第六章平面向量及其應(yīng)用

6.4.3第1課時余弦定理

一、教學(xué)目標(biāo)

1.掌握證明余弦定理的向量方法，熟記公式；

2.掌握運用余弦定理解決兩類基本的解三角形問題；

2.掌握余弦定理公式的變式，判別三角形形狀；

4.通過對余弦定理的學(xué)習(xí)，培養(yǎng)學(xué)生數(shù)學(xué)抽象、數(shù)學(xué)運算、數(shù)學(xué)建模等數(shù)學(xué)素養(yǎng)。

二、教學(xué)重難點

1.余弦定理的發(fā)現(xiàn)和證明過程；

2.余弦定理在解三角形時如何進行邊角互化。

三、教學(xué)過程：

1、創(chuàng)設(shè)情境：

量得島A與島C距離為1338m，量得島A與島B距離為700m，再利用儀器測出島A對

島B和島C（即線段BC）的張角，最后通過計算求出島B和島C的長度.

問題1：此實際問題如何轉(zhuǎn)化為數(shù)學(xué)問題？

生答：如圖，已知：邊AB、AC和角Ａ(兩條邊、一個夾角)，求邊BC.

問題2:已知三角形兩邊分別為b和c,這兩邊的夾角為A，角A滿足什么條件時較易求出第

三邊a？

教師就這個問題提出小組探究活動主題

2、探索新知

探究1.在三角形ABC中，三個角A，B，C所對的邊分別為a，b，c，怎樣用b，c和A表示

a？

教師：將數(shù)學(xué)問題可以先特殊化，A=900，怎么解決？

生答：利用勾股定理。

問題3：你能利用向量證明勾股定理嗎？

生答：由BC2BA2AC2想到BCBAAC再平方處理得到。

問題4：勾股定理指出了直角三角形中的三條邊之間的關(guān)系，如果是斜三角形，三條邊之間

的關(guān)系又是如何？學(xué)生小組活動探討解決，投影展示學(xué)生探討活動的成果。

利用BCBAAC，兩邊平方得到a2＝b2＋c2－2bccosA，

二.建構(gòu)數(shù)學(xué)

余弦定理：三角形中任何一邊的平方，等于其他兩邊平方的和減去這兩邊與它們夾角的余弦

的積的兩倍，即

a2＝b2＋c2－2bccosA，

b2＝a2＋c2－2accosB，

c2＝a2＋b2－2abcosC

探究2：正弦定理結(jié)構(gòu)的最大特點是什么？

等式兩邊均為齊次式，結(jié)構(gòu)和諧體現(xiàn)了數(shù)學(xué)的和諧美

問題4：正弦定理里面包含了幾個等式？每個等式中有幾個量？

生答：3個等式4個量

問題5：使用余弦定理解斜三角形？

應(yīng)用1：已知兩邊和一個夾角，求第三邊．

例1.在ABC中，已知b=60cm，c=34cm，A41，求a（角度精準(zhǔn)到1，邊長精確到

1cm.）

解：由余弦定理，得

a2b2c22bccosA60234226034cos41

所以a41，

1676.78，

變式訓(xùn)練：在ABC中，角A，B，C的對邊分別為a，b，c，已知C，a12，b6，

3

則求c

解：在ABC中，角A，B，C的對邊分別為a，b，c，已知C，a12，b6，

3

1

可得ca2b22abcos

2

探究3：余弦定理指出了三角形的三條邊與其中的一個角之間的關(guān)系，應(yīng)用余弦定理，我們

可以解決已知兩邊和一個夾角，求第三邊，如果知道了三角形的三邊能否確定三角形的角，

怎么確定呢？

b2c2a2a2c2b2b2a2c2

cosAcosBcosc

生答：2bc，2ac，2ba

例2.已知ABC的內(nèi)角A，B，C的對邊分別為a，b，c，若a2，b3，c13，

則求C。

解：由a2，b3，c13，

a2b2c243133

可得cosC，

2ab2232

5

由0C，可得C

6

變式訓(xùn)練：在ABC中，內(nèi)角A，B，C所對的邊長分別為a，b，c，如果a2，b3，

c4，那么最大內(nèi)角的余弦值等于()

2211

A．B．C．D．

3334

解：在ABC中，a2，b3，c4，

C是三角形中的最大角，

a2b2c22232421

則cosC，

2ab2234

1

即ABC的最大內(nèi)角的余弦值為．故選：D．

4

C5

例3.（1）在△ABC中，cos＝，BC＝1，AC＝5，則AB＝（）

25

A．42B.30

C.29D．25

解：由余弦定理知b2＝a2＋c2－2accosB.

2

∴2＝3＋c2－23·c.即c2－6c＋1＝0.

2

6＋26－26＋2

解得c＝或c＝，當(dāng)c＝時，由余弦定理得

222

6＋2

2

b2＋c2－a22＋2－31

cosA＝＝＝.

6＋2

2bc2×2×2

2

∵0°<A<180°，∴A＝60°，∴C＝75°.

6－2

當(dāng)c＝時，由余弦定理得

2

6－2

2

b2＋c2－a22＋2－31

cosA＝＝＝－.

6－2

2bc2×2×2

2

∵0°<A<180°，∴A＝120°，C＝15°.

6＋26－2

故c＝，A＝60°，C＝75°或c＝，A＝120°，C＝15°.

22

a

（2）在△ABC中，角A，B，C所對應(yīng)的邊分別為a，b，c，已知bcosC＋ccosB＝2b，則＝

b

________.

a2＋b2－c2a2＋c2－b22a2

解：由余弦定理得bcosC＋ccosB＝b·＋c·＝＝a，

2ab2ac2a

a

所以a＝2b，即＝2.

b

1

（3）在△ABC中，若lg(a＋c)＋lg(a－c)＝lgb－lg，則A＝________.

b＋c

解：由題意可知lg(a＋c)(a－c)＝lgb(b＋c)，

所以(a＋c)(a－c)＝b(b＋c)．即b2＋c2－a2＝－bc.

b2＋c2－a21

所以cosA＝＝－.

2bc2

又0°<A<180°，所以A＝120°.

Ac－b

（4）在△ABC中，sin2＝(a，b，c分別為角A，B，C的對應(yīng)邊)，則△ABC的形狀為

22c

()

A．正三角形B．直角三角形

C．等腰直角三角形