2023-2024學(xué)年滬科新版數(shù)學(xué)七年級下冊章節(jié)培優(yōu)復(fù)習(xí)知識講練第7章一元一次不等式與不等式組（思維導(dǎo)圖+知識梳理+十一大重點考向舉一反三講練）1.理解不等式的有關(guān)概念，掌握不等式的基本性質(zhì)；2.理解不等式的解（解集）的意義，掌握在數(shù)軸上表示不等式的解集的方法；3.會利用不等式的基本性質(zhì)，熟練解一元一次不等式或不等式組；4.會根據(jù)題中的不等關(guān)系建立不等式（組），解決實際應(yīng)用問題；5.通過對比方程與不等式、等式性質(zhì)與不等式性質(zhì)等一系列教學(xué)活動，理解類比的方法是學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的一種重要途徑.知識點01：不等式【高頻考點精講】1.不等式：用符號“＜”(或“≤”)，“＞”（或“≥”），≠連接的式子叫做不等式.【易錯點剖析】（1）不等式的解：能使不等式成立的未知數(shù)的值叫做不等式的解.（2）不等式的解集：對于一個含有未知數(shù)的不等式，它的所有解組成這個不等式的解集．解集的表示方法一般有兩種：一種是用最簡的不等式表示，例如，等；另一種是用數(shù)軸表示，如下圖所示：（3）解不等式：求不等式的解集的過程叫做解不等式．2.不等式的性質(zhì)：不等式的基本性質(zhì)1：不等式的兩邊都加上(或減去)同一個數(shù)或同一個整式，不等號的方向不變．用式子表示：如果a＞b，那么a±c＞b±c不等式的基本性質(zhì)2：不等式兩邊都乘以(或除以)同一個正數(shù)，不等號的方向不變．用式子表示：如果a＞b，c＞0，那么ac＞bc(或)．不等式的基本性質(zhì)3：不等式兩邊乘以(或除以)同一個負(fù)數(shù)，不等號的方向改變．用式子表示：如果a＞b，c＜0，那么ac＜bc(或)．不等式的基本性質(zhì)4：如果a＞b，那么b＜a.不等式的基本性質(zhì)5：如果a＞b，b＞c，那么a＞c.知識點02：一元一次不等式【高頻考點精講】1.定義：不等式的左右兩邊都是整式，經(jīng)過化簡后只含有一個未知數(shù)，并且未知數(shù)的最高次數(shù)是1，這樣的不等式叫做一元一次不等式，【易錯點剖析】ax+b＞0或ax+b＜0(a≠0)叫做一元一次不等式的標(biāo)準(zhǔn)形式．2.解法：解一元一次不等式步驟：去分母、去括號、移項、合并同類項、系數(shù)化為1.

【易錯點剖析】不等式解集的表示：在數(shù)軸上表示不等式的解集，要注意的是“三定”：一是定邊界點，二是定方向，三是定空實.3.應(yīng)用：列不等式解應(yīng)用題的基本步驟與列方程解應(yīng)用題的步驟相類似，即：（1）審：認(rèn)真審題，分清已知量、未知量；（2）設(shè)：設(shè)出適當(dāng)?shù)奈粗獢?shù)；（3）找：找出題中的不等關(guān)系，要抓住題中的關(guān)鍵字，如“大于”“小于”“不大于”“至少”“不超過”“超過”等關(guān)鍵詞的含義；（4）列：根據(jù)題中的不等關(guān)系，列出不等式；（5）解：解出所列的不等式的解集；（6）答：檢驗是否符合題意，寫出答案.【易錯點剖析】列一元一次不等式解應(yīng)用題時，經(jīng)常用到“合算”、“至少”、“不足”、“不超過”、“不大于”、“不小于”等表示不等關(guān)系的關(guān)鍵詞語，弄清它們的含義是列不等式解決問題的關(guān)鍵.知識點03：一元一次不等式組

【高頻考點精講】關(guān)于同一未知數(shù)的幾個一元一次不等式合在一起，就組成一個一元一次不等式組.

【易錯點剖析】（1）不等式組的解集：不等式組中各個不等式的解集的公共部分叫做這個不等式組的解集.（2）解不等式組：求不等式組解集的過程，叫做解不等式組.

（3）一元一次不等式組的解法：分別解出各不等式，把解集表示在數(shù)軸上，取所有解集的公共部分，利用數(shù)軸可以直觀地表示不等式組的解集.

（4）一元一次不等式組的應(yīng)用：①根據(jù)題意構(gòu)建不等式組，解這個不等式組；②由不等式組的解集及實際意義確定問題的答案．重點考向01：不等式的性質(zhì)重點考向02：不等式的解集重點考向03：在數(shù)軸上表示不等式的解集重點考向04：解一元一次不等式重點考向05：一元一次不等式的整數(shù)解重點考向06：由實際問題抽象出一元一次不等式重點考向07：一元一次不等式的應(yīng)用重點考向08：解一元一次不等式組重點考向09：一元一次不等式組的整數(shù)解重點考向10：由實際問題抽象出一元一次不等式組重點考向11：一元一次不等式組的應(yīng)用重點考向01：不等式的性質(zhì)【典例精講】（2023秋?鎮(zhèn)海區(qū)校級期末）若a＞b，下列不等式不一定成立的是（）A．a(chǎn)﹣2023＞b﹣2023 B．﹣2023a＜﹣2023b C． D．a(chǎn)+c＞b+c【變式訓(xùn)練1-1】（2023春?番禺區(qū)校級月考）a，b都是實數(shù)，且a＜b，則下列不等式正確的是（）A．a(chǎn)+3＞b+3 B． C．5a＜5b D．1﹣a＜1﹣b【變式訓(xùn)練1-2】（2023春?吉首市期末）閱讀下列材料：問題：已知x﹣y＝2，且x＞1，y＜0，試確定x+y的取值范圍解：∵x﹣y＝2，∴x＝y(tǒng)+2，又∵x＞1，∴y+2＞1，∴y＞﹣1，又∵y＜0，∴﹣1＜y＜0①∴﹣1+2＜y+2＜0+2即1＜x＜2②①+②得﹣1+1＜x+y＜0+2，∴x+y的取值范圍是0＜x+y＜2．請按照上述方法，完成下列問題：（1）已知x﹣y＝5，且x＞﹣2，y＜0，①試確定y的取值范圍；②試確定x+y的取值范圍；（2）已知x﹣y＝a+1，且x＜﹣b，y＞2b，若根據(jù)上述做法得到3x﹣5y的取值范圍是﹣10＜3x﹣5y＜26，請直接寫出a、b的值．重點考向02：不等式的解集【典例精講】（2023春?鳳凰縣期末）我們定義，關(guān)于同一個未知數(shù)的不等式A和B，兩個不等式的解集相同，則稱A與B為同解不等式．（1）若關(guān)于x的不等式A：1﹣3x＞0，不等式B：＜1是同解不等式，求a的值；（2）若關(guān)于x的不等式C：x+1＞mn，不等式D：x﹣3＞m是同解不等式，其中m，n是正整數(shù)，求m，n的值；（3）若關(guān)于x的不等式P：（2a﹣b）x+3a﹣4b＜0，不等式Q：﹣2x是同解不等式，試求關(guān)于x的不等式（a﹣4b）x+2a﹣3b＜0的解集．【變式訓(xùn)練2-1】（2023春?岳麓區(qū)校級期末）若不等式組無解，則m的取值范圍為（）A．m≤2 B．m＜2 C．m≥2 D．m＞2【變式訓(xùn)練2-2】（2020春?自貢期末）請閱讀求絕對值不等式|x|＜3和|x|＞3的解集過程．對于絕對值不等式|x|＜3，從圖1的數(shù)軸上看：大于﹣3而小于3的絕對值是小于3的，所以|x|＜3的解集為﹣3＜x＜3；對于絕對值不等式|x|＞3，從圖2的數(shù)軸上看：小于﹣3而大于3的絕對值是大于3的，所以|x|＞3的解集為x＜﹣3或x＞3．已知關(guān)于x，y的二元一次方程組的解滿足|x+y|≤3，其中m是負(fù)整數(shù)，求m的值．重點考向03：在數(shù)軸上表示不等式的解集【典例精講】（2023秋?隆回縣期末）如圖，小雨把不等式3x+1＞2（x﹣1）的解集表示在數(shù)軸上，則陰影部分蓋住的數(shù)字是．【變式訓(xùn)練3-1】（2023春?寶應(yīng)縣期末）整式的值為P．（1）當(dāng)m＝2時，求P的值；（2）若P的取值范圍如圖所示，求m的非正整數(shù)值．【變式訓(xùn)練3-2】（2022春?叢臺區(qū)期末）整式5（m﹣）的值為P．（1）當(dāng)m＝3時，求P的值；（2）若P的取值范圍如圖所示，求m的正整數(shù)值．重點考向04：解一元一次不等式【典例精講】（2023?東莞市三模）不等式x＜1﹣的解集為（）A．x＜2 B．x＜1 C．x＜ D．x＜﹣【變式訓(xùn)練4-1】（（2023?邢臺二模）若不等式組的解集是x＞1，則不等式②可以是（）A．﹣2x＜4 B．﹣2x＞4 C．﹣2x≥4 D．﹣2x≤﹣4【變式訓(xùn)練4-2】（2023春?鄧州市期中）如圖，在數(shù)軸上，點A、B分別表示數(shù)﹣2、﹣2x+6．（1）若x＝﹣1，則點A、B間的距離是多少？（2）若點B在點A右側(cè)：①求x的取值范圍；②判斷：表示數(shù)﹣x+2的點應(yīng)落在（填序號）．A．點A左邊B．點B右邊C．線段AB上重點考向05：一元一次不等式的整數(shù)解【典例精講】（2023秋?義烏市期末）若關(guān)于x的不等式3x+2≤a的正整數(shù)解是1，2，3，4，則整數(shù)a的最小值是．【變式訓(xùn)練5-1】（2023春?玄武區(qū)期末）已知關(guān)于x的不等式2x﹣m+1＜0的正整數(shù)解有且只有2個，則m的取值范圍為．【變式訓(xùn)練5-2】2023春?瓊海校級期末）計算：（1）；（2）解不等式，并寫出其非負(fù)整數(shù)解．【變式訓(xùn)練5-3】（2023春?邗江區(qū)校級期末）我們定義：如果兩個一元一次不等式有公共整數(shù)解，那么稱這兩個不等式互為“友好不等式”，其中一個不等式是另一個不等式的“友好不等式”，（1）不等式x≥2x≤2的“友好不等式”；（填“是”或“不是”）；（2）若a≠﹣1，關(guān)于x的不等式x+3＞a與不等式ax﹣1≤a﹣x互為“友好不等式”，求a的取值范圍；（3）若關(guān)于x的不等式x﹣m≥0不是2x﹣1＜x+2的“友好不等式”，則m的取值范圍是．重點考向06：由實際問題抽象出一元一次不等式【典例精講】（2023春?靈丘縣校級期末）某次知識競賽共有25道題，每答對一題得5分，答錯或不答都扣2分，小明得分要超過90分，他至少要答對多少道題？如果設(shè)小明答對x道題，那么他答錯或不答的題數(shù)為（25﹣x）根據(jù)題意，下列不等式正確的是（）A．5x﹣2（25﹣x）≥90 B．5x﹣2（25﹣x）≤90 C．5x﹣2（25﹣x）＞90 D．5x﹣2（25﹣x）＜90【變式訓(xùn)練6-1】（2021春?海陽市期末）一次環(huán)保知識競賽共有20道題，規(guī)定答對一道題得4分，答錯或不答一道題扣1分．在這次競賽中，小明的得分為優(yōu)秀（85分或85分以上）．若設(shè)小明答對了x道題，則根據(jù)題意，得不等式為．【變式訓(xùn)練6-2】（2022春?安陽期末）請根據(jù)小明同學(xué)解不等式的過程，完成下面各項任務(wù)：解不等式≥+1解：去分母，得2（x+1）≥3（2x﹣5）+1…………第一步去括號，得2x+2≥6x﹣5+1…………第二步移項，得2x﹣6x≥﹣5+1+2…………第三步合并同類項，得﹣4x≥﹣2…………第四步系數(shù)化為1，得x≥…………第五步所以不等式的解集為：x≥任務(wù)一：以上解題過程中，從第步開始出現(xiàn)錯誤，錯誤的原因是任務(wù)二：請從出現(xiàn)錯誤的步驟開始，把正確的解答過程完整的寫出來；任務(wù)三：請你根據(jù)平時的學(xué)習(xí)經(jīng)驗，寫出一條解不等式時需要注意的事項．重點考向07：一元一次不等式的應(yīng)用【典例精講】（2023春?嵐山區(qū)期末）某藥品說明書中對用法用量有如圖所示的表述，若一日每次服用相同劑量的藥品，設(shè)每次服用藥品的劑量為xmg，則x的取值范圍是（）A．300≤x≤400 B．200≤x≤600 C．200≤x≤300 D．300≤x≤600【變式訓(xùn)練7-1】（2023秋?遂川縣期末）五一節(jié)前，某商店擬用2000元的總價購進A、B兩種品牌的電風(fēng)扇進行銷售，為更好的銷售，每種品牌電風(fēng)扇都至少購進1臺，已知購進3臺A種品牌電風(fēng)扇所需費用與購進2臺B種品牌電風(fēng)扇所需費用相同，購進1臺A種品牌電風(fēng)扇與2臺B種品牌電風(fēng)共需費用800元．（1）求A、B兩種品牌電風(fēng)扇每臺的進價分別是多少元？（2）該商店將A種品牌電風(fēng)扇定價為280元/臺，B種品牌電風(fēng)扇定價為350元/臺，為能在銷售完這兩種電風(fēng)扇后獲得最大的利潤，該商店應(yīng)采用哪種進貨方案？【變式訓(xùn)練7-2】（2023?河源一模）某加工廠用52500元購進A、B兩種原料共40噸，其中原料A每噸1500元，原料B每噸1000元．由于原料容易變質(zhì)，該加工廠需盡快將這批原料運往有保質(zhì)條件的倉庫儲存．經(jīng)市場調(diào)查獲得以下信息：①將原料運往倉庫有公路運輸與鐵路運輸兩種方式可供選擇，其中公路全程120千米，鐵路全程150千米；②兩種運輸方式的運輸單價不同（單價：每噸每千米所收的運輸費）；③公路運輸時，每噸每千米還需加收1元的燃油附加費；④運輸還需支付原料裝卸費：公路運輸時，每噸裝卸費100元；鐵路運輸時，每噸裝卸費220元．（1）加工廠購進A、B兩種原料各多少噸？（2）由于每種運輸方式的運輸能力有限，都無法單獨承擔(dān)這批原料的運輸任務(wù)．加工廠為了盡快將這批原料運往倉庫，決定將A原料選一種方式運輸，B原料用另一種方式運輸，哪種方案運輸總花費較少？請說明理由．重點考向08：解一元一次不等式組【典例精講】（2023秋?岳陽期末）已知關(guān)于x的不等式組，下列四個結(jié)論：①若它的解集是1＜x≤3，則a＝7；②當(dāng)a＝3，不等式組有解；③若它的整數(shù)解僅有3個，則a的取值范圍是11≤a＜13；④若它有解，則a＞3．其中正確的結(jié)論個數(shù)（）A．1個 B．2個 C．3個 D．4個【變式訓(xùn)練8-1】2024?肇源縣開學(xué)）解不等式組：．【變式訓(xùn)練8-2】（2024?金水區(qū)校級開學(xué)）解不等式是，在數(shù)軸上表示出其解集，并求出它的所有整數(shù)解的和．【變式訓(xùn)練8-3】（2023春?大竹縣校級期末）我們用[a]表示不大于a的最大整數(shù)，例如：[2.5]＝2，[3]＝3，[﹣2.5]＝﹣3；用＜a＞表示大于a的最小整數(shù)，例如：＜2.5＞＝3，＜3＞＝4，＜﹣2.5＞＝﹣2．根據(jù)上述規(guī)定，解決下列問題：（1）[﹣4.5]＝，＜3.01＞＝；（2）若x為整數(shù)，且[x]+＜x＞＝2017，求x的值；（3）若x、y滿足方程組，求x、y的取值范圍．重點考向09：一元一次不等式組的整數(shù)解【典例精講】（2023春?開福區(qū)校級月考）若關(guān)于x的一元一次方程有正整數(shù)解，且使關(guān)于x的不等式組最少有4個整數(shù)解，則滿足所有條件的整數(shù)a的個數(shù)為（）A．5 B．4 C．3 D．2【變式訓(xùn)練9-1】（2024?金水區(qū)校級開學(xué)）已知關(guān)于x的不等式組只有3個整數(shù)解，則實數(shù)a的取值范圍是．【變式訓(xùn)練9-2】（2023春?海州區(qū)期末）新定義：若一元一次方程的解在一元一次不等式組解集范圍內(nèi)，則稱該一元一次方程為該不等式組的“關(guān)聯(lián)方程”，例如：方程x﹣1＝3的解為x＝4，而不等式組的解集為2＜x＜5，不難發(fā)現(xiàn)x＝4在2＜x＜5的范圍內(nèi)，所以方程x﹣1＝3是不等式組的“關(guān)聯(lián)方程”．（1）在方程①3（x+1）﹣x＝9；②4x﹣7＝0；③中，不等式組的“關(guān)聯(lián)方程”是；（填序號）（2）若關(guān)于x的方程2x﹣k＝6是不等式組的“關(guān)聯(lián)方程”，求k的取值范圍；（3）若關(guān)于x的方程是關(guān)于x的不等式組的“關(guān)聯(lián)方程”，且此時不等式組有4個整數(shù)解，試求m的取值范圍．【變式訓(xùn)練9-3】（2021春?鳳凰縣期末）對x，y定義一種新運算T，規(guī)定：T（x，y）＝（mx+ny）（x+2y）（其中m，n均為非零常數(shù)）．例如：T（1，1）＝3m+3n．（1）已知T（1，﹣1）＝0，T（0，2）＝8．①求m，n的值；②若關(guān)于p的不等式組恰好有3個整數(shù)解，求a的取值范圍；（2）當(dāng)x2≠y2時，T（x，y）＝T（y，x）對任意有理數(shù)x，y都成立，請直接寫出m，n滿足的關(guān)系式．重點考向10：由實際問題抽象出一元一次不等式組【典例精講】（2023春?交城縣期末）在學(xué)校讀書節(jié)活動中，老師把一些圖書分給勤奮小組的同學(xué)們．如果每人分5本，那么剩余6本；如果每人分7本，那么最后一人雖分到書但不足7本，問這些圖書最多有多少本？設(shè)這些圖書有x本，則可列不等式組為．【變式訓(xùn)練10-1】（2023春?丹徒區(qū)期末）【閱讀材料】我們知道，一個數(shù)的絕對值是指在數(shù)軸上表示這個數(shù)的點到原點的距離．例如|x|＝|x﹣0|表示數(shù)軸上表示x這個數(shù)的點到原點的距離，那么式子|x﹣1|可理解為：數(shù)軸上表示x這個數(shù)的點到表示1這個數(shù)的點的距離．于是解不等式|x﹣1|≤2則是要在數(shù)軸上找出到1的距離小于等于2的所有點，觀察數(shù)軸可以看出，在數(shù)軸上到1距離小于等于2的點對應(yīng)的數(shù)都在﹣1和3之間（包含﹣1和3兩個點），這樣我們就可以得到不等式|x﹣1|≤2的解集為：﹣1≤x≤3；【解決問題】參考閱讀材料，借助數(shù)軸，解答下列問題：（1）不等式|x|≤5的解集為；（2）不等式|x﹣2|≥2的解集為；（3）不等式2|x+1|﹣3＜5的解集為；（4）不等式|x﹣3|+|x+4|＜8的解集為；（5）對于任意數(shù)x，若不等式|x+3|+|x﹣2|≥a恒成立，求a的取值范圍．【變式訓(xùn)練10-2】（2023春?武都區(qū)期末）為豐富學(xué)生課余生活，學(xué)校準(zhǔn)備購買象棋和圍棋共120副，已知象棋的單價為每副25元，圍棋的單價為每副30元，其中購買圍棋的數(shù)量不少于象棋數(shù)量的2倍，且總費用不超過3500元．設(shè)購買圍棋的數(shù)量為m，列出關(guān)于m的不等式組并求出m的取值范圍．重點考向11：一元一次不等式組的應(yīng)用【典例精講】（2023春?武漢期末）“武漢是座英雄的城市”．在抗擊“新冠肺炎”這場沒有硝煙的戰(zhàn)斗中，廣大醫(yī)務(wù)工作者奮戰(zhàn)在抗疫的一線前沿是生命中“最美的逆行者”．某方舟醫(yī)院安排若干名護士負(fù)責(zé)護理一批新冠病人，若每位護士護理4名病患，有20名患者沒有人護理；若安排每位護士護理8名患者，就有一位護士護理的病人多于1人且不足8人．這個方舟醫(yī)院安排了（）名護士護理新冠病人．A．8 B．7 C．6 D．5【變式訓(xùn)練11-1】（2023秋?齊河縣期末）為響應(yīng)習(xí)總書記“扶貧先扶志，扶貧必扶智”的號召，我州北部某市向南部某貧困縣中小學(xué)捐贈一