重難點01數(shù)列

命題趨勢

新高考中考查數(shù)列難度不大，但解答題中作為了必考內(nèi)容，一般是解答題的前兩題，會考察開放式的

題型。知識點考查比較簡單，也是新高考中務(wù)必拿分題目，對于大部分人來說，數(shù)列這一知識點是不容失

分的。本專題是通過對高考中常見高考題型對應(yīng)知識點的研究而總結(jié)出來的一些題目，通過本專題的學(xué)習(xí)

補(bǔ)充鞏固，讓你對高考中數(shù)列題目更加熟練，做高考數(shù)列題目更加得心應(yīng)手。

滿分技巧

1、通項公式的求法

1)累加法(疊加法)

若數(shù)列｛?！埃凉M足即+]-%=/(〃)則稱數(shù)列｛%｝為“變差數(shù)列"，求變差數(shù)列｛許｝的通項時，利用

恒等式a?=al+(a2-ai)+(a3-a2)+---+(a?-an_t)=a,+/(I)+/(2)+/(3)+-■?+/(n-1)(n>2)jg

項公式的方法稱為累加法。

2)累乘法(疊乘法)：

若數(shù)列｛%｝滿足皿=/(〃)(〃eN*),則稱數(shù)列｛%｝為“變比數(shù)列"，求變比數(shù)列｛%｝的通項時，利用

an

an-a\-----=(n>2)求通項公式的方法稱為累乘法。

a\a2。3an-\

3)由數(shù)列的前n項和S〃與4的關(guān)系求通項公式

若已知數(shù)列｛4｝的前n項和=/(〃)，則不論數(shù)列｛4｝是否為等差數(shù)列或等比數(shù)列，當(dāng)“22時，都有

品〃二1

凡」=/5-1)，可利用公式%=二c、個求通項。

4)構(gòu)造新數(shù)列

對于勺=P*-i+q的形式，主要是利用(an+m)=+加)的形式進(jìn)行轉(zhuǎn)化;

1

對于a?=pajp',+',主要采用會-，=m的形式進(jìn)行轉(zhuǎn)化運算；

11

對于一般采用轉(zhuǎn)化成一--=P的形式進(jìn)行轉(zhuǎn)化運算。

%??-i

2、數(shù)列求和問題

1、常見裂項求和公式：

______1______=1O_______=-｛-__1_]________________1____=y^+i-\ln

(2?4)(2w+1)212〃?12n+l)'n(n+4)k\n〃+1J'西+/〃+1

T)"+i-------4n--------=(t,,+i(_1__1_]._=J_______1_

(2〃-l)(2〃+l)'12n-l2?+lJ'(a"-l)(aM+,-1)a"-I?"+,-1

2、錯位相減求和問題

(1)要善于識別題目類型，特別是等比數(shù)列公比為負(fù)數(shù)的情形；

(2)在寫出“S,”與“qSj的表達(dá)式時應(yīng)特別注意將兩式“錯項對齊”，以便下一步準(zhǔn)確寫出“Sn-qSj

的表達(dá)式.

(3)在應(yīng)用錯位相減法求和時，若等比數(shù)列的公比為參數(shù)，應(yīng)分公比等于1和不等于1兩種情況求解.

3、分組求和問題，分為三種，一種是絕對值分組求和問題，另外一種是兩種不同數(shù)列的分組求和問題，還

有一種是分奇偶項求和。

熱點解讀

熱點1：由遞推式求通項公式；熱點2：數(shù)列求和；熱點3：數(shù)列中的新定義與最值(范圍)問題；

限時檢測

A卷(建議用時90分鐘)

一、單選題

1.(2021?四川?內(nèi)江市教育科學(xué)研究所一模)記數(shù)列｛/｝的前八項和為E,,若S.=2a”+1,則()

A.見=1B.｛《｝是等差數(shù)列C.｛4｝是等比數(shù)列D.54=-30

2

【答案】c

【分析】當(dāng)〃=1時，q=T,所以選項A錯誤；推理得到馬-=2("eN",〃22),所以選項B錯誤，選項C

an-\

正確；S&=-15,所以選項D錯誤.

【詳解】解：當(dāng)”=1時，S=2q+1,</,=-1,所以選項A錯誤；

因為S“=2%+1(〃eM),S’-=2a,i+1(〃e7V\?>2),

所以a”=S,-S,i=2a“-2a,i(〃eN*,"N2),化為a“=2%(〃eN*,〃22)

.?./■=2(〃€","22)所以數(shù)列｛%｝是等比數(shù)列.所以選項B錯誤，選項C正確：

""-I

邑=-1-2-4-8=-15,所以選項D錯誤.故選：C

2.(2021?黑龍江?勃利縣高級中學(xué)高三期中)“垛積術(shù)”是由北宋科學(xué)家沈括在《夢溪筆談》中首創(chuàng)，南宋數(shù)

學(xué)家楊輝、元代數(shù)學(xué)家朱世杰豐富和發(fā)展的一類數(shù)列求和方法，有菱草垛、方垛、芻童垛、三角垛等.某

倉庫中部分貨物堆放成如圖所示的“菱草垛”：自上而下，第一層1件，以后每一層比上一層多1件，最后一

層是〃件.已知第一層貨物單價1萬元，從第二層起，貨物的單價是上一層單價的卡?若這堆貨物總價是

100-200(總?cè)f元，則"的值為()

A.9B.10C.11D.12

【答案】B

【分析】先依次求出各層貨物總價，再利用裂項抵消法進(jìn)行求解.

【詳解】由題意，得第?層貨物總價為1萬元，第二層貨物總價為2、三萬元,

QO

第三層貨物總價為3x(二)2萬元，第〃層貨物總價為〃x(或yi萬元.

3

QQQ

設(shè)這堆貨物總價為V萬元，則y=l+2x輸+3x(京y+…+〃X(熱)1

99r/9、2-9、3/9、〃

—y=—+2x(—Y+3x(—甘+…+〃x(—),

1010101010

1QQQQQ

兩式相減，得一y=l+—+(―)2+(―)3+…+(_)〃T_〃X(一)",

10，1010101010

9〃

即持=碧■一〃哈”*1°壯?〃哈兒

1------

10

999

貝ljV=100一100X(―)M-10/2-(―)n=100-(100+10z?)X(―)z,,

99

j；=100-(100+10w)x(―)z,=100-200x(―)w,得〃=1().故選：B.

3.(2021?江西高安?模擬預(yù)測)已知等差數(shù)列｛叫，其前〃項和為S“，S”有最小值，若血<T,貝雌S,<0

成立的〃的最大值為()

A.17B.16C.15D.14

【答案】C

【分析】依題意可得q<0，d>0,再根據(jù)%<7,即可得到&<0，%>0,且4+4>0,再根據(jù)等差

數(shù)列前〃項和公式及下標(biāo)和性質(zhì)計算可得；

【詳解】解：因為等差數(shù)列｛《,｝的前〃項和為S,有最小值，所以q<0,d>Q,所以。9>4,因為也<-1,

as

_八cr,人b,"c(a,+a)x16+a)xl6-°(a,+a,,)x15

所er以《<0，a,>0,且%+%>0,所以S|6=^~黃1A——=——s——>0.工5=^-——=15%<0,

所以當(dāng)14〃415時2<0,所以使2<0成立的〃的最大值為15；故選：C

4.(2021?全國全國?模擬預(yù)測)高斯是德國著名的數(shù)學(xué)家，近代數(shù)學(xué)奠基者之一，享有“數(shù)學(xué)王子”的稱號.

設(shè)xeR,用國表示不超過x的最大整數(shù)，則/。)=國稱為高斯函數(shù).已知數(shù)列｛q,｝滿足%=2,且

(〃+1)--％=2〃+1,若數(shù)列｛〃｝的前〃項和為北，則乙⑼=()

A.4950B.4953C.4956D.4959

【答案】C

【分析】由題利用累加法可得〃“=〃，進(jìn)而可得“=［他〃］，分類討論4的取值，即求.

【詳解】由(〃+1)?！?|-〃4=2〃+1,%=2可得％=1,

根據(jù)累加法可得nan=nall-(n-r)ail_1+(n-l)an_i-(n-2)an_2+…+2a?-q+%="?所以，

4

故當(dāng)1W〃W9時，bn=0.當(dāng)104"499時，b“=l；當(dāng)1004“4999時，。=2；當(dāng)10004”V2021

時，"=3,因此%=90+900x2+1922x3=4956.故選:C.

5.（2021?江蘇徐州?高三期中）已知等比數(shù)列｛%｝的前〃項和S“=q1-b,數(shù)歹!）｛（"）"｝的前〃項和為7；,

若數(shù)列｛北｝是等差數(shù)列，則非零實數(shù)。的值是（〉

A.-3B.1C.3D.4

【答案】C

【分析】根據(jù)a“=S.-S,i求出｛4｝通項公式，利用％=工可求出b=求出北，根據(jù)等差數(shù)列的特點可得.

[詳解】因為等比數(shù)列｛%｝的前〃項和s“=-b,

則當(dāng)〃22時，。-1=（；『-6-0"+6=等（?”，則％=6=口=3,解得6=；,

則（a6）"=（g[,即｛（曲）"｝是以.為首項，§為公比的等比數(shù)列，則？_313匕），

33"aaa

1—1-

333

因為｛1｝是等差數(shù)列，則通項公式不能出現(xiàn)〃+1次方項，所以￡=1,解得。=3.故選：C.

unz?

+5,4/N

6.（2021?遼寧實驗中學(xué)高三期中）數(shù)列｛%｝中，弓=1,%+i=\,使442021對任意的〃4人

a7—€N-

M—p?3

（eN,）恒成立的最大左值為（）

A.1209B.1211C.1213D.1215

【答案】B

【分析】根據(jù)數(shù)列的通項公式，列出各項，找數(shù)列的規(guī)律，判斷到哪一項是等于2021,即可得答案.

【詳解】由已知可得，數(shù)列｛4｝：1,6,11,6,11,16,11,16,21,…,可得規(guī)律為1,6,11；6,11,16；11,16,21；L此

時將原數(shù)列分為三個等差數(shù)列：1,6,11,…a,,=苦心，i\n=3加+1,加￡N｝；

577+18（?）

6,11,16,…%J”；-,〃￡｛〃[〃=3m+2,比wN｝；11,16,21,-=——-——eyn\n=3/n+3,weN|;

因為^1209=2021,6r12I0=2016,al21l=2021,6r12I2=2026>2021,

5

所以滿足,42021對任意的〃4女（雇用）恒成立的最大上值為⑵1.故選：B.

7.（2021?山東泰安?高三期中）若數(shù)列｛4｝滿足弓=2,a?+1a?=a?-l,則。2期=（）

A.2B.yC.-1D.-2

【答案】C

【分析】由題意得數(shù)列｛q,｝是周期為3的數(shù)列，即可得解.

【詳解】由％=2,代入%a“=a,,-l可得同理可得%=7.

a”T.

--------],I

由％%=a,T，得a，+i=—，從而有。.廣巴匚^告丁二二二，即為+廣廣：

%J"，，T%T

-1—1

（1=----------------=---------------------=（J/\

從而有j"，所以數(shù)列｛%｝的周期為3,所以%。22=-74=%=-1.故選：C.

8.（2021?河北衡水中學(xué)模擬預(yù)測）數(shù)列｛”“｝滿足qeZ,。向+%=2〃+3,且其前〃項和為S..若配=%,

則正整數(shù)加=（）

A.99B.103C.107D.198

【答案】B

【分析】根據(jù)遞推公式，構(gòu)造新數(shù)列為等比數(shù)列，求出數(shù)列｛《,｝通項，再并項求和，將岳3用《表

示，再結(jié)合通項公式，即可求解.

[詳解]由6,+|+%=2"+3得a“+1一("+l)_l=_(a,_〃_l),

為等比數(shù)列，.\--1=(-1嚴(yán)一2),

二a“=(-l)'i?-2)+〃+1,*=(-1嚴(yán)(q-2)+〃?+1,

S]3=q+(出+/)+?,,+(。12+%J="1+2X(2+4H----1~12)+3x6=a1+102,

①)？為奇數(shù)時，〃[-2+m+1=4+102,/w=103；

②用為偶數(shù)時，一(q-2)+加+1=4+102,〃?=2《+99,

???％wZ,加=2q+99只能為奇數(shù)，???加為偶數(shù)時，無解,綜上所述，〃z=103.故選：B.

【點睛】本題考查遞推公式求通項，合理應(yīng)用條件構(gòu)造數(shù)列時解題的關(guān)鍵，考查并項求和，考查分類討論

6

思想，屬于較難題.

二、多選題

9.（2021?河北邯鄲?高三期末）Look—and—say數(shù)列是數(shù)學(xué)中的一種數(shù)列，它的名字就是它的推導(dǎo)方式：給

定第一項之后，后一項是前一項的發(fā)音，例如第一項為3,第二項是讀前一個數(shù)T個3”，記作13,第三項

是讀前一個數(shù)“1個1,1個3”，記作1113,按此方法，第四項為3113,第五項為132113,….若Look—and—say

數(shù)列｛q｝第一項為11,依次取每一項的最右端兩個數(shù)組成新數(shù)列｛4｝,則下列說法正確的是（）

A.數(shù)列｛《,｝的第四項為111221B.數(shù)列｛%｝中每項個位上的數(shù)字不都是1

C.數(shù)列也｝是等差數(shù)列D.數(shù)列出｝前10項的和為160

【答案】AD

【分析】A.列舉前四項可得答案；B.根據(jù)數(shù)列｛““｝中最后讀的數(shù)字是1可得答案；C.列舉前四項可得答案;

D.列舉可得數(shù)列｛，｝中數(shù)的規(guī)律，進(jìn)而可求和.

【詳解】q=ll,a2=2l,a3=1211,a4=111221,A正確;

數(shù)列｛aJ中最后讀的數(shù)字總是1,故數(shù)列｛〃/中每項個位上的數(shù)字都是1.B錯誤：

數(shù)列｛a｝：11,21,11,21....不是等差數(shù)列，C錯誤;

通過列舉發(fā)現(xiàn)數(shù)列｛4｝的第一，三，五，七，九項都為11,第二，四，六，八，十項為21,

故前10項的和為11x5+21x5=160,D正確.故選:AD.

10.（2021?山東?泰安一中模擬預(yù)測）我國古代著名的數(shù)學(xué)專著《九章算術(shù)》里有一段敘述：“今有良馬和弩

馬發(fā)長安至齊，良馬初日行一百九十三里，日增十三里；鴛馬初日行九十七里，日減半里.良馬先至齊，復(fù)

還迎弩馬，九日后二馬相逢其大意為今有良馬和弩馬從長安出發(fā)到齊國，良馬第一天走193里，以后每天

比前一天多走13里；鴛馬第一天走97里，以后每天比前一天少走0.5里.良馬先到齊國，再返回迎接鴛馬，

9天后兩馬相遇.下列結(jié)論正確的是（）

A.長安與齊國兩地相距1530里B.3天后，兩馬之間的距離為328.5里

C.良馬從第6天開始返回迎接號馬D.8天后，兩馬之間的距離為377.5里

【答案】AB

【分析】A,設(shè)良馬第〃天行走的路程里數(shù)為對,弩馬第〃天行走的路程里數(shù)為“，求出良馬和鴛馬各自走

的路程即得A正確；B,計算得到3天后，兩馬之間的距離為328.5里，即可判斷B正確；

7

C,計算得到良馬前6天共行走了1353里＜1530里，故C不正確；

D,計算得到8天后，兩馬之間的距離為390里，故D不正確.

【詳解】解：設(shè)良馬第〃天行走的路程里數(shù)為4,鴛馬第〃天行走的路程里數(shù)為2,則

=193+13(/1-1),Z)?=97-1(n-I)(n€N*,L.%9).良馬這9天共行走了9、193+注答=2205里路程，

弩馬這9天共行走了0皿9*8、卜2)。公里路程，故長安與齊國兩地相距始警=1530里，A正確.

9x97+------——-=8552

2

3天后，良馬共行走了3x(193+13)=618里路程，鴛馬共行走了3x(97-；)=289.5里路程，故它們之間的距

離為328.5里，B正確.

良馬前6天共行走了6x193+26x^5x1^3=1353里＜1530里，故良馬行走6天還末到達(dá)齊國，C不正確.

良馬前7天共行走了7x193+號上=1624里＞1530里，則良馬從第7天開始返回迎接駕馬，故8天后，

兩馬之間的距離即兩馬第9天行走的距離之和，由%+4=193+13x8+97+(-；18=390,知8天后，兩

馬之間的距離為390里，故D不正確.故選：AB

11.(2021?遼寧?大連市第一中學(xué)高三期中)如圖的形狀出現(xiàn)在南宋數(shù)學(xué)家楊輝所著的《詳解九章算法?商功》

中，后人稱為“三角垛”“三角垛”最上層有1彳,第二層有3個球，第三層有6個球，.…設(shè)第〃層有4個

球，從上往下〃層球的總數(shù)為則()

1111200

----1------1------1-----1-------=------

a,a2%al00101

【答案】ACD

【分析】根據(jù)已知條件求得知”-%=〃，由此對選項進(jìn)行分析，從而確定正確選項.

【詳解】依題意可知明「%=〃+1,。,川=%+”+1,B選項錯誤.

q=1,。2=1+2=3,色=3+3=6,。4=6+4=10,%=10+5=15,S5=1+3+6+10+15=35,A正確.

4+1=〃+1，%一見t=〃(〃之2),

8

…+(。2-％)+4=〃+(〃T)+…+2+1="71),C正確.

=^.D選項正確.

故選：ACD

12.（2021?江蘇如皋?高三期中）觀察如下數(shù)陣:

第1行12

第2行132

笫T行14352

第4行154738572

第模行1

,2

該數(shù)陣特點：在第〃行每相鄰兩數(shù)之間都插入它們的和得到第〃+1行的數(shù)，〃eN*.設(shè)第〃行數(shù)的個數(shù)為%,

第〃行的所有數(shù)之和為S“，則（）

A.an+i=2an-lB.Sn+l=3sn-3C.S,+1]D.k=2"-'-l

【答案】ABD

【分析】由條件可得=即可判斷A,然后求出?！翱膳袛郉,由工=3,$2=6,5,=15,

$4=42,$5=123可判斷B、C.

【詳解】第〃行個數(shù)為％,第〃行個數(shù)為-1=2%-1,2ali-1,A對;

S]=3,邑=6,$3=15,邑=42,$5=123,則B對C錯；

%=2。.一1,。向一1=2氏-2=2（?！耙?），...■^-^=2，

an~l

...｛?！耙?｝是2為公比的等比數(shù)列，...。"-1=2”1.?.%=21+1,.?.上=2"7-1,D對，故選：ABD

三、填空題

13.（2021?江蘇?海門中學(xué)高三期中）已知數(shù)列｛4｝滿足%+i+（-l）"a“=2〃+l,則

%+%+^5+???+々99=

【答案】50

9

【分析】根據(jù)所給遞推關(guān)系，可得。2川+%“=4〃+1,=4?-1,兩式相減可得出向+出“—=2.即相鄰

奇數(shù)項的和為2,即可求解.

［詳解］va?+1+(-1)%“=2〃+1,Aa2?+1+%”=4〃+1,aln-a2?_,=4?-l.

兩式相減得生”+i+?2?-i=2.則%+4=2,a7+a5=2,…,即+%=2,

；?%+%+%+…+為9=25x2=50,故答案為:50

14.(2021?福建?泉州鯉城北大培文學(xué)校高三期中)已知數(shù)列｛叫的前“項和為S"，若卬=2,且S向=2S.+1,

則數(shù)列｛4｝的通項公式為.

【答案】^f2,2〃"=-l2,?>2

【分析】項和轉(zhuǎn)換可得見”=2%(“22),uj?得數(shù)列｛%｝從第二項開始是以3為首項，2為公比的等比數(shù)列，

結(jié)合等比數(shù)列的通項公式，分段表示即得解

【詳解】由題意，5川=2，+1故S“=2S,i+l兩式相減可得：a^=2a?(n>2),

在Sn+｝=2S〃+1中，令〃=1,可得q+%=2q+1,即g=3

因此數(shù)列｛%｝從第二項開始是以3為首項，2為公比的等比數(shù)列

[2,?=1僅〃=1

有""一%X2"」,〃22故答案為：[3x2,,-2,H>2

15.(2021?河北?衡水市冀州區(qū)第一中學(xué)高三期中)在正項數(shù)列｛《｝中，=8,且bg2a向+bg0”=；,

2Z

令b“=log.,V2?log%“五,則數(shù)列｛a｝的前2020項和52020=.

2020

【答案】函

【分析】利用關(guān)系式的變換求出數(shù)列的通項公式，然后利用裂項相消法的應(yīng)用求出數(shù)列的和.

,,I

【詳解】正項數(shù)列｛%｝中，bg?“向+1°g|an=T,

22

整理得：log2%+]-log2〃〃=log2正，則log212t=log?0,BP=V2,

???數(shù)列｛〃”｝是以&為公比的等比數(shù)列.由于多?出?%=8,則Q「=8,即出=2,

10

1

%=&.(拒尸=(何1

〃+1

111,1MO,120202020

5?=1--+--一+…H------------=1---------'人2020=-2021=2021'"合殺"2021

"223n77+1n4-1

16.（2021?湖北?華中師大一附中高三期中）習(xí)近平同志提出：鄉(xiāng)村振興，人才是關(guān)鍵.要積極培養(yǎng)本土人

才，鼓勵外出能人返鄉(xiāng)創(chuàng)業(yè).2020年1月8日，人力資源和社會保障部、財政部、農(nóng)業(yè)農(nóng)村部印發(fā)《關(guān)于

進(jìn)一步推動返鄉(xiāng)入鄉(xiāng)創(chuàng)業(yè)工作的意見》.意見指出，要貫徹落實黨中央、國務(wù)院的決策部署，進(jìn)一步推動返

鄉(xiāng)入鄉(xiāng)創(chuàng)業(yè)，以創(chuàng)新帶動創(chuàng)業(yè)，以創(chuàng)業(yè)帶動就業(yè)，促進(jìn)農(nóng)村一、二、三產(chǎn)業(yè)融合發(fā)展，實現(xiàn)更充分、更高

質(zhì)量就業(yè).為鼓勵返鄉(xiāng)創(chuàng)業(yè)，某鎮(zhèn)政府決定投入“創(chuàng)業(yè)資金”和開展“創(chuàng)業(yè)技術(shù)培訓(xùn)I”幫扶返鄉(xiāng)創(chuàng)業(yè)人員.預(yù)計該

鎮(zhèn)政府每年投入的“創(chuàng)業(yè)資金”構(gòu)成一個等差數(shù)列｛見｝（單位：萬元），每年開展“創(chuàng)業(yè)技術(shù)培訓(xùn)I”投入的資金

為第一年創(chuàng)業(yè)資金6（萬元）的3倍，已知％2+/2=5（）.則該鎮(zhèn)政府幫扶五年累計總投入資金的最大值為

______萬元）

【答案】100

【分析】根據(jù)題意，得到五年累計總投入資金的表達(dá)式，結(jié)合基本不等式，即可求解.

【詳解】由題意知，五年累計總投入資金為4+。2+。3+。4+弓+5乂3q=5%+15%=53+3。|）=10（%+。2）

10J（q+的尸=1Oyja；+a；+24],-10不2W+a；）=100,

當(dāng)且僅當(dāng)q=。2時等號成立，所以該鎮(zhèn)政府幫扶五年累計總投入資金的最大值為100萬元.

17.（2021?遼寧?育明高中高三期中）已知遞增數(shù)列｛%｝的前〃項和為S“，且滿足S“+S,,M=2〃2+〃（〃eN.）,

則首項《的取值范圍為

]_3

【答案】

454

【分析】根據(jù)前〃項和的公式得到遞推公式?！?。的=4〃-1（〃22）,進(jìn)而化簡整理得到％=4（〃23）,

從而得列｛4｝是偶數(shù)項以4為公差的等差數(shù)列，奇數(shù)項從。3起奇數(shù)項也是以4為公差的等差數(shù)列，從而知

需滿足4＜。2＜。3＜見，然后將川％表示后，解不等式組即可求出結(jié)果.

【詳解】因為凡+5的=2〃2+〃,所以2s“+%"=2〃2+〃，

2

當(dāng)”=1時，2at+a2=3,當(dāng)月22時，2S?,l+fl?=2(?-1)+(n-l),

22

則2(S“-S,^)+a,l+i-a?=2W+n-2(H-l)-(n-l),

11

即?！?。用=4〃T（〃N2）,又a,-+%=4〃-5（〃23）,故"-a0T=4（〃N3）,

所以數(shù)列｛4｝是偶數(shù)項以4為公差的等差數(shù)列，奇數(shù)項從％起奇數(shù)項也是以4為公差的等差數(shù)列，若數(shù)列

｛%｝單調(diào)遞增，所以需滿足可<，<與<對，又。2=3-2%%=7-四=4+2q,&=11-%=7-2q,

所以4<3-2q<4+2q<7-2q,解得-：</<1,故％的取值范圍為.

四、解答題

18.（2021?江蘇?南京市中華中學(xué)高三期中）設(shè)S“是等比數(shù)列｛q｝的前〃項的和，生=上，且工、邑、身成

等差數(shù)列.（1）求｛4｝的通項公式；（2）設(shè)f為實數(shù)，$2〃為｛4｝的前2〃項的和，為數(shù)列｛。：｝的前〃項的

和，且邑=區(qū)，求才的值.

【答案】（1）見=,；［“‘設(shè)）f

【分析】（1）求出等比數(shù)列也“｝的公比，利用等比數(shù)列的通項公式可求得數(shù)列｛《,｝的通項公式；

（2）利用等比數(shù)列的求和公式求出邑“、Tn,進(jìn)而可求得，的值.

（I）解；設(shè)等比數(shù)列｛q｝的公比為9,則420,

由已知可得2s3=S1+S2,即2q+24+2%=2%+%,即羽+出二。，

則““（2q+l）=0,解得因此，?

（2）解：由⑴可知q=1,!

2

同守【優(yōu)若

所以，數(shù)列｛叫是以1為首項，%為公比的等比數(shù)列,

所以，（=@1卜一（;）

'，因此，，旦J⑷」

J7"4Tl2

4

12

19.（2021?遼寧?高三期中）已知等差數(shù)列｛?。凉M足：$6=21,Sz=28,其中s“是數(shù)列｛/｝的前〃項和.

4n2n+2

（1）求數(shù)列｛叫的通項；⑵令加=（-1廣證明:b+b+---b?<

(2。,一1)(2%+1)'t22〃+1

【答案】（1）a,=n（2）證明見解析

【分析】（1）將條件用首項，公差表示，計算即可.（2）利用裂項相消法求和即可.

6q+15d=21

（1）數(shù)列｛6｝為等差數(shù)列，依題意&=21,57=28,所以所以q=Ld=l,所以%=〃

7al+2W=28

⑵“（-廣（2%_設(shè)+1）

l)2n-\V72/7+1

+(-1)"-'^__(-1)",”_L?一42

=?1)

?72〃+l''2/J+I2n+12/1+12/1+1

20.（2021?江蘇?南京師大附中高三期中）設(shè)S“是等比數(shù)列｛%｝的前〃項和,已知S2=4,032=344.

（1）求斯和￡；（2）設(shè)b?=會-，求數(shù)列｛仇｝的前?項和T?.

4〃一]2

【答案】（1）%=3"\S"=??；（2）7-,^1-^r-y

【分析】（1）根據(jù)等比數(shù)列的通項公式、求和公式列出方程求解即可;

（2）由（1）寫出“，利用裂項相消法求和即可.

（1）設(shè)｛斯｝的公比為q，則。；=生。4，而。；=3%,

所以解得。2=3,而4+%=4,所以q=l,g=3,.?.4=3"、則5“=41乎=1；

T

a,____________4,3〃11

（2）"尸s'g=3"-13""-1=~~JTTZTH~~jV=2（^~?一~F），

.__________________1_____]_112

23+，W+I）-2（n+,

..Tn-2（-32Tl3-13-1,'3〃一13-13"”一1）一‘3-l,

21.（2021?江蘇海安?高三期中）已知數(shù)列｛氏｝滿足m=l,an+1-J2""；”糯￡.（1）從下面兩個條件中

U，+3,〃為偶數(shù)

選一個，寫出加，岳，并求數(shù)列｛，｝的通項公式；①兒=3一+3；②兒=。2用一。21.（2）求數(shù)列｛&｝的

前n項和為S?.

13

232一9/曳7一21為奇數(shù)

+,

【答案】(1)所選條件見解析，4=4也=8；bn=2".(2)s?=小二2

2r+2一廠-網(wǎng)-12,”為偶數(shù)

2

【分析】(1)分〃為奇數(shù)和〃為偶數(shù)進(jìn)行討論，分別構(gòu)造數(shù)列即可求出結(jié)果.

(2)分〃為奇數(shù)和〃為偶數(shù)進(jìn)行討論，然后結(jié)合等比數(shù)列的求和公式以及分組求和即可求出結(jié)果.

(1)當(dāng)〃為奇數(shù)時，%+2=%+3=2%+3,則a,-?+3=2(%+3),且q+3=4,

M+1〃+3

則”“+3=4?2萬，即％=2--3,

當(dāng)〃為偶數(shù)時，%+2=2能+|=2(4+3)=2%+6,則?！?2+6=2(?！?6),且/=2%=2,g+6=8,則

n+\”+4

a?+6-8-2~，即。“=2亍-6，

—2n-l+3,一八

若選①,則a=〃2“T+3=2^--3+3=2"+、則4=4也=8；

2〃+1+3(2〃-1+3\

若選②，則2==L一3-2k-3=2"2_2向=2向，則b]=4,仇=8,

(2)當(dāng)〃為偶數(shù)時,S”=%+。2+…+%=(%+%+…1)+(。2+。4+2+4〃)

'?+2、(n+4、,21_

=22-3+23-3+---+22-3+23-6+24-6+…+2〒-61,

I八=-1^2-

=22+22---12

2

當(dāng)〃為奇數(shù)時，S“=q+&+—+%=(4+%+—+@,)+(生+%+3+4,1)

(n+3\(￡+3

=22-3+23-3+---+2~-3+23-6+24-6+--?+2^

7I2

1-22

,等9〃21

=2-----------------

22

山9〃21

22-----------,〃為奇數(shù)

22

〃+4〃+6八

2-+2----12,”為偶數(shù)

2

22.(2021?陜西安康?高三期中)已知數(shù)列｛叫的前〃項和為凡，且S,=2%-1.(1)求｛4｝的通項公式；(2)

2〃+1,的前〃項和(3)若⑺eN+,7；＞10p--"1-2,求4的最小值.

求數(shù)列

a

a〃In)

14

【答案】(1)%=21/N*)(2)]=10-(2〃+5)(￡|(3)|

【分析】(1)當(dāng)“22時，可得S,T=〃TT，兩式相減求得4=2a“T，得到數(shù)列｛%｝為等比數(shù)列，進(jìn)而求

得數(shù)列｛與｝的通項公式；(2)由?！?2"1,得到與1=(2〃+,結(jié)合乘公比錯位相減法，即可得數(shù)

列也里的前〃項和.(3)由7；2101-工-A,得到az2二，令“=芻二，結(jié)合”的單調(diào)性，求得

〔Jan)2"2"

。的最大值，即可求解.

(1)解：由題意，數(shù)列｛q｝的前〃項和為5.，旦S“=2a“-1

當(dāng)下22時,可得Si=2%-1,

兩式相減得，-5i=a“=2a”-2%T，即所以區(qū)=2(〃22,〃eN*),

a?-\

令"=1,可得，=%=24-1,解得4=1,

所以數(shù)列｛為｝是首項為1,公比為2的等比數(shù)列，

所以數(shù)列｛6,｝的通項公式為%=2"%[V).

(2)解：由q,=2"T,可得+,

則騫=3?[j+5?+7?(]+...+(2〃+1)，

可畤,=3.出+5.出+7.（5+...+（2"+1）｛目,

兩式相減得

9=3+鳴+出+（；）+...+（：）一（2〃+唱=3+#—（2〃+1）.出=5一（2〃+5咽，所

2

以7；=10-（2〃+5）-

15

,的前〃項和1=10-（2〃+5）（；）.

即數(shù)列

(3)解：由［2101-，1一2,即;1210一整一10+2〃+52〃-5

a”2〃T2〃-12"“

2"-52/7-32n-57-2〃

令”=，則％-a=-------------=------

2〃2“一12”

當(dāng)時，h4>b3>b2>b],當(dāng)〃24時，.「々<0,即4+1<4,即有%>々>d>…,

333

所以當(dāng)〃=4時，或取得最大值，最大值為故4的最小值為工

OSK

16

B卷（建議用時90分鐘）

一、單選題

1.（2021?陜西臨渭?一模）已知數(shù)列｛%｝的前〃項和為S,,,若3s“=2?！?3〃，則。2期=（）

Z1\2020z]\20201口

A.22020-1B.32M0-6C.1D.-y

【答案】A

【分析】當(dāng)〃=1時，求出力=-3,當(dāng)〃22時，利用。"=5,,一九可得｛%+1｝是等比數(shù)列，求出其通項公式

即可求出結(jié)果.

【詳解】當(dāng)”=1時，因為。|=，，所以3a?=3S[=2%-3=>《=-3.

當(dāng)〃22時，3s,=2a”-3〃，3S.T=2%_]-3（〃-1）,所以a“=-2a“_1-3,即a“+1=-2（應(yīng)_1+1）,

所以數(shù)列｛??+1｝是以-2為首項，-2為公比的等比數(shù)列，

所以%+1=（—2）*（—2）i=（—2）",則。202。=2皎°—1.故選：A

2.（2021?上海虹口一模）設(shè)等差數(shù)列｛?！埃那啊椇蜑镾,，如果-%<為<-&，則（）

A.1>0且Eo>OB.其>0且Eo<OC.59<0K510>0D.風(fēng)<0且S”,<0

【答案】B

【分析】由-q<49<-々可得4+%>0,出+為>0,結(jié)合前〃項和公式，判斷，，E。的符合可得正確選項.

【詳解】6+。9>。，利+旬〉。，

???數(shù)列｛q,｝為等差數(shù)列，???Sg=$=（4+：。"。,$9>0,5。<0,故選：B.

3.（2021?江蘇鹽城?高三期中）已知數(shù)列｛2｝滿足《=2,。加=。：，則/的值為（）

A.220B.224C.21024D.24096

【答案】C

【分析】變換得到lnaz=41na.，得到｛inq｝是首項為ln2,公比為4的等比數(shù)列，lna“=代Jn2,計算

得到答案.

【詳解】。田=。：，卬=2,易知%>0,故lna“M=41na“，故｛in凡｝是首項為In2,公比為4的等比數(shù)列，

17

n15024

Ina?=4-ln2,Ina6=4.In2=In2',故6=2刈",故選：c.

4