第=page11頁(yè)，共=sectionpages11頁(yè)河南省開(kāi)封市2025屆高三下學(xué)期4月聯(lián)考數(shù)學(xué)試卷一、單選題：本題共8小題，每小題5分，共40分。在每小題給出的選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的。1.橢圓C:x24A.1 B.2 C.4 D.62.若a,3,b,1成等比數(shù)列，則a?b=(

)A.4 B.6 C.9 D.123.函數(shù)f(x)=sin2x3的最小正周期為A.3π B.2π C.3π4.已知集合A=x|3ax?2≤0，則使得“1∈A且A.13<a<23 B.a5.已知a=log0.30.07，b=20.7，A.a>b>c B.b>c6.已知函數(shù)f(x)滿足f(x+2)=f(x)+f(x+1)，f(1)=f(2)=1，函數(shù)g(x)=1,x為正奇數(shù)0,x為正偶數(shù)，若i=1ngA.149 B.151 C.199 D.3007.已知函數(shù)f(x)=2sin(ωx+φ)(ω>0,|φ|<π2)，T為f(x)的最小正周期，且f13T=fA.116,176 B.116,8.已知函數(shù)f(x)滿足對(duì)任意的x，y∈(1,+∞)且x<y都有f(x?y1?xy)=f(1x)?f(1y)A.f(253385) B.f(253380)二、多選題：本題共3小題，共18分。在每小題給出的選項(xiàng)中，有多項(xiàng)符合題目要求。9.已知z=4+2ai1?i，i為虛數(shù)單位，a∈R，z是z的共軛復(fù)數(shù)，則下列說(shuō)法正確的是(

)A.若z為純虛數(shù)，則a=2

B.若z在復(fù)平面內(nèi)所對(duì)應(yīng)的點(diǎn)位于第一象限，則a∈(?3,3)

C.|z|的最小值為22

D.10.已知O為坐標(biāo)原點(diǎn)，點(diǎn)P(cosα,sinα)，Q(cosβ,sinβ)，A(1,1)，則下列說(shuō)法正確的是(

)A.OP→?OQ→=cos(α?β)

B.若OP=QA,則∣PQ∣=∣OA∣

11.雙曲線的光學(xué)性質(zhì)：從雙曲線的一個(gè)焦點(diǎn)發(fā)出的光線，經(jīng)雙曲線反射后，反射光線的反向延長(zhǎng)線經(jīng)過(guò)雙曲線的另一個(gè)焦點(diǎn).已知雙曲線C:x26?y2λ=1λ>0的離心率為233，左、右焦點(diǎn)分別為F1,F2，點(diǎn)Ax0,A.F1F2=22

B.y0t=?2

C.作F1H⊥AB于點(diǎn)H，則OH=6三、填空題：本題共3小題，每小題5分，共15分。12.已知角α的終邊經(jīng)過(guò)點(diǎn)(?3,4)，則sin(α+π4)的值為13.高二甲、乙兩位同學(xué)計(jì)劃端午假期從“韓陽(yáng)十景”中挑4個(gè)旅游景點(diǎn)：廉村孤樹(shù)、龜湖夕照、南野桑、馬嶼香泉隨機(jī)選擇其中一個(gè)景點(diǎn)游玩，記事件A:甲和乙至少一人選擇廉村孤樹(shù)，事件B:甲和乙選擇的景點(diǎn)不同，則條件概率PBA14.2021年3月30日，小米正式開(kāi)始啟用具備“超橢圓”數(shù)學(xué)之美的新logo(如圖所示)，設(shè)計(jì)師的靈感來(lái)源于曲線C：xan+ybn=1(n>0,n①曲線C關(guān)于x軸和y軸對(duì)稱②曲線C所圍成的封閉圖形的面積小于8③曲線C上的點(diǎn)到原點(diǎn)O的距離的最大值為17④設(shè)M(3,0)，直線x?y+3=0交曲線C于P、四、解答題：本題共5小題，共77分。解答應(yīng)寫出文字說(shuō)明，證明過(guò)程或演算步驟。15.(本小題13分)在壓力日益增大的當(dāng)下，越來(lái)越多的人每天的睡眠時(shí)長(zhǎng)無(wú)法滿足緩解壓力的需要.某研究小組隨機(jī)調(diào)查了某地100名工作人員每天的睡眠時(shí)長(zhǎng)，這100名工作人員平均每天睡眠時(shí)長(zhǎng)如下表所示，實(shí)際數(shù)據(jù)處理及分析中，認(rèn)為工作日與周末無(wú)差異．睡眠時(shí)長(zhǎng)/小時(shí)5.75～6.256.25～6.756.75～7.257.25～7.757.75～8.258.25～8.75人數(shù)5122836172(1)估計(jì)該地所有工作人員平均每天的睡眠時(shí)長(zhǎng)(同一組的數(shù)據(jù)用該組區(qū)間的中點(diǎn)值為代表)．(2)在被調(diào)查的100名工作人員中，有40名表示“近期壓力過(guò)大”，由頻率估計(jì)概率.在該地的所有工作人員中隨機(jī)調(diào)查3名，設(shè)“近期壓力過(guò)大”的人數(shù)為X．(ⅰ)求P(X≤1)的值;(ii)求X的分布列和期望．16.(本小題15分)已知數(shù)列an的前n項(xiàng)和為Sn，且(1)若S3=2，求(2)若a2=2a1，求S17.(本小題15分)已知函數(shù)f(x)=(1)求曲線y=f(x)在點(diǎn)1,f(1)處的切線方程；(2)當(dāng)x∈(0,2)時(shí)，求證f(x)≤x?118.(本小題17分)已知拋物線C:x2=2py(1)證明：以點(diǎn)Q為圓心且過(guò)點(diǎn)0,p2的圓與(2)若動(dòng)直線l:y=kx+2與C相交于M,N兩點(diǎn)，點(diǎn)Pt,?2滿足OP⊥l(O為坐標(biāo)原點(diǎn))，且直線PM,PN的斜率之和為2k(i)求C的方程；(ii)過(guò)點(diǎn)Q作C的切線l′，若l′//l，求?MPQ的面積的最小值．19.(本小題17分)已知上下頂點(diǎn)分別為A,B的橢圓E:x2m+y24=1經(jīng)過(guò)點(diǎn)32,1,P為直線l:y=12上的動(dòng)點(diǎn)，且P不在橢圓(1)求橢圓E的方程；(2)證明：直線CD過(guò)定點(diǎn)；(3)設(shè)(2)問(wèn)中定點(diǎn)為Q，過(guò)點(diǎn)C,D分別作直線l:y=12的垂線，垂足分別為M,N，記?CMQ，?MNQ，?DNQ的面積分別為S1，S2，S3，試問(wèn)：是否存在常數(shù)t，使得參考答案1.B

2.C

3.C

4.A

5.A

6.A

7.C

8.D

9.AC

10.ABD

11.BCD

12.213.6714.①②③

15.解:(1)記這100名工作人員平均每天的睡眠時(shí)長(zhǎng)為x小時(shí),

則x=1100×(6×5+6.5×12+7×28+7.5×36+8×17+8.5×2)=7.27(小時(shí)),

故估計(jì)該地所有工作人員平均每天的睡眠時(shí)長(zhǎng)為7.27小時(shí).

(2)(i)被調(diào)查的100名工作人員中有40名表示“近期壓力過(guò)大”,

則表示“近期壓力過(guò)大”的頻率為40100=25,

由頻率估計(jì)概率,在該地的所有工作人員中隨機(jī)調(diào)查1名工作人員,表示“近期壓力過(guò)大”的概率為25,故X~B(3,25),

故P(X≤1)=P(X=0)+P(X=1)=C30×(25)0×(1?25)3+C31×(25)1×(1?25)2=81125.

(ii)由X~B(3,25),得P(X=0)=C30X0123P2754368其期望E(X)=3×25=616.解：(1)令n=1，可得S2S1又S3=a(2)由Sn+1Sn=an+2an，可得兩邊分別相乘得SnS1當(dāng)n≥2時(shí)，a2Sn?1即a2Sn由題可知an≠0，所以所以an的奇數(shù)項(xiàng)、偶數(shù)項(xiàng)均成公差為a所以a2n?1=a所以an所以S=[=n(n+1)故Sn

17.解：(1)由題可知f′(x)=e又f(1)=0.故所求切線方程為y=1(x?1)=x?1．(2)當(dāng)x∈(0,2)時(shí)，要證f(x)≤x?1，即證即證lnxeln令p(x)=xex故當(dāng)x<1時(shí)，p′(x)>所以p(x)在(?∞,1)上單調(diào)遞增，在令t(x)=lnx?x+1，則故當(dāng)0<x<1時(shí)，t′所以t(x)在(0,1)上單調(diào)遞增，在(1,+∞則t(x)max=t(1)=0當(dāng)x∈(0,2)時(shí)，有l(wèi)nx即lnxeln故當(dāng)x∈(0,2)時(shí)

18.解：(1)由題可知點(diǎn)0,p2為C的焦點(diǎn)，設(shè)為點(diǎn)F，拋物線C的準(zhǔn)線方程為∵Q為C上一點(diǎn)，∴由拋物線的定義得QF等于點(diǎn)Q到C的準(zhǔn)線的距離，∴以Q為圓心且過(guò)點(diǎn)0,p2的圓與(2)設(shè)Mx(i)當(dāng)k=0時(shí)，點(diǎn)M,N關(guān)于y軸對(duì)稱，點(diǎn)P0,?2直線PM,PN關(guān)于y軸對(duì)稱，kPM當(dāng)k≠0時(shí)，由OP⊥l得kOP=?1k，直線將點(diǎn)P的坐標(biāo)t,?2代入，可得t=2k，則P2k,?2聯(lián)立直線l與C的方程，可得x2∴x∵k∴y化簡(jiǎn)可得2k2+2由k2+2≠0得，2pk?4k=0，由k≠0得故C的方程為x2(ii)設(shè)直線l′:y=kx+n，與C的方程聯(lián)立，可得x2由Δ=16k2+16n=0由x2?4kx+4k2=0得x設(shè)MN的中點(diǎn)為E，∵x∴x1+∵P2k,?2,?2+2k2+22∴?MPQ的面積為△MEP的面積的12由E為MN的中點(diǎn)得，△MEP的面積為?MNP的面積的12∴?MPQ的面積為?MNP的面積的14∵x∴MN∵點(diǎn)P2k,?2到直線MN:kx?y+2=0的距離d=∴S當(dāng)且僅當(dāng)k=0時(shí)等號(hào)成立，故?MPQ的面積的最小值為2

19.解：(1)因?yàn)闄E圓E:x2m+y2所以橢圓E的方程為x2(2)由題意，直線CD的斜率一定存在，設(shè)Cx1,y1聯(lián)立橢圓和直線CD的方程得3k由韋達(dá)定理可得x1由點(diǎn)斜式可知直線AC的方程為y=y1?2x1兩式相比得y?2y+2=y1?2x1又點(diǎn)D在橢圓上，所以x223+y將直線CD方程代入得kx1+m?2