∴．∴．設一次函數(shù)表達式為，∴，∴，．∴一次函數(shù)的表達式為．（2）解：由題意，如圖，設直線l交x軸于點A，交y軸于點B，又直線l為，∴，．∴，，∴；（3）解：由題意，如圖，作點M關于y軸的對稱點，連接交y軸于點P，則的最小值等于的長．∵與關于y軸對稱，∴為．又，設的解析式為，則，解得，∴直線為．令，則．∴．22．（2024·四川巴中·中考真題）在平面直角坐標系中，拋物線經(jīng)過，兩點，與軸交于點，點是拋物線上一動點，且在直線的上方．(1)求拋物線的表達式．(2)如圖1，過點作軸，交直線于點，若，求點的坐標．(3)如圖2，連接，與交于點，過點作交于點．記、、的面積分別為．當取得最大值時，求的值．【答案】(1)(2)(3)【分析】（1）利用待定系數(shù)法求函數(shù)解析式即可；（2）令時，，求出，進一步求出直線的解析式為，設，則，表示出，，利用，可得，可得；（3）由得到，進而得到，作交y軸于N，作軸交于Q，求出直線的解析式為，進而得到，求出，再證明，設，則，得到，得到，即可得到此時，點P的坐標為，點Q的坐標為，求出，，證明，得到，由即可求出答案．【詳解】（1）解：∵拋物線與軸交于點，，∴，解得：，∴拋物線解析式為．；（2）解：∵當時，，∴，設直線的解析式為，∴，解得：，∴直線的解析式為，設，則，∵軸于點D，∴，，∴，∴，∵，∴，解得，（此時，重合，不合題意舍去），∴，∴；（3）解：∵，，∴，，作交y軸于N，作軸交于Q，直線的解析式為，，直線的解析式為，將代入，得：，解得：，直線的解析式為，當時，，，∴,，，，∴，，∵，，∴，∴，，設，則，∴，，∴當時，有最大值，此時，，，，，，，，，，，，，，．【點睛】此題是二次函數(shù)綜合題，考查了待定系數(shù)法求一次函數(shù)和二次函數(shù)解析式、相似三角形的判定和性質(zhì)、二次函數(shù)的圖象和性質(zhì)、解直角三角形等知識，數(shù)形結合和準確計算是解題的關鍵．23．（2024·四川雅安·中考真題）在平面直角坐標系中，二次函數(shù)的圖象與x軸交于，兩點，與y軸交于點C．(1)求二次函數(shù)的表達式；(2)如圖①，若點P是線段上的一個動點（不與點B，C重合），過點P作y軸的平行線交拋物線于點Q，當線段的長度最大時，求點Q的坐標；(3)如圖②，在（2）的條件下，過點Q的直線與拋物線交于點D，且．在y軸上是否存在點E，使得為等腰三角形？若存在，直接寫出點E的坐標；若不存在，請說明理由．【答案】(1)(2)(3)存在，點或或或或【分析】（1）由待定系數(shù)法即可求解；（2）由，即可求解；（3）先求出點，再分類求解即可．【詳解】（1）解：由題意得：，則，則拋物線的表達式為：；（2）解：由拋物線的表達式知，點，由點B、C的坐標得，直線的表達式為：，設點，則點，則，∵，故有最大值，此時，則，即點；（3）解：存在，理由：設直線的表達式為，由點的坐標得，，解得：，∴直線的表達式為：，令，，故，過點作軸交軸于點，則，，則，即直線和關于直線對稱，故，設直線的表達式為，代入，，得，解得：，則直線的表達式為：，聯(lián)立上式和拋物線的表達式得：，解得：(舍去)或5，即點；設點，由的坐標得，，當時，則，解得：，即點或；當或時，同理可得：或，解得：或，即點或或；綜上，點或或或或．【點睛】主要考查了二次函數(shù)的解析式的求法和與幾何圖形結合的綜合能力的培養(yǎng)．要會利用數(shù)形結合的思想把代數(shù)和幾何圖形結合起來，利用點的坐標的意義表示線段的長度，從而求出線段之間的關系．24．（2024·黑龍江大慶·中考真題）如圖，已知二次函數(shù)的圖象與軸交于，兩點．點坐標為，與軸交于點，點為拋物線頂點，點為AB中點．

(1)求二次函數(shù)的表達式；(2)在直線上方的拋物線上存在點，使得，求點的坐標；(3)已知，為拋物線上不與，重合的相異兩點．①若點與點重合，，且，求證：，，三點共線；②若直線AD，交于點，則無論，在拋物線上如何運動，只要，，三點共線，，，中必存在面積為定值的三角形．請直接寫出其中面積為定值的三角形及其面積，不必說明理由．【答案】(1)(2)(3)①見解析；②的面積為定值【分析】（1）待定系數(shù)法求解析式，即可求解；（2）根據(jù)題意得出，過點作交拋物線于點，過點作軸于點，則是等腰直角三角形，根據(jù)，建立方程，解方程，即可求解；（3）①根據(jù)題意得出，得出直線的解析式為，聯(lián)立得出，在直線上；②設，，設的解析式y(tǒng)=kx?1，聯(lián)立拋物線解析式，可得，根據(jù)題意，設直線解析式為，直線的解析式為，求得到軸的距離是定值，即可求解．【詳解】（1）解：將，代入得，解得：∴拋物線解析式為（2）解：對于，令，解得：∴∴∴是等腰直角三角形，∴∵∴如圖所示，過點作交拋物線于點，過點作軸于點，

∴∴是等腰直角三角形，∴，設，則∴，∴解得：（舍去）或∴（3）①點與點重合，則，∵點為AB中點，，∴,設直線的解析式為y=kx+bk≠0，代入,∴解得：∴聯(lián)立解得：或∴，在直線上即，，三點共線；②設，∵，，三點共線；∴設的解析式y(tǒng)=kx?1，聯(lián)立消去得，∴∵，設直線解析式為，直線的解析式為聯(lián)立解得：∴∵，∴，∴而不為定值，∴在直線上運動，∴到軸的距離為定值，∵直線AD，交于點，則無論，在拋物線上如何運動，只要，，三點共線，，，中必存在面積為定值的三角形，到的距離是變化的，∴的面積為是定值．【點睛】本題考查了二次函數(shù)的綜合應用，待定系數(shù)法求解析式，角度問題，面積問題，一次函數(shù)，一元二次方程根與系數(shù)的關系，熟練掌握以上知識是解題的關鍵．25．（2024·江蘇無錫·中考真題）已知二次函數(shù)的圖象經(jīng)過點和點．(1)求這個二次函數(shù)的表達式；(2)若點，都在該二次函數(shù)的圖象上，試比較和的大小，并說明理由；(3)點在直線上，點在該二次函數(shù)圖象上．問：在軸上是否存在點，使得以，，，為頂點的四邊形是正方形？若存在，請直接寫出所有滿足條件的點的坐標；若不存在，請說明理由．【答案】(1)(2)時，；時，；時，(3)存在，或或或或或【分析】（1）將點A和點B的坐標代入，求出a和c的值，即可得出這個二次函數(shù)的表達式；（2）根據(jù)題意得出，，再用作差法得出，進行分類討論即可；（3）求出直線的函數(shù)解析式為，然后進行分類討論：當為正方形的邊時；當為正方對角線時，結合正方形的性質(zhì)和三角形全等的判定和性質(zhì)，即可解答．【詳解】（1）解：把，B2,1代入得：，解得：，∴這個二次函數(shù)的表達式為；（2）解：∵，都在該二次函數(shù)的圖象上，∴，，∴，當時，即時，；當時，即時，；當時，即時，；（3）解：設直線的函數(shù)解析式為，把，B2,1代入得：，解得：，∴直線的函數(shù)解析式為，當為正方形的邊時，①∵B2,1∴，過點M作y軸的垂線，垂足為點G，過點P作的垂線，垂足為點H，∵軸，∴，∴，則，設，則，∴，∴點N的縱坐標為，即，∵以，，，為頂點的四邊形是正方形，∴，∴，∵，∴，∵，，，∴，∴，∴，把代入得：，解得：，（舍去），∴；②如圖：構造，和①同理可得：，，設，則，∴，，，把代入得：，解得：（舍去），∴；③如圖：構造，和①同理可得：，，設，則，∴，，，把代入得：，解得：（舍去），∴；④如圖：構造，和①同理可得：，，設，則，∴，，，把代入得：，解得：，（舍去），∴；當為正方形對角線時，⑤如圖：構造矩形，過點P作于點K，易得，∴，設，則，和①同理可得：，∴，∴四邊形為正方形，∴，∴，則，∴，設，則，∴，，，把代入得：，解得：（舍去），∴；⑥如圖：構造，同理可得：，設，則，∴，，，把代入得：，解得：（舍去），∴；綜上：或或或或或．【點睛】本題考查了二次函數(shù)綜合，解直角三角形，正方形的性質(zhì)，全等三角形的判定和性質(zhì)，解題的關鍵是熟練掌握相關性質(zhì)定理，正確作出輔助線，構造全等三角形解答．26．（2024·山東濟寧·中考真題）已知二次函數(shù)的圖像經(jīng)過，兩點，其中a，b，c為常數(shù)，且．(1)求a，c的值；(2)若該二次函數(shù)的最小值是，且它的圖像與x軸交于點A，B（點A在點B的左側），與y軸交于點C．①求該二次函數(shù)的解析式，并直接寫出點A，B的坐標；②如圖，在y軸左側該二次函數(shù)的圖像上有一動點P，過點P作x軸的垂線，垂足為D，與直線交于點E，連接，，．是否存在點P，使？若存在，求此時點P的橫坐標；若不存在，請說明理由．【答案】(1)，(2)①該二次函數(shù)的解析式為：；，②存在，P點橫坐標為：或或【分析】（1）先求得，則可得和關于對稱軸對稱，由此可得，進而可求得；（2）①根據(jù)拋物線頂點坐標公式得，由此可求得，進而可得拋物線的表達式為，進而可得，；②分兩種情況進行討論：當點P在點A右側時，當點P在點A左側時，分別畫出圖形，求出點P的坐標即可．【詳解】（1）解：∵的圖像經(jīng)過，∴，∴和關于對稱軸對稱，∴，，，∴，．（2）解：①∵，，∴，∵，∵解得，∵，且，∴，∴，∴該二次函數(shù)的解析式為：，當時，，解得，，∴，．②設直線的表達式為：，則，解得，∴直線的表達式為：，當點P在點A右側時，作于F，如圖所示：設，則，，則，,，∵，，，∴，∵，，解得：，，∴點P橫坐標為或；當點P在點A左側時，作于F，如圖所示：設，則，，則，,，∵，，，∴，∵，，解得：，（舍去），∴點P橫坐標為，綜上所述，P點橫坐標為：或或．【點睛】本題考查了二次函數(shù)與一次函數(shù)綜合，二次函數(shù)與幾何綜合，利用待定系數(shù)法求二次函數(shù)和一次函數(shù)的表達式．熟練掌握“三角形面積水平寬鉛錘高”是解題的關鍵．27．（2024·遼寧·中考真題）已知是自變量的函數(shù)，當時，稱函數(shù)為函數(shù)的“升冪函數(shù)”．在平面直角坐標系中，對于函數(shù)圖象上任意一點，稱點為點“關于的升冪點”，點在函數(shù)的“升冪函數(shù)”的圖象上．例如：函數(shù)，當時，則函數(shù)是函數(shù)的“升冪函數(shù)”．在平面直角坐標系中，函數(shù)的圖象上任意一點，點為點“關于的升冪點”，點在函數(shù)的“升冪函數(shù)”的圖象上．(1)求函數(shù)的“升冪函數(shù)”的函數(shù)表達式；(2)如圖1，點在函數(shù)的圖象上，點“關于的升冪點”在點上方，當時，求點的坐標；(3)點在函數(shù)的圖象上，點“關于的升冪點”為點，設點的橫坐標為．①若點與點重合，求的值；②若點在點的上方，過點作軸的平行線，與函數(shù)的“升冪函數(shù)”的圖象相交于點，以，為鄰邊構造矩形，設矩形的周長為，求關于的函數(shù)表達式；③在②的條件下，當直線與函數(shù)的圖象的交點有3個時，從左到右依次記為，，，當直線與函數(shù)的圖象的交點有2個時，從左到右依次記為，，若，請直接寫出的值．【答案】(1)(2)(3)①或；②；③或【分析】（1）根據(jù)“升冪函數(shù)”的定義，可得，即可求解，（2）設，根據(jù)“升冪點”的定義得到，由，在點上方，得到，即可求解，（3）①由，，點與點重合，得到，即可求解，②由，得到對稱軸為，、關于對稱軸對稱，結合，則，得到，進而得到，，由點在點的上方，得到點在點的上方，，解得：，，當，，，當，，，即可求解，③根據(jù)②中結論得到，，，將，，代入，得到，，，結合圖像可得，當時，直線與函數(shù)的圖象有3個交點，當時，直線與函數(shù)的圖象有2個交點，將直線與函數(shù)聯(lián)立，由根與系數(shù)關系得到，，，將直線與函數(shù)聯(lián)立，由根與系數(shù)關系得到，，，結合，可得，當時，，解得：，由，得到，解得：，即可求解，【點睛】本題考查了，求二次函數(shù)解析式，二次函數(shù)的性質(zhì)，二次函數(shù)綜合，根據(jù)系數(shù)關系，解題的關鍵是：熟練掌握二次函數(shù)的性質(zhì)，將題目所給條件進行轉化．【詳解】（1）解：根據(jù)題意得：，故答案為：，（2）解：設點，則，∵，在點上方，∴，解得：，∴；（3）解：①根據(jù)題意得：，則，∵點與點重合，∴，解得：或，②根據(jù)題意得：，∴對稱軸為，、關于對稱軸對稱，∵，則，∴，解得：，∴，，∵點在點的上方，∴，解得：，∴，當，點在點右側時，，，當，點在點左側時，，，∴，③∵，∴，，當時，，當時，，當時，，∴，，，當時，直線與函數(shù)的圖象有3個交點，當時，直線與函數(shù)的圖象有2個交點，直線與函數(shù)交于、兩點，，即：，∴，，，直線與函數(shù)交于、兩點，，即：，∴，，，∵，∴，整理得：，當時，，解得：或（舍），∴，∴，解得：，∴，或．28．（2024·四川資陽·中考真題）已知平面直角坐標系中，O為坐標原點，拋物線與x軸交于A，B兩點，與y軸的正半軸交于C點，且B4,0，．(1)求拋物線的解析式；(2)如圖1，點P是拋物線在第一象限內(nèi)的一點，連接，過點P作軸于點D，交于點K．記，的面積分別為，，求的最大值；(3)如圖2，連接，點E為線段的中點，過點E作交x軸于點F．拋物線上是否存在點Q，使？若存在，求出點Q的坐標；若不存在，說明理由．【答案】(1)(2)(3)存在，或【分析】（1）先求點坐標，待定系數(shù)法求出函數(shù)解析式即可；（2）求出的解析式，設，則：，將轉化為二次函數(shù)求最值即可；（3）易得垂直平分，設，勾股定理求出點坐標，三線合一結合同角的余角相等，推出，分別作點關于軸和直線的對稱點，直線，與拋物線的交點即為所求，進行求解即可．【詳解】（1）解：∵B4,0∴，∵，∴，∴，把B4,0，，代入函數(shù)解析式得：∴，解得：；∴；（2）∵B4,0，，∴設直線的解析式為：，把B4,0，代入，得：，∴，設，則：，∴，，，∴，∴，∴當時，的最大值為；（3）存在：令，解得：，∴A?2,0∵，點為的中點，∴，∵，，∴，∴，設，則：，在中，由勾股定理，得：，∴，∴，，∵，，∴，∴，①取點關于軸的對稱點，連接，交拋物線與點，則：，，設的解析式為：，則：，解得：，∴，聯(lián)立，解得：（舍去）或，∴；②取關于的對稱點，連接交于點，連接交拋物線于點，則：，，∵，∴，∵，∴，∴，∴，過點作軸，則：，，∴，∴，∴，設直線的解析式為：，則：，解得：，∴，聯(lián)立，解得：（舍去）或，∴；綜上：或．【點睛】本題考查二次函數(shù)的綜合應用，涉及待定系數(shù)法求函數(shù)解析式，中垂線的判定和性質(zhì)，等積法求線段的長，坐標與軸對稱，勾股定理，解直角三角形，等知識點，綜合性強，難度大，計算量大，屬于中考壓軸題，正確的求出函數(shù)解析式，利用數(shù)形結合和分類討論的思想，進行求解，是解題的關鍵．29．（2024·甘肅蘭州·中考真題）在平面直角坐標系中，給出如下定義：點P是圖形W外一點，點Q在的延長線上，使得，如果點Q在圖形W上，則稱點P是圖形W的“延長2分點”，例如：如圖1，是線段外一點，在的延長線上，且，因為點Q在線段上，所以點P是線段的“延長2分點”．(1)如圖1，已知圖形：線段，，，在中，______是圖形的“延長2分點”；(2)如圖2，已知圖形：線段，，，若直線上存在點P是圖形的“延長2分點”，求b的最小值：(3)如圖3，已知圖形：以為圓心，半徑為1的，若以，，為頂點的等腰直角三角形上存在點P，使得點P是圖形的“延長2分點”．請直接寫出t的取值范圍．【答案】(1)(2)(3)或【分析】（1）根據(jù)題意，畫出圖象，進行判斷即可；（2）作以原點為位似中心，位似比為的位似圖形，根據(jù)直線上存在點P是圖形的“延長2分點”，得到直線與有交點，進而得到當過點時，值最小，進行求解即可