PAGEPAGE1中檔題保分練(二)1．(2024·臨沂模擬)在△ABC中，已知B＝eq\f(π,4)，AC＝eq\r(10)，cosC＝eq\f(2\r(5),5).(1)求BC；(2)設(shè)D是AB邊中點，求CD.解析：(1)∵cosC＝eq\f(2\r(5),5)且0＜C＜π，∴sinC＝eq\f(\r(5),5).∵A＋B＋C＝π，B＝eq\f(π,4)，∴sinA＝sin(B＋C)＝sinBcosC＋cosBsinC＝eq\f(\r(2),2)×eq\f(2\r(5),5)＋eq\f(\r(2),2)×eq\f(\r(5),5)＝eq\f(3\r(10),10).在△ABC中，由正弦定理得：eq\f(BC,sinA)＝eq\f(AC,sinB)，∴BC＝eq\f(ACsinA,sinB)＝3eq\r(2).(2)∵D為AB邊中點，∴eq\o(CD,\s\up10(→))＝eq\f(1,2)(eq\o(CA,\s\up10(→))＋eq\o(CB,\s\up10(→)))，∴|eq\o(CD,\s\up10(→))|2＝eq\f(1,4)(eq\o(CA,\s\up10(→))＋eq\o(CB,\s\up10(→)))2＝13，即CD＝eq\r(13).2．(2024·惠州模擬)已知在梯形ABCD中，AB∥CD，E，F(xiàn)分別為底AB，CD上的點，且EF⊥AB，EF＝EB＝eq\f(1,2)FC＝2，EA＝eq\f(1,2)FD，沿EF將平面AEFD折起至平面AEFD⊥平面EBCF.(1)求證：平面BCD⊥平面BDF；(2)若AE＝2，求多面體ABCDEF的體積．解析：(1)證明：由平面AEFD⊥平面EBCF，且DF⊥EF知DF⊥平面EBCF.而DF?平面BDF，所以平面BDF⊥平面EBCF又BC⊥BF，BC?平面EBCF，所以BC⊥平面BDF.而BC?平面BCD，所以平面BCD⊥平面BDF.(2)依題意知，多面體ABCDEF是三棱臺ABE-DCF，易得高為EF＝2，兩個底面面積分別是2和8，體積為eq\f(2,3)×(2＋8＋eq\r(2×8))＝eq\f(28,3).3．(2024·桂林模擬)共享單車已成為一種時髦的新型環(huán)保交通工具，某共享單車公司為了拓展市場，對A，B兩個品牌的共享單車在編號分別為1,2,3,4,5的五個城市的用戶人數(shù)(單位：十萬)進(jìn)行統(tǒng)計，得到數(shù)據(jù)如下：城市品牌12345A品牌341268B品牌43795(1)若共享單車用戶人數(shù)超過50萬的城市稱為“優(yōu)城”，否則稱為“非優(yōu)城”，據(jù)此推斷能否有85%的把握認(rèn)為“優(yōu)城”和共享單車品牌有關(guān)？(2)若不考慮其他因素，為了拓展市場，對A品牌要從這五個城市選擇三個城市進(jìn)行宣揚，(ⅰ)求城市2被選中的概率；(ⅱ)求在城市2被選中的條件下城市3也被選中的概率．附：參考公式及數(shù)據(jù)P(K2≥k0)0.150.100.050.0250.0100.0050.001k02.0722.7063.8415.0246.6357.87910.828K2＝eq\f(nad－bc2,a＋bc＋da＋cb＋d)解析：(1)依據(jù)題意列出2×2列聯(lián)表如下：城市品牌優(yōu)城非優(yōu)城合計A品牌個數(shù)325B品牌個數(shù)235合計5510K2＝eq\f(10×4－92,5×5×5×5)＝0.4＜2.072，所以沒有85%的把握認(rèn)為“優(yōu)城”與共享單車品牌有關(guān)．(2)從這五個城市選擇三個城市的情形為(1,2,3)，(1,2,4)，(1,2,5)，(1,3,4)，(1,3,5)，(1,4,5)，(2,3,4)，(2,3,5)，(2,4,5)，(3,4,5)共10種，(ⅰ)城市2被選中的有6種，所求概率為0.6.(ⅱ)在城市2被選中的有6種情形中，城市3被選中的有3種，所求概率為0.5.4．請在下面兩題中任選一題作答(選修4－4：坐標(biāo)系與參數(shù)方程)已知極點與直角坐標(biāo)系的原點重合，極軸與x軸的正半軸重合，圓C的極坐標(biāo)方程是ρ＝2asinθ，直線l的參數(shù)方程是eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x＝－\f(3,5)t＋a,y＝\f(4,5)t))(t為參數(shù))．(1)若a＝2，M為直線l與x軸的交點，N是圓C上一動點，求|MN|的最大值；(2)若直線l被圓C截得的弦長為2eq\r(6)，求a的值．解析：(1)由ρ2＝4ρsinθ得圓C的直角坐標(biāo)方程為x2＋y2－4y＝0，將直線l的參數(shù)方程化為一般方程，得y＝－eq\f(4,3)(x－2)，令y＝0，得x＝2，即點M的坐標(biāo)為(2,0)．又圓C的圓心坐標(biāo)為(0,2)，半徑r＝2，則|MC|＝2eq\r(2)，所以|MN|的最大值為|MC|＋r＝2eq\r(2)＋2.(2)因為圓C：x2＋(y－a)2＝a2，直線l：4x＋3y－4a所以圓心C到直線l的距離d＝eq\f(|3a－4a|,5)＝eq\f(|a|,5)，所以2eq\r(a2－\f(a2,25))＝2eq\r(6)，即eq\f(4\r(6),5)|a|＝2eq\r(6)，解得a＝±eq\f(5,2).(選修4－5：不等式選講)(2024·濟(jì)南模擬)設(shè)a、b、c均為正數(shù)并滿意a＋b＋c＝3.(1)證明：ab＋bc＋ca≤3；(2)求eq\r(a)＋eq\r(2b＋2)＋eq\r(3c＋3)的最大值．解析：(1)證明：由a2＋b2≥2ab，b2＋c2≥2bc，a2＋c2≥2ac，相加可得：a2＋b2＋c2≥ab＋bc＋ac.又9＝(a＋b＋c)2＝a2＋b2＋c2＋2ab＋2bc＋2ac≥3(ab＋bc＋ac)，所以ab＋bc＋ac≤3.(2)由柯西不等式得[12＋(eq\r(2))2＋(eq\r(3))2][(eq\r(a))2＋(eq\r(b＋1))2＋(eq\r(c＋1))2]≥(eq\r(a)＋eq\r(2b＋2)＋eq\r(3c＋3))2，即(eq\r(a)＋eq\r(2b＋2)＋eq\r(3c＋3))2≤(1＋2＋3)(a＋b＋1＋c＋1)＝30，所以eq\r(a)＋eq\r(2b＋2)＋eq