數(shù)學(xué)2025《高中考前》高考沖刺考試方法答題技巧高考預(yù)測熱點12直線與平面的位置關(guān)系年份202220232024角度題號角度題號角度題號新高考Ⅰ卷線線角與線面角的求解9————新高考Ⅱ卷————直線與平面所成的角7考向一空間線面位置關(guān)系的判斷【典例1】(2024·天津高考)若m,n為兩條直線,α為一個平面,則下列結(jié)論中正確的是(C)A.若m∥α,n?α,則m∥nB.若m∥α,n∥α,則m∥nC.若m∥α,n⊥α,則m⊥nD.若m∥α,n⊥α,則m與n相交【審題思維】將數(shù)學(xué)符號語言轉(zhuǎn)化為圖形語言,結(jié)合空間中直線與平面的位置關(guān)系及相應(yīng)的定理進(jìn)行判斷.【題后反思】1.空間兩直線位置關(guān)系的判定方法2.異面直線判定的一個定理過平面外一點和平面內(nèi)一點的直線,與平面內(nèi)不過該點的直線是異面直線.用符號可以表示為:若l?α,A?α,B∈α,B?l,則直線AB與l是異面直線(如圖).【提醒】(1)利用空間位置關(guān)系的判定和性質(zhì)定理時,忽視條件導(dǎo)致錯用定理;(2)不熟悉特殊幾何體的結(jié)構(gòu)特征,不能靈活利用幾何體中的平行與垂直關(guān)系.【典例2】(一題多解)(2022·全國乙卷)在正方體①ABCD-A1B1C1D1中,E,F分別為AB,BC的中點②,則(A)A.平面B1EF⊥平面BDD1 B.平面B1EF⊥平面A1BDC.平面B1EF∥平面A1AC D.平面B1EF∥平面A1C1D【審題思維】①靈活利用正方體的結(jié)構(gòu)特征,也可以建立空間直角坐標(biāo)系檢驗兩個平面的平行與垂直②EF∥AC,四個選項都是判斷平面B1EF與各個平面的平行、垂直,故應(yīng)抓住幾何體中的平行、垂直關(guān)系,逐個判斷【題后反思】判斷空間位置關(guān)系命題真假的三種方法(1)定理法:借助空間線面平行、面面平行、線面垂直、面面垂直的判定定理和性質(zhì)定理進(jìn)行判斷.(2)模型法:借助空間幾何模型,如從長方體、四面體等模型中觀察線面位置關(guān)系,結(jié)合有關(guān)定理,進(jìn)行判斷.(3)向量法:通過建立空間直角坐標(biāo)系,求出直線的方向向量和平面的法向量,將空間線面位置關(guān)系的判斷轉(zhuǎn)化為向量共線、垂直的判斷.考向二線線角與線面角的求解【典例1】(2024·新高考Ⅱ卷)已知正三棱臺ABC-A1B1C1的體積為523①,AB=6,A1B1=2,則A1A與平面ABC所成角②的正切值為(A.12 B.1 C.2 D.【審題思維】①根據(jù)臺體的體積公式計算正三棱臺的高②作出直線與平面所成的角,然后通過解直角三角形求其正切值【題后反思】求斜線與平面所成角的基本步驟(1)尋找過斜線上一點與平面垂直的直線,或過斜線上一點作平面的垂線,確定垂足的位置;(2)連接垂足和斜足得到斜線在平面內(nèi)的射影,斜線與其射影所成的銳角即為所求的角;(3)將該角歸結(jié)為某個三角形的內(nèi)角(一般是直角三角形),通過解三角形(可能需要解多個三角形)求得該角或其三角函數(shù)值.【典例2】(多選題)(2022·新高考Ⅰ卷)已知正方體ABCD-A1B1C1D1,則(ABD)A.直線BC1與DA1所成的角為90°B.直線BC1與CA1所成的角為90°C.直線BC1與平面BB1D1D所成的角為45°D.直線BC1與平面ABCD所成的角為45°【審題思維】選項AB通過證明線線垂直求得兩直線的夾角為90°選項CD作出相應(yīng)直線與平面所成的角,解三角形即可【題后反思】求解線線角和線面角的常用結(jié)論(1)異面直線所成的角的取值范圍為(0,π2](2)直線和平面所成角的取值范圍為[0,π2](3)直線l1,l2的夾角θ有cosθ=|cosl1,l2|(其中l(wèi)1,l2分別是直線l1,l2的方向向量);(4)直線l與平面α的夾角θ有sinθ=|cosl,n|(其中l(wèi)是直線l的方向向量,n是平面α的法向量).【真題再現(xiàn)】1.★★☆☆☆(2024·全國甲卷)已知α,β是兩個平面,m,n是兩條直線,α∩β=m.下列四個命題:①若m∥n,則n∥α或n∥β②若m⊥n,則n⊥α,n⊥β③若n∥α,且n∥β,則m∥n④若n與α和β所成的角相等,則m⊥n其中,所有真命題的編號是(A)A.①③ B.②③ C.①②③ D.①③④2.★★★☆☆(2023·全國乙卷)已知△ABC為等腰直角三角形,AB為斜邊,△ABD為等邊三角形,若二面角C-AB-D為150°,則直線CD與平面ABC所成角的正切值為(C)A.15 B.25 C.35 D3.★★★☆☆(2022·全國甲卷)在長方體ABCD-A1B1C1D1中,已知B1D與平面ABCD和平面AA1B1B所成的角均為30°,則(D)A.AB=2ADB.AB與平面AB1C1D所成的角為30°C.AC=CB1D.B1D與平面BB1C1C所成的角為45°【模擬精選】1.★★☆☆☆(2024·杭州模擬)下列命題中錯誤的是(D)A.如果平面α⊥平面β,那么平面α內(nèi)一定存在直線平行于平面βB.如果平面α不垂直于平面β,那么平面α內(nèi)一定不存在直線垂直于平面βC.如果平面α⊥平面γ,平面β⊥平面γ,α∩β=l,那么l⊥平面γD.如果平面α⊥平面β,那么平面α內(nèi)所有直線都垂直于平面β2.★★★☆☆(2024·安慶三模)在正方體ABCD-A1B1C1D1中,點E,F分別為棱AB,AD的中點,過E,F,C1三點作該正方體的截面,則(B)A.該截面多邊形是四邊形B.該截面多邊形與棱BB1的交點是棱BB1的一個三等分點C.A1C⊥平面C1EFD.平面AB1D1∥平面C1EF3.★★★☆☆(2024·武漢模擬)如圖所示是一個以AB為直徑,點S為圓心的半圓,其半徑為4,F為線段AS的中點,其中C,D,E是半圓圓周上的三個點,且把半圓的圓周分成了弧長相等的四段,若將該半圓圍成一個以S為頂點的圓錐的側(cè)面,則在該圓錐中,下列結(jié)論正確的是(C)A.△CEF為正三角形B.SA⊥平面CEFC.SD∥平面CEFD.點D到平面CEF的距離為234.★★★☆☆(2024·商洛模擬)如圖,正三棱柱ABC-A1B1C1的底面邊長是2,側(cè)棱長是23,M為A1C1的中點,N是側(cè)面BCC1B1內(nèi)的動點,且MN∥平面ABC1,則點N的軌跡的長度為(B)A.6 B.2 C.2 D.45.★★★☆☆(2024·商洛模擬)如圖,四邊形ABCD是圓柱的軸截面,E是底面圓周上異于A,B的一點,則下面結(jié)論中錯誤的是(D)A.AE⊥CE B.BC∥平面ADEC.平面ADE⊥平面BCE D.DE⊥平面BCE6.★★★★☆(多選題)(2024·晉中模擬)如圖,在棱長為2的正方體ABCD-A1B1C1D1中,G為BB1的中點,則下列結(jié)論正確的有(ABC)A.CG與A1C1所成角的余弦值為10B.DB1與平面A1BC1的交點H是△A1BC1的重心C.三棱錐D1-BB1C1的外接球的體積為43πD.BB1與平面A1BC1所成角的正弦值為67.★★★☆☆(2024·滄州模擬)在長方體ABCD-A1B1C1D1中,AB=BC=2,AA1=3,點P為A1D1的中點,點M為四邊形ABCD內(nèi)一點,且PM=MC,則直線PM與平面ABCD所成角的正切值的最大值為

15.

【創(chuàng)新演練】1.★★★☆☆(2024·遂寧二模)如圖,菱形ABCD的對角線AC與BD交于點O,EF是△BCD的中位線,AC與EF交于點G,已知△PEF是△CEF繞EF旋轉(zhuǎn)過程中的一個圖形,且P?平面ABCD.給出下列結(jié)論:①BD∥平面PEF;②平面PAC⊥平面ABCD;③二面角P-EF-C的平面角是直線OP與平面ABCD所成角的2倍.其中所有正確結(jié)論的序號為(A)A.①②③ B.①② C.①③ D.②③2.★★★★☆(2024·雅安模擬)如圖,在正方體ABCD-A1B1C1D1中,點P是線段AB1上的動點(含端點),點Q是線段AC的中點,設(shè)PQ與平面ACD1所成角為θ,則cosθ的最小值是(A)A.13 B.33 C.63 熱點13球與幾何體的切接問題年份202220232024角度題號角度題號角度題號新高考Ⅰ卷棱錐的外接球8正方體的內(nèi)切球12——新高考Ⅱ卷棱臺的外接球7————【考向一】空間幾何體的外接球【典例1】(2022·新高考Ⅱ卷)已知正三棱臺的高為1②,上、下底面邊長分別為33和43,其頂點都在同一球面上①,則該球的表面積為(A)A.100π B.128π C.144π D.192π【審題思維】①由正弦定理求出兩底面外接圓的半徑②根據(jù)截面圓的性質(zhì)求出球心到兩截面的距離【題后反思】空間幾何體外接球的三種常見模型模型墻角模型垂面模型切瓜模型圖例線面關(guān)系三條線兩兩垂直一條直線垂直于一個平面兩個平面互相垂直半徑求法找三條兩兩垂直的線段,用2R=a2利用勾股定理求三棱錐的外接球的半徑—【典例2】(2023·全國乙卷)已知點S,A,B,C均在半徑為2的球面上,△ABC是邊長為3的等邊三角形,SA⊥平面ABC,則SA=2.

【審題思維】將三棱錐補(bǔ)為直三棱柱→確定球心的位置→利用球的截面的性質(zhì)建立方程進(jìn)行求解.【題后反思】1.靈活利用球的截面的性質(zhì)解決外接球問題(1)定截面:首先確定某個底面,作為外接球的截面,即底面的外接圓,確定圓心O1和半徑r;(2)定球心:根據(jù)幾何體的性質(zhì),確定球心O的位置,主要依據(jù)有兩個:①OO1與截面垂直;②O到各個頂點的距離相等.(3)定關(guān)系:球的半徑R2=OO12+r2.確定空間幾何體外接球球心的四種常用結(jié)論(1)長方體的體對角線的中點是球心;(2)正棱柱的上、下底面中心連線的中點是球心;(3)直三棱柱的上、下底面三角形外心連線的中點是球心;(4)正棱錐的外接球的球心在其高上,通過計算可以找到.【考向二】空間幾何體的內(nèi)切球【典例1】(多選題)(2023·新高考Ⅰ卷)下列物體中,能夠被整體放入棱長為1(單位:m)的正方體容器(容器壁厚度忽略不計)內(nèi)的有(ABD)A.直徑為0.99m的球體B.所有棱長均為1.4m的四面體C.底面直徑為0.01m,高為1.8m的圓柱體D.底面直徑為1.2m,高為0.01m的圓柱體【審題思維】球的直徑等于正方體的棱長?球外切正方體.【題后反思】空間幾何體內(nèi)切球的常用結(jié)論(1)若球與平面相切,則切點與球心連線與切面垂直;(2)內(nèi)切球球心到多面體各面的距離均相等;(3)正多面體的內(nèi)切球和外接球的球心重合;(4)正棱錐的內(nèi)切球和外接球球心都在高線上,但不一定重合.(5)正方體的外接球、內(nèi)切球及與各條棱相切的球:①外接球:球心是正方體中心;半徑r=32a(a②內(nèi)切球:球心是正方體中心;半徑r=a2(a③與各條棱都相切的球:球心是正方體中心;半徑r=22a(a為正方體的棱長)(6)正四面體的外接球與內(nèi)切球(正四面體可以看作是正方體的一部分):①外接球:球心是正四面體的中心,半徑r=64a(a為正四面體的棱長)②內(nèi)切球:球心是正四面體的中心,半徑r=612a(a為正四面體的棱長)【典例2】(2020·高考課標(biāo)Ⅲ卷)已知圓錐的底面半徑為1,母線長為3,則該圓錐內(nèi)半徑最大的球的體積為

23π【審題思維】運用勾股定理求出圓錐的高→求出圓錐軸截面的面積→利用等面積法求出球的半徑→利用球的體積公式計算.【題后反思】1.求解內(nèi)切球問題的關(guān)鍵點(1)多面體的內(nèi)切球,主要利用等體積變換,即根據(jù)球心到各面的距離等于球的半徑,利用球心把多面體分成多個小錐體,這些錐體的體積之和等于多面體的體積,從而列出方程求解.(2)旋轉(zhuǎn)體的內(nèi)切球,抓住旋轉(zhuǎn)體的軸截面,轉(zhuǎn)化為平面圖形的內(nèi)切圓問題求解.2.求空間幾何體內(nèi)切球半徑的兩種基本方法(1)構(gòu)造法:構(gòu)造三角形,利用相似比或勾股定理求解.①正三棱錐內(nèi)切球半徑的求法如圖1,三棱錐P-ABC為正三棱錐,設(shè)其內(nèi)切球的球心為O,半徑為r,第一步:畫出內(nèi)切球的截面圖,E,H分別是△PAB,△ABC的外心;第二步:求DH=13CD,PO=PH-r,PD是側(cè)面△PAB第三步:由△POE∽△PDH,建立等式:OEDH=POPD②正四棱錐內(nèi)切球半徑的求法如圖2,四棱錐P-ABCD為正四棱錐,設(shè)其內(nèi)切球的球心為O,半徑為r,第一步:畫出內(nèi)切球的截面圖,P,O,H三點共線;第二步:求FH=12BC,PO=PH-r,PF是側(cè)面△PCD第三步:由△POG∽△PFH,建立等式:OGFH=POPF(2)等體積法:體積分割是求內(nèi)切球半徑的通用方法.若三棱錐P-ABC是任意三棱錐,設(shè)其內(nèi)切球的球心為O,半徑為r,則r=3V【真題再現(xiàn)】1.★★★☆☆(2023·全國甲卷)在正方體ABCD-A1B1C1D1中,AB=4,O為AC1的中點,若該正方體的棱與球O的球面有公共點,則球O的半徑的取值范圍是[22,23].

2.★★★☆☆(2023·全國甲卷)在正方體ABCD-A1B1C1D1中,E,F分別為CD,A1B1的中點,則以EF為直徑的球面與正方體每條棱的交點總數(shù)為12.

【模擬精選】1.★★☆☆☆(2024·西安模擬)已知圓柱的底面直徑為2,它的兩個底面的圓周都在同一個表面積為20π的球面上,該圓柱的體積為(D)A.8π B.6π C.5π D.4π2.★★★☆☆(2024·新疆三模)設(shè)四棱臺ABCD-A1B1C1D1的上、下底面積分別為S1,S2,側(cè)面積為S,若一個小球與該四棱臺的每個面都相切,則(D)A.S2=S1S2 B.S=S1+S2C.S=2S1S2 D.S=3.★★★☆☆(2024·安康模擬)若某圓錐的內(nèi)切球與外接球的球心重合,且內(nèi)切球表面積為4π,則該圓錐的體積為(B)A.2π B.3π C.4π D.6π4.★★★☆☆(2024·菏澤模擬)已知正三棱臺的上、下底面邊長分別為23,43,體積為423,則該正三棱臺的外接球表面積為(C)A.20π B.803π C.80π D.1605.★★★☆☆(2024·滄州三模)《幾何補(bǔ)編》是清代梅文鼎撰算書,其中給出了正四面體,正六面體(立方體)、正八面體、正十二面體、正二十面體這五種正多面體的體積求法.若正四面體P-ABC的棱長為23,M為棱PA上的動點,則當(dāng)三棱錐M-ABC的外接球的體積最小時,三棱錐M-ABC的體積為(A)A.463 B.42 C.43 D.6.★★★★☆(2024·益陽模擬)如圖所示,4個球兩兩外切形成的幾何體,稱為一個“最密堆壘”.顯然,即使是“最密堆壘”,4個球之間依然存在著空隙.材料學(xué)研究發(fā)現(xiàn),某種金屬晶體中4個原子的“最密堆壘”的空隙中如果再嵌入一個另一種金屬原子并和原來的4個原子均外切,則材料的性能會有顯著性變化.記原金屬晶體的原子半徑為rA,另一種金屬晶體的原子半徑為rB,則rA和rB的關(guān)系是(D)A.2rB=3rA B.2rB=6rAC.2rB=(3-1)rA D.2rB=(6-2)rA7.★★★★☆(多選題)(2024·衡水三模)已知在正方體ABCD-A1B1C1D1中,AA1=2,點M為A1D1的中點,點P為正方形A1B1C1D1內(nèi)一點(包含邊界),且BP∥平面AB1M,球O為正方體ABCD-A1B1C1D1的內(nèi)切球,下列說法正確的是(ACD)A.球O的體積為4πB.點P的軌跡長度為22C.異面直