第頁(yè)，共頁(yè)2024--2025學(xué)年第二學(xué)期高一年級(jí)第一次月考數(shù)學(xué)試卷試卷滿分：150分注意事項(xiàng)：1.答卷前，考生務(wù)必將姓名、準(zhǔn)考證號(hào)等在答題往上填寫清楚.2.選擇題答案用2B鉛筆在答題卷上把對(duì)應(yīng)題目的答案標(biāo)號(hào)涂黑，非選擇題用0.5mm的黑色簽字筆在每題對(duì)應(yīng)的答題區(qū)域內(nèi)做答，答在試題卷上無(wú)效.第Ⅰ卷一、單選題（本題共8小題，每小題5分，共40分.在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的.）1.已知集合，則（）A. B.C. D.【答案】B【解析】【分析】解不等式求得集合，求函數(shù)的定義域求得集合，由此求得.【詳解】因?yàn)?，所?故選：B2.是的（）A.充分不必要條件 B.必要不充分條件C.充分必要條件 D.既不充分也不必要條件【答案】A【解析】【分析】根據(jù)，由可得或，即可得到答案.【詳解】當(dāng)時(shí)，，所以是的充分條件，當(dāng)時(shí)，或，所以不是必要條件，所以是的充分不必要條件.故選：A.3.設(shè)，則（）A. B.C. D.【答案】C【解析】【分析】利用指對(duì)數(shù)函數(shù)的單調(diào)性，將其與比較即得的大小關(guān)系.【詳解】，故.故選：C.4.已知正數(shù)滿足，則的最小值為（）A. B.C. D.【答案】B【解析】【分析】由題設(shè)可得，再根據(jù)基本不等式“1”妙用求解即可.【詳解】因?yàn)檎龜?shù)滿足，所以，即，則，當(dāng)且僅當(dāng)，即時(shí)取等號(hào)，此時(shí)的最小值為.故選：B.5.冪函數(shù)都有成立，則下列說法正確的是（）A. B.或C.是偶函數(shù) D.是奇函數(shù)【答案】D【解析】【分析】根據(jù)冪函數(shù)的特征以及函數(shù)的單調(diào)性得到的值，再根據(jù)奇偶性定義可得到結(jié)果.【詳解】解：因?yàn)槭莾绾瘮?shù)，所以，解得或，因?yàn)?，都有成立，所以該函?shù)在是減函數(shù)，所以，故A，B錯(cuò)誤；，定義域?yàn)椋x域關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱，又，所以是奇函數(shù)，故D正確，C錯(cuò)誤.故選：D.6.如今科技企業(yè)掀起一場(chǎng)研發(fā)大模型的熱潮，大規(guī)模應(yīng)用成為可能，尤其在圖文創(chuàng)意，虛擬數(shù)字人以及工業(yè)軟件領(lǐng)域已出現(xiàn)較為成熟的落地應(yīng)用.函數(shù)和函數(shù)是研究人工智能被廣泛使用的兩種用作神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)的激活函數(shù)，函數(shù)的解析式為，經(jīng)過某次測(cè)試得知，則當(dāng)把變量增加一倍時(shí)，（）A. B. C. D.【答案】A【解析】【分析】根據(jù)已知條件，得出與的關(guān)系，再將代入解析式中，利用前面關(guān)系從而求值.【詳解】因?yàn)椋獾茫?，；；；所以將代入得?故選：.7.函數(shù)的圖象在區(qū)間上恰有2個(gè)最高點(diǎn)，則的取值范圍為（）A. B. C. D.【答案】A【解析】【分析】由得到，結(jié)合正弦函數(shù)性質(zhì)構(gòu)造不等式即可求解.【詳解】解：由于，所以，由于圖象在區(qū)間上恰有2個(gè)最高點(diǎn)，則，解得：.所以的取值范圍為；故選：A8.設(shè)函數(shù)與函數(shù)的圖象在內(nèi)交點(diǎn)的橫坐標(biāo)依次是，且，則實(shí)數(shù)（）A. B. C. D.【答案】C【解析】【分析】利用誘導(dǎo)公式、二倍角公式、同角三角函數(shù)的基本關(guān)系式化簡(jiǎn)已知條件，從而求得正確答案.【詳解】由題意可知，所以，又，所以，則，所以，因?yàn)?，解?故選：C二、多選題（本題共3小題，每小題6分，共18分.在每小題給出的選項(xiàng)中，有多項(xiàng)行合題目要求，全部選對(duì)的得6分，部分選對(duì)的得部分分，有選錯(cuò)的得0分.）9.下列說法正確的是（）A.命題“”的否定形式是“”B.函數(shù)且的圖象過定點(diǎn)C.方程的根所在區(qū)間為D.若命題“恒成立”為真命題，則“或”【答案】BC【解析】【分析】A.按照規(guī)則寫出全稱命題的否定；B.令真數(shù)取，則可求出定點(diǎn)；C通過零點(diǎn)存在性定理判斷函數(shù)的零點(diǎn)個(gè)數(shù)；D利用即可判斷.【詳解】對(duì)于A，命題“”的否定形式是“”，故A項(xiàng)錯(cuò)誤；對(duì)于B，當(dāng)時(shí)，，此函數(shù)值與無(wú)關(guān)，則函數(shù)圖象過定點(diǎn)，故B項(xiàng)正確；對(duì)于C，令，則函數(shù)在上單調(diào)遞減，又，，則由零點(diǎn)存在性定理可知，則函數(shù)在區(qū)間內(nèi)存在唯一一個(gè)零點(diǎn)，即方程的根所在區(qū)間為，故C項(xiàng)正確；對(duì)于D項(xiàng)，命題“恒成立”為真命題，得，解得，故D項(xiàng)錯(cuò)誤.故選：BC10.已知函數(shù)的部分圖像如圖所示，下列說法正確的是（）A.的圖像關(guān)于直線對(duì)稱B.的圖像關(guān)于點(diǎn)對(duì)稱C.將函數(shù)的圖像向右平移個(gè)單位長(zhǎng)度得到函數(shù)的圖像D.若方程在上有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根，則的取值范圍是【答案】ACD【解析】【分析】首先根據(jù)題意得到，對(duì)選項(xiàng)A，根據(jù)即可判斷A正確，對(duì)選項(xiàng)B，根據(jù)，即可判斷B錯(cuò)誤，對(duì)選項(xiàng)C，將向右平移，得到，即可判斷C正確，對(duì)選項(xiàng)D，根據(jù)的圖象即可判斷D正確.【詳解】由圖可知：的最小正周期，當(dāng)時(shí)，，所以；對(duì)于A，，正確；對(duì)于B，，錯(cuò)誤；對(duì)于C，將向右平移，得到，正確；對(duì)于D，的大致圖像如下：欲使得在內(nèi)方程有2個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根，則，正確；故選：ACD.11.已知函數(shù)，若存在四個(gè)實(shí)數(shù)，使得，則（）A.的范圍為B.的取值范圍為C.的取值范圍為D.的取值范圍為【答案】AC【解析】【分析】作出圖形，由題意可得、，結(jié)合圖形，利用對(duì)數(shù)的運(yùn)算性質(zhì)、基本不等式、函數(shù)與方程，依次計(jì)算判斷選項(xiàng)即可.【詳解】函數(shù)的圖象如圖所示：對(duì)于A，由圖知，函數(shù)與交于四個(gè)交點(diǎn)，則，故A正確；對(duì)于B，因?yàn)?，則，由于，則，所以，則，且，由于，由可得或，所以，又，則，所以，且，所以，則，故B錯(cuò)誤；對(duì)于C，由上分析可得，由，得，則，因函數(shù)在上為增函數(shù)，則，則，所以，故C正確；對(duì)于D，，設(shè)，則，則在上為增函數(shù)，所以，即，故D錯(cuò)誤.故選：AC【點(diǎn)睛】思路點(diǎn)睛：先數(shù)形結(jié)合，分別確定四個(gè)實(shí)數(shù)各自的取值范圍，再由已知找到；在判斷范圍時(shí)分別用到了兩個(gè)函數(shù)和的單調(diào)性求值域.第Ⅱ卷三、填空題（本題共3小題，每小題5分，共15分）12.已知扇形的面積為8，扇形圓心角的弧度數(shù)是4，則扇形的周長(zhǎng)為__________.【答案】12【解析】【分析】根據(jù)弧長(zhǎng)公式及扇形面積公式列式計(jì)算求出，即可得出扇形周長(zhǎng).【詳解】設(shè)扇形的弧長(zhǎng)為l，半徑為r，由于扇形圓心角的弧度數(shù)是4，則，又因?yàn)?，即，所?故其周長(zhǎng).故答案為：12.13.在中，，點(diǎn)是上的一點(diǎn)，若，則實(shí)數(shù)的值是__________.【答案】【解析】【分析】設(shè)，利用平面向量的線性運(yùn)算可得出，，利用平面向量的基本定理可得出關(guān)于、的方程組，即可解得實(shí)數(shù)的值.【詳解】如下圖所示：因?yàn)闉樯系囊稽c(diǎn)，設(shè)，即，所以，，因，則為線段的中點(diǎn)，則，，因、不共線，故，解得.故答案為：.14.對(duì)于函數(shù)，若在其定義域內(nèi)存在兩個(gè)實(shí)數(shù)，使當(dāng)時(shí)，值域也是，則稱函數(shù)為“保值”函數(shù)，區(qū)間稱為函數(shù)的“等域區(qū)間”.（1）請(qǐng)寫出一個(gè)滿足條件的“保值”函數(shù)：______（2）若函數(shù)是“保值”函數(shù)，則實(shí)數(shù)k的取值范圍是______.【答案】①.②.【解析】【分析】（1）單調(diào)函數(shù)，定義域與值域一樣，固然想到（2）根據(jù)判斷的單調(diào)性，轉(zhuǎn)化為關(guān)于的方程的兩個(gè)實(shí)數(shù)根.【詳解】（1）由題意得方程至少有兩個(gè)根，設(shè)函數(shù)（2）因?yàn)槭窃龊瘮?shù)，若是“保值”函數(shù)，則存在實(shí)數(shù)，使即所以是關(guān)于的方程的兩個(gè)實(shí)數(shù)根，從而方程有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根.令，則函數(shù)在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，，根據(jù)二次函數(shù)的圖象可知，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)，直線與曲線有兩個(gè)不同的交點(diǎn)，即方程有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根，故實(shí)數(shù)的取值范圍是.四、解答題（本題共5小題，共77分.解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟.）15.設(shè)是不共線的兩個(gè)向量.（1）若，求證：三點(diǎn)共線；（2）若與共線，求實(shí)數(shù)的值.【答案】（1）證明見解析；（2）或.【解析】【分析】（1）由題可得，再根據(jù)向量共線定理結(jié)合條件即得證；（2）根據(jù)向量共線定理可得，結(jié)合條件與不共線，可列出方程組求解即可.【小問1詳解】證明：，，又因?yàn)榕c共線，且有公共端點(diǎn),所以三點(diǎn)共線.【小問2詳解】因?yàn)榕c共線，所以存在實(shí)數(shù)，使得即.由與不共線，可知，解得所以即實(shí)數(shù)的值為或.16.已知函數(shù)為奇函數(shù)，其中.（1）求和實(shí)數(shù)的值；（2）若滿足，求實(shí)數(shù)的取值范圍.【答案】（1），（2）【解析】【分析】（1）代值計(jì)算即可求得，根據(jù)奇函數(shù)的定義求解即可；（2）易得函數(shù)的定義域?yàn)?，再結(jié)合復(fù)合函數(shù)的單調(diào)性可得函數(shù)在上為減函數(shù)，進(jìn)而求解不等式即可.【小問1詳解】由，則；因?yàn)楹瘮?shù)是奇函數(shù)，所以，即，即，則，所以，又因?yàn)?，所?【小問2詳解】由（1）知，由，解得，則的定義域?yàn)?，因?yàn)?，所以在上為減函數(shù)，又因?yàn)椋矗瑒t，解得，所以實(shí)數(shù)的取值范圍為.17.已知函數(shù)的最大值為.（1）求的值和的對(duì)稱軸；（2）求在上的單調(diào)遞減區(qū)間；（3）若，成立，求的取值范圍.【答案】（1），的對(duì)稱軸方程為（2）（3）【解析】【分析】（1）利用三角恒等變換化簡(jiǎn)函數(shù)解析式為，利用函數(shù)的最大值可求得的值，利用正弦型函數(shù)的對(duì)稱性可求得函數(shù)的對(duì)稱軸方程；（2）由可求出的取值范圍，利用正弦型函數(shù)的單調(diào)性可求出函數(shù)在上的減區(qū)間；（3）由題意可知，，利用正弦型函數(shù)的基本性質(zhì)求出函數(shù)在區(qū)間的最大值，即可得出實(shí)數(shù)的取值范圍.【小問1詳解】由題知，因?yàn)榈淖畲笾禐椋?，可得，所以，由?所以函數(shù)的對(duì)稱軸方程為.【小問2詳解】因?yàn)?，令，則，因?yàn)榈膯握{(diào)遞減區(qū)間是，由，得，所以在的單調(diào)遞減區(qū)間是.【小問3詳解】由題意知，由，可得，故當(dāng)時(shí)，函數(shù)取最大值，所以，，因此，實(shí)數(shù)的取值范圍是.18.如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，以軸非負(fù)半軸為始邊作角與，它們的終邊分別與單位圓相交于點(diǎn)和，已知點(diǎn)的坐標(biāo)為.（1）若，求點(diǎn)的坐標(biāo)；（2）若將角的終邊按逆時(shí)針方向旋轉(zhuǎn)至第一象限，且為銳角，，求的大小.【答案】（1）（2）.【解析】【分析】（1）依題意求出，再結(jié)合任意角的三角函數(shù)的定義與誘導(dǎo)公式求解即可；（2）利用二倍角的正切公式求得，利用同角的三角函數(shù)求得，利用兩角和的正切公式求得，進(jìn)而求得的大小.【小問1詳解】因?yàn)辄c(diǎn)在單位圓上，利用三角函數(shù)的定義，解由三角函數(shù)的定義知，因?yàn)?，且，所以所以故【小?詳解】因?yàn)?，所以，因?yàn)?，且，所以因?yàn)?，，所以，所以，因?yàn)椋?，所以；因?yàn)?，且，所?19.設(shè)n次多項(xiàng)式（），若其滿足，則稱這些多項(xiàng)式為切比雪夫多項(xiàng)式.例如：由可得切比留夫多項(xiàng)式.（1）由的表達(dá)式求；（2）由第一問結(jié)論求的值；（3）方程在上有三個(gè)不同的根，記為，，，求證.【答案】（1）（2）（3）證明見解析【解析】【分析】（