第六章平面向量及其應(yīng)用

6.2.4向量的數(shù)量積

一、教學(xué)目標(biāo)：

1、知識與技能：

通過物理中“功”的實(shí)例，理解平面向量數(shù)量積的含義，掌握平面向量數(shù)量積的性質(zhì).

2、過程與方法：

經(jīng)歷從物理背景的分析，抽象概況出概念的過程，培養(yǎng)學(xué)生歸納概括、類比遷移的能力；

經(jīng)歷通過不同的方式探究、發(fā)現(xiàn)平面向量數(shù)量積性質(zhì)的過程，體會從特殊到一般、分類討論、

數(shù)形結(jié)合的數(shù)學(xué)思想方法.

3、情感、態(tài)度、價(jià)值觀：

通過師生互動，生生互動的教學(xué)活動過程，形成學(xué)生的體驗(yàn)性認(rèn)識，體會各學(xué)科之間的

密切聯(lián)系，感受知識的形成過程，提高數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的興趣，形成獨(dú)立自主的鉆研精神和合作學(xué)

習(xí)的科學(xué)態(tài)度.

二、教材分析：

重點(diǎn)：平面向量數(shù)量積的概念和性質(zhì).

難點(diǎn)：平面向量數(shù)量積的性質(zhì)的發(fā)現(xiàn).

三、教學(xué)策略：

啟發(fā)式和問題探究相結(jié)合。

四、教學(xué)過程：

（一）創(chuàng)設(shè)情境展示背景

如圖小車在力F的作用下移動了一段位移是S，力和位移的夾角為θ，從物理的角度來看

其實(shí)質(zhì)是什么？

F

s

（二）分析背景形成概念

群答：力對物體做功，力對物體做功，

問題1：圖中力對物體所做的功是多少？

WFScos

（可能學(xué)生回答WFS,引導(dǎo)學(xué)生回答圖中的力對物體所做的功是多少？）

這里的θ是什么？

生1：力和位移的夾角

問題2：影響力對物體所做的功的因素有哪些？

群答：力F、位移S、力和位移的夾角θ

問題3：像力F、位移S這些量在物理上我們稱做什么量？大家回答看看

群答：矢量

問題4：很好！類比矢量在數(shù)學(xué)上我們把既有大小又有方向的量稱為什么量？

群答：向量

問題5：那我們用數(shù)學(xué)的眼光來看這是向量的一種什么運(yùn)算？我們看等式的左邊是什么

量？

群答：標(biāo)量

問題6：在數(shù)學(xué)上我們稱為什么量？

群答：數(shù)量

從求功的運(yùn)算中，能否抽象出某種數(shù)學(xué)運(yùn)算？(課件展示)

生5：abcos

問題7：下面大家注意了，像這種向量運(yùn)算前面我們學(xué)習(xí)了好幾種，對不對？有向量的

加法、減法、數(shù)乘，這些運(yùn)算的結(jié)果都是什么量？

群答：向量

這種運(yùn)算的結(jié)果是數(shù)量，跟以往不同。我們今天這節(jié)課就是從力的做功公式出發(fā)來引進(jìn)

向量的一種新的運(yùn)算，你能否給這種運(yùn)算起個(gè)名稱？大家想想看，取什么名字好！

生6：向量的積

問題7：太好了，這里的確是向量的積的運(yùn)算。有沒有人對這種運(yùn)算有其他名字?

生8：向量的數(shù)量積

問題9：太棒了!大家覺得好不好！。。。。從結(jié)果來看是一個(gè)數(shù)量。還有嗎？

生9:平面向量的數(shù)量積.

師:簡直太牛了!

(由力對物體做功公式類比得出平面向量的數(shù)量積)

師:我們知道功運(yùn)算中除了力和位移，還有一個(gè)夾角θ，物理上稱為力和位移的夾角,在數(shù)

學(xué)上我們稱為向量的夾角，下面我們來看書本給出的向量夾角的定義:

向量的夾角：

已知兩個(gè)非零向量和，作=，=，則

abOAaOBbAOB

叫做向量a與b的夾角．

問題10：兩個(gè)非零向量的夾角的范圍是什么?

(課件展示)

當(dāng)且僅當(dāng)兩非零向量a、b同方向時(shí)θ=；

生10:00

當(dāng)且僅a，b反方向時(shí)，θ=；

生11:1800

以上統(tǒng)稱為a//b

當(dāng)θ=，稱a與b垂直，記作a⊥b.

規(guī)定：001800

C

試一試：

如圖：正△ABC中，求

ABAC

（1）與的夾角；

ABBC

（2）與的夾角。

AB

答案為：（1）600，（2）1200

向量的夾角注意點(diǎn)：1.向量要共起點(diǎn)

2.角的范圍

3.幾個(gè)特殊角

下面正式給出向量數(shù)量積的定義:

已知兩個(gè)非零向量a和b，它們的夾角為，則數(shù)量|a||b|cos叫做a與b的數(shù)量

積（或內(nèi)積），記作ab，即ab|a||b|cos．（板演ab|a||b|cos（a和b不為

非零向量）

問題11：向量的數(shù)量積定義中a和b為何要是非零向量？

探究：零向量與其他向量有沒有數(shù)量積？應(yīng)如何定義？能否找出其物理模型？

（可以從00或者零向量與其他向量的交角沒有定義。）

規(guī)定：零向量與任何向量的數(shù)量積為0，

比較探究

兩個(gè)向量的數(shù)量積與數(shù)乘向量有什么區(qū)別？

cos(為a與b的夾角)

兩個(gè)向量的數(shù)量積是一個(gè)實(shí)數(shù)，它的符號由

的符號所決定；而數(shù)乘向量是一個(gè)向量。

2書寫上的區(qū)別：符號“·”在向量運(yùn)算中既不能省略，也不能用“×”代替。

辨析:0a，0a，0，a0

（三）概念應(yīng)用探究性質(zhì)

例1．已知向量a與向量b的夾角為，a2，b3，分別在下列條件下求ab

（1）1350；（2）a//b；（3）ab

0

解：（1）ab=abcos23cos13532；

（2）當(dāng)向量a、b同方向時(shí)00，則ab=6

（3）當(dāng)a，b反方向時(shí)，1800，則ab=-6

當(dāng)ab時(shí),900,則ab=0.

數(shù)量積的性質(zhì)：

已知a，b是兩個(gè)非零向量.

2

（1）abab0（2）aaa或a=aa

ab

（3）cosa,b（4）abab

ab

小組合作討論：

（1）如果a,b滿足ab0,試討論a與b是否垂直。，

生答：a0或者b0或者ab

（2）如果a,b滿足ab0,試討論a與b的夾角情況。

生答：若ab0，則a與b同向或者夾角為銳角；若ab0，則a與b反向或者夾角為

鈍角；

變式1：已知a2，b3，ab3，求

ab1

生板演：ab=abcos；cos

ab2

001800

=1200

變式2：已知a2，b3，求ab的范圍

生板演：ab=abcos；

00

0180

cos[6,6]

練習(xí)2：在ABCD中，已知AB4,AD3,DAB60,求：

1ADBC;2ABCD;3ABDA

D

60

A

答案：（1）9（2）-16（3）-6

（四）歸納理解學(xué)以致用

反饋練習(xí)

1．已知a2，ab3，600，求b

ab

答案：b==3