高級中學名校試題PAGEPAGE1湖北省云學名校聯(lián)盟2023-2024學年高一下學期3月聯(lián)考數(shù)學試卷一、單項選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分.在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的.1.已知集合，則（）A. B. C. D.【答案】D【解析】，而，故，故.故選：D.2.已知點是平行四邊形的對角線的交點，則（）A. B.C. D.【答案】C【解析】如圖：為相反向量，故A錯誤；為相反向量，故B錯誤；方向相反，故，C正確；因平行四邊形不一定為矩形，所以對角線不一定相等，故D錯誤.故選：C.3.是的（）A.充分不必要條件 B.必要不充分條件C.充要條件 D.既不充分也不必要條件【答案】A【解析】當時，或，即或，即是的充分不必要條件.故選：A.4.已知冪函數(shù)是偶函數(shù)，且在上是增函數(shù)，則（）A. B. C.0 D.3【答案】B【解析】因為函數(shù)是偶函數(shù)且在上是增函數(shù)，所以函數(shù)在上單調(diào)遞減，所以，即，解得，又因為，所以或或，當或時，，此時為奇函數(shù)，不滿足題意；當時，，此時為偶函數(shù)，滿足題意；所以.故選：B.5.已知某物種在某特定環(huán)境下的某項指標與時間（天）滿足函數(shù)關系式：，則在該特定環(huán)境下，至少經(jīng)過（）天，該物種的該項指標不低于初始值時的100倍.（參考值：）A.4 B.5 C.6 D.7【答案】B【解析】當時，，令，化簡得：，即，則至少經(jīng)過5天該物種的該項指標不低于初始值時的100倍.故選：B.6.已知函數(shù)，若函數(shù)與的圖像恰有4個交點，則實數(shù)的取值范圍是（）A. B.C. D.【答案】B【解析】易知，的圖象過定點，當時，由圖可知，函數(shù)與的圖像無交點；當時，，與的圖象有兩個交點；當時，設直線與相切，聯(lián)立方程有，則，解得或，結(jié)合圖象可知，當時，切點位于x軸下方，不滿足題意，舍去，由圖可知，要使函數(shù)與的圖像有4個交點，則，所以實數(shù)的取值范圍為.故選：B.7.定義在的函數(shù)的圖像位于軸上方，且是連續(xù)不斷的.若的圖像關于點對稱，則的最小值為（）A. B.1 C.4 D.6【答案】A【解析】因為的圖像關于點對稱，故，故，故，因為的圖像位于軸上方，故，故即，當且僅當時等號成立，而，故最大值為9，故最小值為.故選：A.8.已知函數(shù)，若存在，使，則的取值范圍是（）A. B. C. D.【答案】A【解析】函數(shù)圖象如下：，所以，由于在上單調(diào)遞減，所以存在，使成立，所以，，解得，所以的取值范圍是.故選：A.二、多項選擇題：本題共3小題，每小題6分，共18分.在每小題給出的選項中，有多項符合題目要求，全部答對的得6分，部分選對的得部分分，有選錯的得0分.9.若實數(shù)滿足，且，則下列結(jié)論一定正確的是（）A. B.C. D.【答案】BD【解析】對于A，若，則當時，有，故A錯誤；對于B，因為，則，故，故B正確；對于C，成立，但，故C錯誤；對于D，由不等式的性質(zhì)可得成立，故D正確.故選：BD.10.已知函數(shù)，則下列說法正確的是（）A.的圖像關于直線對稱B.的圖像的一個對稱中心是C.在區(qū)間上單調(diào)遞減D.若的最大值為，則的最小值為【答案】AC【解析】因為，對于選項A，由，得到，當時，，所以選項A正確；對于選項B，由，得到，所以的對稱中心為，當時，對稱中心為，所以選項B錯誤；對于選項C，由，得到，當時，，又，所以選項C正確；對于選項D，因為，當時，由題有，得到，此時的最小值為，當時，由題有，得到，此時的最小值為，所以選項D錯誤.故選：AC.11.函數(shù)的定義域為，且滿足，當時，，則（）A.B.時，C.若對任意的，都有，則的最大值為D.若函數(shù)恰有三個零點，則實數(shù)的取值范圍是【答案】ACD【解析】對于選項A，因為，又，得到，所以選項A正確；對于選項B，當時，，所以，又，所以，得到，所以選項B錯誤；對于選項C，當時，，又，而，所以時，恒有，當時，，所以，又，所以，當時，，當時，，所以，又，所以當時，，當時，，所以，又，所以當時，，以此類推，所以的圖象如圖所示，由，得到或，由圖知，在上關于對稱，且，所以，當時恒成立，所以選項C正確；對于選項D，令，得到，令，因為，則，所以，，，又函數(shù)恰有三個零點，由圖知，，所以選項D正確.故選：ACD.三、填空題：本題共3小題，每小題5分，共15分.12.__________.【答案】【解析】因為.故答案為：.13.將函數(shù)的圖象向左平移個單位長度后，所得函數(shù)在內(nèi)不是單調(diào)函數(shù)，則的取值范圍是__________.【答案】【解析】由題設可得平移后圖象對應的函數(shù)解析式為，因為，故，因為在不單調(diào)，故或，即或，所以或，故.故答案為：.14.已知函數(shù)的定義域為，且的圖象關于點對稱.若，當時，都有恒成立，則關于的不等式的解集為__________.【答案】【解析】因為的圖象關于點對稱，所以即，故為上的奇函數(shù)，令，因為，當時，都有，故為上的減函數(shù)，而，故為上的偶函數(shù)，故為上的增函數(shù)，而，故當時，，故時，，時，，當時，，故時，，時，，故的解為.故答案為：.四、解答題：本題共5小題，共77分，解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟.15.已知的三個內(nèi)角滿足：.（1）求的值；（2）求角的大小.解：（1），因為，，故為銳角且，所以.（2）因為，，故為銳角且，故，故，而，故.16.已知函數(shù).（1）解關于的不等式：；（2）命題“”是真命題，求的最大值.解：（1）由，得到，即，當，即時，得到，當時，得到，當，即時，得到，綜上所述，時，原不等式的解為，當時，原不等式的解為，當時，原不等式的解為.（2）由題知，在區(qū)間上恒成立，又對稱軸為，當，即時，在區(qū)間上單調(diào)遞增，所以，當時，恒成立，即滿足條件，當，即，由題有，得到，所以，綜上，的最大值為.17.學校為了鼓勵學生課余時間積極參加體育鍛煉，需要制定一個課余鍛煉考核評分制度，建立一個每天得分與當天鍛煉時間（單位：分鐘，）的函數(shù)關系式，要求如下：（i）函數(shù)的圖象接近圖示；（ii）每天鍛煉時間為0分鐘時，當天得分為0分；（iii）每天鍛煉時間為9分鐘時，當天得分為6分；（iiii）每天得分最多不超過12分.現(xiàn)有以下三個函數(shù)模型供選擇：①；②；③.（1）請根據(jù)函數(shù)圖像性質(zhì)，結(jié)合題設條件，從中選擇一個最合適的函數(shù)模型并求出解析式；（2）若學校要求每天的得分不少于9分，求每天至少鍛煉多少分鐘？（參考值：）解：（1）模型①，由圖象過點，得，解得，，在原點附近增長速度先快后慢，不符合；模型②為爆炸增長型函數(shù)，不符合，故選模型③，由題知，，解得，所以.（2）由（1）知，，令，得，解得，所以，若每天的得分不少于9分，至少每天要鍛煉29.25分鐘.18.函數(shù)的部分圖像如圖所示，（1）求函數(shù)的解析式和單調(diào)遞增區(qū)間；（2）將函數(shù)的圖像上的各點的縱坐標保持不變，橫坐標伸長為原來的2倍，得到函數(shù)的圖像，若時，的圖像與直線恰有三個公共點，記三個公共點的橫坐標分別為且，求的值.解：（1）由圖易知，，得到，所以，又圖象過點，所以，得到，又，所以，故函數(shù)的解析式為，由，得到，所以單調(diào)遞增區(qū)間為.（2）由題知，又因為，所以，令，則，由的圖象知，，且，得到，又由圖知，所以，又，得到，所以，又因，所以.19.設，我們常用來表示不超過的最大整數(shù).如：.（1）求證：；（2）解方程：；（3）已知，若對，使不等式成立，求實數(shù)的取值范圍.解：（1）設，若，則，，故，而，，故，若，則，，故，而，，故，綜上，（2）