Page26總分：150分；考試時間：120分鐘；第Ⅰ卷（選擇題）一、單選題：本題共8小題，每小題5分，共40分，在每小題給出的四個選項中，只有一個選項是符合題目要求的.1.在復(fù)平面內(nèi)，復(fù)數(shù)z對應(yīng)的點的坐標(biāo)是，則（）A. B. C. D.2.設(shè)，則的大小關(guān)系是（）A. B.C. D.3.已知，且，則所在的區(qū)間為（）A. B. C. D.4.若直線與直線垂直，則m的值為（）A. B. C. D.或05.設(shè)向量，，則“”是“”的（）條件A.充分不必要 B.必要不充分C.充要 D.既不充分也不必要6.已知直線：恒過點，過點作直線與圓：相交于兩點，則的最小值為（）A. B.2 C.4 D.7.圓與圓的公共弦所在的直線與兩坐標(biāo)軸所圍成的三角形面積為2，則的值為（）A. B. C.3 D.3或8.意大利畫家達·芬奇提出：固定項鏈的兩端，使其在重力的作用下自然下垂，那么項鏈所形成的曲線是什么？這就是著名的“懸鏈線問題”，其中雙曲余弦函數(shù)就是一種特殊的懸鏈線函數(shù)，其函數(shù)表達式為，相應(yīng)的雙曲正弦函數(shù)的表達式為．設(shè)函數(shù)，若實數(shù)a滿足不等式，則a的取值范圍為（）A. B.C. D.二、多選題：本題共4小題，每小題5分，共20分，在每小題給出的四個選項中，有多項符合題目要求.9.某市為最大限度的吸引“高精尖缺”人才，向全球“招賢納士”，推進了人才引入落戶政策.隨著人口增多，對住房要求也隨之而來，而選擇購買商品房時，住戶對商品房的戶型結(jié)構(gòu)越來越重視，因此某商品房調(diào)查機構(gòu)隨機抽取名市民，針對其居住的戶型結(jié)構(gòu)和滿意度進行了調(diào)查，如圖調(diào)查的所有市民中四居室共戶，所占比例為，二居室住戶占.如圖是用分層抽樣的方法從所有調(diào)查的市民的滿意中，抽取的調(diào)查結(jié)果繪制成的統(tǒng)計圖，則下列說法錯誤的是（）A.樣本容量為B.樣本中三居室住戶共抽取了戶C.根據(jù)樣本可估計對四居室滿意的住戶有戶D.樣本中對三居室滿意的有戶10.已知正實數(shù)a，b滿足，則下列結(jié)論中正確的是（）A.若，，則B.若，，則C.若，，則的最小值為3D.若，，則11.在正四棱臺中，上、下底面分別是邊長為和的正方形，側(cè)棱長為2，其頂點在同一個球面上，則下列結(jié)論正確的是（）A.四棱臺表面積B.四棱臺的體積C.四棱臺的體積D.四棱臺的外接球的表面積12.已知曲線上的動點滿足，為坐標(biāo)原點，直線過和兩點，為直線上一動點，過點作曲線的兩條切線為切點，則（）A.點與曲線上點最小距離為B.線段長度的最小值為C.的最小值為D.存在點，使得的面積為第Ⅱ卷（非選擇題）三、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分.13.已知向量，，若，則_____________．14.兩條平行直線與之間的距離為__________．15.一條光線從點射出，經(jīng)直線y軸反射后過點，則反射光線所在的直線方程為_________________．16.菱形的邊長2，，點P在的外接圓上運動，且，則的取值范圍是________.四、解答題：本題共6小題，共70分.解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟.17.如圖，在三棱臺中，平面，，，，M為棱的中點．（1）證明：平面；（2）求直線與平面所成角的正弦值．18已知圓C：．（1）求過點且與圓C相切的直線方程；（2）求圓心在直線上，并且經(jīng)過圓C與圓Q：的交點的圓的方程．19.已知的三個內(nèi)角所對的邊分別為，滿足，且．（1）求；（2）若點邊上，，且滿足，求邊長；請在以下三個條件：①為的一條中線；②為的一條角平分線；③為的一條高線；其中任選一個，補充在上面的橫線中，并進行解答．注：如果選擇多個條件分別解答，按第一個解答計分．20.將沿它的中位線折起，使頂點到達點的位置，且，得到如圖所示的四棱錐，若，，為的中點．（1）證明：平面；（2）求平面與平面夾角的余弦值．21.如圖，玉溪匯龍歡樂世界摩天輪的半徑為，圓心距地面的高度為，摩天輪做逆時針勻速轉(zhuǎn)動，每轉(zhuǎn)一圈，摩天輪上的點的起始位置在最低點處．（1）已知在時刻（單位：）時點距離地面的高度是關(guān)于的函數(shù)（其中，，），求函數(shù)解析式及時點距離地面的高度；（2）當(dāng)點距離地面及以上時，可以看到公園的全貌，求游客在游玩一圈的過程中共有多長時間可以看到公園的全貌．22.為了建設(shè)書香校園，營造良好的讀書氛圍，學(xué)校開展“送書券”活動.該活動由三個游戲組成，每個游戲各玩一次且結(jié)果互不影響．連勝兩個游戲可以獲得一張書券，連勝三個游戲可以獲得兩張書券．游戲規(guī)則如下表：游戲一游戲二游戲三箱子中球顏色和數(shù)量大小質(zhì)地完全相同的紅球3個，白球2個（紅球編號為“1，2，3”，白球編號為“4，5”）取球規(guī)則取出一個球有放回地依次取出兩個球不放回地依次取出兩個球獲勝規(guī)則取到白球獲勝取到兩個白球獲勝編號之和為獲勝（1）分別求出游戲一，游戲二的獲勝概率；（2）一名同學(xué)先玩了游戲一，試問為何值時，接下來先玩游戲三比先玩游戲二獲得書券的概率更大．玉溪一中2023-2024學(xué)年上學(xué)期高二年級期中考數(shù)學(xué)學(xué)科試卷總分：150分；考試時間：120分鐘；命題人：孔曉君審題人：趙文強第Ⅰ卷（選擇題）一、單選題：本題共8小題，每小題5分，共40分，在每小題給出的四個選項中，只有一個選項是符合題目要求的.1.在復(fù)平面內(nèi)，復(fù)數(shù)z對應(yīng)的點的坐標(biāo)是，則（）A. B. C. D.【答案】D【解析】【分析】由題可得，再由復(fù)數(shù)乘法計算即可.【詳解】復(fù)數(shù)z對應(yīng)的點的坐標(biāo)是，，.故選：D.2.設(shè)，則的大小關(guān)系是（）A. B.C. D.【答案】D【解析】【分析】利用指數(shù)函數(shù)、對數(shù)函數(shù)的性質(zhì)并借助中間數(shù)即可得解.【詳解】因，則，函數(shù)在上單調(diào)遞增，，于是有，即，函數(shù)在R上單調(diào)遞增，，則，即，所以的大小關(guān)系是.故選：D3.已知，且，則所在的區(qū)間為（）A. B. C. D.【答案】C【解析】【分析】利用函數(shù)單調(diào)遞增結(jié)合零點存在定理判斷.【詳解】因為在單調(diào)遞增，故在單調(diào)遞增，且，故在有唯一零點。故選：C.4.若直線與直線垂直，則m的值為（）A. B. C. D.或0【答案】B【解析】【分析】利用直線垂直公式直接求解.【詳解】若直線與直線垂直,所以，解得.故選：B5.設(shè)向量，，則“”是“”的（）條件A.充分不必要 B.必要不充分C.充要 D.既不充分也不必要【答案】B【解析】【分析】根據(jù)向量平行的坐標(biāo)關(guān)系，結(jié)合充分條件和必要條件的定義進行判斷即可.詳解】由，則，解得或.所以是的必要不充分條件.故選：B.6.已知直線：恒過點，過點作直線與圓：相交于兩點，則的最小值為（）A. B.2 C.4 D.【答案】A【解析】【分析】當(dāng)直線與垂直時，的值最小，結(jié)合勾股定理，即可求得的最小值.【詳解】由，得直線恒過點，又，即在圓內(nèi)，要使最小，只需圓心與的連線與該直線垂直，所得弦長最短，因為，圓的半徑為，此時.故選：A7.圓與圓的公共弦所在的直線與兩坐標(biāo)軸所圍成的三角形面積為2，則的值為（）A. B. C.3 D.3或【答案】D【解析】【分析】根據(jù)題意，聯(lián)立兩個圓的方程，可得兩圓的公共弦所在的直線的方程，由直線的方程可得該直線與,軸交點的坐標(biāo)，進而可得，解可得的值，即可得答案．【詳解】根據(jù)題意，圓與圓，即，兩式相減可得：，即兩圓的公共弦所在的直線的方程為，該直線與軸的交點為，與軸的交點為，若公共弦所在的直線和兩坐標(biāo)軸所圍成圖形的面積為2，則有，變形可得：，解可得：或；故選：D8.意大利畫家達·芬奇提出：固定項鏈的兩端，使其在重力的作用下自然下垂，那么項鏈所形成的曲線是什么？這就是著名的“懸鏈線問題”，其中雙曲余弦函數(shù)就是一種特殊的懸鏈線函數(shù)，其函數(shù)表達式為，相應(yīng)的雙曲正弦函數(shù)的表達式為．設(shè)函數(shù)，若實數(shù)a滿足不等式，則a的取值范圍為（）A. B.C. D.【答案】D【解析】【分析】根據(jù)題意，寫出函數(shù)的解析式，由函數(shù)的奇偶性和單調(diào)性列出不等式，解之即可.【詳解】由題意可知：的定義域為，因為，所以函數(shù)為奇函數(shù)，又因為，且在上為減函數(shù)，由復(fù)合函數(shù)的單調(diào)性可知：在上為增函數(shù)，因為，所以，所以，解得：或，所以實數(shù)的取值范圍為，故選：D.二、多選題：本題共4小題，每小題5分，共20分，在每小題給出的四個選項中，有多項符合題目要求.9.某市為最大限度的吸引“高精尖缺”人才，向全球“招賢納士”，推進了人才引入落戶政策.隨著人口增多，對住房要求也隨之而來，而選擇購買商品房時，住戶對商品房的戶型結(jié)構(gòu)越來越重視，因此某商品房調(diào)查機構(gòu)隨機抽取名市民，針對其居住的戶型結(jié)構(gòu)和滿意度進行了調(diào)查，如圖調(diào)查的所有市民中四居室共戶，所占比例為，二居室住戶占.如圖是用分層抽樣的方法從所有調(diào)查的市民的滿意中，抽取的調(diào)查結(jié)果繪制成的統(tǒng)計圖，則下列說法錯誤的是（）A.樣本容量為B.樣本中三居室住戶共抽取了戶C.根據(jù)樣本可估計對四居室滿意的住戶有戶D.樣本中對三居室滿意的有戶【答案】BC【解析】【分析】根據(jù)統(tǒng)計圖中的數(shù)據(jù)對各個選項直接進行判斷即可.【詳解】A選項，總體容量為，樣本容量為，對，B選項，樣本中三居室住戶共抽取（戶），錯，C選項，對四居室滿意的住戶共有（戶），錯，D選項，樣本中三居室住戶有（戶），對三居室滿意的住戶有（戶），對，故選：BC.10.已知正實數(shù)a，b滿足，則下列結(jié)論中正確的是（）A.若，，則B.若，，則C.若，，則的最小值為3D.若，，則【答案】ACD【解析】【分析】把的相應(yīng)值代入，結(jié)合基本不等式及相關(guān)結(jié)論分別檢驗各選項即可．【詳解】因為，對于A，當(dāng)時，，則，當(dāng)且僅當(dāng)時取等號，故A正確；對于B，，則，當(dāng)且僅當(dāng)時取等號，故B錯誤；對于C，當(dāng)時，，則，則，當(dāng)且僅當(dāng)，即時取等號，故C正確，對于C，當(dāng)時，，解得（舍負(fù)），當(dāng)且僅當(dāng)時取等號，故D正確．故選：ACD．11.在正四棱臺中，上、下底面分別是邊長為和的正方形，側(cè)棱長為2，其頂點在同一個球面上，則下列結(jié)論正確的是（）A.四棱臺的表面積B.四棱臺的體積C.四棱臺的體積D.四棱臺的外接球的表面積【答案】BD【解析】【分析】畫出幾何體，作幾何體的斜高，則表面積可得；求出幾何體的高，則體積可得；將幾何體的外接球轉(zhuǎn)化為對角面的外接圓，則外接球半徑可得.【詳解】如圖所示：連接下、上底面的中心，分別過O，作，，連接，由已知計算得四棱臺的高，斜高，所以四棱臺的表面積為，A錯誤；又四棱臺的體積，B正確，C錯誤；由正四棱臺的性質(zhì)可得：該四棱臺的外接球的球心都在上，如圖所示：已知，，，設(shè)四棱臺的外接球半徑為，易得，解得，計算可得，所以D正確.故選：BD.12.已知曲線上的動點滿足，為坐標(biāo)原點，直線過和兩點，為直線上一動點，過點作曲線的兩條切線為切點，則（）A.點與曲線上點的最小距離為B.線段長度的最小值為C.的最小值為D.存在點，使得的面積為【答案】CD【解析】【分析】設(shè)點，由，求得，由圓的性質(zhì)，取得點與曲線上點的最小距離為，可判定A不正確；由，求得的最小值為，可判定B錯誤；設(shè)，在直角三角形中，求得，得到，結(jié)合函數(shù)的單調(diào)性，可判定C正確.結(jié)合C選項求出面積的最小值可判斷D.【詳解】對于A，因為，設(shè)，則，可得曲線的軌跡為圓.方程為直線：，圓心到直線的距離為，則點與曲線上點的最小距離為，故A錯誤；對于B，在直角三角形中，，要使得線段的長度最小，則取最小值，由選項A可知，長度的最小值為，故B錯誤；對于C，設(shè)，則，在直角三角形中，，，所以，所以令，又，所以，又函數(shù)在區(qū)間上單調(diào)遞增，所以，即的最小值為3，故C正確；對于D，由切線長定理知，直線垂直平分線段，得，當(dāng)且僅當(dāng)與直線垂直時取等號，即弦長度的最小值為.此時，設(shè)的中點為，則，所以，所以的面積的最小值為，又，，的面積所以存在點，使得的面積為3，故D正確.故選：CD.【點睛】關(guān)于切線長最小值問題，本題中是把切弦長問題根據(jù)勾股定理轉(zhuǎn)化為圓心到直線的距離最短問題進行解決.第Ⅱ卷（非選擇題）三、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分.13.已知向量，，若，則_____________．【答案】##0.75【解析】【分析】根據(jù)向量數(shù)量積運算法則計算即可.【詳解】因為，，且，所以，解得：.故答案為：.14.兩條平行直線與之間的距離為__________．【答案】【解析】分析】根據(jù)兩直線平行可求得，由平行直線間距離公式可求得結(jié)果.【詳解】，，解得：，，即，之間距離.故答案為：.15.一條光線從點射出，經(jīng)直線y軸反射后過點，則反射光線所在的直線方程為_________________．【答案】【解析】【分析】關(guān)于y軸的對稱點為，反射光線所在的直線即為經(jīng)過的直線，求的直線方程即可.【詳解】關(guān)于y軸的對稱點為，根據(jù)光線反射的性質(zhì)知，反射光線所在的直線即為經(jīng)過的直線，由兩點式得直線的方程為：，即.故答案為：16.菱形的邊長2，，點P在的外接圓上運動，且，則的取值范圍是________.【答案】【解析】【分析】建立平面直角坐標(biāo)系，設(shè)出，列出方程組，結(jié)合三角恒等變換和三角函數(shù)有界性求出.【詳解】因為菱形的邊長2，，所以均為等邊三角形，取的中心，的中點，以所在直線分別軸，建立平面直角坐標(biāo)系，故，則的外接圓圓心，半徑為，故圓的方程為，故設(shè)，因為，所以，故，解得，則，因為，所以.故答案為：四、解答題：本題共6小題，共70分.解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟.17.如圖，在三棱臺中，平面，，，，M為棱的中點．（1）證明：平面；（2）求直線與平面所成角的正弦值．【答案】（1）證明見解析（2）．【解析】【分析】（1）取AB中點D，連接，MD，可證，從而平面；（2）由（1）知，又可證平面，所以就是直線與平面成的角，可解.【小問1詳解】取AB中點D，連接，MD，∵M是BC中點，∴，且，又∵，且，∴且，∴四邊形是平行四邊形，∴，又∵平面，平面，∴平面；【小問2詳解】∵平面，平面，∴，又，，平面，平面，∴平面，又由（1）知，∴就是直線與平面成角.在中，，，∴，∴.18.已知圓C：．（1）求過點且與圓C相切的直線方程；（2）求圓心在直線上，并且經(jīng)過圓C與圓Q：的交點的圓的方程．【答案】（1）或（2）．【解析】【分析】（1）根據(jù)圓心到直線的距離即可求解，（2）聯(lián)立兩圓方程可得交點坐標(biāo)，進而根據(jù)圓的性質(zhì)利用幾何法求解圓心坐標(biāo)，進而可求解，或者利用圓系方程，代入圓心坐標(biāo)即可求解.【小問1詳解】當(dāng)直線有斜率時，設(shè)切線的斜率為k，則切線方程為，即∵圓心到切線的距離等于半徑2，∴解得或．因此，所求切線方程為，或．當(dāng)直線無斜率時，則，此時直線與圓不相切，不滿足題意，故切線方程為，或．【小問2詳解】法一：聯(lián)立，解得或．∴圓C與圓Q的交點為，，線段AB的垂直平分線為，設(shè)所求圓的圓心為，半徑為r．由，解得，所以圓心為，．因此，所求圓的方程為法二：設(shè)經(jīng)過圓C與圓Q交點的圓為：．（）即即圓心代入直線，得．因此，所求圓的方程為．19.已知的三個內(nèi)角所對的邊分別為，滿足，且．（1）求；（2）若點在邊上，，且滿足，求邊長；請在以下三個條件：①為的一條中線；②為的一條角平分線；③為的一條高線；其中任選一個，補充在上面的橫線中，并進行解答．注：如果選擇多個條件分別解答，按第一個解答計分．【答案】（1）（2）【解析】【分析】（1）利用正弦定理將邊化角，借助三角恒等變換公式化簡即可；（2）由（1）問，分析邊角關(guān)系，利用余弦定理等知識求解即可.【小問1詳解】因為，由正弦定理可得，由倍角公式可得，則，又因為，則，所以，即．且，則，可得，又因為，所以．【小問2詳解】若選擇①：若為的中線，設(shè)（），由余弦定理可得，，因為，可得，即，整理得，可知，又因為，解得或（舍去），所以；若選擇②：若為的角平分線，則，在中，由余弦定理得，即，可知，即，可知，，所以；若選擇③：若為的高線，則，則，即，則，可知，可知，,所以．20.將沿它的中位線折起，使頂點到達點的位置，且，得到如圖所示的四棱錐，若，，為的中點．（1）證明：平面；（2）求平面與平面夾角的余弦值．【答案】（1）證明見解析（2）．【解析】【分析】（1）只需證明，即可證明平面；（2）的中點為，以為原點，分別以，的方向為，軸的正方向，建立空間直角坐標(biāo)系，用向量法求平面與平面的夾角.【小問1詳解】證明：因為為的中位線，所以，因為，所以，，又，所以平面.【小問2詳解】由（1）因為平面，平面，所以平面平面．取的中點，連接，因為，所以．又平面平面，所以平面，且．以為原點，分別以，的方向為，軸的正方向，建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系，則，，，，．所以，，，．設(shè)是平面的法向量，可得，令，得，設(shè)是平面的法向量，可得，令，得．設(shè)平面與平面的夾角為，則所以平面與平面的余弦值為．21.如圖，玉溪匯龍歡樂世界摩天輪的半徑為，圓心距地面的高度為，摩天輪做逆時針勻速轉(zhuǎn)動，每轉(zhuǎn)一圈，摩天輪上的點的起始位置在最低點處．（1）已知在時刻（單位：）時點距離地面的高度是關(guān)于的函數(shù)（其中，，），求函數(shù)解析式及時點距離地面的高度；（2）當(dāng)點距離地面及以上時，可以看到公園的全貌，求游客在游玩一圈的過程中共有多長時間可以看到公園的全貌．【答案】（1）；；（2）【解析】【分析】（1）根據(jù)題意得到振幅，最小正周期，求出，由求出，進而得到函數(shù)解析式；（2）結(jié)合題意可得從最低處開始到達高度為剛好能看著全貌，經(jīng)過最高點再下降至?xí)r又能看著全貌，只需讓，求解即可.【小問1詳解】由題意可知：，，，所以又，，得到，即，又摩天輪上的點p的起始位置在最低點處，即，所以，即，又，所以，故，當(dāng)時，，所以時點P距離地面的高度為．【小問2詳解】因為從最低處開始到達高度為剛好能看著全貌，經(jīng)過最高點再下降至?xí)r又能看著全貌，由（1）知，得到，即，得到，，