-2025學(xué)年第二學(xué)期八年級(jí)期中學(xué)情調(diào)研數(shù)學(xué)（試題卷）注意事項(xiàng)：1．你拿到的試卷滿分為150分，考試時(shí)間為120分鐘．2．試卷包括“試題卷”和“答題卷”兩部分，請(qǐng)務(wù)必在“答題卷”上答題，在“試題卷”上答題是無效的．3．考試結(jié)束后，請(qǐng)將“試題卷”和“答題卷”一并交回．一、選擇題（本大題共10小題，每小題4分，滿分40分）每小題都給出A、B、C、D四個(gè)選項(xiàng)，其中只有一個(gè)是符合題目要求的．1.下列二次根式中能與合并的是（）A. B. C. D.2.在平行四邊形中，，的度數(shù)是（）A B. C. D.3.下列各組數(shù)中，不能構(gòu)成直角三角形三邊的是（）A.3，4，5 B.9，40，41 C. D.7，24，254.下列運(yùn)算正確的是（）A. B.C D.5.在中，三邊長分別為a，b，c，且，，則是：（）A.直角三角形 B.等邊三角形 C.等腰三角形 D.等腰直角三角形6.如圖，在菱形中，對(duì)角線與相交于點(diǎn)，于點(diǎn)，若，則的度數(shù)為（）A B. C. D.7.小明在學(xué)習(xí)了勾股定理的證明后，嘗試制作了四個(gè)全等三角形紙板，并拼出一個(gè)新圖形，如圖所示，若，則正方形的周長為（）A.14 B.17 C.20 D.248.在平行四邊形中，對(duì)角線相交于點(diǎn)，下列條件中，能推出四邊形是正方形的是（）A.且 B.且C.且 D.且9.如圖，在中，于點(diǎn)于點(diǎn)，并且點(diǎn)是的中點(diǎn)，的周長是，則的長是（）A.2 B. C. D.10.如圖，在矩形中，，，為的中點(diǎn)，為上一動(dòng)點(diǎn)，點(diǎn)分別是點(diǎn)關(guān)于直線的對(duì)稱點(diǎn)，連接交于點(diǎn)，則的最小值為（）A. B. C. D.二、填空題（本大題共4小題，每小題5分，滿分20分）11.在直角三角形中，兩條直角邊的長分別為2和5，則斜邊長為___________．12.將對(duì)角線分別為和的菱形改為一個(gè)面積不變的正方形，則正方形的邊長為______．13.我國南宋著名的數(shù)學(xué)家秦九韶，曾提出利用三角形的三邊求面積的“秦九韶公式”（三斜求積術(shù)）：即若一個(gè)三角形的三邊長分別為，則該三角形的面積．現(xiàn)已知的三邊長，，分別為，2，，則的面積為___________．14.如圖，C為平行四邊形外一點(diǎn)，連接，分別交邊于點(diǎn)F，E，使，，，若，，則（1）的長為______；（2）的長為______．三、（本大題共2小題，母小題8分，滿分16分）15.計(jì)算：．16.如圖，點(diǎn)E、F分別為平行四邊形的邊、上的點(diǎn)，，連接、，，求證：四邊形是菱形．四、（本大題共2小題，每小題8分，滿分16分）17.如圖，小明在方格紙中選擇格點(diǎn)作為頂點(diǎn)畫和．（1）請(qǐng)你在方格紙中找到點(diǎn)，補(bǔ)全；（2）若每個(gè)正方形小格的邊長為1，請(qǐng)計(jì)算線段的長度并判斷與的位置關(guān)系，并說明理由．18.【觀察】觀察下列等式：第1個(gè)等式：；第2個(gè)等式：；第3個(gè)等式：；第4個(gè)等式：；．．．．．．【發(fā)現(xiàn)】請(qǐng)直接寫出第5個(gè)等式；【猜想】根據(jù)上述等式的規(guī)律猜想出第（為正整數(shù)）個(gè)等式（用含的式子表示）；【論證】請(qǐng)證明你的猜想．五、（本大題共2小題，每小題10分，滿分20分）19.如圖，某自動(dòng)感應(yīng)門的正上方處裝著一個(gè)感應(yīng)器，離地面的高度為2.5米，一名學(xué)生站在處時(shí)，感應(yīng)門自動(dòng)打開了，此時(shí)這名學(xué)生離感應(yīng)門的距離為1.2米，頭頂離感應(yīng)器的距離為1.5米，求這名學(xué)生的身高為多少米？20.如圖，在矩形中，E是上一點(diǎn)，且，過點(diǎn)D作于點(diǎn)F．（1）求證：．（2）已知，．求的長．六、（本題滿分12分）21.定義：如圖，點(diǎn)把線段分割成，若以為邊的三角形是一個(gè)直角三角形，則稱點(diǎn)是線段的勾股分割．（1）已知把線段分割成，若，則點(diǎn)是線段的勾股分割點(diǎn)嗎？請(qǐng)說明理由；（2）已知點(diǎn)是線段勾股分割點(diǎn)，且為直角邊，若，求的長．七、（本題滿分12分）22.如圖，在中，是的中點(diǎn)，延長至，使得，連接，延長至點(diǎn)，使得，連接．（1）求證：四邊形為平行四邊形；（2）連接交于點(diǎn)，若，求的周長．八、（本題滿分14分）23.如圖，四邊形為正方形，點(diǎn)E為線段上一點(diǎn)，連接，過點(diǎn)E作，交射線于點(diǎn)F，以為鄰邊作矩形，連接．（1）求證：；（2）若，，求長度；（3）當(dāng)線段與正方形的某條邊的夾角是時(shí)，求的度數(shù)．

2024-2025學(xué)年第二學(xué)期八年級(jí)期中學(xué)情調(diào)研數(shù)學(xué)（試題卷）注意事項(xiàng)：1．你拿到的試卷滿分為150分，考試時(shí)間為120分鐘．2．試卷包括“試題卷”和“答題卷”兩部分，請(qǐng)務(wù)必在“答題卷”上答題，在“試題卷”上答題是無效的．3．考試結(jié)束后，請(qǐng)將“試題卷”和“答題卷”一并交回．一、選擇題（本大題共10小題，每小題4分，滿分40分）每小題都給出A、B、C、D四個(gè)選項(xiàng)，其中只有一個(gè)是符合題目要求的．1.下列二次根式中能與合并的是（）A. B. C. D.【答案】D【解析】【分析】本題主要考查了合并同類二次根式，化簡二次根式，把對(duì)應(yīng)選項(xiàng)中的二次根式化為最簡二次根式，被開方數(shù)是的二次根式才能與合并，據(jù)此求解即可．【詳解】解：A、與不能合并，不符合題意；B、與不能合并，不符合題意；C、與不能合并，不符合題意；D、與能合并，符合題意；故選：D．2.在平行四邊形中，，的度數(shù)是（）A. B. C. D.【答案】B【解析】【分析】本題考查了平行四邊形的性質(zhì)，根據(jù)平行四邊形的對(duì)角相等即可求解，掌握平行四邊形的性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．【詳解】解：∵四邊形是平行四邊形，∴，∵，∴，∴，故選：．3.下列各組數(shù)中，不能構(gòu)成直角三角形三邊的是（）A3，4，5 B.9，40，41 C. D.7，24，25【答案】C【解析】【分析】本題主要考查了勾股定理逆定理，根據(jù)勾股定理的逆定理分別計(jì)算各個(gè)選項(xiàng)，選出正確的答案．【詳解】解：A、，能組成直角三角形，故此選項(xiàng)不符合題意；

B、，能組成直角三角形，故此選項(xiàng)不符合題意；

C、，不能組成直角三角形，故此選項(xiàng)符合題意；D、，能組成直角三角形，故此選項(xiàng)不符合題意．

故選：C4.下列運(yùn)算正確的是（）A. B.C. D.【答案】D【解析】【分析】本題考查二次根式的運(yùn)算，熟練掌握二次根式的加、減、乘、除運(yùn)算法則是解題的關(guān)鍵．利用二次根式的加、減、乘、除運(yùn)算法則逐一對(duì)選項(xiàng)進(jìn)行判斷即可．【詳解】解：A中，和不是同類二次根式，不能合并，故選項(xiàng)錯(cuò)誤，故不符合題意；B中，，故選項(xiàng)錯(cuò)誤，故不符合題意；C中，，故選項(xiàng)錯(cuò)誤，故不符合題意；D中，，故選項(xiàng)正確，故符合題意；故選：D．5.在中，三邊長分別為a，b，c，且，，則是：（）A.直角三角形 B.等邊三角形 C.等腰三角形 D.等腰直角三角形【答案】A【解析】【分析】此題主要考查了勾股定理的逆定理，勾股定理的逆定理將數(shù)轉(zhuǎn)化為形，作用是判斷一個(gè)三角形是不是直角三角形．必須滿足較小兩邊平方的和等于最大邊的平方才能做出判斷．根據(jù)勾股定理的逆定理：如果三角形的三邊長a，b，c滿足，那么這個(gè)三角形就是直角三角形進(jìn)行判斷即可．【詳解】解：∵，，由得，由得∴，即，∴是直角三角形，又，∴選項(xiàng)A符合題意，故選：A．6.如圖，在菱形中，對(duì)角線與相交于點(diǎn)，于點(diǎn)，若，則度數(shù)為（）A. B. C. D.【答案】B【解析】【分析】本題考查了菱形的性質(zhì)、直角三角形的性質(zhì)等知識(shí)；熟練掌握菱形典型在，求出是解題的關(guān)鍵．根據(jù)菱形的性質(zhì)和已知條件可得，進(jìn)而根據(jù)得出，進(jìn)而得出的度數(shù)，即可求解．【詳解】解：∵四邊形是菱形，∴，，∴∵，∴∴故選：B．7.小明在學(xué)習(xí)了勾股定理的證明后，嘗試制作了四個(gè)全等三角形紙板，并拼出一個(gè)新圖形，如圖所示，若，則正方形的周長為（）A.14 B.17 C.20 D.24【答案】C【解析】【分析】本題考查勾股定理、正方形的性質(zhì)，先設(shè)每個(gè)三角形的長直角邊為，短直角邊為，然后根據(jù)題意和圖形可以得到，然后求出的值，再根據(jù)勾股定理即可求得的長，最后根據(jù)正方形的周長邊長計(jì)算即可．解答本題的關(guān)鍵是明確題意，利用數(shù)形結(jié)合的思想解答．【詳解】解：設(shè)每個(gè)三角形的長直角邊為，短直角邊為，由題意可得，解得，∴，∴正方形周長為，故選：C．8.在平行四邊形中，對(duì)角線相交于點(diǎn)，下列條件中，能推出四邊形是正方形的是（）A.且 B.且C.且 D.且【答案】C【解析】【分析】本題考查的是正方形的判定，據(jù)選項(xiàng)依次進(jìn)行判斷即可．【詳解】選項(xiàng)A條件：（鄰邊相等）且（對(duì)角線垂直）．結(jié)論：鄰邊相等的平行四邊形是菱形，對(duì)角線垂直也是菱形，因此無法確定為正方形。選項(xiàng)B條件：（鄰邊垂直）且（對(duì)角線相等）．結(jié)論：鄰邊垂直的平行四邊形是矩形，對(duì)角線相等也是矩形，因此無法確定為正方形．選項(xiàng)C條件：（對(duì)角線相等，即）且（鄰邊相等）．結(jié)論：，平行四邊形對(duì)角線互相平分，說明是矩形．，鄰邊相等，說明是菱形．既是菱形又是矩形，因此能推出正方形．選項(xiàng)D條件：（對(duì)角線相等）且（重復(fù)對(duì)角線相等）．結(jié)論：僅說明是矩形，無法確定鄰邊是否相等，因此不能推出正方形．故選：C．9.如圖，在中，于點(diǎn)于點(diǎn)，并且點(diǎn)是的中點(diǎn)，的周長是，則的長是（）A.2 B. C. D.【答案】B【解析】【分析】本題主要考查了勾股定理，直角三角形的性質(zhì)，三線合一定理，先由三線合一定理得到，再由直角三角形斜邊上的中線等于斜邊的一半得到，，據(jù)此根據(jù)三角形周長公式推出，再利用勾股定理即可求出答案．【詳解】解：∵，∴，∵，點(diǎn)是的中點(diǎn)，∴，，∵的周長是，∴，∴，∴，∴，故選：B．10.如圖，在矩形中，，，為的中點(diǎn)，為上一動(dòng)點(diǎn)，點(diǎn)分別是點(diǎn)關(guān)于直線的對(duì)稱點(diǎn)，連接交于點(diǎn)，則的最小值為（）A. B. C. D.【答案】A【解析】【分析】連接，先根據(jù)折疊得到點(diǎn)在上，即當(dāng)時(shí)，最小，然后根據(jù)勾股定理得到長，再利用面積法求出的最小值即可．【詳解】解：連接，由折疊得，∴點(diǎn)共線，即點(diǎn)在上，∴當(dāng)時(shí)，這時(shí)最小，∵是矩形，∴，∴，又∵，∴，∴的最小值為，故選：A．【點(diǎn)睛】本題考查矩形的性質(zhì)，勾股定理，垂線段最短，軸對(duì)稱的性質(zhì)，熟練掌握相關(guān)性質(zhì)，合理做出輔助線是解題的關(guān)鍵．二、填空題（本大題共4小題，每小題5分，滿分20分）11.在直角三角形中，兩條直角邊的長分別為2和5，則斜邊長為___________．【答案】【解析】【分析】本題主要考查了勾股定理，直角三角形中，兩直角邊的長的平方和等于斜邊長的平方，據(jù)此求解即可．【詳解】解：由題意得，斜邊長為，故答案為：．12.將對(duì)角線分別為和的菱形改為一個(gè)面積不變的正方形，則正方形的邊長為______．【答案】【解析】【分析】本題考查了菱形的面積和正方形的面積計(jì)算的方法，已知對(duì)角線的長度，根據(jù)菱形的面積計(jì)算公式即可計(jì)算菱形的面積，進(jìn)一步開方求得正方形的邊長即可．【詳解】解：菱形的對(duì)角線分別為和，菱形的面積，正方形的邊長是故答案為：13.我國南宋著名的數(shù)學(xué)家秦九韶，曾提出利用三角形的三邊求面積的“秦九韶公式”（三斜求積術(shù)）：即若一個(gè)三角形的三邊長分別為，則該三角形的面積．現(xiàn)已知的三邊長，，分別為，2，，則的面積為___________．【答案】【解析】【分析】本題主要考查了二次根式的應(yīng)用，掌握二次根式的性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．把題中的三角形三邊長代入公式，進(jìn)行計(jì)算得出答案即可．【詳解】解：∵的三邊長，，分別為，2，，∴該三角形的面積．故答案為：．14.如圖，C為平行四邊形外一點(diǎn)，連接，分別交邊于點(diǎn)F，E，使，，，若，，則（1）的長為______；（2）的長為______．【答案】①.2②.【解析】【分析】根據(jù)平行四邊形的性質(zhì)證明．可得，過點(diǎn)作于點(diǎn)，利用含30度角的直角三角形可得，，再利用勾股定理即可求出的長，進(jìn)而可得的長．本題考查了平行四邊形的性質(zhì)，等邊三角形的性質(zhì)，勾股定理，解決本題的關(guān)鍵是得到．【詳解】解：四邊形是平行四邊形，，，，，，，是等邊三角形，，，，，，，在和中，，∴，，如圖，過點(diǎn)作于點(diǎn)，，，，，，，，．．故答案為：2，．三、（本大題共2小題，母小題8分，滿分16分）15.計(jì)算：．【答案】【解析】【分析】本題考查了二次根式的運(yùn)算，根據(jù)完全平方公式，平方差公式計(jì)算即可．【詳解】解：原式．16.如圖，點(diǎn)E、F分別為平行四邊形的邊、上的點(diǎn)，，連接、，，求證：四邊形是菱形．【答案】見解析【解析】【分析】此題考查了平行四邊形的性質(zhì)、三角形全等的判定和性質(zhì)、菱形的定義．證明，得到，即可證明四邊形是菱形．【詳解】解：∵四邊形是平行四邊形，∴，∵，，∴，∴，∴四邊形是菱形．四、（本大題共2小題，每小題8分，滿分16分）17.如圖，小明在方格紙中選擇格點(diǎn)作頂點(diǎn)畫和．（1）請(qǐng)你在方格紙中找到點(diǎn)，補(bǔ)全；（2）若每個(gè)正方形小格的邊長為1，請(qǐng)計(jì)算線段的長度并判斷與的位置關(guān)系，并說明理由．【答案】（1）見解析（2），，理由見解析【解析】【分析】（1）如圖所示，取格點(diǎn)D，連接，則四邊形即為所求；（2）利用勾股定理求出，，進(jìn)而求出的長，再利用勾股定理的逆定理證明，由平行四邊形的性質(zhì)可得，由此可得．【小問1詳解】解：如圖所示，即為所求；∵，∴四邊形是平行四邊形；【小問2詳解】解：，理由如下：由勾股定理得，，，∴，，∴是直角三角形，即，∴∵四邊形是平行四邊形，∴，∴．【點(diǎn)睛】本題主要考查了勾股定理和勾股定理的逆定理，平行四邊形的性質(zhì)與判定等等，靈活運(yùn)用所學(xué)知識(shí)是解題的關(guān)鍵．18.【觀察】觀察下列等式：第1個(gè)等式：；第2個(gè)等式：；第3個(gè)等式：；第4個(gè)等式：；．．．．．．【發(fā)現(xiàn)】請(qǐng)直接寫出第5個(gè)等式；【猜想】根據(jù)上述等式的規(guī)律猜想出第（為正整數(shù)）個(gè)等式（用含的式子表示）；【論證】請(qǐng)證明你的猜想．【答案】【發(fā)現(xiàn)】：；【猜想】：；【論證】：見解析【解析】【分析】本題考查了數(shù)字的變化-規(guī)律型，觀察數(shù)字的變化，找出變化規(guī)律是解題的關(guān)鍵．觀察題目中的4個(gè)等式，得到第5個(gè)等式為；觀察題目中的4個(gè)等式，得到第（為正整數(shù)）個(gè)等式為；因?yàn)榈仁阶筮叺仁接疫?，可得到猜想成立．【詳解】解：【發(fā)現(xiàn)】第5個(gè)等式是；【猜想】；【論證】證明：等式左邊等式右邊，猜想成立．五、（本大題共2小題，每小題10分，滿分20分）19.如圖，某自動(dòng)感應(yīng)門的正上方處裝著一個(gè)感應(yīng)器，離地面的高度為2.5米，一名學(xué)生站在處時(shí)，感應(yīng)門自動(dòng)打開了，此時(shí)這名學(xué)生離感應(yīng)門的距離為1.2米，頭頂離感應(yīng)器的距離為1.5米，求這名學(xué)生的身高為多少米？【答案】這名學(xué)生的身高為1.6米【解析】【分析】本題考查了勾股定理的應(yīng)用．過點(diǎn)D作于E，得到，米，由勾股定理得出，進(jìn)而得到米，即可得出答案．【詳解】解：過點(diǎn)D作于E，如圖所示：則四邊形是矩形，∴，米，在中，米，由勾股定理得（米），∴（米），∴米．故這名學(xué)生的身高為1.6米．20.如圖，在矩形中，E是上一點(diǎn)，且，過點(diǎn)D作于點(diǎn)F．（1）求證：．（2）已知，．求的長．【答案】（1）見解析（2）【解析】【分析】本題考查了矩形的性質(zhì)、全等三角形性質(zhì)和判定、勾股定理，解題的關(guān)鍵在于熟練掌握相關(guān)性質(zhì)定理．（1）矩形的性質(zhì)得到，，得到，，根據(jù)“”定理證明，再根據(jù)全等三角形性質(zhì)即可解題；（2）根據(jù)矩形的性質(zhì)和全等三角形性質(zhì)得到，，由勾股定理易求的長，根據(jù)計(jì)算即可．【小問1詳解】證明：四邊形為矩形，，，，，，，，，，；【小問2詳解】解：，．由題意知，，，，．六、（本題滿分12分）21.定義：如圖，點(diǎn)把線段分割成，若以為邊的三角形是一個(gè)直角三角形，則稱點(diǎn)是線段的勾股分割．（1）已知把線段分割成，若，則點(diǎn)是線段的勾股分割點(diǎn)嗎？請(qǐng)說明理由；（2）已知點(diǎn)是線段的勾股分割點(diǎn)，且為直角邊，若，求的長．【答案】（1）點(diǎn)、是線段的勾股分割點(diǎn)；理由見解析（2）或10．【解析】【分析】本題考查了勾股定理及其逆定理，解題的關(guān)鍵是理解新定義，學(xué)會(huì)分類討論，注意不能漏解．（1）由，可得，根據(jù)勾股定理逆定理得出以、、為邊的三角形是一個(gè)直角三角形，再根據(jù)線段勾股分割點(diǎn)的定義即可判斷；（2）設(shè)，則，分兩種情形①當(dāng)為最長線段時(shí)，依題意，②當(dāng)為最長線段時(shí)，依題意，分別列出方程即可解決問題．【小問1詳解】解：點(diǎn)、是線段的勾股分割點(diǎn)．理由如下：，，，、、為邊的三角形是一個(gè)直角三角形，點(diǎn)、是線段的勾股分割點(diǎn)；【小問2詳解】解：設(shè)，則，①當(dāng)為最長線段時(shí)，依題意，即，解得；②當(dāng)為最長線段時(shí)，依題意．即，解得．綜上所述，或10．七、（本題滿分12分）22.如圖，在中，是的中點(diǎn)，延長至，使得，連接，延長至