考研數(shù)學(xué)一填空題專項強化真題試卷15

（總分：0.00,做題時間：0分鐘）

填空題（總題數(shù)：10,分數(shù)：0.00）

1.（2003年）設(shè)則a2=。

填空項1：（正確答案：1）

解析：根據(jù)余弦級數(shù)的定義，有

2.設(shè)A=G）是三階非零矩陣,|A|為A的行列式Aij為a”的代數(shù)余子式。若au+Aij=0（i,

j=l,2,3）,則|A|=o

填空項1：（正確答案：-1）

解析：由于aij+Aij-0,結(jié)合伴隨矩陣的定義可以得到A*=-AL兩邊同時求行列式可

得

|A*|=|-AT|,也即|A|2=-|A|,從而可以得到|A|=0或|A|=-lo

T

若|A|=0,則AA*=|A|E=0,即AA=0o再結(jié)合r（AAD=r（A）可得至UA=0,產(chǎn)生

矛盾。從而|A|-1。

3.二次型f（Xl,X2,X3）=X1-X2+2aXlX3+4X2X3的負慣性指數(shù)是1,則a的取值范圍是

填空項1：（正確答案：［-2,2］）

解析：由配方法可知，

f（xi,X2,X3）=X1-X2+2aXlX3+4X2X3

二（xi+ax3）2-（X2——2x3）3+（4—a2）X32,

由已知二次型的負慣性指數(shù)為1,故4-a2>0,所以a的取值范圍是［-2,2］。

4.（2010年試題,10）=.

填空項1：（正確答案：令則x=t2,dx=2tdt故）

解析：

5.=o

填空項1：（正確答案：2）

解析：當(dāng)x—0時，In(l+x)~x,1—cos-

則

6.(2010年試題二)設(shè)。={(x,yz)|x2+y2<z<l)，則。的形心坐標(biāo)=.

填空項1：(正確答案：。所表示區(qū)域的體積為則n的形心的豎

坐標(biāo)為)

解析：

7.(2003年試題，一)已知一批零件的長度X(單位：cm)服從正態(tài)分布N(M,1),從中

隨機地抽取16個零件，得到長度的平均值為40cm,則p的置信度為0.95的置信區(qū)間

是■

[注:標(biāo)準正態(tài)分布函數(shù)值(p(l.96)=0.975,(p(l.645)=0.95]

填空項1：(正確答案：由于,當(dāng)置信度為1-a=0.95時，

a=0.05,則又n=16,,。=1又則即P{39.51<|j<40.49}=0.95,

貝!JM的置信度為0.95的置信區(qū)間是(39.51,40.49))

解析：

8.(13年)設(shè)A=(au)是3階非零矩陣，|A|為A的行列式,Aq為a。的代數(shù)余子式.若

aij+Aij=0(i,j=l,2,3),則|A|=.

填空項1:(正確答案：-1)

解析:由AWO,不妨設(shè)anWO,由已知的Aij=-aij(i,j=l,2,3),得

及A=—(A*)T,其中A*為A的伴隨矩陣.

用AT右乘A=—(A*)T的兩端，得

AAT=—(A*)AT=—(AA*)T=—(|A|I)T,

其中I為3階單位矩陣，上式兩端取行列式，得

|A|2=(-1)3|A|3,或|A|2(l+|A|)=0,

因|A|WO,所以

9.

填空項1：(正確答案：)

解析：

10.

填空項1:（正確答案：）

解析：

考研數(shù)學(xué)一選擇題專項強化真題試卷1

（總分：0.00,做題時間：0分鐘）

單項選擇題（總題數(shù)：20,分數(shù)：0.00）

1.（1988年）設(shè)有空間區(qū)域Qi:x2+y2+z24R2,z>0;及。2:x2+y2+z2<R2,x>0,y>0,

z>0,則

A.

B.

C.正確答案

D.

解析：解1由于（C）選項中的被積函數(shù)f（x,y,z）=z既是x的偶函數(shù)，也是v的偶函

數(shù)，而積分域Qi既關(guān)于yOz坐標(biāo)面前后對稱，又關(guān)于xOz坐標(biāo)面左右對稱，則

解2用排除法.由于f(x,y,z)=x是x的奇函數(shù)，Qi關(guān)于yOz坐標(biāo)面前后對稱。則

而在。2

內(nèi)x>0,有貝!J(A)不正確；同理(B)和(D)均不正確，所以應(yīng)選(C).

2.設(shè)隨機變量X與Y相互獨立,且X服從標(biāo)準正態(tài)分布N(0,1),Y的概率分布為P{Y

=0}=P{Y=1}=.記Fz⑵為隨機變量Z=XY的分布函數(shù)，則函數(shù)Fz(z)的間斷點個數(shù)

為

A.0.

B.1.正確答案

C.2.

D.3.

解析：析⑵=P(Z4z)=P(XYWz)

=P{XY<z|Y=0}P{Y=0)+P{XY<z|Y=1}P{Y=1}

=P{0<z|Y=0}+P{X<z|Y=l}

而P{04z|Y=0}=P{04z}二

P{X<z|Y=l}=P{X<z}=

故Fz(z)=

在z<0和z>0上，F(xiàn)z⑵顯然連續(xù)；在z=0上，

可見Fz(z)只有1個間斷點(z=0處，；)，故選B.

3.設(shè)二維隨機變量(X,Y)服從二維正態(tài)分布，則隨機變量W=X+Y與r|=X-Y不相關(guān)

的充分必要條件為

A.E(X)=E(Y)

B.E(X2)=[E(X)]2=E(Y2)=[E(Y)]2正確答案

C.E(X2)=E(Y2)

D.E(X2)+EE(X)]2=E(Y2)+EE(Y)]2

解析:-.cov^,q)=cov(X+Y,X-Y)=DX-DY=[EX2-(EX)2]-[EY2-(EY)2]

而"cov(w,n)=o"等價于飛與n不相關(guān)"，故選B.

,則下列結(jié)論

4.設(shè)Xi,X2，…,Xn(nN2)為來自總體N(M,1)的簡單隨機樣本,記

中不正確的是

A.(Xif)2服從x2分布.

B.2(Xn-Xl)2服從X2分布.正確答案

C.服從X2分布.

D.n(-|J)2服從x2分布.

解析：由題意,Xn-X1~N(O,2),所以~N(0,1)

得(Xn-Xl)2~x(l),可見選項B結(jié)論"不正確"，就選B.

5.(2016年)已知函數(shù)則

A.x=0是f(x)的第一類間斷點

B.x=0是f(x)的第二類間斷點

C.f(x)在x=0處連續(xù)但不可導(dǎo)

D.f(x)在x=0處可導(dǎo)正確答案

解析：F一⑼=1,

由夾逼原理知即f'+(O)=l.故f(x)在x=0處可導(dǎo)，應(yīng)選(D).

6.(2018年)下列函數(shù)中，在x=0處不可導(dǎo)的是()

A.f(x)=|x|sin|x|

B.

C.f(x)=cos岡

D.正確答案

解析：由導(dǎo)數(shù)定義知

該極限不存在，則在x=0處不可導(dǎo)，故應(yīng)選D.

7.設(shè)函數(shù)f(x)可導(dǎo),且f(x)f'(x)>0,則()

A.f(l)>f(-1)

C.|f(l)|>|f(01)|正確答案

D.|f(l)|<|f(-l)|

解析：/f(x)f1(x)>0,.-.(2),只有C選項滿足Q)且滿足(2),所以選C.

8.(00年)設(shè)f(x)、g(x)是恒大于零的可導(dǎo)函數(shù)，且f,(x)g(x)-f(x)g'(x)<0,則當(dāng)a<

x<b時，有

A.f(x)g(b)>f(b)g(x).正確答案

B.f(x)g(a)>f(a)g(x).

C.f(x)g(x)>g(b)f(b).

D.f(x)g(x)>f(a)g(a)

解析：

即f(x)g(b)>g(x)f(b)

9.(2008年試題，一)函數(shù)一在點(0,1)處的梯度等于().

A.i正確答案

B-i

CJ

D-j

解析：梯度的計算公式中涉及到函數(shù)的偏導(dǎo)數(shù)，故先求二元函數(shù)f(x,y)的偏導(dǎo)數(shù):

則fx(0,l)=lfy(0,1)=0.梯度gradf(0,l)=lxi+0xj=i,故應(yīng)選A.

10.設(shè)f(0)=0,則f(x)在點x=0可導(dǎo)的充要條件為

A.

B.正確答案

C.

D.

解析：若存在，則

11.(93年)雙紐線(x2+y2)2=x2—y2所圍成的區(qū)域面積可用定積分表示為

A.正確答案

B.

C.

D.

解析：設(shè)雙紐線在第一象限圍成的面積為Si,則

所求面積為

所以(A).

12.設(shè)A為4階實對稱矩陣，且A2+A=0.若A的秩為3。則A相似于

A.

B.

C.

D.正確答案

解析：設(shè)A按列分塊為A=[ai,c(2,c(3,CM],由r(A)=3,知A的列向量組的極大無

關(guān)組含3個向量，不妨設(shè)ai,是A的列向量組的極大無關(guān)組.由于A2=-A,即

A[aio(2o(3ou]=-[ai。2ou],

即[AaiActAO(3AOU]=[—ai—。2—。3—ou],

得Aog=-eq,j-1,2,3,4.

由此可知一1是A的特征值值且ai,。2,c(3為對應(yīng)的3個線性無關(guān)的特征向量，故

一1至少是A的3重特征值.

而r(A)=3<4,知0也是A的一個特征值.于是知A的全部特征值為：一1,一1,

-1,0,且每個特征值對應(yīng)的線性無關(guān)特征向量個數(shù)正好等于該特征值的重數(shù)，故A相似

于對角矩陣D=diag(—1,-1,-1,0),故選項D正確.

13.(2000年試題，二)設(shè)S:x2+y2+z2=a2(z>0)s為S在第一卦限中的部分，則有().

A.

B.

C.正確答案

D.

解析：本題考查積分曲面和被積函數(shù)在具有對稱性和奇偶性時第一型曲面積分的特殊

性質(zhì)，由題設(shè)所給s及S1。有因此顯然有A,B,D不成立；關(guān)于C,積分的被積函

數(shù)z關(guān)于x和y都是偶函數(shù)，因而同時積分曲面Si關(guān)于x,y,z三軸對稱,則由輪換

對稱性知，所以綜上，選C.

應(yīng)注意積分區(qū)域的對稱性和積分函數(shù)的周期性在第一類曲線、曲面積分、二重積分和

三重積分中的靈活運用.

14.設(shè)函數(shù)f(x)連續(xù),且f1(0)>0,則存在6>0,使得

A.f(x)在(0,6)內(nèi)單調(diào)增加.

B.f(x)在(一5,0)內(nèi)單調(diào)減少.

C.對任意的xe(0,5)有f(x)>f(0).正確答案

D.對任意的xe(-6,0)有f(x)>f(0).

解析：由于f1(o)=,由極限的保號性知，存在5>0,當(dāng)X￡(—5,0)或X￡(O,6)

時,，而當(dāng)￡(0,5)時x>0,則此時f(x)-f(0)>0,即f(x)>f(0),故應(yīng)選(C).

15.(91年)設(shè)D是xOy平面上以(1,1),(-1,1)和(一11)為頂點的三角形區(qū)域，

Di是D在第一象限的部分，則(xy+cosxsiny)dxdy等于

A.正確答案

B.

C.

D.

解析：如圖2.8,AQAB所圍區(qū)域記為D2,AQBC所圍區(qū)域記為D3.

由于xy關(guān)于x是奇函數(shù)，積分域D2關(guān)于y軸對稱，則

又cosxsiny是y的奇函數(shù)，D3關(guān)于x軸對稱，則

又cosxsiny是x的偶函數(shù)，D2關(guān)于y軸對稱，則

從而有

16.設(shè)數(shù)列｛aQ單調(diào)減少，無界,則幕級數(shù)的收斂域為

A.(-1,1].

B.[-1,1).

C.[0,2).正確答案

D.(0,2].

解析：由于幕級數(shù)的收斂區(qū)間的中心應(yīng)為1,則(A)(B)選項不正確.

17.(03年)設(shè)向量組I:ai,?2,,?r,可由向量組口：彷邛2,…邛s線性表示，

則

A.當(dāng)r<s時，向量組n必線性相關(guān).

B.當(dāng)r>s時，向量組口必線性相關(guān).

C.當(dāng)r<s時，向量組I必線性相關(guān).

D.當(dāng)r>s時，向量組I必線性相關(guān).正確答案

解析：

18.

A.

B.正確答案

C.

D.

解析：

19.設(shè)隨機事件A與B相互獨立，且P(B)=O.5,P(A-B)=O.3,則P(B-A)=

A.O.1.

B.O.2.正確答案

C.O.3.

D.O.4.

解析：由于事件A與B獨立，故有

P(A—B):P(A)—P(AB)=P(A)—P(A)P(B)=O.5P(A)=0.3

從而P(A)=0.6

P(B—A)=P(B)—P(AB)=P(B)—P(A)P(B)=0.5—0.3=0.2.

所以選(B).

20.[2005年]設(shè)二維隨機變量(X,Y)的概率分布為

若隨機事件｛X=0｝與｛X+Y=l｝相互獨立，則().

A.a=0.2,b=0.3

B.a=O.4,b=0.1正確答案

C.a=O.3,b=0.2

D.a=O.1,b=0.4

解析:由=(a+0.4)+(b+0,l)=a+b+O.5=1(歸一性)知，a+b=O.5.又由事

件｛X=0｝與｛X+Y=l｝相互獨立,有

P(X=O,X+Y=1)=P(X=O)P(X+Y=1),而P(X=O,X+Y=1)=P(X=O，丫=l)=a,

P(X=O)=a+O.4,P(X+Y=1)=P(X=O,Y=1)+P(X=1,Y=O)=a+b,

故a=(a+O.4)(a+b)=(a+0.4)x0.5.①

所以a=0.4.從而b=0.5-a=0.1.

考研數(shù)學(xué)一選擇題專項強化真題試卷2

(總分：0.00,做題時間：0分鐘)

單項選擇題(總題數(shù)：20,分數(shù)：0.00)

1.設(shè)隨機變量(X,Y)服從二維正態(tài)分布，且X與Y不相關(guān)，fx(x),fY(y)分別表示X,Y

的概率密度，則在Y=y的條件下，X的條件概率密度fx|Y(XIy)為

A.fx（X）.正確答案

B.fY(y).

C.fx(x)fy(y).

D.

解析：由(X,Y)服從二維正態(tài)分布，且X與Y不相關(guān)，故X與Y獨立，

?.(X,Y)的概率密度f(x,y)=fx(x)Wy),(x,y)《R2.

得fx?Y(XIy)==fx(x)

故選A.

2.設(shè)隨機變量X~t(n)(n>1),Y=.貝!]

A.Y-x2(n)

B.Y~x2(n-1)

C.Y~F(n,1)正確答案

D.Y-F(1,n)

解析：由X~t(n)，得X2~F(1,n),故丫=~F(n,1),故選C.

3.過點(1,0,0)與(0,1,0)且與曲面z=x2+y2相切的平面方程為()

A.z=0與x+y—z-1

B.z=0與2x+2y—z=2正確答案

C.y=x與x+y—z-1

D.y=x與2x+2y—z-2

解析：已知平面過A(1,0,0),B(0,1,0)兩點，則/y是存在的，排除C,D選項，

可得平面內(nèi)一向量

22

曲面z=x+y的切平面法向量為n2=(2x,2y,—1)

由nm2=0,2x—2y=0即切點處x=y.

聯(lián)立方程組2x2一2ax+a=0有唯一解，

即仁伽尸一4x2xa=0,a=2,(a=0舍去)

故2x+2y—z=2,故選B.

4.設(shè)f(x)和(p(x)在(-8,+8)內(nèi)有定義，f(x)為連續(xù)函數(shù)，且f(x)H0,(p(x)有間斷點，

則

A.q[f(x)]必有間斷點.

B.即(x)]2必有間斷點.

C.f即(x)]必有間斷點.

D.必有間斷點.正確答案

解析：令

顯然f(x)和(p(x)符合原題條件,而(p[f(x)]=l,(p2(x)=i,f[(p(x)]=2均無間斷點,則

(A)(B)(C)均不正確,故應(yīng)選(D).

5.設(shè)函數(shù)f(x)在定義域內(nèi)可導(dǎo)，y=f(x)的圖形如圖2.1所示，則導(dǎo)函數(shù)y=f'(x)的圖形

為(見圖2.2).

A.

B.

C.

D.正確答案

解析:由f(x)的圖形可看出，當(dāng)x<0時，f(x)嚴格單調(diào)增，則當(dāng)x<0時，f，(x)NO,因

此(A),(C)肯定不正確,只能在(B)和(D)中選.又由f(x)的圖形可看出，當(dāng)x>0時，f(x)由

增變減再變增，因此在x>0處，f'(x)應(yīng)由正變負再變正，由f'(x)的圈形可看出應(yīng)選(D).

6.設(shè)入為n階可逆矩陣A的一個特征根，則A的伴隨矩陣A*的特征根之一是

A.入T|A|n.

B.A-1|A|.正確答案

C.A|A|.

D.A|A|n.

解析：由條件，存在非零列向量x，使Ax=Ax，兩端左乘A*并利用A*A=|A|E,得|

A|x="Vx，因A可逆，故A的特征值入,兩端乘為A*的一個特征值且x為對應(yīng)的

一個特征向量.只有B正確.

7.(96年)已知為某函數(shù)的全微分，則a等于

A.-1.

B.0.

C.1.

D.2.正確答案

解析：令

由于Pdx+Qdy為某個函數(shù)的全微分，則

gp(a—2)x-ay=—2y,(a—2)x=(a—2)y

僅當(dāng)a=2時，上式恒成立.

8.(97年)二元函數(shù)f(x,y)=在點(0,0)處

A.連續(xù)，偏導(dǎo)數(shù)存在.

B.連續(xù)，偏導(dǎo)數(shù)不存在.

C不連續(xù),偏導(dǎo)數(shù)存在.正確答案

D不連續(xù)，偏導(dǎo)數(shù)不存在.

解析:vy=kx,則

當(dāng)k不同時，不存在，因而f(x,y)在(0,0)點處不連續(xù)，但根據(jù)偏導(dǎo)數(shù)的定義知

同理可得fy'(O,0)=0

由此可見，在點(0,0)處f(x,y)的偏導(dǎo)數(shù)存在.

9.(05年)設(shè)有三元方程xy—zlny+exx=l,根據(jù)隱函數(shù)存在定理,存在點(0,1,1)的

一個鄰域，在此鄰域內(nèi)該方程

A.只能確定一個具有連續(xù)偏導(dǎo)數(shù)的隱函數(shù)z=z(x,y).

B.可確定兩個具有連續(xù)偏導(dǎo)數(shù)的隱函數(shù)y=y(x,z)和z=z(x,y).

C.可確定兩個具有連續(xù)偏導(dǎo)數(shù)的隱函數(shù)x=x(y,z)和z=z(x,y).

D.可確定兩個具有連續(xù)偏導(dǎo)數(shù)的隱函數(shù)x=x(y,z)和y=y(x,z),正確答案

解析:令F(x,y,z)=xy—zlny+exz—1

顯然，F(xiàn)(x,y,z)在點(0,1,1)的鄰域內(nèi)有連續(xù)一階偏導(dǎo)數(shù)，且F(0,1,1)=0,Fx'(0,

1,1)=2/0,Fy,(0,l,1)=-1/0,由隱函數(shù)存在定理知方程xy—zlny+exz=l可確定兩

個具有連續(xù)偏導(dǎo)數(shù)的隱函數(shù)x=x(y,z)和y=(x,z),故(D).

10.(95年)設(shè)則級數(shù)

A.

B.

C.正確答案

D.

解析：

11.(11年)設(shè)數(shù)列同｝單調(diào)減少，(n=l,2,…)無界，則幕級數(shù)的收斂域為

A.(-1,1].

B.[-l,1).

C.[0,2).正確答案

D.(0,2].

解析：由于幕級數(shù)的收斂區(qū)間的中心應(yīng)為1,則(A)(B)選項不正確

12.(16年)設(shè)A,B是可逆矩陣，且A與B相似，則下列結(jié)論錯誤的是

A.AT與BT相似.

BA1與Bi相似.

C.A+AT與B+BT相似.正確答案

D.A+A-I與B+B-i相似.

解析：由已知條件知，存在可逆矩陣P,使得"AP=B……(1).

由⑴兩端取轉(zhuǎn)置，得PTAT(P)i=BT,可見AT與BT相似，因此選項(A)正確；

由⑴兩端取逆矩陣，得P1A-1P=B-1……(2),可見A"與B-i相似,因此選項(B)正確;

將⑴與(2)相加，得P-i(A+A-i)P=B+Bi,可見A+A-i與B+B」相似，因此選項(D)

正確.故只有選項(Q錯誤.

13.(09年)設(shè)隨機變量X的分布函數(shù)為F(x)=0.3(p(x)+其中(p(x)為標(biāo)準正態(tài)分布

的分布函數(shù)，則EX=

A.0.

B.0.3.

C.0.7.正確答案

D.l.

解析：

14.

A.

B.正確答案

C.

D.

解析：

15.

A.

B.正確答案

C.

D.

解析:

16.設(shè)則g[f(x)]為().

A.

B.

C.

D.正確答案

解析：g(x),f(x)均為分段函數(shù)，可采用先內(nèi)后外，或先外后內(nèi)的方法求其復(fù)合函數(shù)

g[f(x)].由于g(x),f(x)的分段點相同，g[f(x)]也是分段函數(shù)，且其分段點與f(x),g(x)均

相同，因而可以以分段點為界點分區(qū)間求之.

以分段點為界點分區(qū)間求之.

當(dāng)x<0時,f(x)=x2>0,則g[f(x)]=0x)+2=x2+2;

當(dāng)xNO時，f(x)=—X40,貝[Jg[f(x)]=2—f(x)=2—(—x)=2+x.

綜上所述，僅D入選.

17.[2007年]如圖所示，連續(xù)函數(shù)y=f(x)在區(qū)間[-3,—2],[2,3]上圖形分別是直

徑為1的上、下圓周，在區(qū)間[-2,0],[0,2]上的圖形分別是直徑為2的下、上半圓周.設(shè)

F(x)=J(/f(t)dt,則下列結(jié)論正確的是().

A.F(3)=-(3/4)F(-2)

B.F(3)=(5/4)F(2)

C.F(-3)=(3/4)F(2)正確答案

D.F(-3)=-(5/4)F(-2)

解析：由定積分的幾何意義，即得到

因而F(3)=(3/4)F(2),即B不成立.又F(3)=(3n/4)F(-2),故A不成立.

顯然有F(-3)=-3TT/8=(3/4)x6/2)=(3/4)F(2),D不成立.僅C入選.

18.設(shè)n(nN2)階矩陣A非奇異，A*是矩陣A的伴隨矩陣，則().

A.(A*)*=|A|n-g

B.(A*)*=|A|"iA

C(A*)*=|A|n-2A正確答案

D.(A*)*=|A|n+2A

解析:由(A*)*(A*)=IA*IE得到(A*)*(A*/IA*I)=E,故

(A*)*=(A*/|A*|尸=|A*|(A)』|A|n-i(|A|A-1)-1

=|A|n」(A-i尸/|A|=|A|…2A.僅C入選.

19J2017年］已知矩陣，則().

A.A與C相似，B與C相似

B.A與C相似，B與C不相似正確答案

C.A與C不相似，B與C相似

D.A與C不相似，B與C相似

解析：顯然A,B,C的特征值都為人i=r=2，入3=1.

由2E—A=得秩(2E—A)=l,則A可以相似對角化，故A與C相似.

由2E—B=得秩(2E—B)=2,則B不可相似對角化，故B與C不相似.

綜上，僅B入選.

20.[2007年]設(shè)隨機變量(X,Y)服從二維正態(tài)分布且X與Y不相關(guān)，fx(x),fY(y)分別

表示X,Y的概率密度,則在Y=y的條件下X的條件密度fx|Y(X|丫)為().

A.fx(x)正確答案

B.fy(y)

C.fx(x)fY(y)

D.fx(x)/fY(y)

解析：因(X，丫)服從二維正態(tài)分布，且X與Y不相關(guān)，故X與Y相互獨立.于是從直

觀上考慮Y的取值不影響X的取值.因而得到fx?Y(X|y)=fx(x).僅A入選.

考研數(shù)學(xué)一選擇題專項強化真題試卷3

(總分：0.00,做題時間：0分鐘)

單項選擇題(總題數(shù)：20,分數(shù)：0.00)

1.(2004年)設(shè)為正項級數(shù)，下列結(jié)論中正確的是()

A.

B.正確答案

C.

D.

解析：

2.設(shè)矩陣A=b=若集合。={1,2},則線性方程組Ax=b有無窮多解的充

分必要條件為

A.

B.

C.

D.正確答案

解析:

3.設(shè)A為三階矩陣，將A的第二列加到第一列得矩陣B,再交換B的第二行與第三行

得單位矩陣。記

則A=()

A.P1P2

B.P1-IP2

C.P2P1

D.P2P1」正確答案

11

解析:由初等矩陣與初等變換的關(guān)系知APi=B,P2B=E,所以A=BRI-=P2-PI-

'P2PI-I,故選D。

4.(2011)函數(shù)f(x)=lnI(x-l)(x-2)(x-3)I的駐點個數(shù)為()

A.O.

B.l.

C.2.正確答案

D.3.

解析：因為，所以x=1,x=2,x=3是曲線y=f(x)的鉛直漸近線.又，由此可

畫出f(x)=ln|(x-l)(x-2)(x-3)|的草圖,如圖3所示，由圖形可知，存在兩點xi,X2,使

得f'(Xl)=f'(X2)=0,即f(x)有兩個駐點.故應(yīng)選C.

5.(09年)當(dāng)x-0時，f(x)=x—sinax與g(x)=x2ln(l-bx)是等價無窮小，則

A.正確答案

B.

C.

D.

解析：由于當(dāng)x-0時，f(x)=x—sinax與y(x)=x2ln(l-bx)是等價無窮小，則

故(A).

6.設(shè)f(x)在x=a處可導(dǎo)，則

等于

A.f'(a).

B.2f'(a).正確答案

C.0

D.f'(2a).

解析：令f(x)=x，則

但f'(x)=l,從而f'(a)=f'(2a)=l,則(A)(C)(D)均不正確,故應(yīng)選(B).

7.(2006年試題,二)設(shè)f(x,y)與(p(x,y)均為可微函數(shù),且cpy(x,y)/0.已知(xo,

y。)是f(x,y)在約束條件(p(x,y)=0下的一個極值點，下列選項正確的是().

A.若fx(xo,yo)=O,則f'(x',y')=O

B.若fx'(xo,yo)=O,則fy'(xo,yo)-O

C.若fx'(xo,yo)wO,則fy'(xo,yo)=O

D.若fx'(xo,yo)/O,則fy'(xo,yo)wO正確答案

解析：考查化條件極值問題為一元函數(shù)極值問題.根據(jù)拉格朗日乘子法，令F(x,y,

A)=,(x,y)+A(p(x,y)，則(xo,yo)滿足若fx'(xo,yo)=O,由⑴一入=0或(px'(xo,yo)=O

當(dāng)A=0時,由(2)得fx'(xo,yo)=O;但當(dāng)AwO時，由②及(py(x0,xo)^O,fy(xo,yo)/O所

以A,B錯誤.若fx'(xo,yo)/O,由⑴1入WO,再由(2)及(py,(xo,xo)HC)Tfy(xo,yo)/O故

選D.

9.(96年)設(shè)f(x)有連續(xù)導(dǎo)數(shù),f(0)=0,f'(0)^0,F(x)=Jox(x2-t2)f(t)dt,且當(dāng)x-0時,

F'(x)與xk是同階無窮小，則k等于

A.1.

B.2.

C.3.正確答案

D.4.

解析：F(x)=x2Joxf(t)dt——Joxt2f(t)dt

F(x)=2x[f(t)dt+x2f(x)—x2f(x)=2xjoxf(t)dt

由于=f'(O)wO,而上式右端極限存在且為非零常數(shù)，則k=3,所以(C).

10.設(shè)02,?3是3維向量空間R3的一組基，則由基?1,?3到基。1+。2,0(2+013,

?3+?1的過渡矩陣為

A.正確答案

B.

C.

D.

解析：如果3維向量空間的一組基(I)：巳，&,&與另一組基(H):m,q2,r)3之間

有如下關(guān)系:nj=aij&+a求2+a求3(j=l,2,3),寫成矩陣形式,就是

[Q1，,r|3]=匕，Q,

其中aij為常數(shù)(i,j=l,2,3),則稱矩陣A=(aij)3*3為由基(I)到基(口)的過渡矩陣,

現(xiàn)在容易得到

[Q1一CX2,。2—,。3—ai]=

因此所求過渡矩陣為A=.只有選項(A)正確.

11.(2007年試題，一)某人向同一目標(biāo)獨立重復(fù)射擊，每次射擊命中目標(biāo)的概率為

p(0<p<l),則此人第4次射擊恰好第2次命中目標(biāo)的概率為().

A.3p(l-p)2

B.6p(l-p)2

C.3P2(l—p)2正確答案

D.6p2(l—p)2

解析：此人第4次射擊恰好第2次命中，則前3次射擊中只有一次命中目標(biāo)，則此概

率為:C3!(l-p)2.p=3p2(l-p)2,故應(yīng)選C.

12.(2010年試題，8)設(shè)fi(x)為標(biāo)準正態(tài)分布的概率密度函數(shù)f2(x)為［-1,3］上均勻

分布的概率密度函數(shù)，若則a,b滿足().

A.2a+3b=4正確答案

B.3a+2b=4

C.a+b=l

D.a+b=2

解析：依題意可知，根據(jù)概率密度的基本概念知，即有2a+3b=4,故正確答案

為A.

13.(2010年試題，7)設(shè)隨機變量X的分面函數(shù)為則P{X=1}等于().

A.0

B.

C.正確答案

D.l—e-i

解析：故正確答案為C.

14.(88年)n維向量組網(wǎng),a2，…，as(3?s4n)線性無關(guān)的充分必要條件是

A.存在一組不全為0的數(shù)ki,k2,…，ks,使kiai+k2a2+...+ksas/0.

B.ai,a2，…，as中任意兩個向量都線性無關(guān).

C.ai,a2，…，as中存在一個向量，它不能用其余向量線性表出.

D.ai,a2，…，as中任意一個向量都不能用其余向量線性表出.正確答案

解析：由于ai,，…，as線性相關(guān)的充分必要條件是該組中至少存在一個向量，它

可以用該組中其余s-1個向量線性表出，而線性無關(guān)是線性相關(guān)的反面，由此立即知（D）

正確.

15.（12年）設(shè)，其中Cl,C2,C3,C4為任意常數(shù)，則下列向量組線性相關(guān)的為

A.ai,o（2,.

B.ai,,o（4.

C.ai,as,a4.正確答案

D.ai,a?,0U

解析:當(dāng)CiWO時，（A）組、（B）組都線性無關(guān);當(dāng)C3+C4/0時，（D）組線性無關(guān).因此，

只有選項（C）正確.

16.（05年）設(shè)二維隨機變量（X,Y）的概率分布為

已知隨機事件｛X=0｝與｛X+Y=l｝相互獨立，則

A.a=0.2,b=0.3

B.a=0.4,b=0.1正確答案

C.a=O.3,b=0.2

D.a=O.1,b=0.4

解析：

17.（04年）設(shè)隨機變量Xi,X2,...,Xn（n>1）獨立同分布，且其方差J>0,令Y=,

A.正確答案

B.

C.

D.

解析：

18.設(shè)A是三階實對稱矩陣，E三階單位矩陣，若A2+A=2E,且|A|=4,則二次型

xTAx的規(guī)范形為（）

A.yi2+y22+ys2

222

B.yi+y2-y3

222

C.yi—y2—y3正確答案

D.—yi2—y22-ys2

解析：設(shè)入是A的特征值，根據(jù)A2+A=2E,得入2+入=2,解得入=1或一2,所以A

的特征值是1或一2，故選C.因為|A|=4,所以A的三個特征值為1,—2,—2,從

而二次型xTAx的規(guī)范形為yi2—y22—y32，故選C.

19股矩陣是滿秩的，則直線（）.

A.相交于一點正確答案

B.重合

C.平行但不重合

D.異面

解析：因秩，又經(jīng)初等行變換得到

而經(jīng)初等行變換，矩陣的秩不變,故兩行向量(ai—32,bi—bs,ci—C2),(a?—as,

b2-b3,C2—C3)線性無關(guān)，所以它們不共線.因而兩直線的方向向量不平行，也不重合B

C不能入選.

又因兩直線分別過點M3(a3,b3,c3),Mi(ai,bi,ci).而三向量

=(a3-ai,bs-bi,C3-C1),

si=(ai—a2,bi—b2,ci—C2),S2=(a2—as,b2—bs,C2—C3)共面.這是因為

故此兩直線不是異面直線，而是共面直線.又因它們不平行，所以必相交.僅A入選.

20.設(shè)a為常數(shù)，則級數(shù)().

A.絕對收斂

B.條件收斂

C.發(fā)散正確答案

D.收斂性與a的取值有關(guān)

解析：由于絕對收斂，因而收斂.而發(fā)散，可知原級數(shù)發(fā)散.僅C入選.

考研數(shù)學(xué)一（一元函數(shù)積分學(xué)）歷年真題試卷匯編

（總分：150.00，做題時間：180分鐘）

選擇題（總題數(shù)：9,分數(shù)：61.60）

1.[2016年]已知函數(shù)則f（x）的一介原函數(shù)是（）.

（分數(shù)：6.90）

A.

B.

C.

D.正確答案

解析：因f（x）為分段函數(shù)，其原函數(shù)F（x）也必分段求之.

x<l時，F(xiàn)(x)=ff(x)dx=J2(x—l)dx=(x—1)2+C1,

x21時，F(xiàn)(x)=J'f(x)dx=flnxdx=xlnx—fxdlnx=xlnx—Jdx=xlnx—

x+C2=x(lnx—1)+C2.

因原函數(shù)F(x)可導(dǎo)，故F(x)連續(xù)，因而當(dāng)x=l時，有F(1+O)=F(1—0),其中

故C1=C2-1.于是

其中C1為任意實數(shù).可令C1取一個實數(shù)，例如令Cl=0,可得到f(x)的一個原

函數(shù)

僅D入選.

2.[2007年]如圖所示，連續(xù)函數(shù)y=f(x)在區(qū)間[-3,-2],[2,3]上圖形分

別是直徑為1的上、下圓周，在區(qū)間[-2,0],[0,2]上的圖形分別是直徑為2

的下、上半圓周.設(shè)F(x)=fOxf(t)dt,則下列結(jié)論正確的是().

(分數(shù)：6.90)

A.F(3)=-(3/4)F(-2)

B.F(3)=(5/4)F(2)

C.F(-3)=(3/4)F(2)正確答案

D.F(—3)=—(5/4)F(—2)

解析：由定積分的幾何意義，即得到

因而F(3)=(3/4)F(2),即B不成立.又F(3)=(3口/4)F(—2),故A不成立.

顯然有F(-3)=-3n/8=(3/4)x(n/2)=(3/4)F(2),D不成立.僅C入選.

3.[2011年]設(shè)，則I,J,K的大小關(guān)系是().

(分數(shù)：6.90)

A.I<J<K

B.I<K<J正確答案

CJ

D.K<J<I

解析：因I,J,K的積分區(qū)間相同，只需比較在(0,TT/4)內(nèi)被積函數(shù)的大小.事

實上，當(dāng)0<X<TT/4時，sinx,cotx,cosx的圖形如圖所示.顯然有cotx>

1>cosx>sinx,又因為Inx在(0,+8)內(nèi)單調(diào)增加，故Incotx>Incosx>

Insinx.因而

即僅B入選.

4.[2018年]設(shè)則().

(分數(shù)：6.90)

A.M>N>K

B.M>K>N

C.K>M>N正確答案

D.K>N>M

解析：因為

且，所以K>M.

設(shè)f(x)=ex—x—1,則f'(x)=ex—1,所以當(dāng)x<0時，f'(x)<0,f(x)單調(diào)遞

減；

當(dāng)x>0時,f,(x)>0,f(x)單調(diào)遞增,故f(x)=O為其最小值，即

因此M>N.綜上，即有K>M>N,故選C.

5.[2012年]設(shè)Ik=J0knex2sinxdx(k=l,2,3),則有().

(分數(shù)：6.80)

A.U<12<13

B.I3<I2<I1

C.I2<13<II

D.I2<11<13正確答案

解析：由題設(shè)有11=JOnexZsinxdx,12=J'02nex2sinxdx,I3=J'O3n

ex2sinxdx,貝!J

12—Il=J02nex2sinxdx—j'0nex2sinxdx

=Jn2nex2sinxdx<0(因sinx<0),故II>12.

又13—12=J03nex2sinxdx—fO2TTex2sinxdx

=J-2TT3nex2sinxdx>0(因sinx>0),故13>12

13—Il=J03nex2sinxdx—j*0TTex2sinxdx

=J'n3nex2sinxdxf-Tnre(y+2n)2sin(y+2n)dy

=J-Trne(y+2ir)2sinydy=JOne(y+2n)2sinydy+f-nOe(y+2n)2sinydy,

而J-Tr0e(y+2iT)2sinydyfn0e(2n-t)2sintdt=-f0ne(2TT-t)2sintdt,

因e(y+如)2siny>e(-y+2n)2siny(0<y<TT)則13—Il>0故13>11>12.僅

D入選.

6.［2009設(shè)函數(shù)y=f(x)在區(qū)間［-1,3］上的圖形為

則函數(shù)F(x)=J0x|f(t)|dt的圖形為().

(分數(shù)：6.80)

A.

B.

C.

D.正確答案

解析：僅D入選.因f(x)在［-1,3］上只有2個不連續(xù)的點(第一類間斷點)x=0,

x=2,

故f(x)在［-1,3］上可積，則對任意x￡［-l,3］,F(x)=J0xf(t)dt在［-1,3］

上連續(xù)，特別在x=0處連續(xù)，且F(0)=0.而C中F(0)=l#0,排除C.由f(x)

的圖形可知x=2為f(x)的跳躍間斷點，知，F(xiàn)(x)=fOxf(t)dt在x=2處連續(xù)，排

除B.

當(dāng)X￡[—1,0)時fF(x)=JOxf(t)dt=-JxOldt—x<0,而選項A中F(x)>0,

故排除A.

或當(dāng)xe[l,0)時，F(xiàn)'(x)=f(x)=l>0,從而F(x)單調(diào)遞增，而A中F(x)單調(diào)遞

減，排除A.

7.設(shè)f(x)連續(xù)，貝!]J0xtf(x2—t2)dt=().

(分數(shù)：6.80)

A.xf(x2)正確答案

B.-xf(x2)

C.2xf(x2)

D.—2xf(x2)

解析：先作代換，為此令x2-t2=u,則一2tdt=du.當(dāng)t=0時，u=x2;當(dāng)

t=x時,u=0?所以

J0xtf(x2—t2)dt=.僅A入選.

8.[2004年]設(shè)f(x)為連續(xù)函數(shù)，F(xiàn)(t)=JltdyJytf(x)dx,則F(2)等于().

(分數(shù)：6.80)

A.2f(2)

B.f(2)正確答案

C.-f(2)

D.0

解析：由于二次積分的內(nèi)層積分與求導(dǎo)變量t有關(guān)，故不能直接對其求導(dǎo).應(yīng)先

交換積分次序，然后再求導(dǎo).由原二次積分易求得其積分區(qū)域如圖所示，即

D={(x,y)|l<y<t,y<x<t}={(x,y)|l<x<t,l<y<x}.

交換積分次序，得到

F(t)=Jltdyfytf(x)dx=fltdxflxf(x)dy

=J'ltf(x)dxJlxdy

=Jlt(x—l)f(x)dx,

因而F'(t)=f(t)(t-1).于是F'(2)=f(2).僅B入選.

9.[2008設(shè)函數(shù)f(x)=J0x2ln(2+t)dt,則f'(x)的零點個數(shù)是().

(分數(shù)：6.80)

A.0

B.1正確答案

C.2

D.3

解析：僅B入選.易求得f'(x)=[J0x21n(2+t)dt]‘一

In(2+x2)(x2)'=2xln(2+x2).

令F(x)=2xln(2+x2)=0,因ln(2+x2)>0,故x=0是F(x)的唯一一個零點.

填空題(總題數(shù)：7,分數(shù)：47.60)

10.[2004年]已知f'(ex)=xe-x,且f(l)=0,貝!]f(x)=.

（分數(shù)：6.80）

填空項1：(正確答案：f(x)=(lnx)2/2)

解析：在f'(ex)=xe-x兩邊同乘以ex得到f'(ex)ex=x.在此式兩邊積分，得到

ff'(ex)exdx=J'xdx,即ff,(ex)dex=J'xdx,

Jdf(ex)=Jdx2,故f(ex)=.

因已知f(l)=0，在上式中令x=0，得到f(l)=C=0.因而f(ex)=x2/2.令ex=t,

則x=lnt,故f(t)=(lnt)2/2,BPf(x)=(lnx)2/2.

ll.[2014^]設(shè)f(x)是周期為4的可導(dǎo)奇函數(shù)，且f'(x)=2(x-l),x￡[0,2],

貝Uf(7)=.

(分數(shù)：6.80)

填空項1：(正確答案：1)

解析：由f,(x)=2(x-1)易求得原函數(shù)

f(x)=x2—2x+c.①

又因f(x)是周期為4的可導(dǎo)奇函數(shù)，故

f(7)=f(2x4—l)=f(—l)=-f(l),且f(0)=0.

將f(0)=0代入式①得到C=0.于是f(x)=x2-2x,則

f(7)=-f(l)=—(x2—2x)|x=l=l.

12.[2007^]J12dx=.

(分數(shù)：6.80)

填空項1：(正確答案：)

解析：原式

13.[2010J0n2dx=.

(分數(shù)：6.80)

填空項1：(正確答案：-4口)

解析：=—4nf0ntsintdt=4fOntdcost

=4[（tcost）|On-JOncostdt]

=4（—x-0—0）=-4n.

14.[2015年]=.

（分數(shù)：6.80）

填空項1:（正確答案：）

解析：因為奇函數(shù)，故又|x|為偶函數(shù)，故

所以

15.=.

（分數(shù)：6.80）

填空項1：（正確答案：）

解析：原式

16/2012年］

（分數(shù)：6.80）

填空項1：（正確答案：）

解析：令x-l=sin6,則x=0,2時，6=-n/2,n/2,于是有

=J，-n/2n/2（l+sin0）cos20d0

=\-Tr/2n/2cos20d0+\-Tr/2TT/2sin0cos20d0=2fOTr/2cos20d0+O

解答題（總題數(shù)：6,分數(shù)：40.80）

17.（2001^］求

（分數(shù)：6.80）

正確答案：(原式)

解析：

18.［2018年］求不定積分

(分數(shù)：6.80)

正確答案：(利用分部積分法，有

)

解析：

19.(2005年］如圖所示，曲線C的方程為y=f(x),點(3,2)是它的一介拐點，

直線II與12分別是曲線C在點(0,0)與(3,2)處的切線，其交點為(2,4).設(shè)

函數(shù)f(x)具有三階連續(xù)導(dǎo)數(shù)，計算定積分J03(x2+x)F”(x)dx.

(分數(shù)：6.80)

正確答案：（先從圖中獲取計算積分所需的數(shù)據(jù):

f(3)=2,f(0)=0.從圖中還可求出曲線y=f(x)在點(0,0)與(3,2)處的切線斜率:

f'(0)=(4—0)/(2-0)=2,

f'(3)=—(2—0)/(4—3)=-2.

由點(3,2)是y=f(x)的拐點知，『⑶=0(拐點的必要條件).

因被積函數(shù)含函數(shù)的導(dǎo)數(shù)，下面用分部積分法求其值.

J03(x2+x)f'''(x)dx=(x2+x)f''(x)|03-J03(2x+l)f"(x)dx

=/03(2x+l)f"(x)dx=—(2x+l)f'(x)|03+2f03f'(x)dx

=-[7x(-2)—2]+2f03f'(x)dx=16+2f(x)|03=16+4=20.)

解析：

20.[2010年]比較JOI|Int|[ln(l+t)]ndt^J01tn|Int|dt(n=l,2,...)

的大小，并說明理由.

（分數(shù)：6.80）

正確答案：(先證：當(dāng)04x41時，ln(l+x)Wx.

令g(x)=ln(l+x)-x,貝！|當(dāng)xwxwl時，g3=l/(l+x)-lw0,故g(x)w

g(0)=0,BPln(l+x)—x<0,亦即ln(l+x)<x.

先比較區(qū)間［0,1］上的被積函數(shù).由0vln(l+t)<t,t￡(0,1)得到

lnn(l+t)<tn(te(0,1］,n=l,2,...),|Int|lnn(l+t)<tn|Int|,te

(0,1).

又，

令f(t)=|Int|lnn(l+t),h(t)=tn|Int|,

可補充定義f(0)=