數(shù)列求和的常用方法一、幾種數(shù)列求和的常用方法1、分組轉(zhuǎn)化求和法：一個數(shù)列的通項公式是由若干個等差或等比或可求和的數(shù)列組成的，則求和時可用分組求和法，分別求和后相加減．2、裂項相消法：把數(shù)列的通項拆成兩項之差，在求和時中間的一些項可以相互抵消，從而求得前n項和．3、錯位相減法：如果一個數(shù)列的各項是由一個等差數(shù)列和一個等比數(shù)列的對應(yīng)項之積構(gòu)成的，那么求這個數(shù)列的前項和即可用錯位相減法求解．4、倒序相加法：如果一個數(shù)列與首末兩端等“距離”的兩項的和相等或等于同一個常數(shù)，那么求這個數(shù)列的前項和即可用倒序相加法求解．二、公式法求和常用公式公式法主要適用于等差數(shù)列與等比數(shù)列.1、等差數(shù)列的前n項和2、等比數(shù)列的前n項和3、一些常見的數(shù)列的前n項和：①；②；③；=4\*GB3④三、裂項相消法中常見的裂項技巧1、等差型裂項（1）（2）（3）（4）（5）（6）（7）（8）（9）2、根式型裂項（1）（2）（3）（4）3、指數(shù)型裂項（1）（2）（3）（4）（5）（6）4、對數(shù)型裂項四、錯位相減法求和步驟形如，其中為等差數(shù)列，首項為，公差為；為等比數(shù)列，首項為，公比為.對數(shù)列進(jìn)行求和，首先列出，記為①式；再把①式中所有項同乘等比數(shù)列的公比，即得，記為②式；然后①②兩式錯開一位作差，從而得到的前項和。注：等差數(shù)列的通項常見形式為(其中A、B為常數(shù))，等比數(shù)列通項常見的形式為(其中A、m為常數(shù))題型一相加型分組求和【例1】（2023·四川·高二達(dá)州市第一中學(xué)校校考階段練習(xí)）已知遞增等差數(shù)列滿足，且、、成等比數(shù)列.（1）求數(shù)列通項公式；（2）設(shè)，求數(shù)列的前項和.【答案】（1）；（2）【解析】（1）設(shè)等差數(shù)列的公差為，則，因為、、成等比數(shù)列，則，即，即，整理可得，又因為，故，因此，.（2）由（1）可得，所以，.【變式1-1】（2023·吉林長春·高二?？计谀┰跀?shù)列中，，（1）證明：數(shù)列是等比數(shù)列.（2）求數(shù)列的前項和.【答案】（1）證明見解析；（2）【解析】（1）由得，，所以數(shù)列為首項為1，公比為4的等比數(shù)列.（2）由（1）得，則，.【變式1-2】（2023·河北邯鄲·高二?？茧A段練習(xí)）已知數(shù)列滿足，．（1）記，證明：是等比數(shù)列，并求的通頂公式；（2）求數(shù)列的前項和．【答案】（1）證明見解析；；（2）【解析】（1）由，得，又，，且，所以是等比數(shù)列，（2）由（1）得，得，所以，即【變式1-3】（2023·江蘇·高二淮陰中學(xué)校聯(lián)考階段練習(xí)）已知數(shù)列為等差數(shù)列，公差為，；數(shù)列為各項均為正數(shù)的等比數(shù)列，，.（1）求數(shù)列和的通項公式；（2）若，求數(shù)列的前頂和【答案】（1），；（2）【解析】（1）數(shù)列為等差數(shù)列，公差為，，，又?jǐn)?shù)列為各項均為正數(shù)的等比數(shù)列，設(shè)公比為，，，又，得，；（2）由（1）得，則，整理得題型二奇偶項分組求和【例2】（2023·寧夏石嘴山·高三平羅中學(xué)校考階段練習(xí)）在數(shù)列中，，，，則的前20項和（）A．621B．622C．1133D．1134【答案】C【解析】設(shè)，，則，.由已知可得，，即，所以為以2為首項，2為公差的等差數(shù)列，，，即，所以為以1為首項，2為公比的等比數(shù)列，.所以，的前20項和.故選：C.【變式2-1】（2023·遼寧沈陽·東北育才學(xué)校?？寄M預(yù)測）已知數(shù)列，且，則數(shù)列的前2024項之和為（）A．1012B．2022C．2024D．4048【答案】C【解析】當(dāng)為奇數(shù)時，，所以數(shù)列的奇數(shù)項成首項為，公差為的等差數(shù)列.當(dāng)為偶數(shù)時，，所以數(shù)列的偶數(shù)項成首項為，公差為的等差數(shù)列.所以前項和為：.故選：C【變式2-2】（2023·上海·高二?？计谥校┮阎獢?shù)列的前n項和為，，．（1）求數(shù)列的通項公式；（2）若數(shù)列，求的前n項和．【答案】（1）；（2）.【解析】（1）數(shù)列中，，，當(dāng)時，，兩式相減得，而，即對任意，，因此數(shù)列是首項為1，公比為3的等比數(shù)列，，所以數(shù)列的通項公式是.（2）由（1）知，，當(dāng)為偶數(shù)時，；當(dāng)為奇數(shù)時，，所以的前n項和.【變式2-3】（2023·江蘇揚州·高二統(tǒng)考階段練習(xí)）已知等差數(shù)列的前項和為，且滿足，．（1）求數(shù)列的通項公式；（2）若數(shù)列滿足，求數(shù)列的前項和．【答案】（1）；（2）1409【解析】（1）依題意，設(shè)數(shù)列的公差為，因為，所以，解得：，所以．（2）因為，所以，所以.題型三并項法求和【例3】（2023·山東威?！じ叨Ｊ械谝恢袑W(xué)校考階段練習(xí)）已知數(shù)列，，，則等于（）A．3027B．3028C．3034D．3035【答案】C【解析】因為，，所以.故選：C.【變式3-1】（2023·福建漳州·高二華安縣第一中學(xué)?？茧A段練習(xí)）若數(shù)列的通項公式是，則【答案】3036【解析】因為，所以，，，，所以.【變式3-2】（2023·河北·高三承德市雙灤區(qū)實驗中學(xué)校考階段練習(xí)）已知數(shù)列滿足，，記數(shù)列的前項和為，則．【答案】506【解析】由遞推公式可得，；；……；而.【變式3-3】（2023·河南·高二校聯(lián)考階段練習(xí)）已知數(shù)列，滿足，，.（1）證明：為等差數(shù)列.（2）設(shè)數(shù)列的前項和為，求.【答案】（1）證明見解析；（2）【解析】（1）由題意得，，則，所以是首項，公差為1的等差數(shù)列.（2）由（1）得，則，當(dāng)為偶數(shù)時，.當(dāng)為奇數(shù)時，為偶數(shù)，則.綜上，.題型四逆序相加法求和【例4】（2023·全國·高二專題練習(xí)）已知正數(shù)數(shù)列是公比不等于1的等比數(shù)列，且，試用推導(dǎo)等差數(shù)列前項和的方法探求：若，則（）A．2022B．4044C．2023D．4046【答案】D【解析】因為正數(shù)數(shù)列是公比不等于1的等比數(shù)列，且，所以，又∵函數(shù)，∴，令，則，∴，∴.故選：D.【變式4-1】（2023·江蘇蘇州·高二張家港市沙洲中學(xué)校考開學(xué)考試）已知函數(shù)，數(shù)列為等比數(shù)列，，且，利用課本中推導(dǎo)等差數(shù)列前項和的公式的方法，則（）A．B．2017C．4034D．8068【答案】C【解析】用倒序相加法：令①則也有②由，，即有，可得：，于是由①②兩式相加得，所以．故選：C【變式4-2】（2023·廣東佛山·高二南海中學(xué)?？茧A段練習(xí)）已知函數(shù)，則．【答案】/【解析】，，設(shè)①，則②，①+②得，.【變式4-3】（2023·遼寧·高二鳳城市第一中學(xué)校聯(lián)考階段練習(xí)）德國大數(shù)學(xué)家高斯年少成名，被譽為數(shù)學(xué)界的王子，19歲的高斯得到了一個數(shù)學(xué)史上非常重要的結(jié)論，就是《正十七邊形尺規(guī)作圖之理論與方法》．在其年幼時，對的求和運算中，提出了倒序相加法的原理，該原理基于所給數(shù)據(jù)前后對應(yīng)項的和呈現(xiàn)一定的規(guī)律生成，因此，此方法也稱之為高斯算法，現(xiàn)有函數(shù)，設(shè)數(shù)列滿足（），則．【答案】【解析】，，因為①，所以②，兩式相加得，所以.【變式4-4】（2023·江西萍鄉(xiāng)·高二統(tǒng)考期末）已知函數(shù)關(guān)于點對稱，其中為實數(shù).（1）求實數(shù)的值；（2）若數(shù)列的通項滿足，其前項和為，求.【答案】（1）；（2）【解析】（1）由題知，即，整理得，解得；（2）由題知，，且，則，又，故，即.題型五裂項相消法求和【例5】（2023·江蘇蘇州·高二統(tǒng)考期中）數(shù)列中，，，則（）A．77B．78C．79D．80【答案】D【解析】依題意，，所以，由，解得.故選：D【變式5-1】（2023·江蘇徐州·高二統(tǒng)考階段練習(xí)）已知是公比不為的等比數(shù)列，，且．（1）求的通項公式；（2）設(shè)，，證明：．【答案】（1）；（2）證明見解析【解析】（1）因為是等比數(shù)列，設(shè)公比為q（），由題意得，解得，所以．（2）由（1）得因為，所以，所以，因為，所以，從而．【變式5-2】（2023·河北邢臺·高二校聯(lián)考階段練習(xí)）已知為等差數(shù)列，其前n項和為，，，且也為等差數(shù)列．（1）求的通項公式；（2）設(shè)，求數(shù)列的前n項和．【答案】（1）；（2）【解析】（1）設(shè)的公差為d．因為，，為等差數(shù)列，所以，，成等差數(shù)列，則，解得，故．（2）因為，，所以．設(shè)的前n項和為，則【變式5-3】（2023·福建·高二廈門一中?？茧A段練習(xí)）設(shè)是等比數(shù)列且公比大于0，其前項和為是等差數(shù)列，已知，．（1）求的通項公式；（2）設(shè)，數(shù)列的前項和為，求滿足的最大整數(shù)的值．【答案】（1），；（2）9.【解析】（1）設(shè)的公比為，因為，所以，即，解得或（舍），所以，設(shè)的公差為，因為，所以，所以，解得，所以．故，.（2），即.所以.，化簡得，又，解得.所以滿足的最大整數(shù).【變式5-4】（2023·浙江金華·高二校聯(lián)考階段練習(xí)）已知等差數(shù)列前項和為，滿足.數(shù)列滿足，.（1）求數(shù)列的通項公式；（2）設(shè)數(shù)列滿足，求數(shù)列的前項和.【答案】（1），；（2）【解析】（1）設(shè)數(shù)列的公差為，解得.，且，所以是等比數(shù)列，（也可用累乘法求的通項公式）（2），故，.【變式5-5】（2023·陜西西安·校聯(lián)考模擬預(yù)測）已知數(shù)列滿足.（1）求的通項公式；（2）若，求數(shù)列的前項和.【答案】（1）；（2）【解析】（1）令，得，當(dāng)，則：，得：，解得：，當(dāng)時，也滿足上式.綜上，.（2）證明：由所以:故：.題型六錯位相減法求和【例6】（2023·江蘇蘇州·高二?？茧A段練習(xí)）已知數(shù)列的首項為0，且，數(shù)列的首項，且對任意正整數(shù)m，n恒有．（1）求和的通項公式；（2）對任意的正整數(shù)n，設(shè)，求數(shù)列的前n項和；【答案】（1），；（2）【解析】（1）由數(shù)列的首項為0，且，可得是首項為0，公差為1的等差數(shù)列，即有；數(shù)列的首項，且對任意正整數(shù)，恒有，可令，則，則是首項和公比均為的等比數(shù)列，；（2）由，則兩式相減，得：，.【變式6-1】（2023·河南·高二校聯(lián)考階段練習(xí)）已知數(shù)列的前項和為，，.（1）求的通項公式；（2）若數(shù)列的前項和為，證明：.【答案】（1）；（2）證明見解析【解析】（1）由題意得，得，則是首項為，公比為的等比數(shù)列，所以的通項公式為.（2）由題意得，，兩式相減，得

，所以，因為，所以.【變式6-2】（2023·福建龍巖·高二校聯(lián)考期中）已知數(shù)列的前項和是，且.（1）證明：是等比數(shù)列.（2）求數(shù)列的前項和.【答案】（1）證明見解析；（2）.【解析】（1）證明：當(dāng)時，，得：；當(dāng)時，得：，將兩式相減得：，得：，所以得：當(dāng)