第6.4節(jié)群同態(tài)及應(yīng)用離散數(shù)學(xué)配套教材：李小南，易黃建，喬勝寧，離散數(shù)學(xué)，電子工業(yè)出版社，2025講授：李小南6.4.1

群同態(tài)基本定理本節(jié)我們假設(shè)X和是兩個群，其單位元分別為e和.定義6.4.1設(shè)X和是兩個群，f

是X到的映射.如果f

保持群運(yùn)算，即則稱f是X到的群同態(tài)（簡稱為同態(tài)）.如果同態(tài)f是滿射，則稱f為滿同態(tài)；如果同態(tài)f是單射，則稱f為單同態(tài)；如果同態(tài)f是雙射，則稱f為同構(gòu)，并稱X和同構(gòu)，記為.

，有f(ab)=

f(a)f(b)例6.4.1整數(shù)加群到自身的映射f:

n→2n

是同態(tài)映射，因?yàn)轱@然這是一個單同態(tài)，但不是滿同態(tài).例6.4.2設(shè)Y是群X的正規(guī)子群，定義X和商群X/Y之間的映射由陪集的運(yùn)算可得因此這是一個同態(tài)，且是一個滿同態(tài).群和它的商群同態(tài)同態(tài)映射有一些好的性質(zhì)，如保持單位元、逆元等.定理6.4.1設(shè)f是群X到的群同態(tài)且，則(1)f(e)=.(2)f()=.(3)f()=，n為正整數(shù).設(shè)f

是群X到的群同態(tài)，則稱為同態(tài)f

的核；稱為同態(tài)f

的像.定理6.4.2imf

是的子群，kerf

是X的正規(guī)子群.證明

由于f(e)=，故imf

非空.設(shè)，由定義可知存在使得f(a)=，由于，故就是的逆.imf

是群的子集，故其元素的乘法滿足結(jié)合律.從而imf

是的子群.顯然kerf

是X的子群.下證ker

f

是正規(guī)子群.，只需說明根據(jù)對稱性，只需說明.，下證由于，故.設(shè)，因此.kerf

是X的正規(guī)子群，因此就有了商群X/ker

f.定理6.4.3(群同態(tài)基本定理)設(shè)f

是X到的群同態(tài)，則注意定理6.4.3中若是滿同態(tài)，則.群同態(tài)基本定理說明任意的同態(tài)的像就是商群，這個商群是由同態(tài)的核產(chǎn)生的.群同態(tài)基本定理的圖示如下.因此是n階循環(huán)群.設(shè)

，其中6.4.2

任意群和循環(huán)群的同構(gòu)刻畫定理6.4.4任意的抽象群都同構(gòu)于一個變換群；任意n階群都和的子群同構(gòu).定理6.4.5設(shè)是循環(huán)群，(1)若a的階為正整數(shù)n，則X與n次單位根群同構(gòu)；(2)若a的階為無限，則X與整數(shù)加群同構(gòu).證明(1)由于a的階為正整數(shù)n，故為不同的元素.對于任意整數(shù)m，可寫為m=nq+r

，于是這顯然是一個同構(gòu)映射，證畢.證明(續(xù))

(2)由于a的階為無限，令若，則.但a的階為無限，故s=t.因此f是到的一個映射，且是一個雙射.又，故定理6.4.5說明，在同構(gòu)意義下循環(huán)群只有兩種：整數(shù)加群和n次單位根群.定理6.4.6非交換群最少有6個元素.證明如果群的階為2,3或5，則它們都是循環(huán)群，從而是交換群.下面考慮群的階為4的情況，根據(jù)拉格朗日定理的推論，有兩種情況:一種是包含4階元素,另一種是不包含4階元素.若包含4階元素,則為循環(huán)群,從而是交