PAGEPAGE1第22講解三角形應用舉例課時達標一、選擇題1．一艘海輪從A處動身，以每小時40海里的速度沿南偏東40°方向直線航行，30分鐘后到達B處．在C處有一座燈塔，海輪在A處視察燈塔，其方向是南偏東70°，在B處視察燈塔，其方向是北偏東65°，那么B，C兩點間的距離是()A．10eq\r(2)海里 B．10eq\r(3)海里C．20eq\r(3)海里 D．20eq\r(2)海里A解析如圖所示，易知，在△ABC中，AB＝20海里，∠CAB＝30°，∠ACB＝45°，依據(jù)正弦定理得eq\f(BC,sin30°)＝eq\f(AB,sin45°)，解得BC＝10eq\r(2)海里．故選A.2．一個大型噴水池的中心有一個強大的噴水柱，為了測量噴水柱噴出的水柱的高度，某人在噴水柱正西方向的點A測得水柱頂端的仰角為45°，沿點A向北偏東30°前進100m到達點B，在B點測得水柱頂端的仰角為30°，則水柱的高度是()A．50m B．100mC．120m D．150mA解析設水柱高度是hm，水柱底端為C，則在△ABC中，∠A＝60°，AC＝h，AB＝100，BC＝eq\r(3)h，依據(jù)余弦定理得(eq\r(3)h)2＝h2＋1002－2·h·100·cos60°，即h2＋50h－5000＝0，即(h－50)(h＋100)＝0，即h＝50，故水柱的高度是50m.3．長為3.5m的木棒AB斜靠在石堤旁，木棒的一端A在離堤足C處1.4m的地面上，另一端B在離堤足C處的2.8m的石堤上，石堤的傾斜角為α，則坡度值tanα＝()A.eq\f(\r(231),5) B.eq\f(5,16)C.eq\f(\r(231),16) D.eq\f(11,5)A解析由題意得在△ABC中，AB＝3.5m，AC＝1.4m，BC＝2.8m，且∠α＋∠ACB＝π.由余弦定理得AB2＝AC2＋BC2－2·AC·BC·cos∠ACB，即3.52＝1.42＋2.82－2×1.4×2.8×cos(π－α)，解得cosα＝eq\f(5,16)，所以sinα＝eq\f(\r(231),16)，所以tanα＝eq\f(sinα,cosα)＝eq\f(\r(231),5).4．(2024·蘭州一中期中)如圖，從氣球A上測得正前方的河流的兩岸B，C的俯角分別為75°，30°，此時氣球的高是60m，則河流的寬度BC＝()A．240(eq\r(3)－1)mB．180(eq\r(2)－1)mC．120(eq\r(3)－1)mD．30(eq\r(3)＋1)mC解析因為tan15°＝tan(60°－45°)＝eq\f(tan60°－tan45°,1＋tan60°tan45°)＝2－eq\r(3)，所以BC＝60tan60°－60tan15°＝120(eq\r(3)－1)(m)．故選C.5．要測量底部不能到達的東方明珠電視塔的高度，在黃浦江西岸選擇甲、乙兩觀測點，在甲、乙兩點分別測得塔頂?shù)难鼋欠謩e為45°，30°，在水平面上測得電視塔與甲地連線及甲、乙兩地連線所成的角為120°，甲、乙兩地相距500m，則電視塔的高度是()A．100eq\r(2)m B．400mC．200eq\r(3)m D．500mD解析由題意畫出示意圖，設塔高AB＝hm，在Rt△ABC中，由已知得BC＝hm，在Rt△ABD中，由已知得BD＝eq\r(3)hm，在△BCD中，由余弦定理BD2＝BC2＋CD2－2BC·CDcos∠BCD，得3h2＝h2＋5002＋h·500，解得h＝500m.6．2017年9月16日05時，第19號臺風“杜蘇芮”的中心位于甲地，它以每小時30千米的速度向西偏北θ的方向移動，距臺風中心t千米以內(nèi)的地區(qū)都將受到影響，若16日08時到17日08時，距甲地正西方向900千米的乙地恰好受臺風影響，則t和θ的值分別為(附：eq\r(73.71)≈8.585)()A．858.5,60° B．858.5,30°C．717,60° D．717,30°A解析如圖，依據(jù)題意，3小時后臺風中心距甲地90千米，27小時后臺風中心距甲地810千米，乙地有24小時在臺風范圍內(nèi)，由余弦定理得t2＝9002＋902－2×90×900cosθ，t2＝9002＋8102－2×810×900cosθ，解得cosθ＝eq\f(1,2)，所以θ＝60°，所以t2＝9002＋902－2×90×900cos60°＝737100，所以t＝858.5.故選A.二、填空題7．一艘船上午9：30在A處測得燈塔S在它的北偏東30°處，之后它接著沿正北方向勻速航行，上午10：00到達B處，此時又測得燈塔S在它的北偏東75°處，且與它相距8eq\r(2)nmile，此船的航速是________nmile/h.解析設航速為vnmile/h，在△ABS中，AB＝eq\f(1,2)v，BS＝8eq\r(2)nmile，∠BSA＝45°.由正弦定理得eq\f(8\r(2),sin30°)＝eq\f(\f(1,2)v,sin45°)，所以v＝32nmile/h.答案328．江岸邊有一炮臺OA高30m，江中有兩條船M，N，船與炮臺底部O在同一水平面上，由炮臺頂部測得俯角分別為45°和60°，而且兩條船與炮臺底部連線成30°角，則兩條船相距________m.解析OM＝AOtan45°＝30(m)，ON＝AOtan30°＝eq\f(\r(3),3)×30＝10eq\r(3)(m)，在△MON中，由余弦定理得MN＝eq\r(900＋300－2×30×10\r(3)×\f(\r(3),2))＝eq\r(300)＝10eq\r(3)(m)．答案10eq\r(3)9．(2024·西安一中期中)如圖，在水平地面上有兩座直立的相距60m的鐵塔AA1和BB1.已知從塔AA1的底部看塔BB1頂部的仰角是從塔BB1的底部看塔AA1頂部的仰角的2倍，從兩塔底部連線中點C分別看兩塔頂部的仰角互為余角．則從塔BB1的底部看塔AA1頂部的仰角的正切值為________；塔BB1的高為________m.解析設從塔BB1的底部看塔AA1頂部的仰角為α，則AA1＝60tanα，BB1＝60tan2α.因為從兩塔底部連線中點C分別看兩塔頂部的仰角互為余角，所以△A1AC∽△CBB1，所以eq\f(AA1,30)＝eq\f(30,BB1)，所以AA1·BB1＝900，所以3600tanαtan2α＝900，所以tanα＝eq\f(1,3)(負值舍去)，所以tan2α＝eq\f(3,4)，BB1＝60tan2α＝45.答案eq\f(1,3)45三、解答題10．如圖，航空測量組的飛機航線和山頂在同一鉛直平面內(nèi)，已知飛機的高度為海拔10000m，速度為50m/s.某一時刻飛機看山頂?shù)母┙菫?5°，經(jīng)過420s后又看山頂?shù)母┙菫?5°，則山頂?shù)暮０胃叨葹槎嗌倜祝?取eq\r(2)＝1.4，eq\r(3)＝1.7)解析如圖，作CD垂直于AB的延長線于點D，由題意知∠A＝15°，∠DBC＝45°，所以∠ACB＝30°，AB＝50×420＝21000(m)．又在△ABC中，eq\f(BC,sinA)＝eq\f(AB,sin∠ACB)，所以BC＝eq\f(21000,\f(1,2))×sin15°＝10500(eq\r(6)－eq\r(2))(m)．因為CD⊥AD，所以CD＝BC·sin∠DBC＝10500(eq\r(6)－eq\r(2))×eq\f(\r(2),2)＝10500(eq\r(3)－1)＝7350(m)．故山頂?shù)暮０胃叨萮＝10000－7350＝2650(m)．11．(2024·衡水中學周測)已知在東西方向上有M，N兩座小山，山頂各有一個放射塔A，B，塔頂A，B的海拔高度分別為AM＝100m和BN＝200m，一測量車在小山M的正南方向的點P處測得放射塔頂A的仰角為30°，該測量車向北偏西60°方向行駛了100eq\r(3)m后到達點Q，在點Q處測得放射塔頂B處的仰角為θ，且∠BQA＝θ，經(jīng)測量tanθ＝2，求兩放射塔頂A，B之間的距離．解析在Rt△AMP中，∠APM＝30°，AM＝100，所以PM＝100eq\r(3).連接QM，在△PQM中，∠QPM＝60°，又PQ＝100eq\r(3)，所以△PQM為等邊三角形，所以QM＝100eq\r(3).在Rt△AMQ中，由AQ2＝AM2＋QM2得AQ＝200.在Rt△BNQ中，tanθ＝2，BN＝200，所以BQ＝100eq\r(5)，cosθ＝eq\f(\r(5),5).在△BQA中，BA2＝BQ2＋AQ2－2BQ·AQcosθ＝(100eq\r(5))2，所以BA＝100eq\r(5).故兩放射塔頂A，B之間的距離是100eq\r(5)m.12．如圖，一輛汽車從A市動身沿海岸一條筆直馬路以每小時100km的速度向東勻速行駛，汽車開動時，在A市南偏東方向距A市500km且與海岸距離為300km的海上B處有一快艇與汽車同時動身，要把一份稿件交給汽車的司機．(1)快艇至少以多大的速度行駛才能把稿件送到司機手中？(2)在(1)的條件下，求快艇以最小速度行駛時的行駛方向與AB所成的角．解析(1)如圖，設快艇以vkm/h的速度從B處動身，沿BC方向，th后與汽車在C處相遇，在△ABC中，AB＝500，AC＝100t，BC＝vt，BD為AC邊上的高，BD＝300.設∠BAC＝α，則sinα＝eq\f(3,5)，cosα＝eq\f(4,5).由余弦定理得BC2＝AC2＋AB2－2AB·ACcosα，所以v2t2＝(100t)2＋5002－2×500×100t×eq\f(4,5).整理，得v2＝eq\f(250000,t2)－eq\f(80000,t)＋10000＝250000eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(\f(1,t2)－\f(8,25)·\f(1,t)＋\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(4,25)))2))＋10000－eq\f(10000×16,25)＝250000eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,t)－\f(4,25)))2＋3600.當eq\f(1,t)＝eq\f(4,25)，即t＝eq\f(25,4)時，veq\o\al(2,min)＝3600，vmin＝60km/h，即快艇至少以60km/h的速度行駛才能把稿件送到司機手中．(2)當v＝60km/h時，在△ABC中，AB＝500，AC＝100×eq\f(25,4)＝625，BC＝60×eq\f(25,4)＝375，易得cos∠ABC＝eq\f(AB2＋BC2－AC2,2AB·AC)＝0，所以∠ABC＝90°，故快艇應向垂直于AB的方向向北偏東方向行駛．13．[選做題](2024·武昌調(diào)研)如圖，據(jù)氣象部門預報，在距離某碼頭南偏東45°方向600kmA處的熱帶風暴中心正以20km/h的速度向正北方向移動，距風暴中心450km以內(nèi)的地區(qū)都將受到影響，則該碼頭將受到熱帶風暴影響的時間為()A．14h B．15hC．16h D．17hB解