試卷第=page11頁(yè)，共=sectionpages33頁(yè)試卷第=page11頁(yè)，共=sectionpages33頁(yè)2025年中考數(shù)學(xué)解答題專(zhuān)題系列：解直角三角形的應(yīng)用1．某小區(qū)門(mén)口安裝了汽車(chē)出入道閘．道閘關(guān)閉時(shí)，如圖①，四邊形為矩形，長(zhǎng)為3米，高為米，點(diǎn)與點(diǎn)重合，道閘打開(kāi)的過(guò)程中，邊固定，連桿，分別繞點(diǎn)，轉(zhuǎn)動(dòng)，且邊始終與邊平行．(1)如圖②，當(dāng)?shù)篱l打開(kāi)至?xí)r，邊上一點(diǎn)到地面的距離為1米，求點(diǎn)到的距離的長(zhǎng)．(2)一輛轎車(chē)過(guò)道閘，已知轎車(chē)寬1.8米，高1.6米．當(dāng)?shù)篱l打開(kāi)至?xí)r，轎車(chē)能否駛?cè)胄^(qū)？請(qǐng)說(shuō)明理由．（參考數(shù)據(jù)：，，）2．如圖，某景區(qū)為游客精心設(shè)計(jì)了兩條游覽路線(xiàn)，路線(xiàn)一：在點(diǎn)登船，沿水路游覽沿途風(fēng)光；路線(xiàn)二：先坐觀(guān)光車(chē)從至，沿途游覽，再在點(diǎn)登船，沿水路游覽沿途美景．已知點(diǎn)在點(diǎn)的東北方向，點(diǎn)在點(diǎn)的北偏東方向，點(diǎn)在點(diǎn)的南偏西方向，點(diǎn)在點(diǎn)的南偏東方向，相距千米．（參考數(shù)據(jù)：，，）(1)求的距離（結(jié)果保留根號(hào)）；(2)小聰和小明同時(shí)從點(diǎn)出發(fā)，分別選擇路線(xiàn)一和路線(xiàn)二游覽，若游船和觀(guān)光車(chē)均保持勻速行駛，游船的速度為千米/小時(shí)，觀(guān)光車(chē)的速度為千米/小時(shí)，上下車(chē)和上下船的時(shí)間忽略不計(jì)，請(qǐng)問(wèn)小聰和小明誰(shuí)先到達(dá)點(diǎn)，并說(shuō)明理由．3．如圖，某湖區(qū)為游客精心設(shè)計(jì)了兩條游覽路線(xiàn)，路線(xiàn)一：在點(diǎn)登船，沿水路游覽沿途風(fēng)光；路線(xiàn)二：先坐觀(guān)光車(chē)從至，沿途游覽，再在點(diǎn)登船，沿水路游覽沿途美景．已知點(diǎn)在點(diǎn)的正東方向，點(diǎn)在點(diǎn)的東北方向，點(diǎn)在點(diǎn)的北偏東方向，測(cè)得為，點(diǎn)到點(diǎn)、點(diǎn)的距離相等，、兩地的距離為6千米．（參考數(shù)據(jù)：．）(1)求兩地的距離（結(jié)果保留根號(hào)）；(2)分別求出路線(xiàn)一和路線(xiàn)二的長(zhǎng)度（結(jié)果保留根號(hào)）．4．在學(xué)校組織的實(shí)踐活動(dòng)中，初三3班數(shù)學(xué)興趣小組決定利用所學(xué)知識(shí)測(cè)量文通塔的高度，如圖，小明同學(xué)先在運(yùn)河邊的處放置好測(cè)傾器，測(cè)得塔尖的仰角為，接下來(lái)向前走之后到達(dá)處，測(cè)得此時(shí)塔尖的仰角為，已知測(cè)傾器的高度為，點(diǎn)，，在同一直線(xiàn)上，求文通塔的高度（結(jié)果精確到，參考數(shù)據(jù)：，，，）5．古代數(shù)學(xué)家劉徵編撰的《重差》是中國(guó)最早的一部測(cè)量學(xué)著作，也為地圖學(xué)提供了數(shù)學(xué)基礎(chǔ)，現(xiàn)根據(jù)劉微的《重差》測(cè)量一個(gè)球體建筑物的高度．如圖，已知點(diǎn)是球體建筑物與水平地面的接觸點(diǎn)（切點(diǎn)），地面上兩點(diǎn)與點(diǎn)在一條直線(xiàn)上，且在點(diǎn)的同側(cè)，若在處分別測(cè)得球體建筑物的最大仰角為和，且．(1)求的長(zhǎng)度；(2)求該球體建筑物的最高點(diǎn)到地面的距離．（參考數(shù)據(jù)：）6．如圖，某漁船向正東方向以海里/時(shí)的速度航行，在處測(cè)得小島在北偏東方向，小時(shí)后漁船到達(dá)處，測(cè)得小島在北偏東方向，已知小島周?chē)＠锓秶鷥?nèi)有暗礁．（參考數(shù)據(jù)：，結(jié)果保留整數(shù)）(1)求處與小島之間的距離；(2)漁船在處改變航行線(xiàn)路，沿南偏東方向繼續(xù)航行，通過(guò)計(jì)算說(shuō)明漁船途中是否有觸礁的危險(xiǎn)？7．安徽省金寨縣紅軍廣場(chǎng)位于金寨縣梅山鎮(zhèn)，是全國(guó)重點(diǎn)烈士紀(jì)念建筑物保護(hù)單位、全國(guó)愛(ài)國(guó)主義教育示范基地、全國(guó)紅色旅游經(jīng)典景區(qū)，紅軍廣場(chǎng)中革命烈士紀(jì)念塔氣勢(shì)磅礴、雄偉壯觀(guān)，塔身正面鐫刻著劉伯承元帥親筆題寫(xiě)的“燎原星火”四個(gè)鍍金大字．小明同學(xué)想測(cè)量該紀(jì)念塔的高度，如圖，他用高為1.5m的測(cè)角器測(cè)得塔頂部點(diǎn)的仰角，再沿水平方向向前走到達(dá)點(diǎn)處，點(diǎn)、之間有10個(gè)臺(tái)階，上升的高度，臺(tái)階的坡度，到達(dá)點(diǎn)時(shí)再沿水平方向向前走到達(dá)點(diǎn)處，此時(shí)用測(cè)角器測(cè)得塔頂部點(diǎn)的仰角．且點(diǎn)、、、、、與塔的頂部點(diǎn)、底部點(diǎn)均在同一平面上．求紀(jì)念塔的高度約為多少米？（參考數(shù)據(jù)：，，，，，，結(jié)果保留整數(shù)）8．圖1是商場(chǎng)的自動(dòng)扶梯，圖2中的是從一樓到二樓扶梯的側(cè)面示意圖．小王站在扶梯起點(diǎn)A處時(shí)，測(cè)得二樓天花板上照明燈C的仰角為，此時(shí)他的眼睛D與地面的距離，之后他沿扶梯到達(dá)頂端B后又向正前方走了2m到達(dá)點(diǎn)E處（），發(fā)現(xiàn)照明燈C剛好在他的正上方．已知自動(dòng)扶梯與地面的夾角，的長(zhǎng)度為10m．(1)求點(diǎn)B到一樓地面的距離；(2)求照明燈C到一樓地面的距離（結(jié)果精確到0.1m）．（參考數(shù)據(jù)：，，，）9．如圖，小明看見(jiàn)某大樓的頂部有一塊電子顯示屏，她想知道電子顯示屏的高度．她先從大樓底部點(diǎn)處步行20米到達(dá)山坡的坡腳點(diǎn)處，測(cè)得電子顯示屏底部點(diǎn)的仰角為60°．沿坡面向上12米走到點(diǎn)處測(cè)得電子顯示屏頂部的仰角為45°，山坡的坡度．（是指坡面的鉛直高度與水平寬度的比）(1)填空：________°，_______°；(2)求點(diǎn)距水平面的高度；(3)求電子顯示屏的高度．（測(cè)角器的高度忽略不計(jì)，結(jié)果保留根號(hào)）10．綜合與實(shí)踐：山坡高度的測(cè)量．(1)如圖，對(duì)于如圖所示的山坡，已知，，，求山高（用含有，的式子表示）．(2)對(duì)于（1）中的山高，只要測(cè)出坡角和坡面長(zhǎng)度即可求山高，但是對(duì)于一些“不太平整”的山時(shí)，求其山高便是一個(gè)不那么簡(jiǎn)單的問(wèn)題（如圖）．與測(cè)量圖的山高相比，測(cè)量圖的山高困難在于，山坡是“曲”的，問(wèn)題不能簡(jiǎn)單地歸結(jié)為解一個(gè)直角三角形，如果能把“曲”轉(zhuǎn)化為“直”，就可能解決問(wèn)題，這便是微積分的產(chǎn)生．請(qǐng)你根據(jù)上述材料的提示，以及圖中所給出的數(shù)據(jù)，求山高（用含有，，，，，的式子表示）．11．如圖，某折疊臺(tái)燈的側(cè)面示意圖如圖所示，折線(xiàn)段表示支架，線(xiàn)段表示光源，已知，，，，從點(diǎn)C處測(cè)得點(diǎn)D的仰角α是，點(diǎn)B的俯角β是．(1)求點(diǎn)D到的距離；(2)求水平桌面到光源的高度．（參考數(shù)據(jù)：，，）12．如圖，在東西方向的海岸上有兩個(gè)相距海里的碼頭，，某海島上的觀(guān)測(cè)塔距離海岸海里，在處測(cè)得位于南偏西方向．一艘漁船從出發(fā)，沿正北方向勻速航行分鐘至處，此時(shí)在處測(cè)得位于南偏東方向．(1)求漁船的航行速度是多少？(2)求漁船與觀(guān)測(cè)塔之間的距離（精確到）（參考數(shù)據(jù)：，，，，，）13．2025年重慶巴岳山越野賽即將在山勢(shì)巍峨形似游龍的“重慶小十景”之一的巴岳山開(kāi)跑，活動(dòng)方開(kāi)辟出了兩條經(jīng)典路線(xiàn)，如圖是兩條跑步路線(xiàn)的平面示意圖，已知終點(diǎn)C在起點(diǎn)A的東北方向．路線(xiàn)①?gòu)钠瘘c(diǎn)A出發(fā)向北偏東的方向先跑過(guò)一段山路到達(dá)補(bǔ)給點(diǎn)B，再沿正東方向跑一段步道即可到達(dá)終點(diǎn)C；路線(xiàn)②從起點(diǎn)A出發(fā)沿北偏東的方向跑過(guò)一段山路到達(dá)補(bǔ)給點(diǎn)D，再沿正北方向的步道跑2400米即可到達(dá)終點(diǎn)C．（參考數(shù)據(jù)：，，）(1)求的長(zhǎng)度；（結(jié)果精確到1米）(2)巴川小隊(duì)有兩位選手小潼和小量參加了跑步活動(dòng)，小潼選擇路線(xiàn)①，他的平均速度為80米/分鐘，小量選擇了路線(xiàn)②，他的平均速度為90米/分鐘，若兩人同時(shí)出發(fā)，請(qǐng)通過(guò)計(jì)算說(shuō)明誰(shuí)會(huì)先到達(dá)終點(diǎn)？（結(jié)果精確到0.1分）14．綜合與實(shí)踐活動(dòng)中，要利用測(cè)角儀測(cè)量一座建筑物的高度．如圖，在建筑物前有一座高為的山坡，已知，，點(diǎn)E，C，A在同一條水平直線(xiàn)上．某學(xué)習(xí)小組在山坡底部C處測(cè)得建筑物頂部B的仰角為，在山坡頂部D處測(cè)得建筑物頂部B的仰角為．(1)求山坡的高度；(2)求建筑物的高度（結(jié)果保留整數(shù)）．參考數(shù)據(jù)：，，，．15．圖1是某種筆記本電腦支架．如圖2，其底座放置在水平桌面上，通過(guò)調(diào)節(jié)點(diǎn)，點(diǎn)處的角度，控制托盤(pán)的位置．電腦機(jī)身和屏幕分別用線(xiàn)段、表示，；，．(1)若，．①為使屏幕與桌面保持垂直，求的度數(shù)．②求點(diǎn)到桌面的最大距離（不計(jì)材料的厚度）．(2)在（1）的情況下，保持，并逐漸減小的度數(shù)．圓圓同學(xué)說(shuō)：“點(diǎn)到桌面的距離越來(lái)越小．”點(diǎn)點(diǎn)同學(xué)說(shuō)：“點(diǎn)到桌面的距離先變大，后變小．”你認(rèn)為誰(shuí)的說(shuō)法正確，說(shuō)明理由．答案第=page11頁(yè)，共=sectionpages22頁(yè)答案第=page11頁(yè)，共=sectionpages22頁(yè)《2025年中考數(shù)學(xué)解答題專(zhuān)題系列：解直角三角形的應(yīng)用》參考答案1．(1)米(2)轎車(chē)能駛?cè)胄^(qū)，理由見(jiàn)解析；【分析】本題考查解直角三角形的應(yīng)用，掌握直角三角形的邊角關(guān)系是正確解答的前提．（1）中，，,可得，結(jié)合，即可求出的長(zhǎng)；（2）當(dāng)時(shí)，，求出的長(zhǎng)，與比較即可得到答案；【詳解】（1）在中，∵，，∴，∵，∴米，（2）當(dāng)時(shí)，，則，在中，，∴，∴，∴，∵，∴轎車(chē)能駛?cè)胄^(qū)2．(1)千米(2)小明先到達(dá)點(diǎn)，理由見(jiàn)解析【分析】本題考查了解直角三角形的應(yīng)用、平行線(xiàn)的性質(zhì)、三角形的內(nèi)角和定理等知識(shí)，通過(guò)作輔助線(xiàn)，構(gòu)造直角三角形是解題關(guān)鍵．（1）過(guò)點(diǎn)作，交延長(zhǎng)線(xiàn)于點(diǎn)，先在中，解直角三角形可得的長(zhǎng)，再在中，解直角三角形可得的長(zhǎng)，然后根據(jù)計(jì)算即可得；（2）過(guò)點(diǎn)作，交延長(zhǎng)線(xiàn)于點(diǎn)，交于點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)作于點(diǎn)，先根據(jù)平行線(xiàn)的性質(zhì)、三角形的內(nèi)角和定理可得，再在中，解直角三角形可得的長(zhǎng)，在中，解直角三角形可得，的長(zhǎng)，然后根據(jù)兩條路線(xiàn)的長(zhǎng)度和速度計(jì)算時(shí)間，由此即可得．【詳解】（1）解：如圖，過(guò)點(diǎn)作，交延長(zhǎng)線(xiàn)于點(diǎn)，由題意得：，，千米，在中，千米，千米，在中，千米，則千米，答：的距離為千米；（2）解：如圖，設(shè)交于點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)作于點(diǎn)，由題意得：，，，∴，∴，由（1）可知，，∴，在中，千米，千米，在中，千米，千米，∴千米，在中，千米，∴小聰選擇路線(xiàn)一所需時(shí)間為（小時(shí)），小明選擇路線(xiàn)二所需時(shí)間為（小時(shí)），因?yàn)?，所以小明先到達(dá)點(diǎn)．3．(1)的距離是千米(2)路線(xiàn)一：千米；路線(xiàn)二：千米【分析】本題考查解直角三角形，添加輔助線(xiàn)，構(gòu)造直角三角形，是解題的關(guān)鍵：（1）過(guò)點(diǎn)作，垂足為，解和，求出的長(zhǎng)，根據(jù)進(jìn)行計(jì)算即可；（2）過(guò)點(diǎn)作，垂足為，解直角三角形，求出的長(zhǎng)，進(jìn)而求出的長(zhǎng)，進(jìn)而根據(jù)線(xiàn)段的和差求出兩條路線(xiàn)的長(zhǎng)即可．【詳解】（1）解：如圖，過(guò)點(diǎn)作，垂足為，由題意得：千米，在中，千米，千米，在中，千米，所以千米，答：的距離是千米；（2）解：如圖，過(guò)點(diǎn)作，垂足為，，，由題意得∴千米，千米；由（1）可知：，路線(xiàn)一：千米，路線(xiàn)二：千米．4．文通塔的高度為．【分析】本題考查的是解直角三角形的應(yīng)用．如圖，延長(zhǎng)交于點(diǎn)G，證明四邊形是矩形，可得，，設(shè)，則，，在中，，，再建立方程求解即可．【詳解】解：如圖，延長(zhǎng)交于點(diǎn)G，根據(jù)題意得：，，，，，，∴，∴，∴四邊形是矩形，∴，，∵，∴，∴，設(shè)，則，∴，在中，，，∴，解得：，經(jīng)檢驗(yàn)符合題意，即，∴，答：文通塔的高度為．5．(1)(2)【分析】本題主要考查切線(xiàn)的性質(zhì)，切線(xiàn)長(zhǎng)定理，解直角三角形的運(yùn)用，掌握以上知識(shí)，數(shù)形結(jié)合分析是關(guān)鍵．（1）由題意知：為圓心，為切點(diǎn)，，根據(jù)切線(xiàn)長(zhǎng)定理，，，在Rt中，，，即可求解；（2）根據(jù)直角三角形的性質(zhì)，，根據(jù)圓的基礎(chǔ)知識(shí)即可求解．【詳解】（1）解：由題意知：為圓心，為切點(diǎn)，，為的切線(xiàn)，根據(jù)切線(xiàn)長(zhǎng)定理，，為的切線(xiàn)，根據(jù)切線(xiàn)長(zhǎng)定理，，，，，在Rt中，，，∴．（2）解：，根據(jù)直角三角形的性質(zhì)，，．最高點(diǎn)到地面距離為．6．(1)處與小島之間的距離約為海里；(2)漁船途中有觸礁的危險(xiǎn)，理由見(jiàn)解析．【分析】本題主要考查了解直角三角形．解決本題的關(guān)鍵是作輔助線(xiàn)構(gòu)造直角三角形，利用銳角三角函數(shù)求出線(xiàn)段的長(zhǎng)度．過(guò)點(diǎn)作，交的延長(zhǎng)線(xiàn)于點(diǎn)，設(shè)海里，利用銳角三角函數(shù)可得：，解方程可得：，根據(jù)可求處與小島之間的距離；過(guò)點(diǎn)作于點(diǎn)，利用銳角三角函數(shù)求出的長(zhǎng)度，根據(jù)的長(zhǎng)度與海里之間的大小關(guān)系判斷即可．【詳解】（1）解：過(guò)點(diǎn)作，交的延長(zhǎng)線(xiàn)于點(diǎn)，由題意得，，，海里，設(shè)海里，在中，，海里，海里，海里，在中，，解得：，（海里），處與小島之間的距離約為海里；（2）解：如下圖所示，過(guò)點(diǎn)作于點(diǎn)，由題意得，，在中，，海里，，漁船途中有觸礁的危險(xiǎn)．7．紀(jì)念塔的高度約為【分析】本題考查解直角三角形的實(shí)際應(yīng)用，解題的關(guān)鍵是添加輔助線(xiàn)構(gòu)造直角三角形，過(guò)點(diǎn)作的垂線(xiàn)，交于點(diǎn)；過(guò)點(diǎn)作的垂線(xiàn)，交于點(diǎn)，根據(jù)坡度求出的長(zhǎng)，設(shè)紀(jì)念塔的高度為，分別解，，根據(jù)的長(zhǎng)為定值，列出方程進(jìn)行求解即可．【詳解】解：如圖，過(guò)點(diǎn)作的垂線(xiàn)，交于點(diǎn)；過(guò)點(diǎn)作的垂線(xiàn)，交于點(diǎn)．在中，，，．由題意可得，，，，且四邊形、均為矩形．設(shè)紀(jì)念塔的高度為．則．在中，，，．∴，．在中，，，，解得，．答：紀(jì)念塔的高度約為．8．(1)(2)【分析】本題考查了解直角三角形的實(shí)際應(yīng)用，正確理解題意，構(gòu)造直角三角形是解題的關(guān)鍵．（1）過(guò)點(diǎn)B作于點(diǎn)，根據(jù)角直角三角形性質(zhì)即可求解；（2）連接并延長(zhǎng)交于點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)D作于點(diǎn)U，交于點(diǎn)，先解中，求出，則，再解在中，由求得，最后由即可求解．【詳解】（1）解：過(guò)點(diǎn)B作于點(diǎn)，∵，∴在中，，答：點(diǎn)B到一樓地面的距離為；（2）解：連接并延長(zhǎng)交于點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)D作于點(diǎn)U，交于點(diǎn)，由題意得，，在中，，∴，∴在中，，∴；答：照明燈C到一樓地面的距離為．9．(1)；(2)米(3)廣告牌的高度約為米【分析】（1）根據(jù)題意可得：，，然后根據(jù)已知易得在中，，從而可得，進(jìn)而可得，最后利用角的和差關(guān)系以及平角定義進(jìn)行計(jì)算，即可解答；（2）在中，利用含度角的直角三角形的性質(zhì)進(jìn)行計(jì)算，即可解答；（3）延長(zhǎng)交于點(diǎn)，根據(jù)題意可得：米，，，米，然后在中，利用銳角三角函數(shù)的定義求出的長(zhǎng)，從而求出的長(zhǎng)，再分別在和中，利用銳角三角函數(shù)的定義求出和的長(zhǎng)，最后利用線(xiàn)段的和差關(guān)系進(jìn)行計(jì)算，即可解答．【詳解】（1）解：由題意得：∵山坡的坡度，在中，，則，，，，，故答案為：；；（2）解：在米，米，，(米)，∴點(diǎn)距水平面的高度為米；（3）解：延長(zhǎng)交于點(diǎn)，由題意得：米，米，在中，米，，(米)，米，在中，，(米)，在中，米，米，∴廣告牌的高度約為米．【點(diǎn)睛】本題考查了解直角三角形的應(yīng)用-仰角俯角問(wèn)題，熟練掌握銳角三角函數(shù)的定義是解題的關(guān)鍵．10．(1)(2)【分析】本題考查了解直角三角形的應(yīng)用，熟練掌握以上知識(shí)是解答本題的關(guān)鍵．（1）根據(jù)解三角形的知識(shí)解答即可；（2）根據(jù)解三角形的知識(shí)分別求出、、，再相加即可．【詳解】（1）解：在中，，，，，，即；（2）解：在中，，，，，，在中，，，，，，在中，，，，，，．11．(1)(2)【分析】此題考查了解直角三角形的應(yīng)用，讀懂題意是解題的關(guān)鍵．（1）在中，，根據(jù)正切的定義即可求出答案；（2）延長(zhǎng)交于點(diǎn)H，求出，再求出，得到，即可求出答案．【詳解】（1）解：由題意可得，三點(diǎn)共線(xiàn)，在中，，∴，即點(diǎn)D到的距離為；（2）解：延長(zhǎng)交于點(diǎn)H，由題意可得，，∴四邊形是矩形，∴，，∴，在中，，∴，∴，∴，∴，答：水平桌面到光源的高度為．12．(1)海里小時(shí)(2)海里【分析】本題主要考查解直角三角形的實(shí)際應(yīng)用，熟練掌握銳角三角函數(shù)的定義，是解題的關(guān)鍵．（1）過(guò)點(diǎn)作，過(guò)點(diǎn)作，由正切函數(shù)與正弦函數(shù)的定義，以及矩形的性質(zhì)，得出，進(jìn)而求得的長(zhǎng)，即可得出漁船的航行速度；（2）在中，根據(jù)即可求解．【詳解】（1）過(guò)點(diǎn)作，過(guò)點(diǎn)作，則四邊形是矩形，，海里，海里，海里，四邊形是矩形，海里，在中，(海里)海里漁船的航行速度是海里小時(shí)（2）在中，海里．13．(1)的長(zhǎng)度約為4632米；(2)小量會(huì)先到達(dá)終點(diǎn)【分析】本題考查解直角三角形的應(yīng)用——方位角問(wèn)題，作輔助線(xiàn)構(gòu)造直角三角形是解題的關(guān)鍵．（1）如圖，過(guò)點(diǎn)D作于點(diǎn)E，在中，求出（米），在中，求出（米），進(jìn)而求解即可；（2）如圖，過(guò)點(diǎn)A作交的延長(zhǎng)線(xiàn)于點(diǎn)F，首先得到米，在中，求出米，在中，求出米，得到（米），然后分別求出小潼走路線(xiàn)①需要的時(shí)間和小量走路線(xiàn)②需要的時(shí)間，進(jìn)而比較求解即可．【詳解】（1）解：如圖，過(guò)點(diǎn)D作于點(diǎn)E，由題意，得，，米，在中