第8章

整式乘法與因式分解8.2整式乘法2.單項式與多項式相乘1.能根據乘法分配律和單項式與單項式相乘的法則，探究單項式與多項式相乘的法則；2.掌握單項式與多項式相乘的法則并會運用.（重難點）.學習目標

單項式相乘，把系數、同底數冪分別相乘,作為積的因式；對于只在一個單項式里含有的字母,則連同它的指數作為積的一個因式。問題

同學們還記得單項式的乘法法則嗎？問題一個施工隊修筑一條路面寬為

nm的公路，第一天修筑

a

m

長,第二天修筑

b

m

長，第三天修筑

c

m

長，3

天共修筑路面的面積是多少?單項式乘多項式1na第一天第二天第三天bcnanbnca+b+c（單位：m）方法一

3

天共修筑路面的總長為

(a

+

b

+

c)

m，因為路面的寬為

n

m，所以

3

天共修筑路面_________m2.n(a+b+c)na第一天第二天第三天bcnanbnca+b+c方法二

先分別計算每天修筑路面的面積，然后相加，則

3

天共修筑路面____________m2.na

+

nb

+

nc因此，有n(

a

+

b

+

c)na

+

nb

+

nc=na第一天第二天第三天bcnanbnca+b+c

單項式與多項式相乘，用單項式和多項式的每一項分別相乘，再把所得的積相加.單項式與多項式的乘法法則:

本質是運用分配律，把單項式與多項式相乘轉化為單項式與單項式相乘.反思與提升：要點歸納bnac試一試計算：2a2·(3a2－5b).解：原式=2a2·3a2+2a2·

(－5b)

=6a4－10a2b.方法總結：根據乘法分配律，將單項式乘多項式的每一項，然后求和．單項式與多項式相乘2例1

計算：

(1)

(-2x)(x2

-

x

+

1)；

(2)

a(a2

+

a)

-

a2(a

-

2).典例精析解：

(1)

(-2x)(x2-x+1)

(2)

a(a2+

a)

-

a2(a

-

2)

=

-2x3+

2x2

-

2x=

(-2x)·x2+

(-2x)·(-x)+(-2x)·1=

3a2=

a3+

a2

-

a3+2a2=

a·a2

+

a·a

-

a2·a

+

2a2例2

一條防洪堤壩，其橫斷面是梯形，上底寬

a米，下底寬(a＋2b)米，壩高a米．(1)求這條防洪堤壩的橫斷面面積；解：[

a＋(a＋2b)]×a

＝a(2a＋2b)

＝a2＋

ab(平方米).故這條防洪堤壩的橫斷面面積為(

a2＋ab)平方米.(2)如果這條防洪堤壩長100米，那么這條防洪堤壩的體積是多少立方米？解：(a2＋

ab)×100＝50a2＋50ab(立方米)．

故這條防洪堤壩的體積為

(50a2＋50ab)

立方米．例3

先化簡，再求值：5a(2a2－5a＋3)－2a2(5a＋5)＋7a2，其中

a＝2.解：5a(2a2－5a＋3)－2a2(5a＋5)＋7a2

＝10a3－25a2＋15a－10a3－10a2＋7a2

＝－28a2＋15a，

當

a＝2時，原式＝－82.方法總結：在計算時要注意先化簡然后再代值計算．整式的加減運算實際上就是去括號與合并同類項．1.

計算：(1)

5x

·

(3x

+

4)；

解：(1)

5x

·

(3x

+

4)=15x2+20x.

(3)

x(x2+

3)

+

x2(x

-

3)

-

3x(x2-

x

-

1)=-x3+6x.

2.

如圖，某長方體的長為

a

+

1，寬為

a，高為

3，問這個長方體的體積是多少?a+1a3

=3a2

+3a.分析：長方形體積=長×寬×高3.

在

x(c

+

d)

=

xc+

xd

中，如果將

x

換為

(a

+

b)

如何計算(a

+

b)(c

+

d

)

?

寫出你的思考過程.將

(a+b)

當作一個整體則有

(a+b)(c

+

d

)

=(a+b)c

+

(a+b)

d

=ac+bc

+

ad

+bd

對于一些較復雜的式子，可以將某一個部分當作一個整體來化簡較為方便整體思想整式的乘法單項式乘多項式實質上是轉化為單項式×單項式注意(1)計算時，要注意符號問題，多項式中每一項都包括它前面的符號，單項式分別與多項式的每一項相乘時，同號相乘得正，異號相乘得負；(2)不要出現漏乘現象；

(3)運算要有順序：先乘方，再乘除，最后加減；(4)對于混合運算，最后應合并同類項1.單項式與多項式相乘，就是用單項式去乘多項式的

________，再把所得的積________.2.4(a-b+

1)

=____________.每一項相加4a

-

4b

+

43.3x(2x-y2)

=____________.6x2

-

3xy24.(2x-

5y+6z)(-3x)=__________________.-6x2+15xy-

18xz5.(-2a2)2(-a-

2b+c)=_________________.-4a5-

8a4b+4a4c

6.計算：(1)(－4x)·

(2x2+3x－1)；＝－8x3－

12x2+4x.解：原式＝(－4x)·(2x2)+(－4x)·3x+

(－4x)·(－1)(2)(ab2－2ab)·

ab.解：原式＝

ab2·

ab－2ab·

ab＝a2b3－a2b2.7.計算：-

2x2·

(xy+y2)-5x(x2y

-

xy2).

(1)2x2與5x前面的“-”不能看漏；(2)單項式與多項式相乘的結果中，應將

同類項

合并.

注意解：原式

=(-2x2)·xy+(-2x2)·y2+(-5x)·x2y+(-5x)·(-xy2)=-2x3y+(-2x2y2)+(-5x3y)+5x2y2=-7x3y+3x2y2.8.先化簡，再求值：

3a(2a2-

4a+3)-

2a2(3a+4)，

其中

a=-2.解：3a(2a2-

4a+3)-

2a2(3a+4)=6a3-

12a2+9a-

6a3-

8a2=-20a2+9a.當

a=-2時，原式

=-20×(-2)2+9×(-2)=-