第11講6.4.3第2課時正弦定理

課程標(biāo)準(zhǔn)學(xué)習(xí)目標(biāo)

①能借助向量的運(yùn)算，探索三角形邊長與角

度的關(guān)系。

②掌握正弦定理，并能利用正弦定理解三角1.利用余弦定理加上本節(jié)課學(xué)習(xí)的正弦定理就可以正

形、判斷三角形解的個數(shù)問題。式進(jìn)行解三角形的問題的訓(xùn)練與提升，提高學(xué)生數(shù)學(xué)核

③利用正弦、余弦定理了解三角形中邊與角心素養(yǎng)，提升數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)能力

的關(guān)系。

④利用正弦、余弦定理判斷三角形的形狀。

⑤掌握正弦、余弦定理的簡單應(yīng)用。

知識點(diǎn)01：正弦定理

（1）正弦定理的描述

①文字語言：在一個三角形中，各邊和它所對角的正弦的比相等.

abc

②符號語言：在ABC中，若角A、B及C所對邊的邊長分別為a，b及c，則有

sinAsinBsinC

（2）正弦定理的推廣及常用變形公式

在ABC中，若角A、B及C所對邊的邊長分別為a，b及c，其外接圓半徑為R，則

abc

①2R

sinAsinBsinC

②asinBbsinA；bsinCcsinB；asinCcsinA；

③sinA:sinB:sinCa:b:c

abcabcabacbc

④2R

sinAsinBsinCsinAsinBsinCsinAsinBsinAsinCsinBsinC

⑤④a2RsinA，b2RsinB，c2RsinC（可實(shí)現(xiàn)邊到角的轉(zhuǎn)化）

abc

⑥⑤sinA，sinB，sinC（可實(shí)現(xiàn)角到邊的轉(zhuǎn)化）

2R2R2R

【即學(xué)即練1】（2023上·山東青島·高三統(tǒng)考期中）在ABC中，角A,B,C的對邊分別為a,b,c，A60，

a23，b2．則B．

π

【答案】

6

【詳解】在ABC中，A60，a23，b2，

因?yàn)閍b，所以AB，

ab

因?yàn)椋?/p>

sinAsinB

bsinA1π

所以sinB，所以B.

a26

π

故答案為：.

6

知識點(diǎn)02：解決幾何問題的常見公式

三角形面積的計(jì)算公式：

1

①S底高；

2

111

②S=absinCacsinBbcsinA；

222

1

③S(abc)r（其中，a,b,c是三角形ABC的各邊長，r是三角形ABC的內(nèi)切圓半徑）；

2

abc

④S(其中，a,b,c是三角形ABC的各邊長，R是三角形ABC的外接圓半徑).

4R

【即學(xué)即練2】（2023上·上海虹口·高三?？计谥校┰O(shè)ABC的內(nèi)角A，B，C的對邊分別為a，b，c，若b23，

c8，A30，則ABC的面積為．

【答案】43

111

【詳解】由題意可得ABC的面積為SbcsinA23843.

222

故答案為：43.

題型01已知兩角及任意一邊解三角形

【典例1】（2023上·內(nèi)蒙古通遼·高三校考階段練習(xí)）在ABC中，內(nèi)角A，B，C所對的邊分別為a，b，c，

379

若a6，sinA，cosB，則b（）

816

A．8B．5C．4D．3

【答案】B

【詳解】在ABC中，0Bπ，

2

92957

因?yàn)閏osB，所以sinB1cosB1，

161616

57

sinB

則由正弦定理得ba1665.

sinA37

8

故選：B．

【典例2】（2023下·河北邯鄲·高一統(tǒng)考期末）在ABC中，角A，B，C所對的邊分別為a，b，c，若b2，

B45，A105，則c.

【答案】2

【詳解】由三角形內(nèi)角和定理，可得C180AB30，

cbc2

由正弦定理，可得，

sinCsinBsin30sin45

21

c2

解得22.

2

故答案為：2.

ππ

【典例3】（2023下·江蘇南京·高一南京師大附中?？计谥校┰贏BC中，AB36，ABC，ACB，

43

點(diǎn)D在BC的延長線上，且CD10，則AD.

【答案】14

ππ

【詳解】如圖所示，在ABC中，因?yàn)锳B36,ABC,ACB，

43

AC36

ACAB

由正弦定理知，可得，解得AC6，

sinBsinC23

22

2π

在△ADC中，由AC6，CD10且ACD，

3

2π

由余弦定理得AD2AC2CD22ACCDcos196，所以AD14.

3

故答案為：14.

【變式1】（2023上·江蘇徐州·高三統(tǒng)考學(xué)業(yè)考試）在ABC中，邊長BC10,A60,B45，則邊長AC

（）

10656

A．202B．C．102D．

33

【答案】B

sinAsinB32

【詳解】由正弦定理得即，解得AC106，

BCAC202AC3

故選：B.

4

【變式2】（2023上·全國·高三專題練習(xí)）在ABC中，已知cosA，B，b3，則sinC；

53

a；c．

6

【答案】343343

1055

43

【詳解】由cosA，故sinA，

55

3143343

則sinCsinABsinAcosBsinBcosA，

525210

3343

33

bsinA56bsinC343

由正弦定理得a，c10.

sinB35sinB35

22

3436343

故答案為：；；.

1055

【變式3】（2023下·湖南邵陽·高三統(tǒng)考學(xué)業(yè)考試）ABC中，角A,B,C的對邊分別為a,b,c，已知A60，

B45，a23，則b.

【答案】22

ab

【詳解】在ABC中，A60，B45，a23，由正弦定理，得到

sinAsinB

2

23

23sin45

b222.

sin603

2

故答案為：22.

題型02已知兩邊和其中一邊的對角解三角形

【典例1】（2023上·河南省直轄縣級單位·高二?？茧A段練習(xí)）已知ABC中，BC4，AC43，A30，

則B（）

A．30B．30或150C．60D．60或120

【答案】D

【詳解】因?yàn)锳BC中，BC4，AC43，A30，

1

BCAC43

所以，ACsinA23，

sinAsinBsinB

BC42

因?yàn)锳CBC，可得BA，即30B180，

所以B60或120.

故選：D.

【典例2】（2023上·甘肅平?jīng)觥じ呷？茧A段練習(xí)）在ABC中，角A，B，C所對的邊分別是a，b，c．已

知a39,b2,A120．

(1)求sinB的值；

(2)求c的值．

13

【答案】(1)

13

(2)5

ab392

【詳解】（1）由正弦定理可得，，即，

sinAsinBsin120sinB

13

解得sinB.

13

（2）由余弦定理可得，a2b2c22bccosA，

21

即394c22c，

2

解得c5或c7(舍去)，所以c5.

51

【典例3】（2023上·山西太原·高三統(tǒng)考期中）在ABC中，AC5，BC，tanA，D在AB上，

22

且ADC135．

(1)求CD的值；

(2)求△BCD的面積．

【答案】(1)2

(2)答案見解析

15

【詳解】（1）解：因?yàn)閠anA，且0Aπ，可得sinA，

25

CDAC

在ACD中，由正弦定理得，

sinAsinADC

ACsinA55

所以CD2.

sinADCsin1355

（2）解：在△BCD中，由余弦定理得BC2BD2CD22BDCDcosBDC，

513

可得BD2222BDcos45，解得BD或BD，

422

111

①當(dāng)BD時，△BCD的面積為SBDCDsin45；

2BCD24

313

②當(dāng)BD時，△BCD的面積為SBDCDsin45．

2BCD24

【變式1】（2023上·安徽·高二校聯(lián)考期中）在ABC中，角A，B，C所對的邊分別為a，b，c，若

2△

a1，b2，sinA，則C=（）

2

ππππ

A．

B．

C．

D．

6432

【答案】B

abbsinAπ

【詳解】根據(jù)正弦定理，即sinB1，則B，

sinAsinBa2

2ππ

sinA，ab，則A，所以CBA.

244

故選：B

【變式2】（2023上·全國·高三專題練習(xí)）在ABC中，角A、B、C的對邊分別為a、b、c，已知B30，

b2，c2，則C．

【答案】45或135

csinB2sin302

【詳解】由正弦定理得sinC，

b22

因?yàn)閏b，B30，所以C45或C135．

故答案為：45或135.

π

【變式3】（2023上·江西·高二校聯(lián)考期中）在ABC中，角A，B，C所對的邊分別為a，b，c，A，

3

a7，b2.

(1)求sinB；

(2)求ABC的面積.

21

【答案】(1)

7

33

(2)

2

ab

【詳解】（1）由正弦定理，得，

sinAsinB

3

2

所以bsinA21.

sinB2

a77

（2）由余弦定理，a2b2c22bccosA，

2π

所以722c222ccos，

3

所以c22c30，解得c3或c1（舍）,

11333

所以SbcsinA23，

△ABC2222

33

故ABC的面積為.

2

題型03三角形解的個數(shù)

π

【典例1】（2023上·全國·高三專題練習(xí)）在ABC中，角A，B，C所對的邊分別為a，b，c，A，a3，

3

b2，則此三角形的解的情況是（）

A．有一解B．有兩解

C．無解D．有解但解的個數(shù)不確定

【答案】A

3

ab2

【詳解】由，得bsinA22，

sinAsinBsinB

a32

ππ

又ab，A，故B只能為銳角，即B，

34

故該三角形只有一解．

故選：A.

3

【典例2】（2023上·上海嘉定·高三?？计谥校┰贏BC中，已知cosA，sinBa，若cosC有唯一值，

5

則實(shí)數(shù)a的取值范圍為（）

43

A．0,B．0,{1}

55

44

C．0,{1}D．,1

55

【答案】C

3π24

【詳解】由cosA可得：A0,，且sinA1cosA，

525

4

若0a，則sinBsinA，由正弦定理可得ACBC,

5

則BA，所以B為銳角，

此時B唯一，則C也唯一，所以cosC有唯一值.

π

當(dāng)sinBa1時，B，則此時B唯一，則C也唯一，所以cosC有唯一值.

2

4

當(dāng)a1時，因?yàn)閟inBa，根據(jù)正弦函數(shù)圖像易知，sinxa在0,π上存在兩個根，所以B存在兩個值

5

滿足sinBa，所以不成立.

故選：C

【典例3】（多選）（2023下·江蘇鎮(zhèn)江·高一校聯(lián)考階段練習(xí)）ABC中，內(nèi)角A，B，C對邊長分別為a，

b，c，下列選項(xiàng)的三角形有兩解的是（）

A．a(chǎn)14，b73，B45B．a(chǎn)15，b20，A30

C．b47，c38，B50D．b25，c13，C23

【答案】ABD

【詳解】易知A、B、C0,π,ABC180，

a623

對于A，由正弦定理可知sinAsinB,

b322

由正弦函數(shù)的圖象與性質(zhì)可得45A60或120A135，

又abAB，則A有兩個解，即A正確；

b212

對于B，同上sinBsinA,30B45或135B150,

a322

又abAB，則B有兩個解，即B正確；

c38

對于C，同上得sinCsinBsin50sin50，且cbCBC50，

b47

故C只有一解，即C錯誤；

25

對于D，如下圖所示ADBC，則易知25sin231325，即此時有兩解，即D正確.

2

故選：ABD

【典例4】（2023下·河北石家莊·高一石家莊市第十七中學(xué)?？计谥校┰O(shè)ABC的角A，B，C所對的邊分

別為a，b，c，且b2，A45，當(dāng)ABC有兩個解時，a的取值范圍是.

【答案】2,2

a2

ab2

【詳解】由正弦定理可知，即2sinB，所以sinB，

sinAsinBa

2

因?yàn)锳BC有兩個解，即B有兩解，又A45，則0B135，

由正弦函數(shù)ysinx的性質(zhì)，可得45B135且B90，

222

所以sinB1，即1，解得2a2，

22a

即a的取值范圍是2,2.

故答案為：2,2

【變式1】（2023上·北京順義·高三牛欄山一中?？计谥校┰贏BC中，A60，a5，b6，滿足條

件的ABC（）

A．有無數(shù)多個B．有兩個C．有一個D．不存在

【答案】D

【詳解】因?yàn)锳60，a5，b6，

56

ab33

由正弦定理，即3sinB，所以sinB，

sinAsinB5

2

33

又sinB1，

5

由正弦函數(shù)的性質(zhì)可得B不存在，所以滿足條件的ABC不存在.

故選：D

π

【變式2】（2023·浙江·模擬預(yù)測）在ABC中，角A,B,C所對的邊分別為a,b,c.若B,a4，且該三角

3

形有兩解，則b的范圍是（）

A．23,B．23,4

C．0,4D．33,4

【答案】B

π

ab4sin

【詳解】由正弦定理得，所以asinB323,

sinAsinBb

sinAsinAsinA

π2ππ

因?yàn)樵撊切斡袃山?，故BA,A,

332

323

故sinA(,1)，即b(23,4)，

2sinA

故選：B

【變式3】（多選）（2023上·四川成都·高二石室中學(xué)?？奸_學(xué)考試）已知ABC的內(nèi)角A,B,C的對邊分別

為a,b,c,則下列說法正確的是（）

A．若a=2b，B=30°，則ABC有一個解

B．若a=2b，B=30°，則ABC有兩個解

C．若sin2Asin2B，則ABC為等腰三角形

D．若sinAcosC，則ABC為鈍角三角形

【答案】ABD

【詳解】對于A，由正弦定理，sinA=2sinB=1，因?yàn)?0A150，

因此A90，有唯一解，故A正確；

2

對于B，由正弦定理，sinA2sinB，因?yàn)?0A150，

2

所以A45o或A135，有兩解，故B正確；

對于C，因?yàn)?A180,0B180，sin2Asin2B，

所以2A2B或2A2B180o，即AB或AB90，因此為等腰或直角三角形，

故C錯誤；

對于D，當(dāng)A為鈍角時，ABC為鈍角三角形，

當(dāng)A為直角時，不滿足條件，

o

當(dāng)A為銳角時，sinA=cos(90-A)<cosC，因此90o-A>C，A+C<90o，

因此ABC為鈍角三角形，故D正確.

故選：ABD.

π

【變式4】（2023上·河北邢臺·高三邢臺一中?？茧A段練習(xí)）在ABC中，已知A，a2，若ABC有

6

兩解，則邊b的取值范圍為.

【答案】2,4

【詳解】

1

由圖可得，要使ABC有兩解，則bsinAab，即b2b，解得2b4.

2

故答案為：2,4.

題型04判斷三角形的形狀

【典例1】（2023上·河南省直轄縣級單位·高二濟(jì)源市第四中學(xué)?？茧A段練習(xí)）已知ABC內(nèi)角A，B，C的

ab

對邊為a，b，c，若AB，c2a2b2ab，則ABC的形狀是（）

coscos

22

A．鈍角三角形B．等邊三角形

C．直角三角形D．等腰直角三角形

【答案】B

【詳解】由c2a2b2ab，得a2b2c2ab，

a2b2c2ab1

而cosC，又0C180，

2ab2ab2

所以C60.

absinAsinB

AB，由正弦定理得AB，

coscoscoscos

2222

AABB

2sincos2sincosAB

即2222，得sinsin，

AB

coscos22

22

ABAB

所以或180，得AB或AB360（舍去），

2222

所以AB，即ABC為等邊三角形.

故選：B

cosAb

【典例2】（2023上·北京·高三北京二十中校考階段練習(xí)）在ABC中，若，則該三角形的形狀

cosBa

一定是（）

A．等腰三角形B．等腰直角三角形

C．等腰三角形或直角三角形D．等邊三角形

【答案】C

cosAb

【詳解】，acosAbcosB，

cosBa

根據(jù)正弦定理可知：sinAcosAsinBcosB，

sin2Asin2B，

在ABC中，AB，或2A2B，即AB，即C.

22

ABC為等腰三角形或直角三角形.

故選：C

【典例3】（2023上·黑龍江七臺河·高三勃利縣高級中學(xué)校考階段練習(xí)）在ABC中，有

1cos2C

2sin(AB)1，試判斷ABC的形狀（從“直角三角形”，“銳角三角形”，“鈍角三角形”

2

中選一個填入橫線中）.

【答案】直角三角形

2

21cos2C112sinC

【詳解】由二倍角公式cos2C12sinC可知，sin2CsinCsinC，

22

且注意到在ABC中，有sin(AB)sin(πC)sinC，

1cos2C

因此可將已知2sin(AB)1轉(zhuǎn)換為2sinC1sinC，解得sinC1，

2

π

因?yàn)镃是ABC的一個內(nèi)角，所以C，即ABC是直角三角形.

2

故答案為：直角三角形.

【變式1】（2023上·北京海淀·高三統(tǒng)考期中）在ABC中，sinBsin2A,c2a，則（）

A．B為直角B．B為鈍角C．C為直角D．C為鈍角

【答案】C

b

【詳解】由sinBsin2A2sinAcosA，即b2acosA，cosA，

2a

b2c2a2b24a2a2b

又c2a，所以cosA，化簡得b3a，

2bc2b2a2a

πππ

則a:b:c1:3:2，故在ABC中，A,B,C，

632

故選：C

【變式2】（2023下·浙江嘉興·高一校聯(lián)考期中）若abcbca3bc，且ccosBbcosC，那么ABC

是（）

A．等邊三角形B．等腰三角形

C．直角三角形D．等腰直角三角形

【答案】A

2

【詳解】因?yàn)閍bcbca3bc，則bca23bc，可得b2c2a2bc，

b2c2a21π

由余弦定理可得cosA，因?yàn)锳0,π，所以，A，

2bc23

a2c2b2a2b2c2

因?yàn)閏cosBbcosC，則cb，整理可得bc.

2ac2ab

所以，ABC為等邊三角形.

故選：A.

Bac

【變式3】（2023上·廣東廣州·高三廣州大學(xué)附屬中學(xué)?？奸_學(xué)考試）在ABC中，cos2，則ABC

22c

的形狀為三角形．

【答案】直角

Baca

【詳解】在ABC中，由cos2，得1cosB1，即accosB，

22cc

a2c2b2

由余弦定理得ac，整理得a2b2c2，

2ac

所以ABC是直角三角形.

故答案為：直角

題型05利用正（余）弦定理求范圍或最值

【典例1】（2024上·內(nèi)蒙古赤峰·高三統(tǒng)考開學(xué)考試）在銳角ABC中，角A,B,C的對邊分別為a,b,c，若

acosCccosA1，a2bc1，則a的取值范圍是.

【答案】2,3

【詳解】設(shè)ABC外接圓的半徑為R，則

acosCccosA2RsinAcosCsinCcosA2RsinAC2RsinBb，

即b1.

因?yàn)閍2bc1，所以a2b2bc，由正弦定理得sin2Asin2BsinBsinC，

1cos2A1cos2B

由二倍角公式得sinBsinC，

22

1

則cos2Bcos2AsinBsinC.

2

由和差化積公式得sinABsinABsinBsinC，即sinCsinABsinBsinC.

π

又因?yàn)锳BC為銳角三角形，所以C0,，sinC0，所以sinABsinB，

2

所以ABB或ABBAπ（舍去），

即A2B，sinAsin2B2sinBcosB，

a

由正弦定理得2cosB，即a2cosB.

b

πππππ

由題意得0A2B，解得B0,，0Cπ3B，解得B,，

24263

πππ

又B0,，所以B,，

264

23

所以cosB,，則a的取值范圍是2,3.

22

故答案為：2,3.

【典例2】（2024上·黑龍江哈爾濱·高三哈爾濱市第六中學(xué)校?？茧A段練習(xí)）在銳角ABC中，設(shè)邊a,b,c所

對的角分別為A,B,C，且a2b2bc．

(1)證明：A2B

(2)若a1，求2bc的取值范圍．

【答案】(1)證明見詳解

3243

(2),

23

【詳解】（1）因?yàn)閍2b2bc，

b2c2a2c2bccbsinCsinB

所以cosA，

2bc2bc2b2sinB

整理得2sinBcosAsinCsinB，

又CπAB，所以sinCsinπABsinAB，

所以2sinBcosAsinABsinBsinAcosBcosAsinBsinB，

整理得sinBsinAcosBcosAsinB，所以sinBsinAB，

ππ

因?yàn)锳BC為銳角三角形，所以0B,0A，

22

πππ

所以B0，所以AB，

222

ππ

因?yàn)楹瘮?shù)ysinx在,上單調(diào)遞增，

22

所以BAB，即A2B.

（2）由（1）可知，A2B,Cπ3B，

1b1b

因?yàn)閍1，所以由正弦定理可得，，即，

sin2BsinB2sinBcosBsinB

1

因?yàn)锽0,π,sinB0，所以b，

2cosB

1

又a2b2bc，所以b2bc1，即bc，

b

11

所以2bcbcbb2cosB，

b2cosB

π

0B

2

πππ

因?yàn)锳BC為銳角三角形，所以02B，解得B，

264

π

0π3B

2

23

則cosB.

22

1

記t2cosB，則2bct，t2,3

t

1

由對勾函數(shù)可知，yt在2,3上單調(diào)遞增，

t

32433243

所以y，即2bc的取值范圍為,

2323

【典例3】（2024·陜西寶雞·校考一模）在ABC中，角A，B，C的對邊分別為a，b，c，已知

2acosAcosBbcos2A3cb.

(1)求角A；

(2)若ABC的面積為1，求a的最小值.

【答案】(1)A

6

(2)62

【詳解】（1）由已知2acosAcosBb1cos2A3c，2acosAcosB2bcos2A3c，

由正弦定理2sinAcosAcosB2sinBcos2A3sinC，

所以2cosAsinAcosBsinBcosA3sinC，即2cosAsinAB3sinC，

3π

又C0,，所以cosA，解得A.

26

（2）由題1bcsinA1，得bc4，

2

又a2b2c22bccosAb2c2432bc43843（bc時取“=”）

所以，a84362

即a的最小值是62，bc2時取等號.

【變式1】（2023·全國·模擬預(yù)測）已知ABC中，角A，B，C所對的邊分別為a，b，c，且

2

sin2C23sinC3,C0,．

2

(1)若a3,b4，求c的值以及ABC的面積；

14AM

(2)若BMBC01,tanBAC，求cosBAC的值以及的取值范圍．

2CM

【答案】(1)7，3

2AM1

(2)cosBAC，,

3CM2

2

【詳解】（1）解：由sin2C312sinC3cos2C，可得tan2C3，

πππ

因?yàn)镃0,，所以2C0,π，所以2C，可得C，

236

3

由余弦定理得ca2b22abcosC3162347，

2

111

所以ABC的面積SabsinC343．

222

sinBAC14

14

（2）解：因?yàn)閠anBAC，所以cosBAC2，

222

sinBACcosBAC1

72

解得sinBAC,cosBAC，

33

AMCMAMsinC1

在AMC中，由正弦定理得，則，

sinCsinMACCMsinMAC2sinMAC

πAM1

因?yàn)?MACBAC,BAC