江蘇省鎮(zhèn)江市2025屆高三下學(xué)期4月調(diào)研數(shù)學(xué)模擬測(cè)檢試卷一、單選題1．已知集合，，則（

）A． B． C． D．2．已知復(fù)數(shù)，則復(fù)數(shù)z的模為（

）A． B． C． D．3．已知向量滿(mǎn)足，則在上的投影向量的坐標(biāo)為（

）A． B． C． D．4．已知為等差數(shù)列，，則（

）A．12 B． C． D．5．宋代瓷器的燒制水平極高，青白釉出自宋代，又稱(chēng)影青瓷．宋蔣祁《陶記》中“江、湖、川、廣器尚青白，出于鎮(zhèn)之窯者也”，印證了宋人把所說(shuō)的“影青”瓷器叫做“青白瓷”的史實(shí)．圖1為宋代的影青瓷花口盞及盞托，我們不妨將該花口盞及盞托看作是兩個(gè)圓臺(tái)與一個(gè)圓柱的組合體，三個(gè)部分的高相同均為6cm，上面的花口盞是底面直徑分別為8cm和10cm的圓臺(tái)，下面的盞托由底面直徑8cm的圓柱和底面直徑分別為12cm和8cm的圓臺(tái)組合構(gòu)成，示意圖如圖2，則該花口盞及盞托構(gòu)成的組合體的體積為（

）

A． B． C． D．6．甲、乙等5名志愿者參加2025年文化和旅游發(fā)展大會(huì)的、、、四項(xiàng)服務(wù)工作，要求每名志愿者只能參加1項(xiàng)工作，每項(xiàng)工作至少安排1人，且甲不參加項(xiàng)工作，乙必須參加項(xiàng)工作，則不同的安排方法數(shù)有（

）A．36種 B．42種 C．54種 D．72種7．已知函數(shù)的部分圖象如圖所示．若，，，四點(diǎn)在同一個(gè)圓上，則（

）A．1 B．C． D．8．已知橢圓的焦點(diǎn)分別為，，過(guò)的直線(xiàn)與交于，兩點(diǎn)，若，且，則的離心率為（

）A． B． C． D．二、多選題9．下列說(shuō)法正確的有（

）A．已知隨機(jī)事件的概率不為0，若和相互獨(dú)立，則和一定不互斥B．若關(guān)于的經(jīng)驗(yàn)回歸方程為，則樣本點(diǎn)的殘差為1.4C．?dāng)?shù)據(jù)的平均數(shù)為2，方差為12，則D．設(shè)隨機(jī)變量服從正態(tài)分布，則10．在數(shù)列中，，，，是數(shù)列的前項(xiàng)和，則（

）A．?dāng)?shù)列是等比數(shù)列 B．?dāng)?shù)列是等差數(shù)列C． D．11．已知函數(shù)，則（

）A．的極小值為B．有兩個(gè)零點(diǎn)C．存在使得關(guān)于的方程有三個(gè)不同的實(shí)根D．的解集為三、填空題12．在的展開(kāi)式中，的系數(shù)為，（用數(shù)字作答）13．已知，，則.14．已知點(diǎn)為雙曲線(xiàn)的右焦點(diǎn)，點(diǎn)分別為兩條漸近線(xiàn)上的點(diǎn)，且，則的最小值為.四、解答題15．已知的內(nèi)角所對(duì)的邊分別為，且．(1)證明：；(2)若的面積為，求．16．兩個(gè)箱子里面各有除顏色外完全相同的黑球和白球若干個(gè)，現(xiàn)設(shè)計(jì)一個(gè)抽球游戲，規(guī)則如下：先從第一個(gè)箱子中隨機(jī)抽一個(gè)小球，抽后放回，記抽中黑球得分，抽中白球得分，且抽中黑球的概率為；再?gòu)牡诙€(gè)箱子中隨機(jī)抽一個(gè)小球，抽后放回，記抽中黑球得分，抽中白球得分，且抽中黑球的概率為.記一次游戲后，得分總和為分.(1)求的分布列和數(shù)學(xué)期望；(2)若有人玩該游戲各一次，求恰有人游戲得分不低于分的概率.17．已知函數(shù).(1)當(dāng)時(shí)，求函數(shù)的極值；(2)討論函數(shù)的單調(diào)性.18．如圖（1），四邊形ABCD中，，分別為的中點(diǎn)，現(xiàn)以AC為折痕把折起，使點(diǎn)到達(dá)點(diǎn)的位置（如圖（2）），且．(1)證明：平面平面ACD；(2)若為PD上的一點(diǎn)，平面ACM與平面ACD的夾角為，求點(diǎn)到平面ACM的距離．19．在平面直角坐標(biāo)系中，點(diǎn)和是中心為坐標(biāo)原點(diǎn)，焦點(diǎn)在坐標(biāo)軸上的橢圓上的兩點(diǎn).(1)求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程；(2)若為橢圓上任意一點(diǎn)，以點(diǎn)為圓心，為半徑的圓與圓的公共弦為.證明：的面積為定值，并求出該定值.20．已知數(shù)列的前n項(xiàng)和為，為等差數(shù)列，，．(1)直接寫(xiě)出的值；(2)求的通項(xiàng)；(3)求證：．答案題號(hào)12345678910答案ABCADBDCADABD題號(hào)11答案AC1．A【分析】求出集合,再求解判斷選項(xiàng).【詳解】解析：由題意可知，集合，或，.故選：A．2．B【分析】由復(fù)數(shù)除法結(jié)合復(fù)數(shù)模計(jì)算公式可得答案.【詳解】由，有．故選：B3．C【分析】根據(jù)已知條件求得，結(jié)合投影向量的坐標(biāo)公式即可求解.【詳解】因?yàn)?，所以，又因?yàn)?，所以，可得，所以在上的投影向量的坐?biāo)為，故選：C.4．A【分析】根據(jù)等差數(shù)列的通項(xiàng)公式，結(jié)合對(duì)數(shù)的運(yùn)算法則求值.【詳解】因?yàn)闉榈炔顢?shù)列，設(shè)公差為.則，，所以.所以.故選：A5．D【分析】根據(jù)題設(shè)數(shù)據(jù)結(jié)合圓臺(tái)和圓柱的體積公式依次計(jì)算求解花口盞和盞托的體積即可得解.【詳解】花口盞體積：，盞托體積：，所以組合體的體積.故選：D．6．B【分析】按照B項(xiàng)工作安排的人數(shù)分為兩類(lèi)，利用分類(lèi)加法計(jì)數(shù)原理和分步乘法計(jì)數(shù)原理求解即可.【詳解】安排B項(xiàng)工作的人數(shù)分為兩類(lèi)，第一類(lèi)，B項(xiàng)工作僅安排1人，因?yàn)榧撞粎⒓覤項(xiàng)工作，乙必須參加D項(xiàng)工作，從甲、乙以外的3人中選一人參加B項(xiàng)工作有種方法，再安排A，C，D項(xiàng)工作，若D項(xiàng)工作安排兩人，則有種方法，若D項(xiàng)工作安排一人，則有種方法，所以B項(xiàng)工作僅安排1人共種方法，第二類(lèi)，B項(xiàng)工作安排2人，有種方法，由分類(lèi)加法計(jì)數(shù)原理，得共有種方法.故選：B.7．D【分析】根據(jù)對(duì)稱(chēng)性可知為圓心，根據(jù)即可求解.【詳解】連接交軸于,由于，，，四點(diǎn)在同一個(gè)圓上，且和均關(guān)于點(diǎn)對(duì)稱(chēng)，故為圓心，故，,,故，解得，故選：D8．C【分析】如圖，設(shè)，由，可得，然后由，可得間關(guān)系，即可得答案.【詳解】如圖，設(shè)，則.由橢圓定義可得：，，則.因，則.則，又，則.故選：C9．AD【分析】由事件和相互獨(dú)立，則，可得判定A正確；將代入回歸方程為，求得，得到殘差值，可判定B不正確；利用平均數(shù)和方差的公式，求得的值，可得判定C錯(cuò)誤；由正態(tài)分布的性質(zhì)，得到，結(jié)合，可D正確.【詳解】對(duì)于A(yíng)中，由隨機(jī)事件的概率不為0，即，若事件和互斥，則，若事件和相互獨(dú)立，則，所以事件和相互獨(dú)立，則事件和一定不互斥，所以A正確；對(duì)于B中，將代入回歸方程為，可得，則樣本點(diǎn)的殘差為，所以B不正確；對(duì)于C中，數(shù)據(jù)的平均數(shù)為2，方差為12，可得且，可得，所以，所以C錯(cuò)誤；對(duì)于D中，由隨機(jī)變量服從正態(tài)分布，可得則，所以D正確.故選：AD.10．ABD【分析】根據(jù)已知遞推式得，結(jié)合等比、等差數(shù)列的定義判斷A、B；應(yīng)用分組求和及等差、等比數(shù)列前n項(xiàng)和公式求和判斷C、D.【詳解】由，得，則數(shù)列是首項(xiàng)為，公比為2的等比數(shù)列，A正確.根據(jù)等比數(shù)列的通項(xiàng)公式得，即，則，所以數(shù)列是首項(xiàng)為，公差為1的等差數(shù)列，B正確.根據(jù)等差數(shù)列的通項(xiàng)公式得，即，所以，C錯(cuò)誤.由，，D正確.故選：ABD11．AC【分析】先求導(dǎo)函數(shù)，根據(jù)正負(fù)確定單調(diào)性．判斷A；運(yùn)用極大值和極小值都小于，判斷B；運(yùn)用?y=f(x)?與?y=a?有三個(gè)不同交點(diǎn)，即?f(x)=a?有三個(gè)不同實(shí)根，判斷C；運(yùn)用函數(shù)單調(diào)性判斷D．【詳解】函數(shù)的定義域?yàn)?，，由得或；由得，有極大值，極小值，A正確；由極大值和極小值均小于0知最多一個(gè)零點(diǎn)，B不正確；當(dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，有三個(gè)不同的實(shí)根，C正確；當(dāng)時(shí)，，此時(shí)，D不正確．故選：AC．12．-80【分析】直接利用二項(xiàng)展開(kāi)式的通項(xiàng)公式求解即可.【詳解】在的展開(kāi)式中，的系數(shù)為故-8013．【分析】利用余弦差公式將已知條件展開(kāi)，結(jié)合，求得，再利用正弦二倍角公式，將展開(kāi)，代入即可求解.【詳解】因?yàn)?，而，所以，所?故答案為.14．【分析】設(shè)，，根據(jù)雙曲線(xiàn)的性質(zhì)得到，的關(guān)系，再結(jié)合基本（均值）不等式求的最小值.【詳解】根據(jù)題意作圖如下設(shè)，，.因?yàn)殡p曲線(xiàn)的方程為所以，.易知所以而，則.所以，即.所以當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)，等號(hào)成立故的最小值為.故答案為.關(guān)鍵點(diǎn)點(diǎn)睛：本題的關(guān)鍵是探索，存在的數(shù)量關(guān)系，再利用基本不等式求最值.探索，的數(shù)量關(guān)系時(shí)，可利用，結(jié)合三角形的面積公式和雙曲線(xiàn)的性質(zhì)列式.15．(1)證明見(jiàn)解析(2)【分析】（1）根據(jù)正弦定理將邊化角，再利用和角的正弦公式化簡(jiǎn)即可；（2）利用三角形的面積公式，結(jié)合正弦定理得到，利用和角的余弦公式和同角三角函數(shù)的平方關(guān)系求解即可.【詳解】（1）根據(jù)正弦定理設(shè)，則，代入，得，即，整理得，由，得，所以；（2）由面積公式得，由正弦定理得，整理得，由，得，由（1）得，由平方關(guān)系得解得或因?yàn)?，所以，所以?6．(1)分布列見(jiàn)解析，(2)【分析】（1）由條件確定隨機(jī)變量的可能取值，再求取各值的概率，由此可得分布列，再利用期望公式求期望；（2）結(jié)合（1）求事件一局游戲得分不低于分的概率和事件一局游戲得分低于分的概率，再結(jié)合獨(dú)立重復(fù)事件概率公式求結(jié)論.【詳解】（1）由題知，可能取的值為，，，.

，，，，的分布列為：故.（2）由（1）知，得分不低于分和低于分的概率均為故人玩該游戲各一次恰有人游戲得分不低于分的概率為.17．(1)極小值為，無(wú)極大值.(2)答案見(jiàn)解析【分析】（1）求導(dǎo)，確定函數(shù)單調(diào)區(qū)間即可求解；（2）求導(dǎo)，通過(guò)，，，討論即可.【詳解】（1）當(dāng)時(shí)，，由，得；由，得.所以在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增.故的極小值為，無(wú)極大值.（2）當(dāng)時(shí)，由，得；由，得，此時(shí)，在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增；當(dāng)時(shí)，由，得；由，得或，此時(shí)，在上單調(diào)遞減，在和上單調(diào)遞增；當(dāng)時(shí)，對(duì)任意的恒成立，此時(shí)，在上單調(diào)遞增；當(dāng)時(shí)，由，得；由，得或，此時(shí)，在上單調(diào)遞減，在和上單調(diào)遞增.綜上可知，當(dāng)時(shí)，在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增；當(dāng)時(shí)，在上單調(diào)遞減，在和上單調(diào)遞增；當(dāng)時(shí)，在上單調(diào)遞增；當(dāng)時(shí)，在上單調(diào)遞減，在和上單調(diào)遞增.18．(1)證明見(jiàn)解析；(2).【分析】（1）根據(jù)給定條件，結(jié)合余弦定理，利用線(xiàn)面垂直的判定、面面垂直的判定推理得證.（2）以點(diǎn)為原點(diǎn)建立空間直角坐標(biāo)系，利用面面角的向量求法求出平面的法向量，再利用空間向量求出點(diǎn)到平面的距離.【詳解】（1）在中，由，得，在中，，而，由余弦定理，得，則，即，由，得，則，又平面，因此平面，而平面，所以平面平面.（2）連接，由分別為的中點(diǎn)，得，由（1）得平面，由，得，則直線(xiàn)兩兩垂直，以點(diǎn)為原點(diǎn)，直線(xiàn)分別為軸建立空間直角坐標(biāo)系，則，，由點(diǎn)在PD上，令，設(shè)平面的法向量，則，取，得，而平面的法向量，則，解得，于是，而，則點(diǎn)到平面的距離，所以點(diǎn)到平面的距離為.19．(1)(2)證明見(jiàn)解析，定值為【分析】（1）設(shè)橢圓的方程為，將點(diǎn)和的坐標(biāo)代入橢圓方程，求出、的值，即可得出橢圓的方程；（2）設(shè)，則，求出圓的方程，將圓和圓的方程作差，可得出直線(xiàn)的方程，求出圓心到直線(xiàn)的距離以及的值，結(jié)合三角形的面積公式可求得的面積.【詳解】（1）設(shè)橢圓的方程為，由題意知：，，解得，

所以橢圓的方程為.（2）設(shè)，則，且圓的方程為，即圓的方程為.

因?yàn)閳A的方程為，

將圓的方程與圓的方程作差得，

所以的方程為，