第二章二次函數單元測試參考答案與試題解析一、單選題1．（2020·北京西城區(qū)·北師大實驗中學九年級開學考試）下列各式中，y是x的二次函數的是()A．xy+x2=1 B．x2+y-2=0 C．y2-ax=-2 D．x2-y2+1=0【答案】B【解析】試題解析：由二次函數的定義，可以化為關于的最高次數為2次的整式方程，B項可化為，故選B．2．（2019·興化市顧莊學校九年級月考）拋物線與軸的交點坐標為（）A．(3,0) B．(0,3) C．(0,) D．(,0)【答案】B【解析】【分析】把x=0代入解析式求出y，根據y軸上點的坐標特征解答即可．【詳解】當x=0時，y=3，

則拋物線y=x2+3與y軸交點的坐標為（0，3），

故選B.【點睛】本題考查了二次函數圖象上點的坐標特征，掌握y軸上點的橫坐標為0是解題的關鍵．3．（2021·廣東九年級專題練習）若二次函數y=ax2+1的圖象經過點（-2，0），則關于x的方程a（x-2）2+1=0的實數根為（）A．， B．，C．， D．，【答案】A【分析】二次函數y=ax2+1的圖象經過點（-2，0），得到4a+1=0，求得a=-，代入方程a（x-2）2+1=0即可得到結論．【詳解】解：∵二次函數y=ax2+1的圖象經過點（-2，0），∴4a+1=0，∴a=-，∴方程a（x-2）2+1=0為：方程-（x-2）2+1=0，解得：x1=0，x2=4，故選：A．【點睛】本題考查了二次函數與x軸的交點問題，二次函數圖象上點的坐標特征，一元二次方程的解，正確的理解題意是解題的關鍵．4．（2020·新疆九年級三模）如圖，在平面直角坐標系中拋物線y＝（x+1）（x﹣3）與x軸相交于A、B兩點，若在拋物線上有且只有三個不同的點C1、C2、C3，使得△ABC1、△ABC2、△ABC3的面積都等于m，則m的值是（）A．6 B．8 C．12 D．16【答案】B【分析】根據題目中的函數解析式可以求得該拋物線與x軸的交點坐標和頂點的坐標，再根據在拋物線上有且只有三個不同的點C1、C2、C3，使得△ABC1、△ABC2、△ABC3的面積都等于m，可知其中一點一定在頂點處，從而可以求得m的值．【詳解】∵拋物線y=（x+1）（x-3）與x軸相交于A、B兩點，∴點A（-1，0），點B（3，0），該拋物線的對稱軸是直線x==1，∴AB=3-（-1）=4，該拋物線頂點的縱坐標是：y=（1+1）×（1-3）=-4，∵在拋物線上有且只有三個不同的點C1、C2、C3，使得△ABC1、△ABC2、△ABC3的面積都等于m，∴m==8，故選B．【點睛】本題考查拋物線與x軸的交點、二次函數圖象上點的坐標特征，解答本題的關鍵是明確題意，利用二次函數的性質和數形結合的思想解答．5．（2020·鞏義市回郭鎮(zhèn)第一初級中學九年級月考）函數y=x2+bx+c與y=x的圖象如圖所示，有以下結論：①b2﹣4c＞0；②b+c+1=0；③3b+c+6=0；④當1＜x＜3時，x2+（b﹣1）x+c＜0．其中正確的個數為A．1 B．2 C．3 D．4【答案】B【解析】分析：∵函數y=x2+bx+c與x軸無交點，∴b2﹣4c＜0；故①錯誤．當x=1時，y=1+b+c=1，故②錯誤．∵當x=3時，y=9+3b+c=3，∴3b+c+6=0．故③正確．∵當1＜x＜3時，二次函數值小于一次函數值，∴x2+bx+c＜x，∴x2+（b﹣1）x+c＜0．故④正確．綜上所述，正確的結論有③④兩個，故選B．6．（2020·全國九年級單元測試）已知二次函數，若自變量x分別取x1，x2，x3，且0＜x1＜x2＜x3，則對應的函數值y1，y2，y3的大小關系正確的是（）A．y1＞y2＞y3 B．y1＜y2＜y3 C．y2＞y3＞y1 D．y2＜y3＜y1【答案】A【分析】根據x1、x2、x3與對稱軸的大小關系，判斷y1、y2、y3的大小關系：【詳解】∵二次函數，∴此函數的對稱軸為：．∵＜0＜x1＜x2＜x3，三點都在對稱軸右側，a＜0，∴對稱軸右側y隨x的增大而減?。鄖1＞y2＞y3．故選：A7．（2019·浙江九年級期中）將拋物線先向左平移一個單位，再向上平移兩個單位，兩次平移后得到的拋物線解析式為（）A． B． C． D．【答案】A【分析】按照“左加右減，上加下減”的規(guī)律，進而得出平移后拋物線的解析式即可．【詳解】拋物線先向左平移1個單位得到解析式：，再向上平移2個單位得到拋物線的解析式為：．

故選：．【點睛】此題考查了拋物線的平移變換以及拋物線解析式的變化規(guī)律：左加右減，上加下減．8．（2020·四川九年級專題練習）已知拋物線y＝ax2+bx+c上部分點的橫坐標x縱坐標y的對應值如下表：X……﹣10123……Y……30﹣103①物線y＝ax2+bx+c的開口向下；②拋物線y＝ax2+bx+c的對稱軸為直線x＝﹣1；③方程ax2+bx+c＝0的根為0和2；④當y＞0時，x的取值范圍是x＜0或x＞2以上結論中其中的是（）A．①④ B．②④ C．②③ D．③④【答案】D【解析】【分析】根據表格可知x＝1是拋物線對稱軸，此時有最小值，與x軸交點坐標為（0,0）（2,0）據此可判斷①②③，根據與x軸交點坐標結合開口方向可判斷④.【詳解】解：從表格可以看出，函數的對稱軸是x＝1，頂點坐標為（1，﹣1），函數與x軸的交點為（0，0）、（2，0），①物線y＝ax2+bx+c的開口向下．拋物線開口向上，錯誤；②拋物線y＝ax2+bx+c的對稱軸為直線x＝﹣1，錯誤；③方程ax2+bx+c＝0的根為0和2，正確；④當y＞0時，x的取值范圍是x＜0或x＞2，正確．故選：D．【點睛】本題考查了二次函數的圖像和性質，解題關鍵是能夠根據表格得到有用信息.9．（2019·全國九年級課時練習）如圖所示，某大學的樓門是一拋物線形水泥建筑物，大門的地面寬度為，兩側距離地面高處各有一個掛校名橫匾用的鐵環(huán)，兩鐵環(huán)的水平距離為，則校門的高約為(精確到，水泥建筑物的厚度忽略不計)()A．9.2m B．9.1m C．9.0m D．8.9m【答案】B【解析】【分析】由題意可知，以地面為x軸，大門左邊與地面的交點為原點建立平面直角坐標系，拋物線過（0，0）、（8，0）、（1、4）、（7、4），運用待定系數法求出解析式后，求函數值的最大值即可．【詳解】解：以地面為x軸，大門左邊與地面的交點為原點建立平面直角坐標系，

則拋物線過O（0，0）、E（8，0）、A（1、4）、B（7、4）四點，

設該拋物線解析式為：y＝ax2＋bx＋c，

則，

解得：.．

故函數解析式為：y＝－x2＋x．

當x＝4時，可得y＝－≈9.1米，

故選B．【點睛】本題考查點的坐標的求法及二次函數的實際應用關鍵是建立數學模型，借助二次函數解決實際問題，注意根據線段長度得出各點的坐標．10．（2020·鞏義市回郭鎮(zhèn)第一初級中學九年級月考）2011年5月22日—29日在美麗的青島市舉行了蘇迪曼杯羽毛球混合團體錦標賽．在比賽中，某次羽毛球的運動路線可以看作是拋物線y=－x2+bx+c的一部分（如圖），其中出球點B離地面O點的距離是1m，球落地點A到O點的距離是4m，那么這條拋物線的解析式是（）A． B． C． D．【答案】A【詳解】解：∵出球點B離地面O點的距離是1m，球落地點A到O點的距離是4m，∴B點的坐標為：（0，1），A點坐標為（4，0），將兩點代入解析式得：，解得：,∴這條拋物線的解析式是：y=故選A．二、填空題11．（2019·全國九年級單元測試）函數y=2-3x2的圖象，開口方向是________，對稱軸是________，頂點坐標是_________．【答案】向下y軸（0，2）【解析】【分析】把拋物線化為頂點式即可判斷.【詳解】y=2-3x2=-3x2+2,∵a<0，∴開口方向向下對稱軸x=-b2a【點睛】此題主要考察拋物線的圖像，準確根據公式解答即可.12．（2019·山西九年級專題練習）用配方法把二次函數y＝﹣x2﹣2x+4化為y＝a(x﹣h)2+k的形式為______．【答案】y＝﹣（x+1）2+5．【解析】【分析】直接利用配方法表示出頂點式即可．【詳解】解：∵y=-x2-2x+4

=-（x2+2x）+4

=-（x+1）2+5．

故答案為：y=-（x+1）2+5．【點睛】此題主要考查二次函數的三種形式，正確配方法是解題關鍵．13．（2019·全國九年級單元測試）如果拋物線y＝(m+1)2x2+x+m2﹣1經過原點，那么m的值等于____．【答案】1.【分析】先把原點坐標代入解析式得到m=1或m=-1，然后利用二次函數的定義確定滿足條件的m的值．【詳解】解：把（0，0）代入得m2-1=0，解得m1=1，m2=-1．

而m+1≠0，所以m=1．【點睛】本題考查了二次函數圖象上點的坐標特征：二次函數圖象上點的坐標滿足二次函數解析式．也考查了二次函數的定義，二次函數y=ax2+bx+c（a≠0）.14．（2020·江西贛州市·九年級其他模擬）拋物線y=ax2+bx+c的頂點為D(﹣1，2)，與x軸的一個交點A在點(﹣3，0)和(﹣2，0)之間，其部分圖象如圖，則以下結論：①b2﹣4ac＜0；②a+b+c＜0；③c﹣a=2；④方程ax2+bx+c﹣2=0有兩個相等的實數根.其中正確結論是________.【答案】②③④【分析】由拋物線與x軸有兩個交點得到b2﹣4ac>0；有拋物線頂點坐標得到拋物線的對稱軸為直線x=-1，則根據拋物線的對稱性得拋物線與x軸的另一個交點在點（0，0）和（1，0）之間，所以當x=1時，y<0，則a+b+c<0；由拋物線的頂點為D（-1，2）得a-b+c=2，由拋物線的對稱軸為直線x=-=-1得b=2a，所以c-a=2；根據二次函數的最大值問題，當x=-1時，二次函數有最大值為2，即只有x=-1時，ax2+bx+c=2，所以說方程ax2+bx+c-2=0有兩個相等的實數根．【詳解】∵拋物線與x軸有兩個交點，∴b2﹣4ac>0，所以①錯誤；∵頂點為D(?1,2)，∴拋物線的對稱軸為直線x=?1，∵拋物線與x軸的一個交點A在點(?3,0)和(?2,0)之間，∴拋物線與x軸的另一個交點在點(0,0)和(1,0)之間，∴當x=1時，y<0，∴a+b+c<0，所以②正確∵拋物線的頂點為D(?1,2)，∴a?b+c=2，∵拋物線的對稱軸為直線x=?=?1，∴b=2a，∴a?2a+c=2，即c?a=2，所以③正確；∵當x=?1時，二次函數有最大值為2，即只有x=?1時,ax2+bx+c=2，∴方程ax2+bx+c?2=0有兩個相等的實數根，所以④正確【點睛】此題考查二次函數圖象與系數的關系，解題關鍵在于掌握二次函數與x軸交點的意義.15．（2020·馬山縣民族中學九年級月考）如圖，P是拋物線y=﹣x2+x+2在第一象限上的點，過點P分別向x軸和y軸引垂線，垂足分別為A，B，則四邊形OAPB周長的最大值為__【答案】6【分析】設P（x，y）（2＞x＞0，y＞0），根據矩形的周長公式得到C=-2（x-1）2+6．根據二次函數的性質來求最值即可．【詳解】解：∵y=﹣x2+x+2，∴當y=0時，﹣x2+x+2=0即﹣（x﹣2）（x+1）=0，解得x=2或x=﹣1故設P（x，y）（2＞x＞0，y＞0），∴C=2（x+y）=2（x﹣x2+x+2）=﹣2（x﹣1）2+6．∴當x=1時，C最大值=6．即：四邊形OAPB周長的最大值為6．【點睛】本題主要考查二次函數的最值以及二次函數圖象上點的坐標特征．設P（x，y）（2＞x＞0，y＞0），根據矩形的周長公式得到C=﹣2（x﹣1）2+6．最后根據根據二次函數的性質來求最值是關鍵．16．（2020·全國九年級課時練習）2013年5月26日，中國羽毛球隊蟬聯蘇迪曼杯團體賽冠軍，成就了首個五連冠霸業(yè)．比賽中羽毛球的某次運動路線可以看作是一條拋物線（如圖）．若不考慮外力因素，羽毛球行進高度y（米）與水平距離x（米）之間滿足關系，則羽毛球飛出的水平距離為米．【答案】5【分析】試題分析：根據羽毛球飛出的水平距離即為拋物線與x軸正半軸交點到原點的距離求出即可．【詳解】當y=0時，，解得：x1=﹣1（舍），x2=5．∴羽毛球飛出的水平距離為5米．三、解答題17．（2019·浙江臺州市·九年級期中）如圖，已知二次函數的圖像經過點，，且對稱軸為直線，一次函數的圖像經過兩點.（1）求二次函數的解析式；（2）若點關于拋物線的對稱軸對稱，根據圖像直接寫出滿足時的取值范圍.【答案】（1）；（2）或【解析】【分析】（1）利用待定系數法，把問題轉化為方程組解決即可．

（2）根據函數圖象，二次函數圖象在一次函數圖象的上方，注意等于號．【詳解】解：（1）由題意，解得，∴二次函數的解析式為（頂點式、交點式、一般式均可）（2）根據題意得，B點坐標為（-4，3），A點坐標為（-1，0），觀察圖像可知，y1≥y2時，或【點睛】本題考查二次函數的應用、一次函數的應用、待定系數法等知識，解題的關鍵是熟練掌握待定系數法確定函數解析式，學會利用圖象根據條件確定自變量的取值范圍．18．（2019·全國九年級單元測試）某商店經營一種水產品，成本為每千克40元，據市場分析，若按每千克50元銷售，一個月能售出500千克；銷售價每漲1元，月銷售量就減少10千克，針對這種水產品的銷售情況，請回答下列問題：（1）當銷售單價為每千克55元時，計算銷售量和月利潤．（2）設銷售單價為每千克x元，月銷售利潤為y元，求y與x的函數關系式．（3）銷售單價定為多少元時，獲得的利潤最多？【答案】（1）450千克，6750元；（2）y=-10x2+1400x-40000；（3）銷售單價定為70元時，獲得的利潤最多是9000元．【解析】【分析】（1）根據已知條件知銷售單價價漲了5元，則月銷售量減少10×5=50千克，則可計算出月銷售量與月利潤；（2）當銷售單價為每千克x元時，則每千克利潤為（x-40）元，月銷售量為[500-10（x-50）]件，故月銷售利潤為y=每千克利潤×月銷售量=（x-40）[500-10（x-50）]化簡即可；（3）由（2）得y=-10x2+1400x-40000，求得其頂點坐標，即可解出.【詳解】（1）由已知條件得銷售單價漲了55-50=5（元），∴月銷售量為500-10×5=450（千克），月利潤為450×（55-40）=6750（元），（2）根據題意得y=（x-40）[500-10（x-50）]=-10x2+1400x-40000(x≥40)（3）y=-10x2+1400x-40000=-10（x-70）2+9000，故銷售單價為70時，最大利潤為9000元.【點睛】此題主要考察二次函數的應用，根據題意找出等量關系是解題的關鍵.19．（2020·山西呂梁市·九年級期末）拋物線經過A（-1，0）、C（0，-3）兩點，與x軸交于另一點B．（1）求此拋物線的解析式；（2）已知點D在第四象限的拋物線上，求點D關于直線BC對稱的點D’的坐標;（3）在（2）的條件下，連結BD，問在x軸上是否存在點P，使，若存在，請求出P點的坐標；若不存在，請說明理由.【答案】（1）（2）（0，-1）（3）（1,0）（9,0）【解析】【分析】（1）將A（?1，0）、C（0，?3）兩點坐標代入拋物線y＝ax2＋bx?3a中，列方程組求a、b的值即可；（2）將點D（m，?m?1）代入（1）中的拋物線解析式，求m的值，再根據對稱性求點D關于直線BC對稱的點D'的坐標；（3）分兩種情形①過點C作CP∥BD，交x軸于P，則∠PCB＝∠CBD，②連接BD′，過點C作CP′∥BD′，交x軸于P′，分別求出直線CP和直線CP′的解析式即可解決問題．【詳解】解：（1）將A（?1，0）、C（0，?3）代入拋物線y＝ax2＋bx?3a中，得，解得∴y＝x2?2x?3；（2）將點D（m，?m?1）代入y＝x2?2x?3中，得m2?2m?3＝?m?1，解得m＝2或?1，∵點D（m，?m?1）在第四象限，∴D（2，?3），∵直線BC解析式為y＝x?3，∴∠BCD＝∠BCO＝45°，CD′＝CD＝2，OD′＝3?2＝1，∴點D關于直線BC對稱的點D'（0，?1）；（3）存在．滿足條件的點P有兩個．①過點C作CP∥BD，交x軸于P，則∠PCB＝∠CBD，∵直線BD解析式為y＝3x?9，∵直線CP過點C，∴直線CP的解析式為y＝3x?3，∴點P坐標（1，0），②連接BD′，過點C作CP′∥BD′，交x軸于P′，∴∠P′CB＝∠D′BC，根據對稱性可知∠D′BC＝∠CBD，∴∠P′CB＝∠CBD，∵直線BD′的解析式為∵直線CP′過點C，∴直線CP′解析式為，∴P′坐標為（9，0），綜上所述，滿足條件的點P坐標為（1，0）或（9，0）．【點睛】本題考查了二次函數的綜合運用．關鍵是由已知條件求拋物線解析式，根據拋物線的對稱性，直線BC的特殊性求點的坐標，學會分類討論，不能漏解．20．（2019·山東泰安市·中考模擬）如圖，拋物線y＝x2+bx+c與x軸交于A（1，0），B（﹣3，0），與y軸交于C．（1）求該拋物線的解析式，并寫出拋物線的對稱軸；（2）設拋物線的對稱軸交x軸于D，在對稱軸左側的拋物線上有一點E，使S△ACE＝，求點E的坐標；（3）若P是直線y＝x+1上的一點，P點的橫坐標為，M是第二象限拋物線上的一點，當∠MPD＝∠ADC時，求M點的坐標．【答案】（1）y＝x2+2x﹣3．（2）E（﹣4，5）．（3）M（﹣4，5）【分析】（1）根據待定系數法確定二次函數的解析式即可；（2）根據E點在拋物線上，設E（m，m2+2m﹣3），再結合已知條件，利用三角形的面積計算公式S=底高，從而解得m的值；（3）首先過點D作DN⊥DP，交PM的延長線與點N，過點N作NL⊥x軸，過點P作PE⊥x軸，再利用已知條件證明△NPD∽△CDO，同時證明△NLD∽△DEP，因此得到N點坐標，N點在一次函數上，可以得到一次函數的解析式，根據M點是一次函數和二次函數的交點，聯立方程組，解得M點的坐標，已知M點在第二象限上刪去不符合條件的M點的坐標．【詳解】解：（1）∵A（1，0），B（﹣3，0）關于直線x＝﹣1對稱，∴拋物線的對稱軸為x＝﹣1．拋物線的解析式為y＝（x﹣1）（x+3）＝x2+2x﹣3．（2）設點E（m，m2+2m﹣3）．∵AD＝2，OC＝3，∴S△ACD＝×AD?OC＝3．∵S△ACE＝，∴S△ACE＝10．設直線AE的解析式為y＝kx﹣b．把點A和點E的坐標代入得：，解得：．∴直線AE的解析式為y＝（m+3）x﹣m﹣3．∴F（0，﹣m﹣3）．∵C（0，﹣3），∴FC＝﹣m﹣3+3＝﹣m．∴S△EAC＝×FC×（1﹣m）＝10，即﹣m（1﹣m）＝20，解得：m＝﹣4或m＝5（舍去）．∴E（﹣4，5）．（3）如圖所示：過點D作DN⊥DP，交PM的延長線與點N，過點N作NL⊥x軸，垂足為L，過點P作PE⊥x軸，垂足為E．∵∠MPD＝∠ADC，∠NDP＝∠DOC，∴△NPD∽△CDO．∴＝，∴＝＝3．又∵△NLD∽△DEP，∴＝＝＝3，∴NL＝7，DL＝7，∴N（﹣8，7）．∴直線PN的解析式為y＝﹣x﹣3．聯立y＝x2+2x﹣3與y＝﹣x﹣3，解得：x＝（舍去）或x＝﹣4．∴M（﹣4，5）．【點睛】本題主要考查二次函數的綜合問題，知識點比較全面、難度較大，關鍵點是作輔助線構造三角形，利用相似三角形的相似比例求解．21．（2020·浙江省鄞州區(qū)宋詔橋中學九年級一模）定義：在平面直角坐標系xOy中