高二年級下學(xué)期中考試數(shù)學(xué)考試時(shí)間：120分鐘考試分?jǐn)?shù)：150分一、單選題：本大題共8小題，每題5分，共40分.每題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的.1.計(jì)算的值是（）A.62 B.102 C.152 D.540【答案】A【解析】【分析】利用組合和排列數(shù)公式計(jì)算【詳解】故選：A2.將編號(hào)為1，2，3，4，5的小球放入編號(hào)為1，2，3，4，5的小盒中，每個(gè)小盒放一個(gè)小球，要使得恰有2個(gè)小球與所在盒子編號(hào)相同，則有（）種不同的放球方法，A.60 B.40 C.30 D.20【答案】D【解析】【分析】利用分步乘法原理，分步求出恰有2個(gè)小球與所在盒子編號(hào)相同的方法總數(shù)即可得解.【詳解】如果有2個(gè)小球與所在的盒子的編號(hào)相同，第一步：先從5個(gè)小球里選2個(gè)編號(hào)與所在的盒子相同，有種選法；第二步：不妨設(shè)選的是1、2號(hào)球，則再對后面的3，4，5進(jìn)行排列，且3個(gè)小球的編號(hào)與盒子的編號(hào)都不相同，則有兩種，所以有2個(gè)小球與所在的盒子的編號(hào)相同，共有種方法，故D正確.故選：D.3.的展開式中的系數(shù)為（）A. B. C.40 D.80【答案】B【解析】【分析】根據(jù)多項(xiàng)式乘法可求展開式中的系數(shù).【詳解】因?yàn)?，故可以來?個(gè)因式的2個(gè)因式提供，余下3個(gè)因式提供，或者5個(gè)因式的3個(gè)因式提供，余下1個(gè)因式提供，一個(gè)因式提供，故的系數(shù)為，故選：B.4.某校甲、乙、丙、丁4個(gè)小組到A，B，C這3個(gè)勞動(dòng)實(shí)踐基地參加實(shí)踐活動(dòng)，每個(gè)小組選擇一個(gè)基地，則每個(gè)基地至少有1個(gè)小組的概率為（）A. B. C. D.【答案】C【解析】【分析】根據(jù)分組分配以及分步乘法技術(shù)原理即可求解個(gè)數(shù),由古典概型概率公式求解即可.【詳解】每個(gè)小組選擇一個(gè)基地，所有的選擇情況有種，每個(gè)基地至少有1個(gè)小組的情況有,故概率為，故選：C5.下列說法中正確的是（）①設(shè)隨機(jī)變量X服從二項(xiàng)分布②已知隨機(jī)變量X服從正態(tài)分布且，則③小趙、小錢、小孫、小李到4個(gè)景點(diǎn)旅游，每人只去一個(gè)景點(diǎn)，設(shè)事件“4個(gè)人去的景點(diǎn)互不相同”，事件“小趙獨(dú)自去一個(gè)景點(diǎn)”，則④．A.②③④ B.①②③ C.②③ D.①②【答案】B【解析】【分析】根據(jù)二項(xiàng)分布的概率公式判斷①，根據(jù)正態(tài)分布的性質(zhì)判斷②，根據(jù)條件概率判斷③，根據(jù)方差的性質(zhì)判斷④.【詳解】對于①：隨機(jī)變量服從二項(xiàng)分布，則，故①正確；對于②：隨機(jī)變量服從正態(tài)分布且，則，故②正確；對于③：事件“4個(gè)人去的景點(diǎn)互不相同”，事件“小趙獨(dú)自去一個(gè)景點(diǎn)”，則，，所以，故③正確；對于④：，故④錯(cuò)誤．故選：B6.小明參加戶外植樹活動(dòng)，種植了A，B兩種樹苗各5棵，A種樹苗的成活率為0.8，B種樹苗的成活率為0.6，記A，B兩種樹苗最終成活的棵數(shù)分別為，，則（）注：設(shè)X，Y為兩個(gè)隨機(jī)變量，則有.A.5 B.6 C.7 D.8【答案】C【解析】【分析】根據(jù)二項(xiàng)分布的期望性質(zhì)直接計(jì)算即可.【詳解】服從二項(xiàng)分布，.同理，，.故選：C.7.某學(xué)生進(jìn)行投籃訓(xùn)練，采取積分制，有7次投籃機(jī)會(huì)，投中一次得1分，不中得0分，若連續(xù)投中兩次則額外加1分，連續(xù)投中三次額外加2分，以此類推，連續(xù)投中七次額外加6分，假設(shè)該學(xué)生每次投中的概率是，且每次投中之間相互獨(dú)立，則該學(xué)生在此次訓(xùn)練中恰好得7分的概率是（）A. B. C. D.【答案】B【解析】【分析】根據(jù)題意，分為連中4次，額外加3分，剩余3次不中、連中3次，額外加2分，剩余4次，兩次投中，兩次沒投中，且兩次投中不連續(xù)和有兩次連中兩回，三類情況，結(jié)合獨(dú)立重復(fù)試驗(yàn)的概率公式和互斥事件的概率加法公式，即可求解.【詳解】根據(jù)題意，該學(xué)生在此次訓(xùn)練中恰好得7分，可分為三類情況：①若連中4次，額外加3分，剩余3次不中，滿足要求，此時(shí)將連中4次看作一個(gè)整體，與其他三次不中排序，共有種選擇，故概率為，②若連中3次，額外加2分，剩余4次，兩次投中，兩次沒投中，且兩次投中不連續(xù)，故兩次不中之間可能為一次中，也可能是三次中，有以下情況：中中中（不中）中（不中）中，中（不中）中中中（不中）中，中（不中）中（不中）中中中，則概率為，③若有兩次連中兩回，中中（不中）中中（不中）中，中（不中）中中（不中）中中，中中（不中）中（不中）中中，滿足要求，則概率為，綜上，該生在比賽中恰好得7分的概率為.故選：B.8.甲?乙兩人進(jìn)行羽毛球比賽，現(xiàn)采用三局兩勝比賽制度，規(guī)定每局比賽都沒有平局（必須分出勝負(fù)），且每一局甲贏的概率都是，隨機(jī)變量表示最終的比賽局?jǐn)?shù)，若的數(shù)學(xué)期望為，則（）A. B. C. D.或【答案】D【解析】【分析】由三局兩勝的比賽制度可得隨機(jī)變量可能的取值為2和3，分別求出概率，列出分布列，利用離散型隨機(jī)變量的期望公式計(jì)算求得的值．【詳解】隨機(jī)變量可能的取值為2，3．，，故的分布列為：23故，由，解得或．故選：D．二、多選題：本大題共3小題，每題6分，共18分.在給出的四個(gè)選項(xiàng)中，有多項(xiàng)符合題目要求.全部選對得6分，部分選對得部分，有選錯(cuò)的得0分.9.甲、乙、丙、丁、戊五人并排站成一排，下列說法正確的是（）A.若甲、乙、丙按從左到右的順序排列，則不同的排法有12種B.若甲、乙不相鄰，則不同的排法有72種C.若甲不能在最左端，且乙不能在最右端，則不同的排法共有72種D.如果甲、乙必須相鄰且乙在甲的右邊，則不同的排法有24種【答案】BD【解析】【分析】A選項(xiàng)，定序問題采用倍縮法進(jìn)行求解；B選項(xiàng)，采用插空法進(jìn)行求解；C選項(xiàng)，分兩種情況，若最左端排乙，最左端不排乙，分別求出兩種情況下的排法，相加即可；D選項(xiàng)，使用捆綁法進(jìn)行求解；【詳解】對于A，甲乙丙按從左到右的順序排列的排列有種情況，故A錯(cuò)誤；對于B，先安排丙，丁，戊三人，有種情況，再將甲乙兩人插空，則有種情況，故甲乙不相鄰的排法種數(shù)為種情況，故B正確；對于C，若最左端排乙，此時(shí)其余四人可進(jìn)行全排列，故有種；若最左端不排乙，則最左端只能從丙，丁，戊選出1人，又乙不能在最右端，則有種情況，則共有種站法，故C錯(cuò)誤；對于D，將甲與乙捆綁，看做一個(gè)整體且固定順序，再與其他三人站成一排，故有種，故D正確；故選：BD10.已知離散型隨機(jī)變量的分布列如下表所示，下列說法正確的有（）012A B. C. D.【答案】ACD【解析】【分析】由題意得，解得可判斷A，代入離散型隨機(jī)變量的期望與方差公式即可判斷BCD．【詳解】由題意可知，，解得或，當(dāng)時(shí)，，不符合題意，舍去，，故A正確；，故B錯(cuò)誤；當(dāng)，1，2時(shí)，，1，4，，故C正確；，故D正確．故選：ACD．11.一個(gè)不透明的箱子中裝有5個(gè)小球，其中白球3個(gè)，紅球2個(gè)，小球除顏色不同外，材質(zhì)大小全部相同，現(xiàn)投擲一枚質(zhì)地均勻的硬幣，若硬幣正面朝上，則從箱子里抽出一個(gè)小球且不再放回；若硬幣反面朝上，則不抽取小球；重復(fù)該試驗(yàn)，直至小球全部取出，假設(shè)試驗(yàn)開始時(shí)，試驗(yàn)者手中沒有任何小球，下列說法正確的有（）A.經(jīng)過兩次試驗(yàn)后，試驗(yàn)者手中恰有2個(gè)白球的概率為B.若第一次試驗(yàn)抽到一個(gè)白球，則第二次試驗(yàn)后，試驗(yàn)者手有白紅球各1個(gè)的概率為C.經(jīng)過6次試驗(yàn)后試驗(yàn)停止的概率為D.經(jīng)過6次試驗(yàn)后試驗(yàn)停止的概率最大【答案】ABC【解析】【分析】對于A、B選項(xiàng)利用條件概率公式計(jì)算即可；對于C項(xiàng)，利用二項(xiàng)分布計(jì)算；對于D項(xiàng)，設(shè)實(shí)驗(yàn)次結(jié)束的概率為，令，由C項(xiàng)化簡得，即得結(jié)果.【詳解】記事件“一次實(shí)驗(yàn)硬幣正面朝上”，則“一次實(shí)驗(yàn)硬幣反面朝上”，則.從箱子中不放回地抽球，記“第次抽到白球”，記“第次抽到紅球”，“第次硬幣正面朝上且抽到白球”，“第次硬幣正面朝上且抽到紅球”，對于A項(xiàng),，經(jīng)過兩次實(shí)驗(yàn)后，實(shí)驗(yàn)者手中恰好有2個(gè)白球的概率為：，故A正確；對于B項(xiàng)，已知第一次拿到白球，第二次拿到紅球的概率為：,故B正確；對于C項(xiàng)，實(shí)驗(yàn)6次結(jié)束，則前5次有4次硬幣正面朝上，第6次硬幣正面朝上，故其概率為：，故C正確；對于D項(xiàng)，實(shí)驗(yàn)次結(jié)束的概率為，則，，令，得化簡可得，解得，即，所以經(jīng)過8次或9次實(shí)驗(yàn)后小球全部取出的概率最大，故D錯(cuò)誤.故選：ABC【點(diǎn)睛】關(guān)鍵點(diǎn)睛：本題D選項(xiàng)的解決關(guān)鍵是理解試驗(yàn)停止時(shí)的條件，從而求得實(shí)驗(yàn)次結(jié)束的概率，利用作商法求得中的最大項(xiàng)，從而得解.三、填空題:本大題共3小題，每題5分，共15分.把答案填在答題卡中的橫線上.12.已知隨機(jī)變量X服從正態(tài)分布，且，則____________．【答案】0.24##【解析】【分析】根據(jù)正態(tài)分布的對稱性求解所求區(qū)間的概率即可.【詳解】因?yàn)?，所以，因此．故答案?.24.13.已知能夠被15整除，其中，則___________.【答案】14【解析】【分析】根據(jù)可得，則要使能夠被15整除，只需能夠被15整除即可，從而可得出答案.【詳解】解：，所以，因?yàn)槭堑恼麛?shù)倍，所以能夠被15整除，要使能夠被15整除，只需要能夠被15整除即可，因?yàn)?，所?故答案為：14.14.袋中裝有5個(gè)相同的紅球和2個(gè)相同的黑球，每次從中抽出1個(gè)球，抽取3次按不放回抽取，得到紅球個(gè)數(shù)記為X，得到黑球的個(gè)數(shù)記為Y；按放回抽取，得到紅球的個(gè)數(shù)記為.下列結(jié)論中正確的是_____________.①；②；③；④.【答案】①③④【解析】【分析】根據(jù)不放回抽取，確定紅球個(gè)數(shù)的可能取值以及黑球個(gè)數(shù)為的可能取值，求出每個(gè)值對應(yīng)的概率，即可求得，的期望和方差，判斷①，②；按放回抽取，可知，求出其期望和方差，即可判斷③，④.【詳解】由題意抽取3次按不放回抽取，可得紅球個(gè)數(shù)的可能取值為，黑球個(gè)數(shù)Y的可能取值為，則，，，，由，可得，，，故，所以，故①正確；，，所以，故②錯(cuò)誤；抽取3次按放回抽取，每次抽取到紅球的概率為，得到紅球的個(gè)數(shù)記為，則，所以，，所以，，故③④正確.故答案為：①③④.四、解答題：本大題共5小題，共77分.解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟.解答過程應(yīng)寫到答題卡上，寫在試卷上的無效.15.已知其中，，，，.且展開式中僅有第5項(xiàng)的二項(xiàng)式系數(shù)最大.（1）求值及二項(xiàng)式系數(shù)最大項(xiàng)；（2）求（用數(shù)值作答）；（3）求的值（用數(shù)值作答）.【答案】（1）；（2）6561（3）3281【解析】【分析】（1）根據(jù)題意結(jié)合二項(xiàng)式系數(shù)最大時(shí)求出的值，再計(jì)算即可；（2）利用賦值法，令，求出即可；（3）利用賦值法，分別令和，得出兩式，相加即可得.【小問1詳解】因?yàn)檎归_式中僅有第5項(xiàng)的二項(xiàng)式系數(shù)最大，當(dāng)為偶數(shù)時(shí)，僅有中間一項(xiàng)的二項(xiàng)式系數(shù)最大，即，所以，故.即，二項(xiàng)式系數(shù)最大項(xiàng)為第5項(xiàng)：；【小問2詳解】令，得，所以.【小問3詳解】令，得，令，得.兩式相加可得.16.有完全相同的甲、乙兩個(gè)袋子，袋子有大小、形狀完全相同的小球，其中甲袋中有9個(gè)紅球和1個(gè)白球；乙袋中有2個(gè)紅球和8個(gè)白球．從這兩個(gè)袋子中選擇一個(gè)袋子，再從該袋子中等可能摸出一個(gè)球．假設(shè)試驗(yàn)選到甲袋或乙袋的概率都是．（1）求從袋子中摸出紅球的概率；（2）求在摸出白球的條件下，該球來自甲袋的概率．【答案】（1）（2）【解析】【分析】（1）根據(jù)全概率公式求解；（2）利用條件概率公式計(jì)算可得結(jié)果.【小問1詳解】設(shè)試驗(yàn)一次，“取到甲袋”為事件，“取到乙袋”為事件，“試驗(yàn)結(jié)果為紅球”為事件，“試驗(yàn)結(jié)果為白球"為事件，∵，∴，所以從袋子中摸出紅球的概率為．【小問2詳解】因?yàn)槭菍α⑹录?，，又，所以，所以在摸出白球的條件下，該球來自甲袋的概率為.17.抽屜里裝有5雙型號(hào)相同的手套，其中2雙是非一次性手套，3雙是一次性手套，每次使用手套時(shí)，從抽屜中隨機(jī)取出1雙（2只都為一次性手套或都為非一次性手套），若取出的是一次性手套，則使用后直接丟棄，若取出的是非一次性手套，則使用后經(jīng)過清洗再次放入抽屜中.（1）求在第2次取出的是非一次性手套的條件下，第1次取出的是一次性手套的概率;（2）記取了3次后，取出的一次性手套的雙數(shù)為X，求X的分布列及數(shù)學(xué)期望.【答案】（1）（2）分布列見解析，1.606【解析】【分析】（1）根據(jù)條件概率的計(jì)算公式，分別求出對應(yīng)事件的概率，代入計(jì)算即可；（2）根據(jù)題意，計(jì)算離散型隨機(jī)變量的概率，得出分布列，計(jì)算期望即可.【小問1詳解】設(shè)“第1次取出的是一次性手套”為事件A，“第2次取出的是非一次性手套”為事件B，則，，所以在第2次取出的是非一次性手套的前提下，第1次取出的是一次性手套的概率為.【小問2詳解】記取出的一次性手套的雙數(shù)為，則，，，則，則X的分布列為：0123數(shù)學(xué)期望18.從2016年1月1日起全國統(tǒng)一實(shí)施全面兩孩政策.為了解適齡民眾對放開生二孩政策的態(tài)度，某市選取70后作為調(diào)查對象，隨機(jī)調(diào)查了10人，其中打算生二胎的有4人，不打算生二胎的有6人.（1）從這10人中隨機(jī)抽取3人，記打算生二胎的人數(shù)為，求隨機(jī)變量的分布列和數(shù)學(xué)期望；（2）若以這10人的樣本數(shù)據(jù)估計(jì)該市的總體數(shù)據(jù)，且以頻率作為概率，從該市70后中隨機(jī)抽取3人，記打算生二胎的人數(shù)為，求隨機(jī)變量的分布列和數(shù)學(xué)期望.【答案】（1）分布列見解析，期望1.2（2）分布列見解析，1.2【解析】【分析】（1）由題可知服從超幾何分布，的取值為0，1，2，3.則易求的分布列和數(shù)學(xué)期望；（2）由題意可知服從二項(xiàng)分布，且，計(jì)算即可求得隨機(jī)變量的分布列和數(shù)學(xué)期望.【小問1詳解】由題意知，的值為，