高中數(shù)學(xué)精選資源PAGE1-/NUMPAGES7[鞏固層·知識整合][提升層·題型探究]四種命題的關(guān)系及其真假判斷【例1】將下列命題改寫成“若p，則q”的形式，并寫出它的逆命題、否命題和逆否命題以及判斷它們的真假．(1)當(dāng)mn＜0時(shí)，方程mx2－x＋n＝0有實(shí)數(shù)根；(2)能被6整除的數(shù)既能被2整除，又能被3整除．[解](1)將命題寫成“若p，則q”的形式為：若mn＜0，則方程mx2－x＋n＝0有實(shí)數(shù)根．它的逆命題、否命題和逆否命題如下：逆命題：若方程mx2－x＋n＝0有實(shí)數(shù)根，則mn＜0．(假)否命題：若mn≥0，則方程mx2－x＋n＝0沒有實(shí)數(shù)根．(假)逆否命題：若方程mx2－x＋n＝0沒有實(shí)數(shù)根，則mn≥0．(真)(2)將命題寫成“若p，則q”的形式為：若一個(gè)數(shù)能被6整除，則它能被2整除，且能被3整除，它的逆命題，否命題和逆否命題如下：逆命題：若一個(gè)數(shù)能被2整除又能被3整除，則它能被6整除．(真)否命題：若一個(gè)數(shù)不能被6整除，則它不能被2整除或不能被3整除．(真)逆否命題：若一個(gè)數(shù)不能被2整除或不能被3整除，則它不能被6整除．(真)1．在原命題、逆命題、否命題、逆否命題中，原命題與逆否命題，逆命題與否命題是等價(jià)命題，它們的真假性相同．2．“p∧q”的否定是“p∨q”，“p∨q”的否定是“p∧q”．eq\O([跟進(jìn)訓(xùn)練])1．(1)給出下列三個(gè)命題：①“全等三角形的面積相等”的否命題；②“若lgx2＝0，則x＝－1”的逆命題；③若“x≠y或x≠－y，則|x|≠|(zhì)y|”的逆否命題．其中真命題的個(gè)數(shù)是()A．0B．1C．2 D．3B[對于①，否命題是“不全等三角形的面積不相等”，它是假命題；對于②，逆命題是“若x＝－1，則lgx2＝0”，它是真命題；對于③，逆否命題是“若|x|＝|y|，則x＝y(tǒng)且x＝－y”，它是假命題，故選B．](2)命題：“若a2＋b2＝0，則a＝0且b＝0”的逆否命題是()A．若a2＋b2＝0，則a＝0且b≠0B．若a2＋b2≠0，則a≠0或b≠0C．若a＝0且b＝0，則a2＋b2≠0D．若a≠0或b≠0，則a2＋b2≠0D[命題“若a2＋b2＝0，則a＝0且b＝0”的逆否命題是：“若a≠0或b≠0，則a2＋b2≠0”．故選D．]充分條件、必要條件與充要條件【例2】(1)已知△ABC兩內(nèi)角A，B的對邊邊長分別為a，b，則“A＝B”是“acosA＝bcosB”的()A．充分不必要條件B．必要不充分條件C．充要條件D．既不充分也不必要條件(2)已知直線l1：x＋ay＋2＝0和l2：(a－2)x＋3y＋6a＝0，則l1∥l2的充要條件是a＝__________．(1)A(2)3[(1)由acosA＝bcosB?sin2A＝sin2B，∴A＝B或2A＋2B＝π，故選A．(2)由eq\f(1,a－2)＝eq\f(a,3)≠eq\f(2,6a)，得a＝－1(舍去)，a＝3．]充分條件和必要條件的判斷充分條件和必要條件的判斷，針對具體情況，應(yīng)采取不同的策略，靈活判斷.判斷時(shí)要注意以下兩個(gè)方面：1注意分清條件和結(jié)論，以免混淆充分性與必要性,從命題的角度判斷充分、必要條件時(shí)，一定要分清哪個(gè)是條件，哪個(gè)是結(jié)論，并指明條件是結(jié)論的哪種條件，否則會混淆二者的關(guān)系，造成錯(cuò)誤.2注意轉(zhuǎn)化命題判斷，培養(yǎng)思維的靈活性,由于原命題與逆否命題，逆命題與否命題同真同假，因此，對于那些具有否定性的命題，可先轉(zhuǎn)化為它的逆否命題，再進(jìn)行判斷，這種“正難則反”的等價(jià)轉(zhuǎn)化思想，應(yīng)認(rèn)真領(lǐng)會.eq\O([跟進(jìn)訓(xùn)練])2．(1)已知a，b是不共線的向量，若eq\o(AB,\s\up7(→))＝λ1a＋b，eq\o(AC,\s\up7(→))＝a＋λ2b(λ1，λ2∈R)，則A，B，C三點(diǎn)共線的充要條件是()A．λ1＝λ2＝－1 B．λ1＝λ2＝1C．λ1λ2＝1 D．λ1λ2＝－1C[依題意，A，B，C三點(diǎn)共線?eq\o(AB,\s\up7(→))＝λeq\o(AC,\s\up7(→))?λ1a＋b＝λa＋λλ2b?eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(λ1＝λ，,λλ2＝1，))故選C．](2)設(shè)p：m＋nZ，q：mZ或nZ，則p是q的()A．充分不必要條件B．必要不充分條件C．充要條件D．既不充分也不必要條件A[p：m＋n∈Z，q：m∈Z且n∈Z，顯然pq，q?p，即p?q，qp，p是q的充分不必要條件．]含邏輯聯(lián)結(jié)詞的命題【例3】(1)短道速滑隊(duì)組織6名隊(duì)員(包括賽前系列賽積分最靠前的甲乙丙三名隊(duì)員)參加冬奧會選拔賽，記“甲得第一名”為p，“乙得第二名”為q，“丙得第三名”為r，若p∨q是真命題，p∧q是假命題，(q)∧r是真命題，則選拔賽的結(jié)果為()A．甲得第一名、乙得第二名、丙得第三名B．甲得第二名、乙得第一名、丙得第三名C．甲得第一名、乙得第三名、丙得第二名D．甲得第一名、乙沒得第二名、丙得第三名(2)已知命題p：?x0∈R，x0－1≥lgx0，命題q：?x∈(0，π)，sinx＋eq\f(1,sinx)>2，則下列判斷正確的是()A．p∨q是假命題B．p∧q是真命題C．p∨(q)是假命題D．p∧(q)是真命題(1)D(2)D[(1)(q)∧r是真命題意味著q為真，q為假(乙沒得第二名)且r為真(丙得第三名)；p∨q是真命題，由于q為假，只能p為真(甲得第一名)，這與p∧q是假命題相吻合；由于還有其他三名隊(duì)員參賽，只能肯定其他隊(duì)員得第二名，乙沒得第二名，故選D．(2)當(dāng)x0＝1時(shí)，x0－1≥lgx0，所以命題p：?x0∈R，x0－1≥lgx0為真；?x∈(0，π)，sinx>0，sinx＋eq\f(1,sinx)≥2eq\r(sinx·\f(1,sinx))＝2，當(dāng)且僅當(dāng)sinx＝1時(shí)取等號，所以命題q：?x∈(0，π)，sinx＋eq\f(1,sinx)>2為假．因此p∨q是真命題，p∧q是假命題，p∨(q)是真命題，p∧(q)是真命題，選D．]1．判斷含有邏輯聯(lián)結(jié)詞的命題的真假的關(guān)鍵是對邏輯聯(lián)結(jié)詞“且”“或”“非”的含義的理解，應(yīng)根據(jù)組成各個(gè)復(fù)合命題的語句中所出現(xiàn)的邏輯聯(lián)結(jié)詞進(jìn)行命題結(jié)構(gòu)與真假的判斷．2．判斷命題真假的步驟：eq\O([跟進(jìn)訓(xùn)練])3．(1)設(shè)命題p：函數(shù)y＝sin2x的最小正周期為eq\f(π,2)；命題q：函數(shù)y＝cosx的圖象關(guān)于直線x＝eq\f(π,2)對稱，則下列判斷正確的是()A．p為真 B．q為假C．p∧q為假 D．p∨q為真C[函數(shù)y＝sin2x的最小正周期為eq\f(2π,2)＝π，故命題p為假命題；直線x＝eq\f(π,2)不是y＝cosx的圖象的對稱軸，命題q為假命題，故p∧q為假，故選C．](2)已知命題p：m，n為直線，α為平面，若m∥n，n?α，則m∥α；命題q：若a>b，則ac>bc，則下列命題為真命題的是()A．p∨q B．p∨qC．p∧q D．p∧qB[命題q：若a>b，則ac>bc為假命題，命題p：m，n為直線，α為平面，若m∥n，n?α，則m∥α也為假命題，因此只有p∨q為真命題．]全稱命題與特稱命題【例4】(1)已知命題p：“?x∈[0,1]，a≥ex”，命題q：“?x∈R，x2＋4x＋a＝0”，若命題“p∧q”是真命題，則實(shí)數(shù)a的取值范圍是()A．[e,4] B．[1,4]C．(4，＋∞) D．(－∞，1](2)命題p：?x∈R，f(x)≥m，則命題p的否定p是________．思路探究：(1)p∧q為真?p，q都為真．(2)由p的定義寫p．(1)A(2)?x0∈R，f(x0)<m[(1)由p為真得出a≥e，由q為真得出a≤4，∴e≤a≤4．(2)全稱命題的否定是特稱命題，所以“?x∈R，f(x)≥m”的否定是“?x0∈R，f(x0)<m”．]1．全稱命題的否定是特稱命題；特稱命題的否定是全稱命題．2．要判斷一個(gè)全稱命題為真命題，必須對限定集合M中的每一個(gè)x驗(yàn)證p(x)成立，一般要運(yùn)用推理的方法加以證明；要判斷一個(gè)全稱命題為假命題，只需舉出一個(gè)反例即可．3．要判斷一個(gè)特稱命題為真命題，只要在限定集合M中能找到一個(gè)x0使p(x0)成立即可，否則這一特稱命題為假命題．eq\O([跟進(jìn)訓(xùn)練])4．(1)命題p：?x<0，x2≥2x，則命題p為()A．?x0<0，xeq\o\al(2,0)≥2eq\s\up12(x0) B．?x0≥0，xeq\o\al(2,0)<2eq\s\up12(x0)C．?x0<0，xeq\o\al(2,0)<2eq\s\up12(x0) D．?x0≥0，xeq\o\al(2,0)≥2eq\s\up12(x0)C[p：?x0<0，xeq\o\al(2,0)<2eq\s\up12(x0)，故選C．](2)在下列四個(gè)命題中，真命題的個(gè)數(shù)是()①?x∈R，x2＋x＋3＞0；②?x∈Q，eq\f(1,3)x2＋eq\f(1,2)x＋1是有理數(shù)；③?α，β∈R，使sin(α＋β)＝sinα＋sinβ；④?x0，y0∈Z，使3x0－2y0＝10．A．1 B．2C．3 D．4D[①中，x2＋x＋3＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c