1/12.2.2橢圓的簡(jiǎn)單幾何性質(zhì)（第二課時(shí)）（楊軍君）一、教學(xué)目標(biāo)（一）學(xué)習(xí)目標(biāo)1.理解直線與橢圓的位置關(guān)系；2.會(huì)進(jìn)行位置關(guān)系的判斷，計(jì)算弦長(zhǎng).（二）學(xué)習(xí)重點(diǎn)理解直線與橢圓的位置關(guān)系，會(huì)判定及應(yīng)用（三）學(xué)習(xí)難點(diǎn)應(yīng)用代數(shù)方法進(jìn)行判定，相關(guān)計(jì)算的準(zhǔn)確性，理解用方程思想解決直線與圓錐曲線的位置關(guān)系.二.教學(xué)設(shè)計(jì)（一）預(yù)習(xí)任務(wù)設(shè)計(jì)1.預(yù)習(xí)任務(wù)寫一寫：直線與橢圓的位置關(guān)系設(shè)直線，橢圓，聯(lián)立若，則直線和橢圓有唯一公共點(diǎn)，直線和橢圓相切；若，則直線和橢圓有兩個(gè)公共點(diǎn)，直線和橢圓相交；若，則，直線和橢圓沒有公共點(diǎn)，直線和橢圓相離.2.預(yù)習(xí)自測(cè)（1）直線與橢圓的位置關(guān)系是（）A.相交B.相切C.相離D.不確定【知識(shí)點(diǎn)】直線與橢圓位置關(guān)系.【解題過(guò)程】直線恒過(guò)定點(diǎn).由可知：點(diǎn)在橢圓內(nèi)部，故直線與橢圓相交.【思路點(diǎn)撥】注意利用點(diǎn)在橢圓內(nèi)判斷直線與橢圓相交.【答案】A（2）判斷（正確的打“√”，錯(cuò)誤的打“×”）①已知橢圓與點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)可作出該橢圓的一條切線.（）②直線與橢圓的位置關(guān)系是相交.（）【知識(shí)點(diǎn)】直線與橢圓位置關(guān)系.【解題過(guò)程】點(diǎn)在橢圓內(nèi)部，故過(guò)不能作出橢圓的切線；直線恒過(guò)點(diǎn)，而為橢圓的有頂點(diǎn)，過(guò)直線一定與橢圓相交.【思路點(diǎn)撥】注意利用點(diǎn)在橢圓內(nèi)判斷直線與橢圓相交.【答案】①×；②√.（3）直線與橢圓有且只有一個(gè)交點(diǎn)，則（）A.B.C.D.【知識(shí)點(diǎn)】直線與橢圓的位置關(guān)系.【解題過(guò)程】聯(lián)立方程得：.由條件知：，解得：.【思路點(diǎn)撥】利用判斷直線與橢圓的位置關(guān)系.【答案】C（4）橢圓長(zhǎng)軸端點(diǎn)為M、N，不同于M、N的點(diǎn)P在此橢圓上，那么PM、PN的斜率之積為（）A.B.C.D.【知識(shí)點(diǎn)】直線與橢圓.【解題過(guò)程】設(shè)，則，則，故【思路點(diǎn)撥】按照題意直接代入求解即可.【答案】A（二）課堂設(shè)計(jì)1.知識(shí)回顧（1）橢圓的簡(jiǎn)單幾何性質(zhì)；（2）直線與圓的位置關(guān)系.2.新知講解探究一：探究直線與橢圓的位置關(guān)系●活動(dòng)①?gòu)?fù)習(xí)回顧，類比學(xué)習(xí)我們學(xué)習(xí)過(guò)直線與圓的位置關(guān)系及判定，請(qǐng)你回憶相關(guān)知識(shí).（1）直線與圓有三種位置關(guān)系分別是相離（沒有公共點(diǎn)）、相切（一個(gè)公共點(diǎn)）、相交（兩個(gè)公共點(diǎn)）.（2）判定方法有兩種：代數(shù)法、幾何法.那么直線與橢圓又有什么樣的位置關(guān)系呢？又該如何來(lái)判定直線與橢圓的位置關(guān)系呢？【設(shè)計(jì)意圖】由已有的知識(shí)類比遷移到新知識(shí).●活動(dòng)②思考交流，結(jié)論形成通過(guò)畫圖我們看到，直線與橢圓的位置關(guān)系也可以歸納為相離，相切和相交，請(qǐng)你類比直線和圓的相離、相切、相交的定義來(lái)對(duì)直線和橢圓相離，相切和相交進(jìn)行定義.學(xué)生交流，自由發(fā)言，教師適時(shí)引導(dǎo)，得出結(jié)論.直線與橢圓沒有公共點(diǎn)直線與橢圓相離；直線與橢圓有一個(gè)公共點(diǎn)直線和橢圓相切；直線與橢圓有兩個(gè)公共點(diǎn)直線與橢圓相交.通過(guò)公共點(diǎn)的個(gè)數(shù)可以判斷直線和橢圓的位置關(guān)系，如何確定公共點(diǎn)的個(gè)數(shù)呢？你有什么辦法呢？例1.判斷直線與橢圓的位置關(guān)系.【知識(shí)點(diǎn)】直線與橢圓的位置關(guān)系.課堂活動(dòng)：學(xué)生完成練習(xí)，根據(jù)學(xué)生的解題情況引入代數(shù)方法.在巡視過(guò)程中，大部分學(xué)生采用的是代數(shù)的方法，及個(gè)別的學(xué)生畫出了圖像，但第三條直線與橢圓的位置關(guān)系學(xué)生畫圖的很少，但利用代數(shù)方法研究的同學(xué)也沒有得到結(jié)論.【解題過(guò)程】將直線與橢圓方程聯(lián)立，根據(jù)判別式判斷，分別與橢圓的關(guān)系為：相交、相離和相切.【思路點(diǎn)撥】利用判斷直線與橢圓的位置關(guān)系.【答案】分別與橢圓的關(guān)系為：相交、相離和相切請(qǐng)你說(shuō)說(shuō)如何利用代數(shù)方法來(lái)進(jìn)行直線和橢圓的位置關(guān)系的判斷？直線與橢圓的位置關(guān)系的研究方法可通過(guò)代數(shù)方法即解方程組的辦法來(lái)研究.因?yàn)榉匠探M解的個(gè)數(shù)與交點(diǎn)的個(gè)數(shù)是一樣的.直線與橢圓的位置關(guān)系的判定方法：直線與橢圓的位置關(guān)系設(shè)直線，橢圓，聯(lián)立（1），方程有兩個(gè)不等的實(shí)數(shù)根有兩個(gè)公共點(diǎn)相交；（2），方程有兩個(gè)相等的實(shí)數(shù)根有一個(gè)公共點(diǎn)相切；（3），方程沒有實(shí)數(shù)根沒有公共點(diǎn)相離.【設(shè)計(jì)意圖】以舊帶新，學(xué)生易于理解.同類訓(xùn)練已知橢圓及直線，當(dāng)為何值時(shí)，直線與橢圓相切？【知識(shí)點(diǎn)】直線與橢圓的位置關(guān)系【解題過(guò)程】解方程組，消去，整理得，，由得，解得.【思路點(diǎn)撥】用方程實(shí)根個(gè)數(shù)刻畫直線和圓錐曲線的位置關(guān)系，是研究直線和圓錐曲線位置關(guān)系的通法.探究二：計(jì)算橢圓的弦長(zhǎng)●活動(dòng)①互動(dòng)交流，形成結(jié)論例2.已知斜率為2的直線經(jīng)過(guò)橢圓的右焦點(diǎn)，與橢圓交于兩點(diǎn)，求的長(zhǎng).【提出問(wèn)題】本題的解決需要什么條件？如何由題目所給的條件去求得？前面的學(xué)習(xí)中遇到過(guò)類似的問(wèn)題嗎？當(dāng)時(shí)是怎么解決的，方法能不能拿來(lái)一用？【知識(shí)點(diǎn)】直線與橢圓相交【解題過(guò)程】由條件知，故直線方程為：.設(shè).聯(lián)立方程組，消去可得：.法一：由得：，從而.法二：由得：..【思路點(diǎn)撥】初學(xué)者常想到求直線和橢圓的交點(diǎn)，然后利用兩點(diǎn)間距離公式求弦長(zhǎng)，此種方法僅當(dāng)直線方程和橢圓方程簡(jiǎn)單時(shí)，易得交點(diǎn)坐標(biāo)，一般情況不采用此法.弦長(zhǎng)公式：，其中為直線的斜率，.【答案】.【設(shè)計(jì)意圖】由特殊到一般，讓學(xué)生體會(huì)韋達(dá)定理的應(yīng)用及解析幾何中“設(shè)而不求，整體代入”的解題思路.同類訓(xùn)練已知橢圓及直線，求直線被橢圓截得最長(zhǎng)弦所在直線方程.【知識(shí)點(diǎn)】直線與橢圓相交弦長(zhǎng)公式.【解題過(guò)程】由題意得，由韋達(dá)定理得，弦長(zhǎng)當(dāng)時(shí)，取得最大值為，此時(shí)直線方程為.【思維點(diǎn)撥】當(dāng)直線與橢圓相交時(shí)，求弦長(zhǎng)時(shí)，聯(lián)立直線方程和橢圓方程，利用韋達(dá)定理，就可以直接利用弦長(zhǎng)公式求得弦長(zhǎng).●活動(dòng)②強(qiáng)化提升，靈活應(yīng)用例3.已知橢圓（1）求斜率為2的平行弦的中點(diǎn)軌跡方程；（2）過(guò)的直線與橢圓相交，求被截得的弦的中點(diǎn)軌跡方程；【知識(shí)點(diǎn)】直線與橢圓相交，曲線的方程.【解題過(guò)程】解：（1）設(shè)斜率為2的直線方程為.由得，由，得.設(shè)該弦的端點(diǎn)坐標(biāo)為，則，.設(shè)弦的中點(diǎn)坐標(biāo)為，則，代入，得為所求軌跡方程.（2）設(shè)與橢圓的交點(diǎn)為，弦的中點(diǎn)為，則兩式相減并整理得.又由題意知，代入=1\*GB3①得.化簡(jiǎn)得.所求軌跡方程為（夾在橢圓內(nèi)的部分）.【思路點(diǎn)撥】例3（2）解題方法叫做“點(diǎn)差法”，點(diǎn)差法充分體現(xiàn)了“設(shè)而不求”的數(shù)學(xué)思想.【答案】.同類訓(xùn)練已知定點(diǎn)及橢圓，過(guò)點(diǎn)的動(dòng)直線與橢圓相交于兩點(diǎn)，若線段中點(diǎn)的橫坐標(biāo)是，求直線的方程.【知識(shí)點(diǎn)】直線與橢圓的位置關(guān)系.【解題過(guò)程】依題意，直線的斜率存在，設(shè)直線的方程為，將代入，消去整理得設(shè)則由線段中點(diǎn)的橫坐標(biāo)是，得，解得，適合.所以直線的方程為，或.【思維點(diǎn)撥】解決直線和圓錐曲線的相關(guān)問(wèn)題時(shí)，韋達(dá)定理得應(yīng)用十分廣泛，此題干中涉及中點(diǎn)問(wèn)題，自然聯(lián)想到韋達(dá)定理結(jié)構(gòu).【答案】，或.3.課堂總結(jié)知識(shí)梳理（1）直線與橢圓的位置關(guān)系，方程有兩個(gè)不等的實(shí)數(shù)根有兩個(gè)公共點(diǎn)相交；，方程有兩個(gè)相等的實(shí)數(shù)根有一個(gè)公共點(diǎn)相切；，方程沒有實(shí)數(shù)根沒有公共點(diǎn)相離.（2）弦長(zhǎng)公式：，其中為直線的斜率，.重難點(diǎn)歸納（1）用方程實(shí)根個(gè)數(shù)刻畫直線和圓錐曲線的位置關(guān)系，是研究直線和圓錐曲線位置關(guān)系的通法；（2）涉及弦中點(diǎn)的問(wèn)題，常用點(diǎn)差法處理.（三）課后作業(yè)基礎(chǔ)型自主突破1.若點(diǎn)P(a,1)在橢圓eq\f(x2,2)＋eq\f(y2,3)＝1的外部，則a的取值范圍為（）A.(－eq\f(2\r(3),3)，eq\f(2\r(3),3))B.(eq\f(2\r(3),3)，＋∞)∪(－∞，eq\f(－2\r(3),3))C.(eq\f(4,3)，＋∞)D.(－∞，－eq\f(4,3))【知識(shí)點(diǎn)】橢圓的幾何性質(zhì).【解題過(guò)程】因?yàn)辄c(diǎn)P在橢圓eq\f(x2,2)＋eq\f(y2,3)＝1的外部，所以eq\f(a2,2)＋eq\f(12,3)>1，解得a>eq\f(2\r(3),3)或a<eq\f(－2\r(3),3)，故選B.【思路點(diǎn)撥】根據(jù)點(diǎn)與橢圓的位置關(guān)系建立不等式求解.【答案】B2.點(diǎn)P為橢圓eq\f(x2,5)＋eq\f(y2,4)＝1上一點(diǎn)，以點(diǎn)P及焦點(diǎn)F1、F2為頂點(diǎn)的三角形的面積為1，則P點(diǎn)的坐標(biāo)為（）A.(±eq\f(\r(15),2)，1)B.(eq\f(\r(15),2)，±1)C.(eq\f(\r(15),2)，1)D.(±eq\f(\r(15),2)，±1)【知識(shí)點(diǎn)】橢圓的幾何性質(zhì).【解題過(guò)程】設(shè)P(x0，y0)，∵a2＝5，b2＝4，∴c＝1，∴eq\f(1,2)|F1F2|·|y0|＝|y0|＝1，∴y0＝±1，∵eq\f(x\o\al(2,0),5)＋eq\f(y\o\al(2,0),4)＝1，∴x0＝±eq\f(\r(15),2).故選D.【思路點(diǎn)撥】焦點(diǎn)三角形面積計(jì)算以為底邊.【答案】D3.過(guò)橢圓eq\f(x2,a2)＋eq\f(y2,b2)＝1(a>b>0)的左焦點(diǎn)F1作x軸的垂線交橢圓于點(diǎn)P，F(xiàn)2為右焦點(diǎn)，若∠F1PF2＝60°，則橢圓的離心率為（）A.eq\f(\r(2),2)B.eq\f(\r(3),3)C.eq\f(1,2)D.eq\f(1,3)【知識(shí)點(diǎn)】橢圓的幾何性質(zhì).【解題過(guò)程】把x＝－c代入橢圓方程可得yc＝±eq\f(b2,a)，∴|PF1|＝eq\f(b2,a)，∴|PF2|＝eq\f(2b2,a)，故|PF1|＋|PF2|＝eq\f(3b2,a)＝2a，即3b2＝2a2.又∵a2＝b2＋c2，∴3(a2－c2)＝2a2，∴(eq\f(c,a))2＝eq\f(1,3)，即e＝eq\f(\r(3),3).【思路點(diǎn)撥】利用橢圓定義和幾何關(guān)系解題.【答案】B4.如圖F1、F2分別是橢圓eq\f(x2,a2)＋eq\f(y2,b2)＝1(a>b>0)的兩個(gè)焦點(diǎn)，A和B是以O(shè)為圓心，以|OF1|為半徑的圓與該左半橢圓的兩個(gè)交點(diǎn)，且△F2AB是等邊三角形，則橢圓的離心率為（）A.eq\f(\r(3),2)B.eq\f(1,2)C.eq\f(\r(2),2)D.eq\r(3)－1【知識(shí)點(diǎn)】橢圓的幾何性質(zhì).【解題過(guò)程】連接AF1，由圓的性質(zhì)知，∠F1AF2＝90°，又∵△F2AB是等邊三角形，∴∠AF2F1＝30°，∴AF1＝c，AF2＝eq\r(3)c，∴e＝eq\f(c,a)＝eq\f(2c,2a)＝eq\f(2c,c＋\r(3)c)＝eq\r(3)－1.故選D.【思路點(diǎn)撥】利用圓的幾何性質(zhì)和橢圓離心率的定義.【答案】D5.若過(guò)橢圓eq\f(x2,16)＋eq\f(y2,4)＝1內(nèi)一點(diǎn)(2,1)的弦被該點(diǎn)平分，則該弦所在直線的方程是_____________.【知識(shí)點(diǎn)】橢圓的幾何性質(zhì).【解題過(guò)程】設(shè)弦兩端點(diǎn)A(x1，y1)，B(x2，y2)，則eq\f(x\o\al(2,1),16)＋eq\f(y\o\al(2,1),4)＝1，eq\f(x\o\al(2,2),16)＋eq\f(y\o\al(2,2),4)＝1，兩式相減并把x1＋x2＝4，y1＋y2＝2代入得，eq\f(y1－y2,x1－x2)＝－eq\f(1,2)，∴所求直線方程為y－1＝－eq\f(1,2)(x－2)，即x＋2y－4＝0.【思路點(diǎn)撥】中點(diǎn)弦問(wèn)題靈活利用點(diǎn)差法.【答案】x＋2y－4＝0.6.設(shè)F1、F2分別為橢圓C：eq\f(x2,a2)＋eq\f(y2,b2)＝1(a>b>0)的左、右兩個(gè)焦點(diǎn)，若橢圓C上的點(diǎn)A(1，eq\f(3,2))到F1、F2兩點(diǎn)的距離之和為4，則橢圓C的方程是________，焦點(diǎn)坐標(biāo)是________.【知識(shí)點(diǎn)】橢圓的幾何性質(zhì).【解題過(guò)程】由|AF1|＋|AF2|＝2a＝4得a＝2.∴原方程化為：eq\f(x2,4)＋eq\f(y2,b2)＝1，將A(1，eq\f(3,2))代入方程得b2＝3.∴橢圓方程為：eq\f(x2,4)＋eq\f(y2,3)＝1，焦點(diǎn)坐標(biāo)為(±1,0).【思路點(diǎn)撥】把握橢圓的定義解題.【答案】eq\f(x2,4)＋eq\f(y2,3)＝1；(±1,0).能力型師生共研7.設(shè)橢圓eq\f(x2,a2)＋eq\f(y2,b2)＝1(a>b>0)的離心率為e＝eq\f(1,2)，右焦點(diǎn)為F(c,0)，方程ax2＋bx－c＝0的兩個(gè)實(shí)根分別為x1和x2，則點(diǎn)P(x1，x2)（）A.必在圓x2＋y2＝2上B.必在圓x2＋y2＝2外C.必在圓x2＋y2＝2內(nèi)D.以上三種情形都有可能【知識(shí)點(diǎn)】橢圓的幾何性質(zhì).【解題過(guò)程】e＝eq\f(1,2)?eq\f(c,a)＝eq\f(1,2)?c＝eq\f(a,2)，eq\f(a2－b2,a2)＝eq\f(1,4)?eq\f(b2,a2)＝eq\f(3,4)?eq\f(b,a)＝eq\f(\r(3),2)?b＝eq\f(\r(3),2)a.∴ax2＋bx－c＝0?ax2＋eq\f(\r(3),2)ax－eq\f(a,2)＝0?x2＋eq\f(\r(3),2)x－eq\f(1,2)＝0，x1＋x2＝－eq\f(\r(3),2)，x1x2＝－eq\f(1,2)，∴xeq\o\al(2,1)＋xeq\o\al(2,2)＝(x1＋x2)2－2x1x2＝eq\f(3,4)＋1＝eq\f(7,4)<2.∴在圓x2＋y2＝2內(nèi)，故選C.【思路點(diǎn)撥】簡(jiǎn)化關(guān)系將方程具體化.【答案】C8.如圖，在橢圓中，若AB⊥BF，其中F為焦點(diǎn)，A、B分別為長(zhǎng)軸與短軸的一個(gè)端點(diǎn)，則橢圓的離心率e＝________.【知識(shí)點(diǎn)】橢圓的幾何性質(zhì).【解題過(guò)程】設(shè)橢圓方程為eq\f(x2,a2)＋eq\f(y2,b2)＝1，則有A(－a,0)，B(0，b)，F(xiàn)(c,0)，由AB⊥BF，得kAB·kBF＝－1，而kAB＝eq\f(b,a)，kBF＝－eq\f(b,c)代入上式得，利用b2＝a2－c2消去b2，得eq\f(a,c)－eq\f(c,a)＝1，即eq\f(1,e)－e＝1，解得e＝eq\f(－1±\r(5),2)，∵e>0，∴e＝eq\f(\r(5)－1,2).【思路點(diǎn)撥】利用橢圓幾何性質(zhì)解題.【答案】e＝eq\f(\r(5)－1,2).探究型多維突破9.已知過(guò)點(diǎn)A(－1,1)的直線l與橢圓eq\f(x2,8)＋eq\f(y2,4)＝1交于點(diǎn)B，C，當(dāng)直線l繞點(diǎn)A(－1,1)旋轉(zhuǎn)時(shí)，求弦BC中點(diǎn)M的軌跡方程.【知識(shí)點(diǎn)】橢圓的幾何性質(zhì).【解題過(guò)程】設(shè)直線l與橢圓的交點(diǎn)B(x1，y1)，C(x2，y2)，弦BC的中點(diǎn)M(x，y)，則eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(\f(x\o\al(2,1),8)＋\f(y\o\al(2,1),4)＝1，①,\f(x\o\al(2,2),8)＋\f(y\o\al(2,2),4)＝1，②))①－②，得(eq\f(x\o\al(2,1),8)－eq\f(x\o\al(2,2),8))＋(eq\f(y\o\al(2,1),4)－eq\f(y\o\al(2,2),4))＝0，∴(x1＋x2)(x1－x2)＋2(y1＋y2)(y1－y2)＝0.③當(dāng)x1≠x2時(shí)，③式可化為(x1＋x2)＋2(y1＋y2)·eq\f(y2－y1,x2－x1)＝0.∵eq\f(x1＋x2,2)＝x，eq\f(y1＋y2,2)＝y(tǒng)，eq\f(y2－y1,x2－x1)＝eq\f(y－1,x＋1)，∴2x＋2·2y·eq\f(y－1,x＋1)＝0，化簡(jiǎn)得x2＋2y2＋x－2y＝0.當(dāng)x1＝x2時(shí)，∵點(diǎn)M(x，y)是線段BC中點(diǎn)，∴x＝－1，y＝0，顯然適合上式.綜上所述，所求弦中點(diǎn)M的軌跡方程是x2＋2y2＋x－2y＝0.【思路點(diǎn)撥】弦中點(diǎn)問(wèn)題靈活利用點(diǎn)差法解題.【答案】x2＋2y2＋x－2y＝0.10.已知橢圓方程，試確定的范圍，使橢圓上存在兩個(gè)不同點(diǎn)關(guān)于直線對(duì)稱.【知識(shí)點(diǎn)】橢圓的幾何性質(zhì).【解題過(guò)程】設(shè)點(diǎn)為橢圓上點(diǎn)，且關(guān)于直線對(duì)稱,另設(shè)中點(diǎn)坐標(biāo)為則作差得=1\*GB3①關(guān)于直線對(duì)稱，，代入=1\*GB3①式得=2\*GB3②易知點(diǎn)必在直線上，=3\*GB3③聯(lián)立=2\*GB3②=3\*GB3③解得為橢圓的弦，中點(diǎn)必在橢圓內(nèi)，，.【思路點(diǎn)撥】注意利用弦的中點(diǎn)在橢圓內(nèi)部建立不等關(guān)系解題.【答案】自助餐1.已知m、n、m＋n成等差數(shù)列，m、n、mn成等比數(shù)列，則橢圓eq\f(x2,m)＋eq\f(y2,n)＝1的離心率為（）A.eq\f(1,2)B.eq\f(\r(3),3)C.eq\f(\r(2),2)D.eq\f(\r(3),2)【知識(shí)點(diǎn)】橢圓的幾何性質(zhì).【解題過(guò)程】由已知得eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(2n＝m＋m＋n，,n2＝m2n.))解得eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(m＝2，,n＝4.))∴e＝eq\r(\f(n－m,n))＝eq\f(\r(2),2)，故選C.【思路點(diǎn)撥】利用離心率的定義.【答案】C2.AB為過(guò)橢圓eq\f(x2,a2)＋eq\f(y2,b2)＝1中心的弦，F(xiàn)(c,0)為橢圓的左焦點(diǎn)，則△AFB的面積最大值是（）A.b2B.bcC.abD.ac【知識(shí)點(diǎn)】橢圓的幾何性質(zhì).【解題過(guò)程】S△ABF＝S△AOF＋S△BOF＝eq\f(1,2)|OF|·|yA－yB|，當(dāng)A、B為短軸兩個(gè)端點(diǎn)時(shí)，|yA－yB|最大，最大值為2b.∴△ABF面積的最大值為bc.【思路點(diǎn)撥】橢圓幾何性質(zhì)把握?qǐng)D形中的幾何關(guān)系.【答案】B3.在△ABC中，AB＝BC，cosB＝－eq\f(7,18).若以A，B為焦點(diǎn)的橢圓經(jīng)過(guò)點(diǎn)C，則該橢圓的離心率e＝（）A.eq\f(3,4)B.eq\f(3,7)C.eq\f(3,8)D.eq\f(3,18)【知識(shí)點(diǎn)】橢圓的幾何性質(zhì).【解題過(guò)程】設(shè)|AB|＝x>0，則|BC|＝x，AC2＝AB2＋BC2－2AB·BC·cosB＝x2＋x2－2x2·(－eq\f(7,18))＝eq\f(25,9)x2，∴|AC|＝eq\f(5,3)x，由條件知，|CA|＋|CB|＝2a，AB＝2c，∴eq\f(5,3)x＋x＝2a，x＝2c，∴e＝eq\f(c,a)＝eq\f(2c,2a)＝eq\f(x,\f(8,3)x)＝eq\f(3,8).【思路點(diǎn)撥】注意轉(zhuǎn)化為橢圓的定義.【答案】C4.若點(diǎn)O和點(diǎn)F分別為橢圓eq\f(x2,4)＋eq\f(y2,3)＝1的中心和左焦點(diǎn)，點(diǎn)P為橢圓上的任意一點(diǎn)，則eq\o(OP,\s\up6(→))·eq\o(FP,\s\up6(→))的最大值為（）A.2B.3C.6D.8【知識(shí)點(diǎn)】橢圓的幾何性質(zhì).【解題過(guò)程】由題意可知O(0,0)，F(xiàn)(－1,0)，設(shè)點(diǎn)P為(x，y)，則eq\o(OP,\s\up6(→))＝(x，y)，eq\o(FP,\s\up6(→))＝(x＋1，y)，∴eq\o(OP,\s\up6(→))·eq\o(FP,\s\up6(→))＝x(x＋1)＋y2＝x2＋x＋y2＝x2＋x＋3－eq\f(3,4)x2＝eq\f(1,4)x2＋x＋3＝eq\